PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU

PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU

BÁO CÁO ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG

Chủ nhiệm đề tài: Huỳnh Thanh Toàn

TP Hồ Chí Minh - 2017

.

1 / 24

Tổng quan đề tài

Khái niệm bình phương cực tiểu bắt nguồn từ công trình tiên phongcủa Gauss và Legendre trong khoảng đầu thế kỷ 19. Bình phương cựctiểu được sử dụng nhiều trong thống kê hiện đại và mô hình toánhọc.

Các bài toán có nhu cầu sử dụng phương pháp bình phương cực tiểu:giải hệ phương trình, tìm đường cong phù hợp nhất ứng với dải dữ liệucho trước (curve fitting), tìm phương trình hồi quy trong thống kê ...

2 / 24


Bài toán giải hệ phương trình tuyến tính Ax = b với A ∈ Rm×n,b ∈ Rm, x ∈ Rn. Trường hợp Ax = b vô nghiệm

+ Phương pháp khử Gauss không đưa ra nghiệm chính xác.

+ Phương pháp thay thế: tìm x ∈ Rn sao cho x là gần nhất để trởthành nghiệm theo nghĩa khoảng cách Euclide, tức là ‖Ax − b‖2 nhỏnhất. Nghiệm x trong trường hợp này được gọi là nghiệm bìnhphương cực tiểu (least squares solution), xem [3].

3 / 24


Bài toán giải hệ phương trình tuyến tính Ax = b với A ∈ Rm×n,b ∈ Rm, x ∈ Rn. Trường hợp Ax = b vô nghiệm

+ Phương pháp khử Gauss không đưa ra nghiệm chính xác.

+ Phương pháp thay thế: tìm x ∈ Rn sao cho x là gần nhất để trởthành nghiệm theo nghĩa khoảng cách Euclide, tức là ‖Ax − b‖2 nhỏnhất. Nghiệm x trong trường hợp này được gọi là nghiệm bìnhphương cực tiểu (least squares solution), xem [3].

3 / 24


Bài toán tìm đường cong khớp nhất với dữ liệu cho trước.

Giả sử với dữ liệu (ti , yi )i=1..m, ta cần tìm đường cong g(xj , t)j=1..n

sao cho g(ti ) ≈ yi . Đặt χ2 =

m∑i=1

[yi − g(xj , ti )]2, phương pháp bình

phương cực tiểu là tìm các tham số xj sao χ2 là bé nhất.

Bài toán tìm phương trình hồi quy trong thống kê

4 / 24


Bài toán tìm đường cong khớp nhất với dữ liệu cho trước.

Giả sử với dữ liệu (ti , yi )i=1..m, ta cần tìm đường cong g(xj , t)j=1..n

sao cho g(ti ) ≈ yi . Đặt χ2 =

m∑i=1

[yi − g(xj , ti )]2, phương pháp bình

phương cực tiểu là tìm các tham số xj sao χ2 là bé nhất.

Bài toán tìm phương trình hồi quy trong thống kê

4 / 24

Các định nghĩa và định lý

Giả sử A ∈ Rm×n, b ∈ Rm, x ∈ Rn

Định nghĩa 1. (Hệ không nhất quán (inconsistent))

Hệ Ax = b không có nghiệm gọi là hệ không nhất quán.

Định nghĩa 2. (Nghiệm bình phương cực tiểu (least squaressolution))

Nghiệm x của hệ không nhất quán Ax = b thỏa ‖Ax − b‖2 nhỏ nhấtgọi là nghiệm bình phương cực tiểu.

5 / 24


Giả sử F : Rn → R, f : Rn → Rm và fi : Rn → R

Định nghĩa 3. (Bài toán bình phương cực tiểu (least squaresproblem))

Bài toán bình phương cực tiểu là bài toán tìm điểm cực tiểu địa

phương x∗ của F (x) = 12

m∑i=1

[fi (x)]2, trong đó fi : Rn → R là hàm

cho trước và m > n.

Định nghĩa 4. (Điểm cực tiểu địa phương (local minimizer))

Cho số dương nhỏ δ và hàm số F (x). Điểm x∗ gọi là điểm cực tiểuđịa phương của F (x) nếu F (x∗) 6 F (x), ∀x thỏa ‖x − x∗‖ < δ.

6 / 24


Định nghĩa 5. (Điểm dừng (stationary point))

Điểm xs gọi là điểm dừng của F (x) nếu F ′(xs) = 0.

Định nghĩa 6. (Ma trận xác định dương (positive definite matrix))

Ma trận đối xứng M ∈ Rn×n gọi là

+ Xác định dương nếu xTMx > 0, ∀x ∈ Rn, x 6= 0.

+ Nửa xác định dương (positive semidefinite) nếu xTMx > 0,∀x ∈ Rn, x 6= 0.

7 / 24


Định nghĩa 7. Gradient của F là

F ′(x) =

(∂F

∂xj(x)

)=

∂F1

∂x1(x)

...

∂F

∂xn(x)

.

Định nghĩa 8. Ma trận Hessian của F là

F ′′(x) =

(∂2F

∂xi∂xj(x)

)Định lý 1. Nếu x∗ là một điểm cực tiểu địa phương của F (x) thìF ′(x∗) = 0.

Định lý 2. Nếu x là điểm dừng của F (x) và F ′′(x) xác định dươngthì x là một cực tiểu địa phương của F (x) .

8 / 24

Nghiệm bình phương cực tiểu của hệ không nhất quán

Xét hệ phương trình không nhất quán Ax = b

Định lý 3. (Nghiệm bình phương cực tiểu)

Đặt S = {x ∈ Rn, ‖b − Ax‖2 → min} và rx = b − Ax . Khi đóx ∈ S ⇔ AT rx = 0

Chứng minh

(i) AT rx = 0⇒ x ∈ S

(ii) x ∈ S ⇒ AT rx = 0

Kết quả từ định lý 3: nghiệm bình phương cực tiểu của Ax = b lànghiệm x thỏa AT rx = 0. Khi đó

AT rx = 0⇔ AT (Ax − b) = 0⇔ ATAx = ATb

9 / 24

Phương pháp đạo hàm cho bài toán bình phương cực tiểu

1. Xấp xỉ bởi hàm tuyến tính

Giả sử g(xj , t) = α + βt là hàm cần tìm, trong đó (x1, x2) = (α, β).

Đặt G (x) =m∑i=1

[α + βti − yi ]2. Khi đó (α, β) được tìm từ hệ

∂G

∂α= 0

∂G

∂β= 0⇔

mα +

(m∑i=1

ti

)β =

m∑i=1

yi(m∑i=1

ti

)α +

(m∑i=1

t2i

)β =

m∑i=1

yi ti

10 / 24


2. Xấp xỉ bởi hàm bậc 2

Giả sử g(xj , t) = α + βt + γt2 là hàm cần tìm, trong đó(x1, x2, x3) = (α, β, γ).

Đặt G (x) =m∑i=1

[α + βti + γt2

i − yi]2. Khi đó (α, β, γ) được tìm từ

hệ

∂G

∂α= 0

∂G

∂β= 0

∂G

∂γ= 0

⇔

mα +

(m∑i=1

ti

)β +

(m∑i=1

t2i

)γ =

m∑i=1

yi(m∑i=1

ti

)α +

(m∑i=1

t2i

)β +

(m∑i=1

t3i

)γ =

m∑i=1

yi ti(m∑i=1

t2i

)α +

(m∑i=1

t3i

)β +

(m∑i=1

t4i

)γ =

m∑i=1

yi t2i

11 / 24


3. Xấp xỉ bởi hàm mũ

Giả sử g(xj , t) = CeAt là hàm cần tìm, trong đó (x1, x2) = (C ,A).Khi đó ln g(xj , t) = lnC + At

Đưa về bài toán tìm hàm xấp xỉ tuyến tính g(xj , t) = α + βt, trongđó x = (α, β) = (lnC ,A)

12 / 24

Phương pháp Gauss-Newton cho bài toán bình phương cực

tiểu

Giả sử f : Rn → Rm, (m > n) là hàm liên tục, khả vi cấp 2 và hàmF : Rn → R thỏa

F (x) =1

2

m∑i=1

[fi (x)]2 =1

2‖f (x)‖2 =

1

2f T (x)f (x)

Thuật toán Gauss-Newton tìm nghiệm bình phương cực tiểu

(i) Tính ma trận Jacobian J(x) của f và tìm hgn từ hệ phương trìnhtuyến tính

JT Jhgn = −JT f

(ii) Bước lặp x = x + hgn .

13 / 24

Các bài toán áp dụng

Bài toán 1. Tìm hàm tuyến tính và hàm bậc hai khớp nhất với các dữliệu về độ lệch nhiệt độ trung bình toàn cầu từ năm 1991-2000 được chonhư bảng sau (xem [4])

14 / 24


Dùng phương pháp đạo hàm. (ti , yi ) là dữ liệu cho trước.g1(t) = 0.123 + 0.034t. g2(t) = −0.4078 + 0.2997t − 0.0241t2.

15 / 24


Bài toán 2. Tìm đường cong khớp nhất với dải dữ liệu có chu kỳ về nhiệtđộ ghi nhận được ở Washington ngày 1/1/2001 được cho như bảng sau(xem [3])

16 / 24


Dùng phương pháp giải hệ Ax = b với mô hìnhg(xj , t) = x1 + x2 cos 2πt + x3 sin 2πt. Kết quả thu đượcg(t) = −1.95− 0.7445 cos 2πt − 2.5594 sin 2πt

17 / 24


Bài toán 3. Tìm đường cong khớp nhất với dải dữ liệu về chiều cao vàtrọng lượng trung bình của bé trai từ 2-11 tuổi được ghi nhận bởi trungtâm kiểm soát dịch bệnh (Centers for Disease Control, CDC) năm 2002như sau (U.S. National Health and Nutrition Examination Survey) (xem[3])

18 / 24


Dùng phương pháp giải hệ Ax = b với mô hình

+ Mô hình 1: g1(xj , t) = αeβt . Kết quả thu được g1(t) = 2.0907e2.0553t

+ Mô hình 2: g2(xj , t) = αtβ. Kết quả thu được g2(t) = 16.3044t2.4199

19 / 24


Bài toán 4. Tìm đường cong khớp nhất với dải dữ liệu mô tả số lượng ôtô hoạt động trên thế giới từ năm 1950 đến 1980 (xem [3])

20 / 24


Dùng phương pháp Gauss-Newton sau 5 bước lặp với điều kiện ban đầu(x1, x2) = (50, 0.1) và mô hình g(xj , t) = x1e

x2t

21 / 24

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Ake Bjorck, Numerical Methods for Least Squares Problems, SIAM,1996.

[2] K. Madsen, H.B. Nielsen, O. Tingleff, Methods for Non-linear LeastSquares Problems, Informatics and Mathematical Modelling TechnicalUniversity of Denmark.

[3] Timothy Sauer, Numerical Analysis, George Mason University.

[4] Kap, The Methods of Least Squares, lectures INF2320.

[5] Stephen Boyd, Least Squares, EE103 Stanford University.

XIN CÁM ƠN QUÝ THẦY CÔ

22 / 24

Phụ lục về phương pháp Gauss-Newton

Giả sử f : Rn → Rm, (m > n) là hàm liên tục, khả vi cấp 2 và hàmF : Rn → R thỏa

F (x) =1

2

m∑i=1

[fi (x)]2 =1

2‖f (x)‖2 =

1

2f T (x)f (x) (1)

Ta có

Ma trận Jacobian của f : J(x) =(∂fi∂xj

(x))ij

Gradient của f : F ′(x) = JT (x)f (x)

Khai triển Taylor của f :

f (x + h) = f (x) + J(x)h + O(‖h‖2) (2)

23 / 24

Phụ lục về phương pháp Gauss-Newton

Từ (1) và (2) ta có

f (x + h) ≈ l(h) = f (x) + J(x)h (3)

F (x + h) ≈ L(h) = F (x) + hT JT f +1

2hT JT Jh (4)

Gradient và Hessian của L: L′(h) = JT f + JT Jh, L′′(h) = JT J

Gọi hgn là điểm dừng của L, ta có L′(hgn) = 0. Khi đó

JT Jhgn = −JT f (5)

L′′(h) = JT J là ma trận đối xứng, xác định dương nên hgn là cực trịđịa phương. Từ (5) ta có

hTgnJT f = −hTgnJT Jhgn < 0 (6)

Thay (6) vào (4) ta được F (x + hgn) ≈ F (x)− 12h

TgnJ

T Jhgn

24 / 24

Health & Medicine

PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU