View
2.553
Download
4
Category
Preview:
Citation preview
GEOMETRÍA
Página 1
LA CIRCUNFERENCIA
Uno de los grandes descubrimientos de la humanidad
ha sido la rueda .En la antigüedad , este instrumento
fue un elemento fundamental en los grandes
construcciones en el transporte y la fabricación de
diversos objetos .
1.- DEFINICIÓN : La Circunferencia es el conjunto de
puntos que están en un mismo plano y que equidistan
de otro punto fijo del mismo plano llamado centro.
La circunferencia es el lugar geométrico de aquellos
puntos equidistantes de otro fijo llamado centro y que
se encuentran en un mismo plano
2.- ELEMENTOS:
Centro : “O”
Diámetro : AB
Radio : OB y OD
Arco :
Cuerda : MN
Flecha o sagita : RK
R. Secante : CD
R. Tangente: TS
Pto. de Tangencia: T
3.- CÍRCULO: Es la porción del plano limitado por una
circunferencia. La circunferencia y el círculo están
íntimamente ligados tal que, los elementos de uno le
corresponden al otro.
4.- POSICIÓN RELATIVA DE DOS CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO: ( d = distancia entre los centros ) Circunferencias Exteriores :
Circunferencias Interiores : Circunferencia Concéntricas : Circunferencias Tangentes Interiores : Circunferencias Tangentes Exteriores : Circunferencias ortogonales:
K
R
N
M
B
A
O
D
C
T
S
r
r
BD
R r
d
d > R + r
R
r
d d < R –r
rr
R r d = 0
R
d r d = R – r
R r
d
d = R + r
O
R
O1
r
12OO = R
2 + r
2
GEOMETRÍA
Página 2
Circunferencias secantes:
PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE TODA CIRCUNFERENCIA
1. En toda circunferencia a cuerdas congruentes
le corresponde arcos congruentes .
Si AB = CD
Entonces:
=
2. En toda circunferencia, cuerdas paralelas
determinan que los arcos comprendidos entre dicha
paralelas sean congruentes.
Si BC // AD
Entonces:
=
3. El radio correspondiente al punto del contacto es
perpendicular a la tangente.
OT L
4. En una circunferencia todo diámetro
perpendicular a una cuerda, biseca a dicha cuerda y a
los arcos respectivos.
MN = diámetro
Si: MN AB
Entonces:
m = m
AO = OB
5. Si por un punto exterior a una circunferencia
se trazan segmentos de tangente, entonces se cumple
que dichos segmentos son congruentes.
5.- ÁNGULO EN LA CIRCUNFERENCIA:
ANGULO CENTRAL :
Se llama ángulo central al ángulo cuyo vértice se
encuentra en el centro de la circunferencia El ángulo
central es igual a la medida angular del arco opuesto
ANGULO INSCRITO :
El ángulo inscrito es la mitad de la medida del arco opuesto:
= 2
AC
ANGULO SEMI - INSCRITO :
El ángulo semi-inscrito es la mitad de la medida
del arco comprendido entre sus lados:
ANGULO INTERIOR :
El ángulo interior es la semisuma de la medida de
los dos arcos opuestos
O
R
O1
r
R – r < 1OO < R + r
C A
D
B
AB CD
AB CD
D
A
C B
T L
O
AM MB
N
M
B A O
A
B
P
AP = BP
A
B
O
= AB
2
aα
GEOMETRÍA
Página 3
ÁNGULO EXTERIOR :
El ángulo exterior es la semidiferencia de la
medida de los dos arcos comprendidos entre sus
lados:
= m - m .
2
= m - m .
2
= m - m .
2
ANGULO EX INSCRITO :
El ángulo ex-inscrito es la semisuma de la medida de
los dos arcos comprendidos entre sus lados:
=2
CB AB
TEOREMAS
TEOREMA I (DE STEINER)
En todo cuadrilátero exinscrito, la diferencia de 2
lados opuestos es igual a la de los otros 2:
a - c = d - b
TEOREMA II
Del exradio relativo a un cateto:
r a = p - c
TEOREMA III
Todo ángulo inscrito opuesto a un diámetro, es
recto:
= 90°
TEOREMA IV
En todo inscrito, la altura y el circunradio que parten
de un vértice común, forman ángulos iguales con los
lados adyacentes:
ˆˆ
TEOREMA V (PONCELT)
En todo triángulo rectángulo la suma de las longitudes de los
catetos es igual a la longitud de la hipotenusa más la
longitud del diámetro de la circunferencia inscrita .
a + b = c + 2R
TEOREMA VI
C
A
B
AB AC
AB CD
C B
A
D
BCA AB
C
B
A
GEOMETRÍA
Página 4
El inradio es la diferencia del semiperimetro y la
hipotenusa :
r = p - c
TEOREMA VII
El exradio relativo a la hipotenusa es igual al
semiperimetro del triángulo rectángulo:
R b = P
TEOREMA VIII
Del segmento que une un vértice con el punto
de tangencia más próximo, con el incírculo:
x = p - a y = p - b z = p - c
TEOREMA IX
La suma de los exradios relativos a los catetos es
igual a la hipotenusa:
R a + R c = b
TEOREMA X
La altura relativa a la hipotenusa es igual a la suma de
los 3 inradios de los triángulos rectángulos mostrados:
h = R + R1 + R2
TEOREMA XI (DE PITOT)
En todo cuadrilátero circunscrito, la suma de dos
lados opuestos es igual a la suma de los otros
dos:
a + c = b + d
CUADRILATEROS INSCRITO
El cuadrilátero inscrito es aquel cuyos cuatro vértices
pertenecen a una circunferencia .
TEOREMA I
En todo cuadrilátero inscrito, los ángulos opuestos
son suplementarios:
ˆˆ = 180°
TEOREMA II
En todo cuadrilátero inscrito las diagonales forman
ángulos iguales con los lados opuestos:
ˆˆ
m A + mC = 180o
mB + mD =180o
A
C
B
θ
D
θ
GEOMETRÍA
Página 5
B
2r
N
x
45º45º
A
r C
2r
DryE
rx
2r
y
CIRCUNFERENCIA -Ejercicios
1. En un triángulo rectángulo cuyos ángulos agudos miden 37° y
53°. Calcule la relación entre las
medidas inradio y el circunradio.
A) 2/5 B) 1/5 C)3/10
D) 3/5 E) 2/7
2. En un triángulo rectángulo las
medidas del inradio y el circunradio
están en la relación de 1 a 3. Calcule
la longitud del inradio si el perímetro
del triángulo es 42.
A) 2 2 B) 2 C) 3
D) 3 2 E) 6
3. En un rectángulo ABCD se
traza la bisectriz del ángulo B,
interceptando en “E” a AD . Calcule
la longitud del radio de la
circunferencia inscrita en el
cuadrilátero BEDC, si ésta
determina el punto “N” en BE y BN
– NE = 16.
A) 16 B) 12 C) 10
D) 8 E) 4
4. En un paralelogramo ABCD se traza
la altura BH (H en AD ). Si la
longitud del inradio del triángulo ABH
es igual a r y el cuadrilátero HBCD es circunscriptible a una circunferencia
de radio cuya longitud es R, calcule
HD.
A) rR 2 B) r3R2 C) rR
D) rR2 E) )rR(2
5. En una circunferencia de centro “O”
se ubican los puntos A, B y C de
modo que AC es diámetro y
mAB 90 º. En AB y en la
prolongación de BO se ubica los
puntos P y S respectivamente.
Siendo m<PSC = 90º. Calcule la
m<SPC.
A) 30º B) 45º C) 60º
D) 37º E) 20º
6. Desde el punto C exterior a la
circunferencia de diámetro AB se
traza la tangente CT (T en el arco
AB) y CH AB (H en AB ) siendo
6 TC 4 AB , calcule la
m THA .
A) 53º B) 37º C) 30º
D) 60º E) 45º
7. En un triángulo rectángulo ABC
(recto en B) de incentro “I”, AI =
1 e IC =3 2 . Se traza la
perpendicular CH a la prolongación
de AI; calcule la longitud del inradio
del triángulo rectángulo AHC.
A) 3 B) 5 C)4
D) 2 E) 1
8. La circunferencia inscrita en un
triángulo rectángulo ABC recto en B,
(BC AB), es tangente en N a AB y
en P a BC . Exteriormente se
construye el trapezoide BCED en el
cuál la circunferencia inscrita es
tangente en M a BD y en Q a BC .
Calcule PQ si ED = 5, AC = CE y
DM + AN = 3.
A) 1 B) 1,5 C) 2
D) 2,5 E) 3
9. La suma de las longitudes de los
catetos de un triángulo rectángulo es
igual a 8u. Calcule la suma de las
GEOMETRÍA
Página 6
longitudes de su inradio y de su
exradio relativo a la hipotenusa.
A) 8u B) 12u C) 4u
D) 16u E) 6u
10. Los catetos de un triángulo
rectángulo miden 10 cm y 24 cm.
Calcule la distancia del incentro al
circuncentro.
A) 41 cm B) 65 cm
C) 51 cm D) 35 cm
E) 3 5 cm
11. En un triángulo ABC se traza la
mediana BM. Las circunferencias
inscritas en los triángulos ABM y
BMC determinan los puntos de
tangencia P y Q sobre BM . Calcule
PQ si BC – AB = 12.
A) 10 B) 8 C) 6
D) 4 E) 3
12. De la figura calcule UN-CP; Si QT
= 3 y el perímetro de la región
UNC es igual al de la región QUCP
(T Punto de tangencia).
P C N
Q
TU
A) 3 B) 6 C) 9
D) 5 E) 2
13. En un rectángulo ABCD en BC se
ubica el punto P de modo que la
m APD 90º siendo AB = 10,
calcule la suma de las longitudes de
los inradios de los triángulos ABP,
APD y PCD.
A) 2,5 B) 5 C) 10
D) 15 E) 20
14. En una circunferencia se ubica los
puntos A, B, C y D de modo que
AC BD P yAC BD. Si el
inradio del triángulo BPC mide 1 cm,
AP 3 cm y mAB 2mAD, calcule
BP.
A) 2 cm B) 3 cm C) 4 cm
D) 5 cm E) 8 cm
15. En un triángulo ABC, la mediatriz de
AC intersecta a AC Y BC en M y N
respectivamente; luego se traza la
altura AH (H en BN ). Si AB NC y
m ABC 70º . Calcule m HMN .
A) 10º B) 20º C) 15º
D) 18º E) 12º
16. En un cuadrado ABCD de centro “O”.
en la región exterior relativa al lado
AB se ubica el punto Q de modo que la m AQB 90º; luego se traza
OP AQ . Siendo OP 2 BQ ,
calcule la m BOQ
A) 30º B) 15º C) 16º
D) 26,5º E) 18,5º
17. Una circunferencia se encuentra
inscrita en un trapecio ABCD cuyo
perímetro es 20 m. Calcule la
longitud de la base media de dicho
trapecio.
A) 2,5 B) 5 C) 7,5 D) 10 E) 12
GEOMETRÍA
Página 7
18. En un triángulo rectángulo ABC recto
en B, T es el punto de contacto
entre BC y la circunferencia inscrita.
P es el punto medio del arco BC de la
circunferencia circunscrita. La
medida del ángulo PTC es:
A) 30 B) 45 C) 60
D) 63,5 E) 71,5
19. Calcule “x” en el gráfico
6° 6°
57° 27°
x°
A) 15° B) 84° C) 63°
D) 60° E) 75°
20. En un triángulo ABC mBAC= 60 y
BC = 6u. Calcule la distancia del
incentro al excentro relativo a BC .
A) 3 u B) 6 u C) 4 u
D) 32 u E) 34 u
PRÁCTICA N° 02
1. Desde un punto exterior P se traza la tangente PA a una circunferencia y la secante PBC que forman en P un ángulo de 50o. Si el arco BC mide 120o, Calcular el ángulo formado por los segmento AC y BC. a) 20o b) 25o c) 30o d) 35o e) 40o
2. Desde un punto exterior a una circunferencia,
se traza tangente PA y la secante PBC siendo 32 o la medida del ángulo APC. Hallar la medida del ángulo ABN, si N es punto medio del arco BC a) 122 o b) 106 o c) 102 o d) 128 o e) 118 o
3. En una circunferencia se prolonga el diámetro
AB hasta “C” luego se trazan la tangente CD y la cuerda DA si el
5θDABmy2θBCDm Calcular “”
a) 7º b) 7.5º c) 12º d) 12.5º e) 15º
4. Desde el punto C, se trazan dos tangentes CA y CB, a una circunferencia formando un ángulo de 70º ¿Cuál es el valor del ángulo capaz del segmento capaz AB?
a) 125º b) 115 º c) 105º d) 135º e) 100º
5. Se tiene un pentágono convexo. ABCDE circunscrito a una circunferencia Si: AB+ CD+ AE = 11 y BC+ ED = 7, Calcular la longitud de la tangente trazada desde A a dicha circunferencia. a) 2 b) 3 c) 4 e) 2,5 e) 3,5
6. El perímetro de trapecio circunscrito a una circunferencia es 36. Calcular la longitud de la mediana del trapecio. a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
7. Una circunferencia es tangente a tres lados de un romboide cuyas alturas miden 8 y 10. Determinar ¿a qué distancia del centro se encuentra el cuarto lado? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
8. Un trapecio isósceles ABCD circunscrito a una circunferencia tiene un ángulo de 30o. Si el radio de la circunferencia mide R. calcular el perímetro del cuadrilátero. a) 10R b) 12R c) 14R d) 16R e) 18R
9. La circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo ABC, recto en “B”, toca en “P” a BC. Calcular BP, si AB + BC = 31 y AC = 25 a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3
GEOMETRÍA
Página 8
10. En la figura : PB y PC son tangentes , m E mide 26 o y m F mide 25 o Hallar el valor “ x ”
a) 51 o b) 102 o c) 94 o d) 47 o e) 68 o 11. Hallar “ x ” , Si m ALQ = 80o a) 50 o b) 45 o c) 40 o d) 60 o e) 70 o 12. En la figura, calcular x + y + z:
a) 100 b) 110 c) 140 d) 180 e) 200
13. Hallar "X"
a) 108° b) 100° c) 98° d) 90° e) 88°
14. Hallar x
a) 5° b) 10° c) 15° d) 20° e) 25°
15. En la figura m
AF = 140°, m
DC = 30°.
Calcular m
AE .
a) 110 b) 120 c) 130 d) 100 e) 90
16. En el gráfico, calcular x , si P y N son
puntos tangencia.
250CPUN
a) 90° b) 100° c) 110° d) 120° e) 130°
17. Calcular x en:
a) 5° b) 10° c) 15° d) 20° e) 25°
18. Si + = 160°. Calcular JOP.
a) 5° b) 10° c) 15° d) 20° e) 25°
19. Hallar ""
a) 75° b) 60° c) 57° d) 50° e) 30°
20. Calcular "X" si: m
AC - m
AB = 40°
a) 40° b) 50° c) 60° d) 70° e) 80°
A
B
C
F
E
P
x
A
Q
F
B
L x
GEOMETRÍA
Página 9
L
P
Q
N x
21. Calcular "X", si: m ABC + m CDE + m EFG = 400° a) 120° b) 130° c) 140° d) 150° e) 160°
22. En la figura O es centro. Calcular “x”
a) 40° b) 45° c) 50° d) 60° e) 65°
23. De la figura calcular el valor de “x” si la
medida del arco AB es 120o y la medida del CD arco es 80o a) 60° b) 70° c) 80° d) 90° e) 75°
24. Siendo L ,N , P y Q puntos de tangencia
Calcular “ x ” a) 50 o b) 45 o c) 40 o d) 60 o e) 70 o 25. Hallar la medida del arco CR a) 21 o b) 22 o c) 23 o d) 24 o e) 25 o
PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA TEOREMA DE THALES
Si tres rectas paralelas interceptan a dos o más rectas
secantes, se cumplirá que los segmentos
determinados en cada recta secante son
proporcionales.
TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR
En todo triángulo se cumple que la razón de dos lados
es igual a la razón de los segmentos que una bisectriz
interior determina sobre el tercer lado.
TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR
En todo triángulo se cumple que la razón de dos lados
es igual a la razón de los segmentos que una bisectriz
exterior determina sobre el tercer lado.
EF
DE
BC
AB
OD
CO
OB
AO
A
C F
E
D
D
O
C A
B
B
n
m
a
c
A
α
n m
a c
P C
α
B
n
m
a
c
c a
A C n P
m
x
GEOMETRÍA
Página 10
TEOREMA DEL INCENTRO
En todo triángulo se cumple que la razón entre la
suma de dos lados y el tercer lado es igual a la razón
de los segmentos que determina el incentro sobre la
bisectriz interior relativa a dicho tercer lado.
TEOREMA DE MENELAO
Si una recta intercepta a los lados de un triángulo se
determinan seis segmentos sobre los lados de éste de
manera que el producto de tres segmentos no
consecutivos es igual al producto de los otros tres.
TEOREMA DE CEVA
Si en un triángulo se trazan tres cevianas concurrentes
se determinan seis segmentos sobre los lados de éste
de manera que el producto de tres segmentos no
consecutivos es igual al producto de los otros tres.
EJERCICOS DE RESUELTOS
PROBLEMA Nº 01
Se trazan 3 rectas paralelas L1, L2 y L3 las cuales son
interceptadas por 2 rectas secantes “x´” e “y” en los
puntos A, B, C y D, E y F respectivamente. Además
AB = 12, BC = 16, DE = 8. Calcular “EF”:
Solución: 1ero) Construimos la gráfica ubicando los valores de
los segmentos:
2do) Ahora aplicamos el Teorema de Thales:
EF
DE
BC
AB
x
18
16
12
EF 24x
PROBLEMA Nº 02
Se tiene un triángulo ABC en el cual se traza una recta
paralela MN al lado AC, tal que NC = 2BN y AC =
12. Calcular MN.
1ero) Construimos la gráfica asumiendo BN = NC/2 =
a
2do) Luego aplicamos el T. De Thales:
a
aMN
BN
BC
AC
MN
312
4 xMN
¡APRENDIENDO A
RESOLVER ……………
……………………………
RESOLVIENDO!
ID
BI
b
ca
I
D A C
b
B
c a θ θ
a . b . c = m . n .
P m
B
b Q
a
n R
c C A
a . b . c = m . n .
B
O P
m b
n
Q
a
A R c C
A
N M
C
B
a
12
2a x
16
A
B
C
D
E
F
12 18
X
L1
L2
L3
x´ y
GEOMETRÍA
Página 11
SEMENJANZA DE TRIANGULOS
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Los criterios de semejanza de triángulos nos
permitirán identificar a dos triángulos semejantes,
estos criterios son :
PRIMER CRITERIO:
Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos
respectivamente congruentes.
Si :
DA y
FC entonces ABC DEF
SEGUNDO CRITERIO:
Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados
proporcionales y congruentes los ángulos
comprendidos.
Si :
DA y DF
DE
AC
AB , entonces ABC
DEC
TERCER CRITERIO :
Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados
respectivamente proporcionales.
Si : DF
AC
EF
BC
DE
AB , entonces ABC - DEF
COROLARIOS :
1. Dos triángulos rectángulos son semejantes si
tienen un ángulo agudo congruente.
Si :
DA , entonces ABC ~ DEF
2. Toda recta secante a un triángulo y paralela a uno
de los lados, determina dos triángulos
semejantes.
Si ACMN // entonces MBN ~ ABC
3.- Todo triángulo es semejante al triángulo formado al
unir un vértice con los pies de las alturas trazadas
desde los otros dos vértices.
El cuadrilátero APQC es inscriptible.
Luego :
BPQ
ACB y
BQP
BAC
Dos triángulos rectángulos son semejantes si
tienen sus catetos proporcionales
GEOMETRÍA
Página 12
Todo triángulo es semejante al triángulo formado
por dos de sus lados y la ceviana relativa a uno de
estos lados, la cual forma con el otro un ángulo que
es congruente al ángulo del triángulo opuesto a dicho
lado.
Si a dos rectas secantes se trazan dos
rectas paralelas estas determinarán
triángulos semejantes.
PROPORCIONALIDAD Y
SEMEJANZA
1. En la figura calcule z,
si:1 2 3
xx.y x y , L //L //L
y
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
2. En la figura, calcule BF si: AE 3
EC 2 ,
CD=6
A) 6 2 B) 7 2 C) 8 2
D) 9 2 E) 12 2
3. En la figura, calcule AB, si: BD=4 y
DC = 5
A) 6
B) 8
C) 9
D) 12
E) 15
4. En la figura, calcule CF, si: AD=3 y
DC=2.
Si : EF
DE
BC
AB ,
entonces ABC ~
DEF
Si
ACBABF ,
entonces ABF ~
ABC
A
N M
C α θ
B
α θ
Si AC//MN
entonces MNB ~
ABC
1L
2L
3L
z-1
z+1
6x
y+5
B
A
CD
45º 45ºF
CAE
B
D
GEOMETRÍA
Página 13
A) 5 B) 6 C) 8
D) 10 E) 12
5. En la figura, calcule CF, si: el
triángulo ABC es equilátero, BD=3,
AD=5, BE=4.
A) 8 B) 9 C) 10
D) 12 E) 15
6. En un cuadrilátero convexo ABCD, el
ángulo externo D mide la mitad del ángulo interior B y la diagonal BD
biseca al ángulo ABC. Calcule BD, si
AB = 25 y BC = 16.
A) 12 B) 15 C) 18
D) 20 E) 36
7. Calcule AF en la figura, Si: BD = 5 y
DF= 4.
A) 5 B) 5,5 C) 6
D) 6,5 E) 8
8. En un triángulo ABC la base AC mide
30 cm. y la altura BH mide 15 cm.
Calcule la longitud del lado del cuadrado
inscrito en dicho triángulo y que tiene un
lado contenido en AC
A) 15 cm. B) 12 cm.
C) 10 cm. D) 8 cm.
E) 13 cm.
9. En la figura, MN es paralela a BC ,
AB = 18 cm, AC = 27 cm y BC = 36
cm. Calcule AM para que el
perímetro del triángulo AMN sea igual al perímetro del trapecio MNCB.
A) 14,5 cm.
B) 16,2 cm.
C) 12,5 cm.
D) 18,2 cm.
E) 19,2 cm.
10. En la figura, calcule EC, si:
BD = 12 y DE = 15
A) 20
B) 22
C) 24
D) 25
E) 27
11. En la figura, calcule AB, si ABCD es
cuadrado, BF = 3 y FE = 2.
A) 10
B) 12
C) 13
D) 15
E) 18
B
45º45º45º
A D C F
B
ED
CA F
B
CA
F
D
A
M N
B C
B D CE
A
C
P
EFB
DA
GEOMETRÍA
Página 14
12. En un triángulo rectángulo ABC recto
en B, AB=6, BC=8, se trazan: la mediana BM y la bisectriz interior
AD D BC que se intersectan en
P. La prolongación de CP intersecta
a AB en E; calcule AE.
A) 3 B) 4 C) 11
4
D) 15
4 E)
17
4
13. En la figura, calcule CF. Si: AE= 4 y
EC= 2
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 16
14. En un triángulo rectángulo ABC recto
en B cuyo circunradio mide R, el inradio mide r, R=5r, siendo “I” el
incentro, se traza BI cuya
prolongación intersecta a AC en D.
Calcule BI
ID
A) 1,2 B) 1,5 C) 1,6
D) 1,8 E) 2,1
15. Calcule x en la figura.
A) 5 B) 2 C) 3
D) 2 E) 1
16. En un cuadrilátero ABCD circunscrito
a una circunferencia, los lados AD y BC son tangentes a la circunferencia
en M y N respectivamente, MN
intersecta a AC en P, si PC = 10, NC
= 8 y AM = 4; calcule AP.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8
17. En un triángulo ABC se inscribe un
rombo BFDE, F en AB, D en AC y E
en BC . Calcule la longitud del lado
de dicho rombo, si: AB = 6 y BC =
12
A) 3 B) 4 C) 8 D)9 E) 10
18. Las medidas de los lados de un triángulo son tres números pares
consecutivos además el mayor
interno mide el doble de la medida
del menor ángulo interno. Calcule la
medida del menor lado.
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
19. En la figura, calcule ET, si: DP=3 y
PE = 2, D, E y F son puntos de
tangencia.
A)5 B) 6 C) 8 D)10 E) 12
20. En un triángulo rectángulo ABC recto
en B, la prolongación de la altura BH
intersecta a la bisectriz exterior del
ángulo C en el punto P.
Calcule BP, Si: AB = 4, BC = 3 y AC = 5
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 8
x3
6
EA
B
CF
B
D
EP
F C TA
GEOMETRÍA
Página 15
2a
1L
2L
3L
J
R
xa
AR
SB
D
AD L
a
b
O
A S
M
D
Q
L
1 3 x
PRÁCTICA N° 2
1. En la figura 1 2 3
L L L . Calcular x .
2
x
3b
6a
a
b
1L
3L
2L
a) 2 b) 2 2 c) 3
d) 2 3 e) 2 .
2. Según la figura, calcular “ x ”, siendo
1 2 3L L L y JR igual a la distancia entre 1L
y 2L .
a) 110º b) 120º c) 130º d) 140º e) 150º
3. Del gráfico, calcular x . Si: 1 2 3 4
L L L L .
6 y
x
3x+2
1L
3L
2L
4L
2
2y+1
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
4. Del gráfico, hallar “ SB ”, si 8AR y
3 4DR RB . ( R es punto de tangencia)
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
5. Del gráfico, calcular “ AS ”, si 6BE .
AB
E
2
13
S
a) 1 b) 2 c) 3
d) 0.5 e) 1.5
6. Del gráfico, calcular a
b, si
2
3
DA
LO .
a) 2 / 3
b) 3 / 2
c) 2
d) 3
e) 5
7. Del gráfico, calcular “ DQ ” si 16QS y
2ML MA .
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 1
8. En un triángulo ABC se traza la bisectriz
interior BD y en BC se ubica el punto E tal
que DE AB . Calcular BC si 3DE y
3BC AB .
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
9. Del gráfico. Calcular x .
a) 9
b) 10
c) 11
d) 12
e) 13
GEOMETRÍA
Página 16
D
2
O
R
5
A
D
R
T
I
O
2n
n
A
D
I
O
L
U
Nx
x
5
13
2
x4
A
S
E
B
SL
U I
E
B
24 x
A
D
I
N
10. En la figura, calcular RO , si 7DO .
a) 1.5
b) 2.5
c) 2.8
d) 3.5
e) 3.8
11. En la figura, si 8TI , 2IR , calcular RA .
( , ,D R O son puntos de tangencia)
a) 1.5
b) 2.5
c) 2.8
d) 3.5
e) 3.8
12. Del gráfico, hallar “ ”. 1
4tan14º
a) 20º b) 45º c) 38º d) 75º e) 30º
13. En la figura DILO y LUNA son cuadrados.
Hallar x .
a) 30º
b) 37º
c) 45º
d) 60º
e) 15º
14. Del gráfico, hallar x .
a) 10/3
b) 5/2
c) 7/4
d) 13/7
e) 8/5
15. Del gráfico, calcular x .
a) 0.5
b) 1
c) 1.5
d) 2
e) 2.5
16. En la figura, calcular SE , si 2EB y 4BA
( E es punto de tangencia).
a) 2 b) 4 c) 6 d) 5 e) 3
17. Del gráfico, hallar “ x ” siendo LUIS un
paralelogramo.
a) 2 b) 4 c) 6 d) 5 e) 3
18. Del gráfico, hallar “ DI ”, si 1IA y 3AN .
a) 2 b) 4 c) 6 d) 5 e) 3
Recommended