REDUCCIÓN REDUCCIÓN DE ORDENDE ORDEN

INTEGRANTES:Johana Caraguay

Nora Estrada

Mariuxi Maza

Jackel ine Palacios

INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN

La solución general de la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden

0)()()( 012 =+′+′′ yxayxayxa (1)

Es una combinación lineal

donde

y

son soluciones que constituyen un conjunto linealmente independiente en

algún intervalo I.

En este tema se examinará un método para determinar estas soluciones

cuando los coeficientes de la ED en (1) son constantes. Este método, que es un

ejercicio directo en álgebra, falla en algunos casos y produce sólo una solución

simple y1 de la ED.

2211 ycycy +=

1y 2y

Resulta que se puede construir una segunda solución y2 de una ecuación

homogénea (1) e incluso cuando los coeficientes en (1) son variables; siempre

y cuando se conozca una solución no trivial y1 de la ED.

La idea básica que describe este tema es darles a conocer que la ecuación (1) se

puede reducir a una ED lineal de primer orden por medio de una sustitución

en la que interviene la solución conocida y1, a partir de la cual hallaremos una

segunda solución y2 de (1) (esto va ha ser evidente después de resolver la ED

de primer orden)

REDUCCIÓN DE ORDENREDUCCIÓN DE ORDEN

Uno de los hechos matemáticos más interesantes al estudiar ecuaciones

diferenciales lineales de segundo orden es que podemos formar una segunda

solución, y2, para la ecuación homogénea:

0)()()( 012 =+′+′′ yxayxayxa

en un intervalo I a partir de una solución y1 no trivial. Buscamos una segunda

solución, y2(x), de la ecuación (1) tal que y1 y y2 sean linealmente

independientes en Z. Recordemos que si y1 y y2 son linealmente

independientes, su relacióny2/y1 es no constante en I esto es, y2/y1= u(x) o

y2 = u(x)y1(x). La idea es determinar la función u(x) sustituyendo

y2(x) = u(x)y1(x) en la ecuación diferencial dada. Este método se llama

reducción de orden porque debemos resolver una ecuación lineal de primer

orden para hallar u.

Fórmula para hallar la segunda solución y2 a partir de una conocida y1

01,)(

)( 2121

)(

12 ==∫

= ∫−

cycdoconsiderandxxy

exyy

dxxp

(2)

EJEMPLO 1.EJEMPLO 1. Dado que y1(x) = x^-2 es solución de la ecuación diferencial

Encuentre su solución general en el intervalo (0,α). SOLUCIÓNSOLUCIÓN

Verifiquemos que y1(x) es solución de la ecuación diferencial. Tenemos que

Construcción de una segunda solución y2 a partir de una conocida y1 mediante el método de reducción de orden

Sustituyendo en resulta

Así, efectivamente y1 es una solución . Ahora utilizaremos el resultado del teorema anterior para determinar una segunda solución de la ecuación diferencial, con y1. Primero, reescribimos en la forma:

de aquí que en este caso p(x) = -7/x y entonces

Note que una segunda solución l.i. con y1(x) es simplemente 2ỹ (x) = x^10. De modo que la solución general en (0, α) de la ecuación diferencial (4.16) es

EJEMPLO 2. EJEMPLO 2. Encuentre la solución general en (0,α) de la ecuación diferencial

si y1(x)=cos ln x, es una solución de la ecuación.

SOLUCIÓNSOLUCIÓNNuevamente emplearemos la ecuación anterior para obtener una segunda solución y2. En este caso p(x) = 1/x , por lo cual:

En consecuencia

De donde la solución general en (0, α) de (4.17) es

EJEMPLO EJEMPLO Dado que la función es una solución deUsando el método de reducción de orden hallar una segunda solución y2 y determine la solución general de la ecuación diferencial en el intervalo

21 xy = 0432 =+′−′′ yyxyx

),0( ∞

SOLUCIÓNSOLUCIÓN

PASO1: PASO1: Se pone en la forma estándar la ED

0432

=+′−′′ yx

yx

y

Este ejercicio se explicó en la pizarra:

PASO2:PASO2:Se localiza p(x) en la ED del paso 1 y se encuentra el F. I.

3lnln33 3

.. xeeeIFxxx

dx

===∫=

PASO3: PASO3: Aplicando la fórmula (2) se tiene:

xxxdx

xdxxx

xdxxe

xyx

dx

ln224

32

4

3

22 ===

∫= ∫∫ ∫

PASO3:PASO3: Por tanto la solución general en el intervalo dado es::

xxcxcy ln22

21 +=