アルゴリズムイントロダクション第2章

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2010年CS勉強会

2010年CS勉強会：アルゴリズムイントロダクション

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本章の目的

 「アルゴリズムの設計と解析ってどうやるの？？」って人が大まかな流れ、やり方をつかむ。

 簡単なソートでまずはやり方を覚えようってこと

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第２章の内容

 ソートアルゴリズム - 挿入ソート

- マージソート

 アルゴリズムの正当性 - ループ不変式

 アルゴリズムの実行時間

- Θ記法

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今回は実行時間に違いが現れるこの二つ。



挿入ソート

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（まあ、いまさらだろうけど。。）左から順に挿入しながらソートしていく



擬似コード

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procedure Insertion-Sort(A) 　for j ← 2 to length[A] 　　do key ← A[j] 　　　i←j−1 　　　while i > 0 and A[i] > key 　　　　　do A[i+1] ← A[i] 　　　　　i←i−1 　　　A[i+1] ← key

2 5 4 6 1 3 1 2 3 4 5 6 配列1から

j

length[A]

i



アルゴリズム作成後の手順

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(1)正当性の検証

(2)実行時間を求める

まずはこっちから

本当にそのアルゴリズムは正しいの？そのアルゴリズムは有益なの？



挿入ソートの正当性

 ループ不変式を用いて正当性を示す

 ループ不変式 -  A[1...j-1]に格納されているカードはソートされている→ループ不変式として定式化

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2 5 4 6 1 3

A[1...j-1]

j

ループ中常にソートされている



ループ不変式を用いたアルゴリズム正当性の示し方

 ループ不変式に対して３つの性質を示す - 初期条件

- ループの実行開始直前でループ不変式が真

- ループ内条件 - ループの何回目かの繰り返しの直前でループ不変式が真ならば、次の繰り返しの直前でも真

- 終了条件 - ループが終了した時、アルゴリズムの正当性証明を手助けする有力な情報(今回の場合は配列がソートされていること)が不変式から得られる。

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この二つが成り立てばすべてのループの繰り返しでループ不変式が真

終了時に有力な情報が得られないと意味がない



ループ不変式でアルゴリズムの正当性を示す

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　for j ← 2 to length[A] 　　do key ← A[j] 　　　i←j−1 　　　while i > 0 and A[i] > key 　　　　　do A[i+1] ← A[i] 　　　　　i←i−1 　　　A[i+1] ← key

初期条件 J=2 つまりA[1]のみよってA[1..j-1]はソートされているループ内条件 A[j]の入れるべき所を探し、見つかるまでA[j-1],A[j-2]...をひとつづつ右にずらし、最後にA[j]を挿入。各繰り返しでループ不変式が成立(A[1..j-1]はソートされている)

2 5 4 6 1 3

A[1...j-1]

j

ループ中常にソートされている



ループ不変式でアルゴリズムの正当性を示す

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終了条件 j=n+1 つまり A[1..j-1]=A[1..n]はソートされている! よって配列全体がソートされており、アルゴリズムは正当である

1 2 3 4 5 6

A[1...j-1]=A[1..n]

j=n+1



アルゴリズム作成後の手順

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(1)正当性の検証

(2)実行時間を求める

次はこっち。。

本当にそのアルゴリズムは正しいの？そのアルゴリズムは有益なの？



アルゴリズムの実行時間を求める

 実行時間には下記のようなものがある - 最悪時の実行時間

- 最良時の実行時間

- 平均実行時間：(確率論が必要で５章で解説)

 通常最悪の場合を考慮すべし！ - 最悪になる場合が良くあるから(例えば、DB検索のアルゴリズムで検索結果がDBになかったときとか)

- 最悪の場合を考えておけば、それ以上悪くなることを懸念しなくてすむ

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n n-1 n-1

n-1 tj というのは挿入する場所を探す回数 (ループ毎に異なる)

2 5 4 6 1 3 1 2 3 4 5 6

j

n個

i

ループ判定は本体より一回多くなる

実行回数

各行の実行回数とその各実行時間が出れば、全体の実行時間は求まる！




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n n-1 n-1

n-1

実行回数

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7

コスト

実行時間T(n)

つまり、　　　　　が決まれば求めることができる。　　　　　は




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実行時間T(n)

　　　　　挿入する場所を探す回数 (ループ毎に異なる)

[最悪の場合] 毎回i=0までソートされる tj=i

5 6 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6

j

i

最悪の場合逆順で並んでいる

上記の式に代入重要なのは実行時間の増加率



ソートアルゴリズム

 挿入ソート - 逐次添加法

- 部分列を整列した後、一つの要素を新しい場所に挿入することによってソートされた部分列を得る

 マージソート - 分割統治法

- 問題をいくつかの部分問題に分割し、部分問題を再帰的に解く - 特徴として再帰的なアルゴリズムとなる

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マージの動作

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番兵



マージの擬似コード

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2 4 5 7 ∞ 1 2 3 4 5

i

1 2 3 6 ∞ 1 2 3 4 5

j

L R

2 4 5 7 1 2 A 3 6

n1 n2

r p q

1 2 2 3 4 2 A 3 6

k

r p q



マージの正当性

 ループ不変式 - Aには、L と R の要素中で小さい方から k − p 個がソートされて入っている

- L[i] と R[j] は、L と R でまだ A に書き戻されていない要素のなかでそれぞれ最小要素である

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2 4 5 7 ∞ 1 2 3 4 5

i

1 2 3 6 ∞ 1 2 3 4 5

j

L R

1 2 2 3 4 2 A 3 6

k

r p

最小要素最小要素

ソートされて入っている




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初期条件 k=p つまりA[p..k-1]は空 i=j=1であるのでL,Rは最小の配列要素。よってループ不変式は真ループ内条件 L[i]<=R[j]と仮定 L[i]がAに戻されていない要素で最小。 L[i]をA[k]にコピーした後にもソートは成り立つ。iとkが１づつインクリメントされるのでL[i],R[j]が最小要素になることも成立。逆も同じ

2 4 5 7 ∞ 1 2 3 4 5

i

1 2 3 6 ∞ 1 2 3 4 5

j

L R

1 2 2 3 4 2 A 3 6

k

r p






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終了条件 k=r+1 つまりA[p..k-1]=A[p..r]はソートされている! よって二つの整列した配列からのマージアルゴリズムの正当性は示された

実行時間「2 つの配列の先頭から小さい方を取る」を n回(n1+n2回)繰り返す: Θ(n)

2 4 5 7 ∞ 1 2 3 4 5

i

1 2 3 6 ∞ 1 2 3 4 5

j

L R

1 2 2 3 4 2 A 3 6

k

r p





マージソート

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ソート列

初期配列

さっきのMERGEを利用してソート



マージソートの正当性

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配列 A の添字 p から r までをソートする p r

/* (終了条件) */

A



分割統治アルゴリズムの実行時間

- 問題を a 個の部分問題に分割し、サイズを 1/b にした時

-  If n <= c とは問題サイズが十分に小さい時

-  D(n): 分割にかかる時間 -  C(n): 結合にかかる時間

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結合分割統治



マージソートアルゴリズムの実行時間

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T(n) = aT(n/b) + D(n) + C(n)

T(n) = 2T(n/2) + Θ(1) + Θ(n)　　　 if n > 1 =Θ(1)　　　　　　　　　　　　　　 if n = 1

問題を 2 個に分割し、サイズが 1/2 になるので a = b = 2

Merge には Θ(n) 時間かかる

部分列の中央を計算するだけなので D(n) = Θ(1)

結合分割統治

これを一般的に解くのは４章で行う。ここではもっと直感的に解く方法を行う。




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最上位レベルの実行時間はcn(マージにかかる時間)




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深さがlog2nとなる！



まとめ

 アルゴリズムを書いた時に下記ができると思えればOKかな？ - ループ不変式を使用して正当性を示す

- 実行時間を求める

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Technology

アルゴリズムイントロダクション 第2章

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