View
2
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Exercício 1.2
Demonstre que dados dois pontos, e , sempre existem
infinitos pontos entre e e infinitos pontos tais
que está entre e .
Solução
Dados os pontos A e B, pelo axioma O2, existe um ponto
entre A e B, que chamaremos de . Pelo mesmo axioma,
existe um ponto entre e B. Ainda pelo mesmo axioma,
existe um ponto , entre os pontos e B. Continuando o
raciocínio, encontraremos uma seqüência de pontos ,
entre os pontos A e B.
Para provar que existem infinitos pontos D tais que está
entre e , usaremos o mesmo axioma. Pelo axioma, existe
um ponto tal que está entre e . Pelo mesmo
axioma, existe um ponto tal que está entre e .
Analogamente, existe um ponto tal que está entre
. Continuando dessa forma, existe uma seqüência de pontos
tais que está entre e .
Exercício 1.5
Cada polígono tem uma nomenclatura, de acordo com o número
de lados, por exemplo, o triângulo é um polígono com três
lados, o quadrilátero é o polígono com quatro lados. Qual é
a nomenclatura dos polígonos de cinco, seis, até dez lados?
Solução
3 lados - triângulo4 lados - quadrângulo ou quadrilátero 5 lados - pentágono6 lados - hexágono7 lados - heptágono8 lados - octógono9 lados - eneágono10 lados - decágono11 lados - undecágono12 lados - dodecágono 13 lados - tridecágono 14 lados - tetradecágono 15 lados - pentadecágono
20 lados - icoságonoExercícios 1.9
1) Sejam e pontos distintos de uma mesma reta
cujas coordenadas são respectivamente e . Demonstre
que o ponto está entre e , se, e somente se, o
número está entre os números e .
Solução
Vamos admitir que .
Suponha que o ponto C esteja entre A e B. Pelo axioma MS3
temos que ou seja, . Então
e . Dessas desigualdades, podemos
concluir que e . Portanto ou
seja, o número está entre os números e .
Suponha agora que o número esteja entre os números e
. Devemos provar que o ponto C está entre A e B. Se isto
não acontecer, teremos duas possibilidades: (i) A está
entre C e B, ou (ii) B está entre A e C. No primeiro caso,
teremos daí teríamos , ou seja, ,
isto é, , que é uma contardição. No segundo caso
teríamos , então, , ou seja, ,
obtendo assim que , que é uma contradição. Portanto a
única possibilidade é que o ponto C esteja entre A e B.
Para o caso A demonstração é análoga.
2) Sejam um segmento de reta e . Dizemos que é
ponto médio desse segmento, quando . Dado um
segmento , demonstre que este possui um ponto médio e
que ele é único.
Solução
Prova da existência: sejam as coordenadas dos pontos
A e B. Considere o número . Pelo axioma MS2, existe
um ponto C sobre a reta, que tem coordenada o número .
Como e .
Então . Como está entre os números ,
pelo exercício anterior, o ponto C está entre os pontos A e
B. Logo C é ponto médio do segmento AB.
Prova da unicidade: Suponha que o segmento AB possua um
outro ponto médio C’, de coordenada . Então teríamos
(i) , quando e (ii) ,
quando . Em ambos os casos, temos que .
Portanto . E pelo axioma MS2, temos que C’=C.
3) Dados um segmento e um número real positivo qualquer
, demonstre que existe um ponto entre e , tal que
. Demonstre, também, que este ponto é único.
Solução
Essa demonstração é análoga à do exercício anterior.
Suponha que e sejam as coordenadas dos pontos A e B,
respectivamente.
Prova da existência: sejam as coordenadas dos pontos
A e B. Considere o número .(que pode ser obtido a
partir da igualdade , com coordenada do ponto C)
Pelo axioma MS2, existe um ponto C sobre a reta, que tem
coordenada o número . É imediato verificar que o número
encontra-se entre os números e . Pelo exercício
1.9(1), o ponto C encontra-se entre A e B. Este ponto C
satisfaz a equação .
Prova da unicidade: Suponha que o segmento AB possua um
outro ponto C’, de coordenada , tal que . Neste
caso, teremos que Então pelo axioma MS2, temos
que C’ = C.
4) Sejam e pontos de uma mesma reta. Faça um
desenho representando esses pontos, admitindo que
e .
Solução imediata.
5) Sejam e pontos distintos de uma mesma reta,
tais que . Calcule as medidas e , sabendo
que .
6) Usando régua e compasso, descreva uma maneira de
construir:
a) Um triângulo isósceles, ou seja, um triângulo que possui
dois lados com medidas iguais. Em um triângulo isósceles,
os lados que possuem a mesma medida são chamados laterais,
e o terceiro lado é chamado de base do triângulo.
Solução
Trace um segmento AB e com o compasso, trace um círculo com
centro no ponto A e raio, por exemplo, maior ou igual à
medida do segmento AB. Trace também um outro círculo com
centro no ponto B e com a mesma medida do raio do primeiro
circulo. Esses círculos se encontram em dois pontos C e D.
Os triângulos ABC e ABD são isósceles de base AB.
b) Um triângulo equilátero, ou seja, um triângulo que
possui os três lados com medidas iguais.
Solução
Faça a construção do item (a), considerando os círculos
tendo como raio a medida do segmento AB. Neste caso, os
triângulos ABC e ABD são eqüiláteros, tendo como medida de
lado a medida do segmento AB.
7) A soma das medidas dos lados de um polígono é chamada
perímetro do polígono. Faça desenhos de três polígonos,
meça seus lados e calcule seus perímetros.
Solução: várias possibilidades.
8) Um conjunto contido no plano é chamado limitado,
quando existe um círculo , no plano, que contém todos os
pontos do conjunto . Um conjunto é ilimitado, quando não
é limitado. Demonstre que são limitados:
a) Um conjunto finito;
b) Um segmento;
c) Um triângulo;
d) Um polígono com “n” lados.
Solução
Em cada item devemos exibir um círculo no qual o conjunto
está dentro do círculo. Ou seja, em cada item devemos
exibir o cento e o raio de um círculo, tal que o conjunto
está dentro desse círculo.
a) se X é um conjunto finito, digamos formado pelos
elementos , considere, por exemplo, o
círculo com centro no ponto e raio
.
b) Se o segmento for AB, considere, por exemplo, o
círculo de centro no ponto A e raio .
c) Se o triângulo for ABC, considere, por exemplo o
círculo com centro no ponto A e raio .
d) Se o polígono for , considere, por exemplo, o
círculo com centro no ponto e raio
.
Exercícios 1.15
1) Demonstre que ângulos opostos pelo vértice têm a mesma
medida.
Solução
Suponha que duas retas r e s se interceptam em um ponto O
como na figura abaixo
Sabemos que . Então .
2) Considere uma reta e um ponto . Demonstre que
pelo ponto passa uma reta , que é perpendicular à
e, além disso, essa reta é única.
Solução
Prova da existência:
Considere um dos semiplanos determinados pela reta m, a
partir do axioma O3. Nesse semiplano considere todas as
semirretas de origem P. Pelo axioma MA2 existe uma
semirreta correspondente à 90. A reta n que contém essa
semirreta é a reta procurada.
Veja a figura abaixo
Para demonstrar a unicidade, suponha que existam duas retas
n e n’ perpendiculares à m. Essas retas determinam duas
semirretas, em um dos semiplanos, correspondentes à 90, o
que é uma contradição com o axioma MA2.
3) Qual é a medida do ângulo formado pelos ponteiros dos
minutos e das horas de um relógio, ao marcar 11 horas e
30 minutos?
Solução: 165º.
4) Se um ângulo e seu suplemento têm a mesma medida, qual é
a medida desse ângulo? Justifique sua resposta.
Solução
Seja esse ângulo. Então daí segue que
.
5) Se um ângulo e seu complemento têm a mesma medida, qual
é a medida desse ângulo? Justifique sua resposta.
Solução
Seja esse ângulo. Então daí segue que .
6) Se dois ângulos e são suplementares e a diferença
entre eles é 65º, quais as medidas desses ângulos?
Solução
Pelas hipóteses temos que e .
Resolvendo esse sistema de equações obteremos e
.
7) Mostre que o suplemento de um ângulo obtuso é um ângulo
agudo.
Solução
Se então . Somando 180º de ambos os lados
dessa equação obteremos . Ou seja, o suplemento
de é um ângulo agudo.
8) Sabendo que um dos quatro ângulos determinados por duas
retas que se interceptam mede 75º, quais são as medidas
dos outros ângulos? Justifique sua resposta.
Solução
Suponha que o ângulo , conforme ilustra a figura
abaixo.
Então , pois é o suplemento do ângulo .
O ângulo , pois e são opostos pelo
vértice.Analogamente, , pois e são
opostos pelo vértice.
UNIDADE 2
Exercício 2.16
Demonstre que em um triângulo ABC isósceles, a mediana
relativa à base é também bissetriz e altura.
Demonstração
Seja ABC um triângulo isósceles cuja base é AB. Seja CD sua
mediana relativa à base. Mostraremos que ACD = BCD e que A
C é um ângulo reto. Para isso considere os triângulos ADC
e BDC. Como AD = BD (pois CD é mediana), AC = BC (já que o
triângulo é isósceles com base AB) e  = (pela
proposição anterior), então ADC = BCD, pelo primeiro caso
de congruência. Segue, portanto, que A D = B D e C A = B
C. A primeira igualdade nos diz que CD é bissetriz do
ângulo A B. Como A B é um ângulo raso e C A+ B C = A B
então C A+ B C = 180º. Já sabemos que C A = B C, então
concluímos que C A = B C = 90º. Portanto CD é
perpendicular a AB, isto é, CD é a altura relativa a AB.
Corolário 2.20
2) Um triângulo ABC possui, pelo menos, dois ângulos
agudos.
Demonstração
Se um triângulo não tiver dois ângulos agudos, ele tem
dois ângulos obtusos. Consequentemente, a soma dos
ângulos internos desse triângulo será maior do que 180º,
contradizendo o corolário 2.20(1).
3) Se duas retas distintas e são perpendiculares a
uma terceira reta , então, a reta é paralela à reta
.
Demonstração
Suponha que r e s não sejam paralelas. Desse modo, elas
se interceptam em um ponto A, conforme ilustra a figura
a seguir
Como as retas r e s são perpendiculares à t, então
, logo a soma de dois ângulos desse
triângulo será 180º, contradizendo o corolário 2.20(1).
Exercícios 2.26
1) Mostre que os ângulos da base de um triângulo ABC
isósceles são agudos.
Solução
Como o triângulo ABC é isósceles, digamos, por exemplo de
base AB, então pela proposição 2.12 . Se esses ângulos
forem obtusos, sua soma é maior do que 180º, contradizendo
o corolário 2.20(1)
2) Seja P um ponto interior de um triângulo ABC. Mostre que
.
Solução
Observe a figura a seguir
Pelo teorema do ângulo externo, e .
Portanto .
3) Mostre que, se duas alturas de um triângulo são
congruentes, então, o triângulo é isósceles.
Solução
Seja ABC um triângulo, com AE e CD alturas, como mostra a
figura a seguir.
Então . Assim, AC é hipotenusa dos triângulos ADC
e CEA. Como AE = CD, esses triângulos são congruentes, pelo
caso hipotenusa cateto. Portanto , ou seja, .
Então ABC é isósceles de base AC.
4) Em um cartório de registros de imóveis um escrivão
recusou registrar um terreno triangular cujos lados,
segundo o seu proprietário, mediam 150m, 70m e 60m. Qual
justificativa matemática você pode dar para essa atitude
do escrivão?
Solução
Pela desigualdade triangular a soma das medidas de
quaisquer dois lados de um triângulo é maior do que o
terceiro lado. E o terreno em questão teria um lado, o que
mede 150m, igual à soma dos outros dois.
5) Sejam ABC e EFG triângulos em que AB = EF, e
. Esses triângulos são congruentes? Se a resposta for
afirmativa, demonstre. Caso contrário, dê um
contraexemplo.
Solução
Suponha que ABC não seja congruente à EFG. Seja H tal que
EH = AC, como mostra a figura a seguir
Então ABC = EFH, consequentemente . Como , temos
que , contradizendo o teorema do ângulo externo.
6) Na figura, a seguir, temos que e . Mostre
que .
Solução
Como , pela proposição 2.24, segue que . Como
, temos que .
8) Se um triângulo ABC é equilátero e D é um ponto do segmento BC, mostre que .
Solução
Como ABC é equilátero, . Como AD divide o ângulo
, segue que . Portanto, pela proposição 2.24
temos que .
UNIDADE 3
Exercícios 3.17
1) A partir do Teorema Fundamental da Proporcionalidade,
inclusive as notações estabelecidas naquele resultado, demonstre
que
Solução
Do Teorema Fundamental da Proporcionalidade, temos que
Como e
substituindo essas identidades na igualdade , temos
que
Portanto , daí segue que .
2) Demonstre que: se duas retas r e s são transversais de um
feixe de retas paralelas, então, a razão entre dois segmentos
quaisquer determinados em uma delas é igual à razão entre os
segmentos correspondentes da outra. Esse resultado é conhecido
como Teorema de Tales.
Solução
Considere as transversais r e s interceptando as retas paralelas
a, b e c, respectivamente nos pontos A, B e C e nos pontos A’,
B’ e C’. Trace pelo ponto A uma reta s’ paralela à s,
interceptando as retas a, b e c nos pontos A, B” e C”, como
mostra a figura a seguir.
Use o Teorema Fundamental da Proporcionalidade e o exercício
3.17(1), para terminar a demonstração.
3) Três lotes têm frente para a rua “Tales de Mileto” e para a
rua “Leonardo da Vinci”, como ilustra a figura, a seguir. As
divisas laterais são perpendiculares à rua “Leonardo da Vinci” e
as medidas de frente para essa rua dos lotes 1, 2 e 3 são,
respectivamente, 50m, 40m e 30m. Sabendo que a medida da frente
total dos três lotes para a rua “Tales de Mileto” é 240m,
encontre a medida de frente para a rua Tales de Mileto de cada
um dos lotes.
Solução
Sejam respectivamente as medidas de frente para a rua
Tales de Mileto dos lotes 1, 2 e 3. Pelo teorema de Tales,
exercício 3.17(2), segue que
Portanto, metros.
4) Utilizando régua e compasso, descreva um processo de divisão
de um segmento AB em 3, 5 e 6 partes iguais, justificando cada
passo.
Solução
Para a divisão do segmento AB em 3 partes iguais, trace uma
semirreta
formando um ângulo agudo com a semirreta
determinada por AB. Usando compasso, a partir do ponto A,
considere três segmentos de medidas iguais nessa semirreta,
obtendo os pontos C, D e E. Em seguida trace um segmento ligando
o ponto E ao ponto B, e retas paralelas à determinada pelo
segmento BE, passando pelos pontos B e C, que interceptam o
segmento AB nos pontos C’ e D’ respectivamente, conforme a
figura abaixo
Os pontos C’ e D’ dividem o segmento AB em três partes iguais. A
justificativa da igualdade das partes, segue do teorema de
Tales. Escreva os detalhes.
Para a divisão do segmento AB em 5, 6, 7, ..., partes iguais,
fazemos de modo análogo.
6) Demonstre que dado um triângulo ABC de lados, medindo a,
b e c, AD uma bissetriz interna, conforme ilustra a figura,
a seguir, em que DB = x e DC = y, temos que . Esse
resultado é conhecido como Teorema da Bissetriz Interna
(DOLCE, POMPEO; 1980).
Sugestão: trace uma reta paralela à AD, passando pelo
vértice C e considere a interseção dessa reta com a
semirreta .
SoluçãoTraçando a reta paralela à AD, passando pelo vértice C, suponha
que essa reta intercepte a reta que contém o lado AB, no ponto
E. Então teremos que . Portanto . A partir do
Teorema Fundamental da Proporcionalidade (ou teorema de Tales),
podemos concluir que . Daí segue que .
7) Na figura, a seguir, A é o centro do círculo, BD é um
diâmetro, C é outro ponto do círculo, e são ângulos
determinados de acordo com a figura. Demonstre que .
Solução
Como AB = AC, então . Pelo corolário 3.7(c),
temos que .
8) Mostre que as diagonais de um quadrilátero ABCD se
interceptam em seus pontos médios se, e somente se, esse
quadrilátero for um paralelogramo.
Solução
Suponha que as diagonais AC e BD se encontram em um ponto E
que é ponto médio das duas diagonais, então ,
veja a figura abaixo.
Consequentemente, ECD = EAB. Logo AB e CD são congruentes e
paralelos. Então ABCD é um paralelogramo.
Suponha agora que ABCD seja um paralelogramo. Trace as
diagonais AC e BD, que se encontram no ponto E. Como AB é
paralelo à CD então . Analogamente, como AD é
paralelo a BC segue que . Como AB = DC, segue AEB
= CED e portanto . Então as diagonais de um
quadrilátero ABCD se interceptam em seus pontos médios.
10) Mostre que todo retângulo é um paralelogramo.
Solução
Como um retângulo possui os quatro ângulos internos iguais
a 90º, segue que seus lados opostos são paralelos. Portanto
ele é um paralelogramo.
11) Mostre que as diagonais de um retângulo são
congruentes.
Solução
Seja ABCD um retângulo. Trace as diagonais AC e BD, como na
figura a seguir.
Como ABCD é um paralelogramo, temos que AB=CD e BC=AD.
Usando o fato de que todos os seus ângulos são retos, segue
que ABC=DCB. Portanto, AC=BD.
12) Mostre que as diagonais de um losango cortam-se em
ângulo reto e são bissetrizes de seus ângulos.
Solução
Seja ABCD um losango. Como um losango é um paralelogramo,
segue do exercício 3.17(8) que as diagonais se interceptam
em um ponto E que é ponto médio das diagonais. Como os
lados de um losango possuem a mesma medida, segue pelo
terceiro caso de congruência de triângulos que AEB = CEB.
Consequentemente, . Como , segue
que . Portanto as diagonais AC e BD são
perpendiculares. Da congruência AEB = CEB segue também que
portanto BD é bissetriz do ângulo . De modo
análogo, demonstra-se que BD é também bissetriz do ângulo
e AC é Bissetriz de e de .
13) Mostre que, se as diagonais de um quadrilátero são
congruentes e se cortam em um ponto que é ponto médio de
ambas, então, o quadrilátero é um retângulo. Se, além
disso, as diagonais são perpendiculares, então, o
quadrilátero é um quadrado.
Solução
Seja ABCD um quadrilátero cujas diagonais se interceptam em
um ponto que é ponto médio de ambas, então, pelo exercício
3.17(8), ABCD é um paralelogramo. Como por hipótese as
diagonais AC e BD têm as mesmas medidas, então pelo
terceiro caso de congruência de triângulo ABC = BAD. Então
e
Usando agora a hipótese de que ABCD é um paralelogramo,
seus lados opostos são paralelos, daí pode-se concluir que
. Como e segue que
Portanto ABCD é um retângulo.
Se além disso as diagonais forem perpendiculares, segue, de
congruência de triângulos que o quadrilátero é um quadrado.
14) Seja ABCD um trapézio, tendo AB como base. Se esse
trapézio é isósceles demonstre que e .
Solução
Seja ABC um trapézio isósceles de base AB. Trace pelo ponto
D uma reta perpendicular à AB, interceptando esse segmento
no ponto E. Trace também uma reta pelo ponto C,
perpendicular à AB, interceptando esse segmento no ponto F,
como mostra a figura abaixo.
Pelo caso hipotenusa cateto, temos que AED = BFC. Portanto
e . Usando o fato de que DC é paralelo à AB,
segue que .
Recommended