Handling Exceptions in Structural Engineering:Robustezza Strutturale, Scenari Accidentali, Complessità di Progetto
Roma, 13-14 Novembre 2008 – www.francobontempi.org/handling.php
Handling Exceptions in Structural Engineering:Robustezza Strutturale, Scenari Accidentali, Complessità di Progetto
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1 INTRODUZIONE
Le strutture reciproche sono strutture di copertura in cui ogni trave risulta sia di supporto che di sostegno per l’insieme di travi che compongono la struttura stessa. Per questo motivo, risulta necessario utilizza-re almeno 3 travi per realizzare la più semplice strut-tura reciproca.
Figura 1: Esempio di struttura reciproca.
L’uso delle strutture reciproche risalgono a molti secoli indietro, Chilton e altri suggerirono che non è possibile identificare precisamente da dove deriva la prima idea di usare una simile concezione strutturale (Chilton & Choo, 1992). È probabile, sebbene non ci sia una diretta evidenza, che l’uso delle strutture re-
ciproche si sia sviluppato dalle semplici strutture u-sate dalle prime civiltà umane. Difatti, alcune società nelle loro prime fasi di evoluzione, vivevano in bu-che o capanne coperte, le coperture delle quali furo-no con tutta probabilità costruite intrecciando rami di albero che possiedono una straordinaria somi-glianza con le strutture reciproche moderne.
Data la particolare filosofia di questo sistema co-struttivo, non c’è da stupirsi se il paese nel quale le strutture reciproche hanno avuto origine nella loro forma moderna sia il Giappone. Vi sono alcune te-stimonianze che fanno risalire l’utilizzo di questo si-stema costruttivo al dodicesimo secolo, quando il monaco buddista Chogen (1121-1206) ideò la tecni-ca costruttiva a spirale di travi in legno successiva-mente utilizzata per la costruzione di templi e san-tuari. Tale tecnica risulta identica ai principi strutturali delle moderne strutture reciproche.
Villard de Honnecourt, architetto e ingegnere medievale, spiega come costruire una casa o una tor-re nel caso che il legname fosse troppo corto (Erlan-de-Branderburg et al., 1987), (Villard de Honnecourt 1858). Honnecourt illustra la sua soluzione in bozze fatte tra il 1225 e il 1250. Questi schizzi indicano chiaramente la costruzione di piani usando travi in legno più corte delle campate richieste. L’assemblaggio della sua griglia usava il principio delle strutture reciproche. Anche Leonardo da Vinci (1452-1519) valutò l’idea di attraversare le distanze
Comportamento meccanico di strutture spaziali reciproche
Pizzigoni A.1, Sgambi L.2
1 Università degli Studi di Bergamo, Italia
2 Politecnico di Milano, Italia
SOMMARIO: Col termine “Strutture Reciproche” si intende un graticcio di travi che sostenendosi vicende-volmente vanno a costituire un sistema strutturale che può essere utilizzato per la costruzione di solai o coper-ture. In questo lavoro, viene analizzata in maniera analitica e numerica (con modelli ad elementi finiti solidi) una semplice struttura reciproca costituita da tre travi in calcestruzzo fibro-rinforzato. Le analisi numeriche, condotte in presenza di non linearità meccanica e di contatto, serviranno per la definizione del comportamento ultimo di tali strutture. In particolare, è di fondamentale importanza rilevare le modalità di rottura degli ele-menti, ovvero se la rottura avviene in modo duttile per danneggiamenti nella parte tesa delle travi, o in modo fragile per le elevate concentrazioni di sforzi nelle zone di mutuo sostegno. I risultati ottenuti dalle analisi so-no poi utilizzati per la definizione di un elemento finito a non linearità concentrata utile allo studio di strutture contenenti un numero maggiore di travi.
con elementi più corti della distanza da superare come illustrato nelle sue griglie strutturali tridimen-sionali e nei ponti in legno temporanei (Da Vinci 1519).
Figura 2: Estratto del Codice Atlantico di Leonardo da Vinci
con gli studi sulle strutture reciproche [Da Vinci].
Lo stesso problema fu affrontato da Sebastiano Serlio (1475-1554). Il Serlio propose un reticolo pla-nare molto simile a Villard de Honnecourt, dove ti-picamente, una trave contava sull’altra per il proprio supporto (Serio, 1619). Se le travi erano intagliate l’una nell’altra, risultava una superficie bidimensio-nale piatta (ignorando lo spessore della trave nella terza dimensione) che poteva essere usata nella co-struzione di piani o soffitti. Quasi cento anni dopo, John Wallis nel 1652 iniziò a costruire modelli di re-ticoli piatti assemblandoli con elementi che erano in-tagliati e integrati l’uno con l’altro. Wallis esplorò anche la differente morfologia planare in un attento studio della geometria e del meccanismo di trasferi-mento del carico (Wallis, 1972).
In seguito, per oltre 260 anni i sistemi a struttura reciproca furono accantonati e bisogna arrivare all’inizio del 1900 per trovare alcune applicazioni costruttive basate su questo sistema strutturale. Tali costruzioni, progettate dall’architetto Jujol includono la copertura a Casa Negre, San Juan Despi, Barcelo-na, (1915) e Casa Bofarul, Pallaresos, Tarragona (1913 – 1918).
Più recentemente, negli anni novanta, la copertura di 26 metri di campata di un edificio per immagazzi-namento di sale fu costruita in Lausanne, Switzer-land da Natterer e altri. Nello stesso tempo, una si-mile copertura di quasi 7 metri di diametro fu usata per un teatro di marionette, vicino a Kumamoto, sull’isola di Kyushu, del sud del Giappone. Altre re-centi applicazioni di strutture reciproche includono gazebi e case che commerciano whisky nella Scozia e un centro in Bradford, Regno Unito.
2 VALUTAZIONE ANALITICA
Il presente lavoro ha lo scopo di eseguire delle valu-tazioni sia analitiche che numeriche su di una sem-plice struttura reciproca realizzata con tre travi in calcestruzzo fibrorinforzato (Martinola ed al.). La Figura 3 mostra la struttura su cui si eseguiranno le valutazioni.
Figura 3: Immagine della struttura reciproca da analizzare.
Determinato il comportamento a rottura di tale
struttura, la legge meccanica potrà essere generaliz-zata per poter studiare strutture reciproche più estese senza un eccessivo impegno computazionale.
Poiché il comportamento meccanico di tali strut-ture prevede l’attivazione di non linearità meccani-che e geometriche di non facile modellazione, si è proceduto ad eseguire alcune semplici valutazioni analitiche che serviranno da controllo alle più accu-rate valutazioni numeriche.
2.1 VALUTAZIONE DEL MOMENTO ULTIMO Le travi che formano la struttura reciproca in ogget-to, possiedono le caratteristiche meccaniche e geo-metriche evidenziate in Tabella 1.
Tabella 1: Caratteristiche geometriche e meccaniche.
Altezza h 14 cm
Base b 6 cm
Luce 100 cm
Tensione a rottura di compressione 160 N/mm2
Tensione a rottura di trazione 11 N/mm2
Per poter indagare in modo analitico il compor-
tamento a rottura della struttura, è necessario avere una valutazione del valore di momento ultimo.
N N
εεεεt σσσσt b
h
x
σσσσc εεεεc
Figura 4: Profilo delle deformazioni e delle tensioni sulla se-zione di una trave.
Ipotizzando che la rottura avvenga per insuffi-
cienza di resistenza a trazione e che i livelli di com-pressione alle fibre opposte siano tali da poter essere rappresentati da un diagramma tensioni deformazio-ni lineare, ad incipiente rottura si ha la situazione in-dicata in Figura 4. L’asse neutro dividerà la sezione in due zone distinte, la parte superiore risulterà com-pressa mentre la parte inferiore tesa. Col meccani-smo di rottura ipotizzato, la deformazione εt e la re-lativa tensione σt risultano note e pari al loro valore ultimo. E’ possibile ricavare la tensione nel calce-struzzo lato compressione come:
tcc xh
xEE εεσ ⋅
−⋅=⋅= (1)
La condizione di equilibrio alla traslazione, ese-
guita sulle tensioni sezionali al momento della rottu-ra, approssimando ad un rettangolo il diagramma delle tensioni di trazione sulla sezione, fornisce l’equazione:
( ) bx2
1xhbf ct ⋅⋅⋅=−⋅⋅ σ (2)
Da cui è possibile ricavare l’equazione di secondo
grado che fornisce la posizione dell’asse neutro a rottura:
( )2 2tc t t t
1E f x 2 f h x f h 0
2ε
⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ =
(3)
La soluzione di tale equazione, rappresenta la di-
stanza tra l’asse neutro ed il lato compresso della se-zione. Utilizzando i valori numerici precedentemen-te esposti, l’unica radice positiva risulta essere
37x = mm a cui corrisponde una tensione di com-pressione nel materiale pari a 63 MPa, inferiore al valore di rottura per schiacciamento del calcestruz-zo, stimato a 170 MPa. L’ipotesi che la rottura av-venga lato trazione risulta quindi verificata.
La condizione di equilibrio alla rotazione, esegui-ta sulle tensioni sezionali al momento della rottura, fornisce l’equazione del momento ultimo:
( )( )1 2
5.232 3 2u c t
h xM b x x h x b fσ
−= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ =
5.23uM = kNm (4)
2.2 VALUTAZIONE DEL CARICO ULTIMO La Figura 5 mostra la geometria dello schema com-positivo considerato e la Figura 6 la sotto-struttura principale che ne caratterizza le proprietà statiche. Tale sotto-struttura viene identificata in base ad una simmetria polare a 120°: le forze di mutuo sostegno tra le varie travi reciproche dovranno rispettare tale condizione di simmetria e quindi dovranno possede-re una eguale intensità, come schematicamente mo-strato dalla Figura 5.
1
2
3 F
F
F R
R
R Figura 5: Schema statico della struttura reciproca considerata (si è indicato F le forze di mutuo sostegno e con R le reazioni
vincolari).
Lo studio è quindi ricondotto all’analisi di una
delle 3 travi che compongono il sistema. La Figura 6 mostra le azioni che intervengono nell’equilibrio dell’asta 1. Le azioni di mutuo sostegno sono state indicate con la lettera F.
L
a
q
F F R
P
Figura 6: Schema statico della singola trave.
Eseguendo un equilibrio alla rotazione attorno al
vincolo di appoggio, si ottiene:
2
2 2
q L P LF
a a
⋅ ⋅= +
⋅ ⋅ (5)
mentre l’equilibrio in direzione verticale fornisce: R q L P= ⋅ + (6) In base a tali relazioni, le equazioni del momento
nei due campi della trave suddivisi dal carico P sono date dalle espressioni:
( )2
2s
s s
q xM q L P x
⋅= ⋅ + ⋅ − (7)
per il campo di sinistra e:
22
2 2 2d
d d
q xq L P LM x
a a
⋅⋅ ⋅= + ⋅ −
⋅ ⋅ (8)
per il campo di destra.
Per un valore di carico P relativamente maggiore al carico q, la sezione col momento massimo è quel-la direttamente caricata col carico concentrato. Per cui è possibile porre (unità in [m] e [kN]):
( )
( )
2
2
2
( )( )
20.1046 0.7
ss s
q xM q L P x
q L aq L P L a
P
⋅= ⋅ + ⋅ −
⋅ −= ⋅ + ⋅ − −
= + ⋅
(9)
Che eguagliato al valore di momento ultimo pre-
cedentemente ricavato, fornisce il carico a rottura:
( )5.71 0.10468.01
0.7P
−= = kN (10)
Tale valore, moltiplicato per il numero di travi di
cui è composta la struttura, fornisce un carico ultimo globale di:
8.01 3 24.0totP = ⋅ = kN (11)
Tale valore verrà considerato come riferimento per le successive analisi numeriche ad elementi finiti.
3 ANALISI PER ELEMENTI FINITI SOLIDI
La modellazione solida della struttura viene realizza-ta con lo scopo di indagarne in modo accurato la re-sistenza ultima ed escludere rotture localizzate nelle zone di mutuo sostegno o di appoggio. Per questo studio, si è utilizzato il codice ABAQUS, modellan-do ogni singola trave tramite elementi solidi di for-ma tetraedrica.
Figura 7: Rilievo dell’elemento trave considerato nelle analisi.
La geometria della trave, si basa su accurati rilie-
vi eseguiti dagli studenti del Prof. A. Pizzigoni sulle travi costruite per delle successive analisi sperimen-tali. I risultati di tali rilievi sono riassunti nella Figura 7.
Il modello numerico, successivamente sviluppato in ambiente ABAQUS, tiene conto di due tipi di non linearità presenti nella struttura caricata sino a carico ultimo. La non linearità di materiale, in quanto ogni materiale ha un legame costitutivo che si discosta dall’andamento elastico lineare per sforzi elevati e la non linearità di contatto in quanto le travi sono ap-poggiate le une sulle altre tramite un giunto a sfera.
Figura 8: Vista della geometria e della discretizzazione del modello ad un quarto di trave.
Per tenere in conto l’influenza della non linearità di materiale si utilizza il legame costitutivo “damage plasticity” presente nella libreria di ABAQUS. Tale legame è basato sulle teorie della plasticità e sulla meccanica del danneggiamento del calcestruzzo. Il modello assume che le due principali cause di mec-canismi di rottura siano la fessurazione per trazione e lo schiacciamento per compressione.
La non linearità di contatto viene modellata tra-mite l’utilizzo di una formulazione penalty function. Le superfici di contatto sono selezionate e suddivise in superfici master e superfici slave e l’analisi con-trollerà i movimenti relativi delle due superfici se-condo quanto definito dall’utente.
Il modello della trave è stato costruito utilizzando il modellatore solido interno di ABAQUS. In parti-colare, viene modellata solo un quarto della trave (
Figura 8) per poi ottenere il modello completo grazie allo sfruttamento delle simmetrie presenti.
Utilizzando lo specchiamento della discretizza-zione precedente, dal modello di un quarto di trave viene costruito il modello dell’intera struttura (Figura 9). Il modello così costruito possiede circa 400000 gradi di libertà. Il carico è schematizzato in tre zone del modello come un insieme di pressioni superficiali il cui valore aumenta sino a portare a rot-tura la struttura.
Figura 9: Vista della discretizzazione del modello.
Figura 10: Vista della deformata nell’istante di incipiente rottu-
ra.
Figura 11: Concentrazione della deformazione plastica
nell’istante di incipiente rottura.
Nelle zone di vincolo e nelle zone di mutuo so-stegno, è presente un giunto realizzato con una sfera di acciaio (Figura 14). Tale giunto è pensato con lo scopo di garantire la libertà dei movimenti rotatori del sistema e la facilità di montaggio della struttura. La sfera viene modellata in ABAQUS utilizzando la sua reale geometria e le caratteristiche del materiale acciaio.
L’analisi numerica fornisce un valore di carico ul-timo pari a 32.1 kN, di circa un 30% superiore al ca-rico valutato in via analitica nel paragrafo preceden-te. Tale incremento di resistenza è giustificabile dalla non perfetta planarità delle travi, che inducono un piccolo meccanismo ad arco e dalle ipotesi sem-plificative utilizzate per la valutazione analitica pre-cedente. La Figura 11 mostra la concentrazione del-la deformazione plastica nell’istante di incipiente rottura. Si noti come il danneggiamento interessa in modo equivalente tutte le travi del modello. La Figu-ra 12 riassume la curva carico - abbassamento di uno dei nodi caricati. Si nota un comportamento abba-stanza duttile, dovuto alle proprietà di rottura in tra-zione del calcestruzzo fibro-rinforzato, ed un abbas-samento finale di circa 8 mm.
0
5
10
15
20
25
30
35
-9-8-7-6-5-4-3-2-10
Spostamento del nodo caricato (mm)
Cari
co
P (
kN
)
Figura 12: Andamento della curva carico – spostamento per il
modello del nodo a 3 travi.
La Figura 13 mostra il particolare dell’appoggio sezionato lungo il piano verticale di simmetria della singola trave, in posizione indeformata e deformata. E’ possibile apprezzare la rotazione dell’elemento sulla sfera di acciaio.
Durante le analisi numeriche non sono state evi-denziate rotture locali nelle zone dei giunti, e le ten-sioni prodotte dall’appoggio a sfera si sono rivelate accettabili per il materiale in oggetto. Non sono stati rilevati nemmeno collassi strutturali dovuti alla fuori uscita della sfera dalla sua sede per rotazioni delle travi sotto carico. La struttura, in tutte le analisi ese-guite, ha mostrato sempre una rottura a flessione del tipo precedentemente descritto.
Figura 13: Particolare della rotazione della trave sulla sfera di estremità. Il alto in posizione non deformata, in basso in posi-
zione deformata.
4 MODELLI A PLASTICITÀ CONCENTRATA
Le analisi per elementi finiti riportate nel paragrafo precedente, risultano essere molto accurate ma ri-chiedono un dispendio di energia computazionale notevole. Strutture con un numero di travi superiori a 4 sono poco gestibili per via del tempo di analisi richiesto.
Tramite i risultati delle analisi preliminari e delle analisi ad elementi finiti solidi si può però tarare dei modelli a non linearità concentrata (cerniere plasti-che), costituiti da elementi finiti di tipo trave. In que-sto tipo di modellazione tutti gli elementi rimangono in campo elastico, mentre le non linearità vengono introdotte mediante l’inserimento di cerniere con comportamento anelastico, dove si prevede che si
formino le cerniere plastiche. Questo tipo di analisi può essere, ad esempio, sviluppato tramite il codice di calcolo SAP2000.
Figura 14: Valori caratterizzanti la non linearità concentrata.
In base alle informazioni relative sul comporta-
mento non lineare della singola trave, viene analiz-zato il comportamento di una trave avente una cer-niera plastica sotto il punto di carico, con le caratteristiche riportate in Figura 14.
In Figura 15 viene riportato il modello geometri-co del nodo a 3 travi. Tale modello prevede la for-mazione di 3 cerniere plastiche nelle posizioni di mutuo sostegno, ove sono anche applicate le forze di carico.
Figura 15: Modello a trave e non linearità concentrate della
struttura reciproca analizzata.
A rottura, le 3 cerniere plastiche si formano con-
temporaneamente e l’analisi fornisce la curva carico spostamento rappresentata in Figura 16 come curva continua. La curva tratteggiata rappresenta l’analisi precedentemente eseguita con ABAQUS ed elementi finiti solidi.
Si noti la buona approssimazione fornita dal mo-dello ad elementi finiti di trave e non linearità con-centrata che a fronte di un notevole risparmio com-putazionale (pochi secondi contro alcune ore) fornisce un carico ultimo di circa 9% inferiore a quello valutato tramite l’analisi con elementi finiti solidi.
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-9-8-7-6-5-4-3-2-10
Spostamento del nodo caricato (mm)
Cari
co
P (
kN
)
Figura 16: Confronto tra la risposta del modello ad elementi fi-niti solidi (curva tratteggiata) e la risposta del modello ad ele-menti finiti di trave e non linearità concentrata (curva conti-
nua).
In Figura 17 viene riportato il modello geometri-
co di una copertura realizzata con 9 travi a mutuo sostegno. Tale struttura, la cui analisi per elementi finiti solidi risulterebbe non praticabile, è stata ana-lizzata con elementi finiti di trave e non linearità concentrate. In tale modello si prevede a rottura la formazione di 6 cerniere plastiche nelle posizioni di mutuo sostegno, ove sono anche applicate le forze di carico.
Figura 17: Modello ad elementi finiti di trave di una copertura
realizzata con 9 travi a mutuo sostegno.
Figura 18: Vista del modello deformato della copertura, i palli-
ni indicano la formazione delle cerniere plastiche.
La Figura 18 mostra la deformata ultima della
struttura con la posizione delle cerniere plastiche. Data la particolare simmetria strutturale e di carico, le sei cerniere plastiche si formano tutte in due mo-menti. Prima si ha la formazione delle tre cerniere interne ed in seguito le tre cerniere esterne portano alla labilità la struttura.
La Figura 19 mostra la risposta in termini di cur-va carico spostamento del modello. Si nota che la curva è composta da tre andamenti lineari raccordati da punti angolosi. Tali punti rappresentano i due momenti di formazione delle cerniere plastiche. Si noti di nuovo, che tale analisi eseguita con elementi finiti di trave porta ad un investimento computazio-nale irrisorio, pur mantenendo una buona approssi-mazione sul comportamento a rottura della struttura.
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-20-18-16-14-12-10-8-6-4-20
Spostamento del nodo caricato (mm)
Cari
co
P (
kN
)
Figura 19: Risposta in termini di curva carico spostamento del modello ad elementi finiti di trave e non linearità concentrata.
5 CONCLUSIONI
Le strutture reciproche rappresentano sicuramente una proposta architettonica valida ed originale le cui basi filosofiche si perdono nel passato. Ciò non di meno, per la loro intrinseca possibilità di essere smontate e per la possibilità di essere costituite da moduli facilmente prefabbricabili, rappresentano una scelta moderna ed innovativa laddove vi sia la ne-cessità di utilizzare una copertura provvisoria di grande impatto architettonico.
Strutturalmente, tali strutture rappresentano anco-ra oggi un campo di studio per le problematiche ine-renti al loro comportamento, alla loro ottimizzazione e alla sicurezza strutturale.
In questo lavoro, si è analizzata una semplice struttura reciproca costituita da tre travi in mutuo so-stegno, utilizzando un approccio sia analitico che numerico. Con i risultati ottenuti sono stati opportu-namente tarati i parametri che caratterizzano il com-portamento delle cerniere plastiche in modelli a non linearità concentrata e si è mostrato come tali model-
li riescano a riprodurre i risultati, in termini di carico ultimo, di modellazioni assai più raffinate basate su elementi finiti solidi. Il guadagno computazionale che ne deriva, permette di poter analizzare schemi di strutture a molte travi e quindi di poter estendere lo studio a coperture di maggiori dimensioni. Riman-gono tuttavia da approfondire le tematiche riguar-danti l’ottimizzazione del materiale e della sezione, nonché il problema di robustezza strutturale legato al cedimento progressivo della struttura per il collasso di un singolo nodo. Tale tematica potrebbe portare alla realizzazione di un nodo differente, rispetto a quello a sfera analizzato, la cui progettazionedo-vrebbe comunque garantire la caratteristica di smon-tabilità propria di questo sistema costruttivo.
RINGRAZIAMENTI
Gli autori desiderano ringraziare il Prof. Paolo Riva e l’Ing. Luca Prandini per la guida ed i preziosi sug-gerimenti forniti durante lo studio e le analisi tramite il codice di calcolo ABAQUS. Un ringraziamento è rivolto alla società Italcementi che ha finanziato la ricerca.
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