View
280
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Sistemi linearnih jednačina
Gausova metodaKramerova metoda
Matrična metoda
LINEARNE JEDNAČINE
• Linearna jednačina je svaka jednačina sa nepoznatom koja se ekvivalentnim transformacijama svodi na jednačinu oblika
• Ako je , jednačina ima jedinstveno rešenje
• Ako je i , jednačina nema rešenja (jednačina je nemoguća).
• Ako je i , jednačina ima beskonačno mnogo rešenja ( је rešenje ).
,ax b a b R
x
0a
bxa
0a 0b
x R
0a 0b
Primer Rešiti jednačinu
Rešenje:
5 22
4 3
x xx
5 22 15 2 4 24
4 315 4 24 30 5 30 6
x xx x x x
x x x x x
0 , 2x x
SISTEM DVE JEDNAČINE SA DVE NEPOZNATE
Rešiti sistem dve linearne jednačina sa dve nepoznate znači naći par brojeva koji zadovoljavaju obe jednačine.
Elementarne metode za rešavanje ovih sistema su:
metoda zamene
metoda suprotnih koeficijenata.
Primer Rešiti sistem jednačina metodom zamene
Rešenje:
2 5
3 6
x y
x y
5 22 5 5 2
3 5 2 63 6 3 6
5 2 5 2 3 1
3 3 3
y xx y y x
x xx y x y
y x y y
x x x
Primer
Rešiti sistem jednačina metodom suprotnih koeficijenata
Rešenje:
2 5
3 6
x y
x y
2 5 6 3 15 7 21 3
3 6 3 6 3 6 1
x y x y x x
x y x y x y y
SISTEMI LINEARNIH JEDNAČINA
GAUSOVA METODA -GAUSOV ALGORITAM
Dat je sistem od linearnih jednačina sa nepoznatih.
gde je ili
Gausova metoda se sastoji u sukcesivnom eliminisanju nepoznatih iz sistema i transformacijom u trougaoni ili trapezni ekvivalentni sistem iz koga se dobija rešenje ili se ustanovi da sistem nema rešenja.
m n
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
,m n m n m n
GAUSOVA METODA
• Pretpostavimo da je koeficijent Isključimo nepoznatu iz svih jednačina sistema osim prve.
• Da bismo to realizovali potrebno je prvu jednačinu pomnožiti sa i dodati je drugoj jednačini, zatim prvu jednačinu pomnožiti sa i dodati je trećoj jednačini, itd. Na taj način se umesto polaznog sistema dobija ekvivalentan sistem:
11 0a 1x
21 11a a
31 11a a
11 1 12 2 1 1
(1) (1) (1)22 2 2 2
(1) (1) (1)2 2
n n
n n
m mn n m
a x a x a x b
a x a x b
a x a x b
Ako bi produžili isti postupak k-1 puta dobili bi sistem
Ako su svi koeficijenti dobijenog sistema jednaki nuli, a slobodni član nije nula, sistem nema rešenja.
Ako je k=n sistem ima jedinstveno rešenje.
Ako je k<n sistem ima beskonačno rešenja.Tada su slobodne promenljive koje prenosimo na desnu stranu, a zatim se određuju vezane promenljive
11 1 12 2 1 1
(1) (1) (1)22 2 2 2
( 1) ( 1) ( 1)
n n
n n
k k kkk k kn n k
a x a x a x b
a x a x b
a x a x b
1, ,k nx x
1 1, ,k kx x x
Primer Gausovom metodom rešiti sistem jednačina
Rešenje:Nakon množenja prve jednačine redom sa -2 i 2 dodavanjem redom drugoj i trećoj jednačini dobijamo sistem
2 3 4
2 3
2 2 6
x y z
x y z
x y z
2 3 4
5 7 11
5 4 2
x y z
y z
y z
Dodavanjem druge jednačine trećoj dobijamo trougaoni sistem
Iz poslednje jednačine neposredno dobijamo da je z=3, zamenom te vrednosti u drugu
jednačinu dobijamo da je y=2, a konačno zamenom obe ove izračunate vrednosti u prvu
jednačinu dobijamo da je x=1.
Dakle rešenje je
2 3 4
5 7 11
3 9
x y z
y z
z
, , 1, 2,3x y z
Primer Gausovom metodom rešiti sistem jednačina
Rešenje :Nakon množenja prve jednačine redom sa -2 i -10 i dodavanjem redom drugoj i
trećoj jednačini dobijamo sistem
Množenjem druge jednačine sa -7 i dodavanjem trećoj dobijamo sistem
2 10
3 14
21 7 98
x y z
y z
y z
2 10
3 14
0 0
x y z
y z
z
2 10
2 6
10 3 2
x y z
x y z
x y z
Ovo je neodređen sistem, koji ima beskonačno mnogo rešenja.
Stavljajući da je z=t, gde je t bilo koji realan broj, neposredno se dobija rešenje
2 14, , , ,
3 3
t tx y z t
KRAMEROVA METODA
(Kramer 1704-1752) Dat je sistem od 3 jednačine sa 3 promenljivih (kvadratni sistem)
11 12 1
21 22 2
13 32 3
z
a a b
D a a b
a a b
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 n
a x a y a z b
a x a y a z b
a x a y a z b
Uočimo sledeće determinante:
11 12 13
21 22 23
13 32 33
a a a
D a a a
a a a
11 1 13
21 2 23
13 3 33
y
a b a
D a b a
a b a
1 12 13
2 22 23
3 32 33
x
b a a
D b a a
b a a
• Ako je determinanta sistema , tada sistem ima jedinstveno rešenje
• Ako je determinanta sistema D=0 , a bar jedna od determinanti
sistem nema rešenja.
• Ako je determinanta sistema D=0 i sve determinante sistem je neodređen i ako ima rešenja može ih imati samo beskonačno mnogo.
0D
, ,yx zDD D
x y zD D D
0 , 0, 0x y zD D D
0x y zD D D
Primer
Rešiti sistem jednačina
Rešenje:
72
32
123
zx
zyx
zyx
1 3 2 1 3 2
2 1 1 13 0 3 1 1 13
1 0 2 7 0 2xD D
1 1 2 1 3 1
2 3 1 26 2 1 3 39
1 7 2 1 0 7y zD D
13 26 391, 2, 3
13 13 13yx zDD D
x y zD D D
Primer Rešiti sistem jednačina
Rešenje:
Kako je
prema Kramerovoj teoremi sistem nema rešenja.
3
2 2 2
2 3 3
x y z
x y z
x y z
0 , 32xD D
Primer Rešiti sistem jednačina
Rešenje:Kako je
zaključujemo da je sistem neodređen i transformiše se u ekvivalentni sistem
koji ima beskonačno mnogo rešenja.
Opšte rešenje je
2 10
3 14
x y z
y z
2 10
2 6
10 3 2
x y z
x y z
x y z
1 2 30 , 0D D D D
2 14, , , , ,
3 3
t tx y z t t R
Primer 9Rešiti sistem jednačina
Rešenje:
Za 0, . 1D tj a
1
2
3
ax y z
x ay z
x y z
21 , 4 1 , 5 1 , 6 1x y zD a D a D a D a
4 5 6, , , ,
1 1 1x y z
a a a
4 5 6, ,1 1 1
yx zDD D
x y zD a D a D a
Za
Sistem je neodređen. Zamenom vrednosti a=1 u polazni sistem dobijamo sistem od 3 iste jednačine,koji se time svodi na jednu jednačinu oblika X+Y+Z=1.
Ako izaberemo da je X=t i Y=k, gde su t i k proizvoljni realni brojevi, za promenljivu z dobijamo Z=1-t-k.
Dakle rešenje sistema je uređena trojka
(X,Y,Z)=(t,k,1-t-k)
0, . 1D tj a 21 , 1,
0, 0, 0x y z
D a a
D D D
ZADACI ZA VEŽBU
1. Gausovom metodom rešiti sistem jednačina
2. Kramerovom metodom rešiti sistem jednačina
3. Kramerovom metodom rešiti sistem jednačina i diskutovati rešenja u zavisnosti od parametra a
2 3 4
2 3
2 2 6
x y z
x y z
x y z
1
1
1
ax y z
x ay z
x y az
3 2 5
2 3 1
2 3 11
x y z
x y z
x y z
TEORIJSKA PITANJA
1. Gausova metoda
2. Kramerova metoda i diskusija rešenja
MATRIČNA METODA ZA REŠAVANJE SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA
• Dat je sistem od 3 jednačine sa 3 promenljive( kvadratni sistem)
• Sistem se može napisati u matričnom obliku kao AX=B gde je
Pod pretpostavkom da je matrica A regularna, tj. da joj je determinanta
različita od nule, sistem ima jedinstveno rešenje, koje dobijamo rešavanjem jednačine
11 12 13 1
21 22 23 2
13 32 33 3
, ,
a a a x b
A a a a X y B b
a a a z b
1X A B
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 n
a x a y a z b
a x a y a z b
a x a y a z b
Primer Matričnom metodom rešiti sistem jednačina
Rešenje:
2 3 7
3 2 3
2 6
x y z
x y z
x y z
2 3 1 7
3 2 1 3
1 1 2 6
x
A B X y
z
1 1 1 1
1
5 5 51
det 10, 7 3 510
1 1 5
AX B A AX A B IX A B X A B
A A
1
10 11
10 110
20 2
, , 1, 1, 2
X A B
x y z
Primer
Sistem rešiti pomoću sve 3 metode
a) Rešiti sistem jednačina Gausovom metodom
2
2 3 4
2 3
x y z
x y z
x y z
2 2 2 1
2 3 4 3 4 6 1 2
2 3 1 3 3
x y z x y z x y z x
x y z y z y z y
x y z y z z z
b) Rešiti sistem jednačina Kramerovom metodom2
2 3 4
2 3
x y z
x y z
x y z
1 1 1 2 1 1
1 2 3 1, 4 2 3 1,
2 1 1 3 1 1
1 2 1 1 1 2
1 4 3 2, 1 2 4 3.
2 3 1 2 1 3
x
y z
D D
D D
• Kako je
• po Kramerovim formulama dobijamo rešenje
1, 2, 3
, , 1, 2,3
yx zDD D
x y zD D D
x y z
1, 1, 2, 3x y zD D D D
c) Matričnom metodom rešiti sistem jednačina2
2 3 4
2 3
x y z
x y z
x y z
1 1 1 2
1 2 3 4
2 1 1 3
x
A B X y
z
1
1
1 0 1
det 1, 7 1 4
5 1 3
AX B X A B
A A
1
1 0 1 2 1
7 1 4 4 2
5 1 3 3 3
, , 1, 2,3
X A B
x y z
HOMOGENI SISTEM LINEARNIH JEDNAČINA
Sistem jednačina kod koga je slobodni član jednak nuli naziva se homogeni sistem.
Svaki homogeni sistem ima trivijalno rešenje (0,0,0).
Da bi homogeni sistem imao i netrivijalnih rešenja potrebno je da detminanta sistema bude jednaka nuli.
11 12 13
21 22 23
31 32 33
0
0
0
a x a y a z
a x a y a z
a x a y a z
Primer
Rešiti homogeni sistem jednačina
Rešenje:
Sistem ima samo ima samo trivijalno rešenje (0;0,0) jer je determinanta sistema
2 3 0
0
4 0
x y z
x y
x y z
0D
Primer Odrediti vrednost parametra a tako sa homogeni sistem jednačina ima i netrivijalna rešenja.
Rešenje:
Vrednost determinante sistema je:
Da bi sistem imao i netrivijalnih rešenja mora da bude ispunjeno da je D=0, tj. 9-9a=0, odakle dobijamo da je a=1.
2 2 0
0
4 0
x y z
x ay
x y z
2 2 1
1 0 9 9
1 1 4
D a a
Zadaci za vežbu
1. Gausovom metodom rešiti sistem jednačina
2. Kramerovom metodom rešiti sistem jednačina
3. Rešiti homogeni sistem jednačina i diskutovati rešenja u zavisnosti od paramerta .
4. Rešiti sistem jednačina matričnom metodom
2 3
2 3 1
3 2 4
x y z
x y z
x y z
1
2 3
3
ax y z
x ay z
x y z
2 2 3 0
3 5 0
7 3 0
x y z
x ay z
x y z
2
2 3 2
2 5
x y z
x y z
x y z
Teorijska pitanja
1. Matrična metoda za rešavanje sistema jednačina
2. Homogeni sistem jednačina
Recommended