Sistemi linearnih jednaina Gausova metodaKramerova metodaMatrina metoda

LINEARNE JEDNAINE

Linearna jednaina je svaka jednaina sa nepoznatom koja se ekvivalentnim transformacijama svodi na jednainu oblika

Ako je , jednaina ima jedinstveno reenje Ako je i , jednaina nema reenja (jednaina je nemogua). Ako je i , jednaina ima beskonano mnogo reenja ( reenje ).

Primer Reiti jednainu

Reenje:

SISTEM DVE JEDNAINE SA DVE NEPOZNATEReiti sistem dve linearne jednaina sa dve nepoznate znai nai par brojeva koji zadovoljavaju obe jednaine.

Elementarne metode za reavanje ovih sistema su:metoda zamene metoda suprotnih koeficijenata.

Primer Reiti sistem jednaina metodom zamene

Reenje:

Primer

Reiti sistem jednaina metodom suprotnih koeficijenata

Reenje:

SISTEMI LINEARNIH JEDNAINA GAUSOVA METODA -GAUSOV ALGORITAMDat je sistem od linearnih jednaina sa nepoznatih.

gde je ili Gausova metoda se sastoji u sukcesivnom eliminisanju nepoznatih iz sistema i transformacijom u trougaoni ili trapezni ekvivalentni sistem iz koga se dobija reenje ili se ustanovi da sistem nema reenja.

GAUSOVA METODAPretpostavimo da je koeficijent Iskljuimo nepoznatu iz svih jednaina sistema osim prve.

Da bismo to realizovali potrebno je prvu jednainu pomnoiti sa i dodati je drugoj jednaini, zatim prvu jednainu pomnoiti sa i dodati je treoj jednaini, itd. Na taj nain se umesto polaznog sistema dobija ekvivalentan sistem:

Ako bi produili isti postupak k-1 puta dobili bi sistem

Ako su svi koeficijenti dobijenog sistema jednaki nuli, a slobodni lan nije nula, sistem nema reenja.Ako je k=n sistem ima jedinstveno reenje. Ako je k

Primer Gausovom metodom reiti sistem jednaina

Reenje:Nakon mnoenja prve jednaine redom sa -2 i 2 dodavanjem redom drugoj i treoj jednaini dobijamo sistem

Dodavanjem druge jednaine treoj dobijamo trougaoni sistem

Iz poslednje jednaine neposredno dobijamo da je z=3, zamenom te vrednosti u drugu jednainu dobijamo da je y=2, a konano zamenom obe ove izraunate vrednosti u prvu jednainu dobijamo da je x=1.

Dakle reenje je

Primer Gausovom metodom reiti sistem jednaina

Reenje :Nakon mnoenja prve jednaine redom sa -2 i -10 i dodavanjem redom drugoj i treoj jednaini dobijamo sistem

Mnoenjem druge jednaine sa -7 i dodavanjem treoj dobijamo sistem

Ovo je neodreen sistem, koji ima beskonano mnogo reenja.

Stavljajui da je z=t, gde je t bilo koji realan broj, neposredno se dobija reenje

Primer Gausovom metodom reiti sistem jednaina

Reenje :Ovo je nemogu sistem

KRAMEROVA METODA(Kramer 1704-1752) Dat je sistem od 3 jednaine sa 3 promenljivih (kvadratni sistem)Uoimo sledee determinante:

Ako je determinanta sistema , tada sistem ima jedinstveno reenje

Ako je determinanta sistema D=0 , a bar jedna od determinanti

sistem nema reenja.

Ako je determinanta sistema D=0 i sve determinante sistem je neodreen i ako ima reenja moe ih imati samo beskonano mnogo.

Primer Reiti sistem jednaina

Reenje:

Primer Reiti sistem jednaina

Reenje:

Kako je

prema Kramerovoj teoremi sistem nema reenja.

Primer Reiti sistem jednaina

Reenje:Kako jezakljuujemo da je sistem neodreen i transformie se u ekvivalentni sistem

koji ima beskonano mnogo reenja.

Opte reenje je

Primer 9Reiti sistem jednaina

Reenje:

Za

Za

Sistem je neodreen. Zamenom vrednosti a=1 u polazni sistem dobijamo sistem od 3 iste jednaine,koji se time svodi na jednu jednainu oblika X+Y+Z=1.Ako izaberemo da je X=t i Y=k, gde su t i k proizvoljni realni brojevi, za promenljivu z dobijamo Z=1-t-k.Dakle reenje sistema je ureena trojka (X,Y,Z)=(t,k,1-t-k)

ZADACI ZA VEBUGausovom metodom reiti sistem jednaina

Kramerovom metodom reiti sistem jednaina

Kramerovom metodom reiti sistem jednaina i diskutovati reenja u zavisnosti od parametra a

TEORIJSKA PITANJA

Gausova metoda

Kramerova metoda i diskusija reenja

MATRINA METODA ZA REAVANJE SISTEMA LINEARNIH JEDNAINADat je sistem od 3 jednaine sa 3 promenljive( kvadratni sistem)

Sistem se moe napisati u matrinom obliku kao AX=B gde je

Pod pretpostavkom da je matrica A regularna, tj. da joj je determinantarazliita od nule, sistem ima jedinstveno reenje, koje dobijamo reavanjem jednaine

Primer Matrinom metodom reiti sistem jednaina

Reenje:

Primer Sistem reiti pomou sve 3 metode

a) Reiti sistem jednaina Gausovom metodom

b) Reiti sistem jednaina Kramerovom metodom

Kako je

po Kramerovim formulama dobijamo reenje

c) Matrinom metodom reiti sistem jednaina

HOMOGENI SISTEM LINEARNIH JEDNAINA

Sistem jednaina kod koga je slobodni lan jednak nuli naziva se homogeni sistem.

Svaki homogeni sistem ima trivijalno reenje (0,0,0).

Da bi homogeni sistem imao i netrivijalnih reenja potrebno je da detminanta sistema bude jednaka nuli.

Primer Reiti homogeni sistem jednaina

Reenje:Sistem ima samo ima samo trivijalno reenje (0;0,0) jer je determinanta sistema

Primer Odrediti vrednost parametra a tako sa homogeni sistem jednaina ima i netrivijalna reenja.

Reenje:Vrednost determinante sistema je:

Da bi sistem imao i netrivijalnih reenja mora da bude ispunjeno da je D=0, tj. 9-9a=0, odakle dobijamo da je a=1.

Zadaci za vebuGausovom metodom reiti sistem jednaina

Kramerovom metodom reiti sistem jednaina

Reiti homogeni sistem jednaina i diskutovati reenja u zavisnosti od paramerta .

Reiti sistem jednaina matrinom metodom

Teorijska pitanja

Matrina metoda za reavanje sistema jednaina

Homogeni sistem jednaina