Fungsi Eksponen

Nama : Titah Arsy Istawa

Kelas: X MIA 4

Fungsi Eksponen

f : x a˟ atau y = f(x) = a˟

•Fungsi eksponen dengan bilangan pokok atau basis α adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum :

Beberapa hal yang perlu diperhatikan pada fungsi eksponen y = f(x) = a˟.

• a disebut bilangan pokok atau basis, dengan ketentuan:

a > 0 dan a ≠ 1 (0 < a < 1 atau a > 1)

• Himpunan dari semua bilangan x disebut daerah asal atau domain fungsi f, ditulis Df = {x | x є R}

• Himpunan dari semua bilangan y disebut daerah hasil atau range fungsi f, ditulis Wf = {y | y > 0 dan y є R}

Grafik Fungsi Eksponen

Menggambar Grafik Fungsi Eksponen dengan

Basis a > 1

Berdasarkan grafik fungsi eksponen diatas, kita

dapat mengetahui beberapa sifat fungsi eksponen y = f(x) = 2˟ sebagai berikut.

1. Fungsi eksponen y = f(x) = 2˟ adalah fungsi

monoton naik, sebab semakin besar nilai x maka besar pula nilai y = 2˟. Dapat ditulis: x2 >

x1 = 2˟² > 2˟¹.

2. Grafik fungsi eksponen y = f(x) = 2˟ memotong

sumbu Y di titik (0,1).

3. Grafik fungsi eksponen y = f(x) = 2˟ tidak pernah

memotong sumbu X. Sumbu X bertindak

sebagai asimtot datar.

Menggambar Grafik Fungsi Eksponen dengan

Basis 0 < a < 1

Berdasarkan grafik fungsi eksponen diatas,

dapat kita ketahui.

1. Fungsi eksponen y = f(x) = (½)˟ adalah fungsi

monoton turun, sebab semakin kecil nilai x maka semakin kecil pula nilai y = ½˟ , dapat

ditulis: x2 > x1 = (½)˟² < (½)˟¹.

2. Grafik fungsi eksponen y = f(x) = (½)˟

memotong sumbu Y di titik (0,1).

Persamaan Eksponen

Perhatikan persamaan-persamaan berikut ini.

1.2x+1 = 1

2.5x2-2x = 5x

3. (x2-3x+1)x+3 = (x2-3x+1)X-6

Persamaan eksponen diatas memiliki bilangan pokok atau bagian eksponen yang mengandung peubah x. Persamaan-persamaan tersebut disebut persamaan eksponen

Persamaan eksponen adalah bentuk persamaan bilangan berpangkat (eksponen) di mana eksponennya mengandung variabel x. Dalam persamaan eksponen, dimungkinan bilangan basisnya juga mengandung variabel x

• Berikut ini beberapa macam bentuk persamaan eksponen disertai cara menentukan penyelesainnya.

Bentuk af(x) = ap

Jika af(x) = ap ( a > 0 dan a ≠ 1), maka f(x) = p

Contoh soal :

1. 3x-4 = 1 2. 42x-1 = 1

8

3x-4 = 3o 22(2x-1) = 2-3

x – 4 = 0 2(2x-1) = -3

x = 4 4x = -1

x = -1

4

Bentuk af(x) = ag(x)

Jika af(x) = ag(x) ( a > 0 dan a ≠ 1), maka f(x) = g(x)

Contoh soal :

1. (1

2)x2-4x-2 = 4x-2

2-(x2-4x+1) = 22(x-2)

-x2+4x-1 = 2x – 4

X2 - 2x-3 = 0

(x-3) (x+1) = 0

x = 3 dan x = -1

Jadi, himpunan penyelesainnya adalah {-1,3}

Bentuk af(x) = bf(x)

Jika af(x) = bf(x) (a > 0 dan a ≠ 1, b > 0 dan b ≠ 1,

dan a ≠ b), maka f(x) = 0

Contoh soal :

1. 23x-6 = 33x-6 2. 65x-5 = 85x-5

3x – 6 = 0 5x – 5 = 0

x = 2 5(x – 1) = 0

Jadi, HP={2} x = 1

Jadi, HP={1}.

Bentuk {h(x)}f(x) = {h(x)}g(x)

Jika {h(x)}f(x) = {h(x)}g(x), maka kemungkinannya

adalah

a. f(x) = g(x)

b. h(x) = 1

c. h(x) = 0, asalkan f(x) dan g(x) bernilai positif

d. h(x) = -1, asalkan f(x) dan g(x) keduanya ganjil

atau f(x) keduanya genap

Contoh soal :

1. (x2-3x+1)2x-1 = (x2-3x+1)x+5

dengan keterangan :

h(x) = x2-3x+1, f(x) = 2x-1, dan g(x) = x+5

a) f(x) = g(x) b) h(x) = 1

2x-1= x+5 x2-3x+1 = 1

x = 6 x2-3x = 0

x(x-3) = 0

x = 0 atau x = 3

c) h(x) = 0

x2-3x+1 = 0

X = 1

2(3+ 5) atau x =

1

2(3- 5), dengan memakai

rumus kuadrat.Kedua nilai tersebut harus diuji

dengan mensubtitusikan ke dalam f(x) dan g(x)

i. Untuk x =1

2(3+ 5)

f(x) = f(1

2(3+ 5)) = 2{

1

2(3+ 5) – 1 = 2 + 5 > 0

g(x) = g (1

2(3+ 5)) =

1

2(3+ 5) + 5 =

1

2(13+ 5) > 0

Jadi, x = 1

2(3+ 5) merupakan penyelesaian

ii. Untuk x = 1

2(3- 5)

f(x) = f(1

2(3- 5)) = 2{

1

2(3- 5)} – 1 = 2 - 5 < 0

g(x) = g(1

2(3- 5)) =

1

2(3- 5) + 5 =

1

2(13- 5) > 0

Tampak bahwa f(x) < 0 dan g(x) > 0 untuk x =1

2(3- 5).

Jadi, x = 1

2(3 - 5) bukan penyelesaian.

d) h(x) = -1

x2-3x+1 = -1

x2-3x+2 = 0

(x – 1) (x – 2) = 0

x = 1 atau x = 2

Kedua nilai x ini juga harus diuji dengan cara

mensubtitusikan ke dalam f(x) dan g(x).

i. Untuk x = 1

f(x) = f(1) = 2(1) – 1 = 1 , berarti f(x) ganjil

g(x) = g(1) = 1 + 5 = 6 , berarti g(x) genap

Tampak bahwa f(x) ganjil dan g(x) genap untuk x

= 1.

Jadi, x = 1 bukan penyelesaian.

ii. Untuk x = 2

f(x) = f(2) = 2(2) – 1 = 3 , berarti f(x) ganjil

g(x) = g(2) = 2+5 = 7 , berarti g(x) ganjil

Tampak bahwa f(x) dan g(x) keduanya ganjil

untuk x = 2.

Jadi, x = 2 merupaka penyelesaian

Jadi, hp={0,2,3,1

2(3+ 5), 6}

Bentuk A{af(x)}2 + B{af(x)} + c = 0

Jika A{af(x)}2 + B{af(x)} + c = 0 ( a > 0 dan a ≠ 1, A,B<

dan C bilangan real dan A ≠ 0 )

Contoh soal :

1. 22x – 12 ∙ 2x + 32 = 0

(2x)2 – 12 ∙ (2x) + 32 = 0

(Misalkan 2x = y)

y2 – 12y + 32 = 0

(y – 4) (y – 8) = 0

y = 4 atau y = 8

i. Untuk y = 4 ii. Untuk y = 8

2x = 4 2x = 8

2x = 22 2x = 23

x = 2 x = 3

Jadi, hp = {2, 3}

Pertidaksamaan Eksponen

Perhatikan pertidaksamaan berikut ini.

• 2x-1 ≤ 43x-2

• 35x-4 > 32x-1

Pertidaksamaan seperti diatas adalah contoh

pertidaksamaan eksponen.

Pertidaksamaan eskponen adalah pertidaksamaan yang eksponennya mengandung variabel x, dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung variabel x.

Contoh soal :

1. (1

2)x+1 > (

1

4)2x+4

(1

2)x+1 > (

1

2)4x+8

x + 1 < 4x + 8

3x > -7

x > -7

3

Jadi, penyelesainnya adalah x > -7

3

2. 5-2x+2 + 74 ∙ 5-x - 3 ≥ 0

52(5-x)2 + 74 ∙ (5-x) – 3 ≥ 0

25(1

5x)2 + 74 ∙ (

1

5)x - 3 ≥ 0

Misalkan (1

5)x = y

25y2 + 74y - 3 ≥ 0

25y2 + 75y - y - 3 ≥ 0

25y(y+3) – 1 (y + 3) ≥ 0

(y+3)(25y – 1) ≥ 0

y ≤ -3 atau y ≥ 1

25

i. Untuk y ≤ -3 ii. Untuk y ≥ 1

25

(1

5)x ≤ -3, tidak ada nilai x (

1

5)x ≥

1

25

Yang memenuhi. (1

5)x ≥ (

1

5)2

x ≤ 2

Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan 5-2x+2 + 74

∙ 5-x - 3 ≥ 0 adalah x ≤ 2.