Sistemi linearnih jednačina Gausova metoda

Kramerova metodaMatrična metoda

LINEARNE JEDNAČINE

• Linearna jednačina je svaka jednačina sa nepoznatom koja se ekvivalentnim transformacijama svodi na jednačinu oblika

• Ako je , jednačina ima jedinstveno rešenje

• Ako je i , jednačina nema rešenja (jednačina je nemoguća).

• Ako je i , jednačina ima beskonačno mnogo rešenja ( је rešenje ).

,ax b a b R

x

0a

bxa

0a 0b

x R

0a 0b

Primer Rešiti jednačinu

Rešenje:

5 22

4 3

x xx

5 22 15 2 4 24

4 315 4 24 30 5 30 6

x xx x x x

x x x x x

0 , 2x x

SISTEM DVE JEDNAČINE SA DVE NEPOZNATE

Rešiti sistem dve linearne jednačina sa dve nepoznate znači naći par brojeva koji zadovoljavaju obe jednačine.

Elementarne metode za rešavanje ovih sistema su:

metoda zamene

metoda suprotnih koeficijenata.

Primer Rešiti sistem jednačina metodom zamene

Rešenje:

2 5

3 6

x y

x y

5 22 5 5 2

3 5 2 63 6 3 6

5 2 5 2 3 1

3 3 3

y xx y y x

x xx y x y

y x y y

x x x

Primer

Rešiti sistem jednačina metodom suprotnih koeficijenata

Rešenje:

2 5

3 6

x y

x y

2 5 6 3 15 7 21 3

3 6 3 6 3 6 1

x y x y x x

x y x y x y y

SISTEMI LINEARNIH JEDNAČINA

GAUSOVA METODA -GAUSOV ALGORITAM

Dat je sistem od linearnih jednačina sa nepoznatih.

gde je ili

Gausova metoda se sastoji u sukcesivnom eliminisanju nepoznatih iz sistema i transformacijom u trougaoni ili trapezni ekvivalentni sistem iz koga se dobija rešenje ili se ustanovi da sistem nema rešenja.

m n

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

,m n m n m n

GAUSOVA METODA

• Pretpostavimo da je koeficijent Isključimo nepoznatu iz svih jednačina sistema osim prve.

• Da bismo to realizovali potrebno je prvu jednačinu pomnožiti sa i dodati je drugoj jednačini, zatim prvu jednačinu pomnožiti sa i dodati je trećoj jednačini, itd. Na taj način se umesto polaznog sistema dobija ekvivalentan sistem:

11 0a 1x

21 11a a

31 11a a

11 1 12 2 1 1

(1) (1) (1)22 2 2 2

(1) (1) (1)2 2

n n

n n

m mn n m

a x a x a x b

a x a x b

a x a x b

Ako bi produžili isti postupak k-1 puta dobili bi sistem

Ako su svi koeficijenti dobijenog sistema jednaki nuli, a slobodni član nije nula, sistem nema rešenja.

Ako je k=n sistem ima jedinstveno rešenje.

Ako je k<n sistem ima beskonačno rešenja.Tada su slobodne promenljive koje prenosimo na desnu stranu, a zatim se određuju vezane promenljive

11 1 12 2 1 1

(1) (1) (1)22 2 2 2

( 1) ( 1) ( 1)

n n

n n

k k kkk k kn n k

a x a x a x b

a x a x b

a x a x b

1, ,k nx x

1 1, ,k kx x x

Primer Gausovom metodom rešiti sistem jednačina

Rešenje:Nakon množenja prve jednačine redom sa -2 i 2 dodavanjem redom drugoj i trećoj jednačini dobijamo sistem

2 3 4

2 3

2 2 6

x y z

x y z

x y z

2 3 4

5 7 11

5 4 2

x y z

y z

y z

Dodavanjem druge jednačine trećoj dobijamo trougaoni sistem

Iz poslednje jednačine neposredno dobijamo da je z=3, zamenom te vrednosti u drugu

jednačinu dobijamo da je y=2, a konačno zamenom obe ove izračunate vrednosti u prvu

jednačinu dobijamo da je x=1.

Dakle rešenje je

2 3 4

5 7 11

3 9

x y z

y z

z

, , 1, 2,3x y z

Primer Gausovom metodom rešiti sistem jednačina

Rešenje :Nakon množenja prve jednačine redom sa -2 i -10 i dodavanjem redom drugoj i

trećoj jednačini dobijamo sistem

Množenjem druge jednačine sa -7 i dodavanjem trećoj dobijamo sistem

2 10

3 14

21 7 98

x y z

y z

y z

2 10

3 14

0 0

x y z

y z

z

2 10

2 6

10 3 2

x y z

x y z

x y z

Ovo je neodređen sistem, koji ima beskonačno mnogo rešenja.

Stavljajući da je z=t, gde je t bilo koji realan broj, neposredno se dobija rešenje

2 14, , , ,

3 3

t tx y z t

KRAMEROVA METODA

(Kramer 1704-1752) Dat je sistem od 3 jednačine sa 3 promenljivih (kvadratni sistem)

11 12 1

21 22 2

13 32 3

z

a a b

D a a b

a a b

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 n

a x a y a z b

a x a y a z b

a x a y a z b

Uočimo sledeće determinante:

11 12 13

21 22 23

13 32 33

a a a

D a a a

a a a

11 1 13

21 2 23

13 3 33

y

a b a

D a b a

a b a

1 12 13

2 22 23

3 32 33

x

b a a

D b a a

b a a

• Ako je determinanta sistema , tada sistem ima jedinstveno rešenje

• Ako je determinanta sistema D=0 , a bar jedna od determinanti

sistem nema rešenja.

• Ako je determinanta sistema D=0 i sve determinante sistem je neodređen i ako ima rešenja može ih imati samo beskonačno mnogo.

0D

, ,yx zDD D

x y zD D D

0 , 0, 0x y zD D D

0x y zD D D

Primer

Rešiti sistem jednačina

Rešenje:

72

32

123

zx

zyx

zyx

1 3 2 1 3 2

2 1 1 13 0 3 1 1 13

1 0 2 7 0 2xD D

1 1 2 1 3 1

2 3 1 26 2 1 3 39

1 7 2 1 0 7y zD D

13 26 391, 2, 3

13 13 13yx zDD D

x y zD D D

Primer Rešiti sistem jednačina

Rešenje:

Kako je

prema Kramerovoj teoremi sistem nema rešenja.

3

2 2 2

2 3 3

x y z

x y z

x y z

0 , 32xD D

Primer Rešiti sistem jednačina

Rešenje:Kako je

zaključujemo da je sistem neodređen i transformiše se u ekvivalentni sistem

koji ima beskonačno mnogo rešenja.

Opšte rešenje je

2 10

3 14

x y z

y z

2 10

2 6

10 3 2

x y z

x y z

x y z

1 2 30 , 0D D D D

2 14, , , , ,

3 3

t tx y z t t R

Primer 9Rešiti sistem jednačina

Rešenje:

Za 0, . 1D tj a

1

2

3

ax y z

x ay z

x y z

21 , 4 1 , 5 1 , 6 1x y zD a D a D a D a

4 5 6, , , ,

1 1 1x y z

a a a

4 5 6, ,1 1 1

yx zDD D

x y zD a D a D a

Za

Sistem je neodređen. Zamenom vrednosti a=1 u polazni sistem dobijamo sistem od 3 iste jednačine,koji se time svodi na jednu jednačinu oblika X+Y+Z=1.

Ako izaberemo da je X=t i Y=k, gde su t i k proizvoljni realni brojevi, za promenljivu z dobijamo Z=1-t-k.

Dakle rešenje sistema je uređena trojka

(X,Y,Z)=(t,k,1-t-k)

0, . 1D tj a 21 , 1,

0, 0, 0x y z

D a a

D D D

ZADACI ZA VEŽBU

1. Gausovom metodom rešiti sistem jednačina

2. Kramerovom metodom rešiti sistem jednačina

3. Kramerovom metodom rešiti sistem jednačina i diskutovati rešenja u zavisnosti od parametra a

2 3 4

2 3

2 2 6

x y z

x y z

x y z

1

1

1

ax y z

x ay z

x y az

3 2 5

2 3 1

2 3 11

x y z

x y z

x y z

TEORIJSKA PITANJA

1. Gausova metoda

2. Kramerova metoda i diskusija rešenja

MATRIČNA METODA ZA REŠAVANJE SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA

• Dat je sistem od 3 jednačine sa 3 promenljive( kvadratni sistem)

• Sistem se može napisati u matričnom obliku kao AX=B gde je

Pod pretpostavkom da je matrica A regularna, tj. da joj je determinanta

različita od nule, sistem ima jedinstveno rešenje, koje dobijamo rešavanjem jednačine

11 12 13 1

21 22 23 2

13 32 33 3

, ,

a a a x b

A a a a X y B b

a a a z b

1X A B

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 n

a x a y a z b

a x a y a z b

a x a y a z b

Primer Matričnom metodom rešiti sistem jednačina

Rešenje:

2 3 7

3 2 3

2 6

x y z

x y z

x y z

2 3 1 7

3 2 1 3

1 1 2 6

x

A B X y

z

1 1 1 1

1

5 5 51

det 10, 7 3 510

1 1 5

AX B A AX A B IX A B X A B

A A

1

10 11

10 110

20 2

, , 1, 1, 2

X A B

x y z

Primer

Sistem rešiti pomoću sve 3 metode

a) Rešiti sistem jednačina Gausovom metodom

2

2 3 4

2 3

x y z

x y z

x y z

2 2 2 1

2 3 4 3 4 6 1 2

2 3 1 3 3

x y z x y z x y z x

x y z y z y z y

x y z y z z z

b) Rešiti sistem jednačina Kramerovom metodom2

2 3 4

2 3

x y z

x y z

x y z

1 1 1 2 1 1

1 2 3 1, 4 2 3 1,

2 1 1 3 1 1

1 2 1 1 1 2

1 4 3 2, 1 2 4 3.

2 3 1 2 1 3

x

y z

D D

D D

• Kako je

• po Kramerovim formulama dobijamo rešenje

1, 2, 3

, , 1, 2,3

yx zDD D

x y zD D D

x y z

1, 1, 2, 3x y zD D D D

c) Matričnom metodom rešiti sistem jednačina2

2 3 4

2 3

x y z

x y z

x y z

1 1 1 2

1 2 3 4

2 1 1 3

x

A B X y

z

1

1

1 0 1

det 1, 7 1 4

5 1 3

AX B X A B

A A

1

1 0 1 2 1

7 1 4 4 2

5 1 3 3 3

, , 1, 2,3

X A B

x y z

HOMOGENI SISTEM LINEARNIH JEDNAČINA

Sistem jednačina kod koga je slobodni član jednak nuli naziva se homogeni sistem.

Svaki homogeni sistem ima trivijalno rešenje (0,0,0).

Da bi homogeni sistem imao i netrivijalnih rešenja potrebno je da detminanta sistema bude jednaka nuli.

11 12 13

21 22 23

31 32 33

0

0

0

a x a y a z

a x a y a z

a x a y a z

Primer

Rešiti homogeni sistem jednačina

Rešenje:

Sistem ima samo ima samo trivijalno rešenje (0;0,0) jer je determinanta sistema

2 3 0

0

4 0

x y z

x y

x y z

0D

Primer Odrediti vrednost parametra a tako sa homogeni sistem jednačina ima i netrivijalna rešenja.

Rešenje:

Vrednost determinante sistema je:

Da bi sistem imao i netrivijalnih rešenja mora da bude ispunjeno da je D=0, tj. 9-9a=0, odakle dobijamo da je a=1.

2 2 0

0

4 0

x y z

x ay

x y z

2 2 1

1 0 9 9

1 1 4

D a a

Zadaci za vežbu

1. Gausovom metodom rešiti sistem jednačina

2. Kramerovom metodom rešiti sistem jednačina

3. Rešiti homogeni sistem jednačina i diskutovati rešenja u zavisnosti od paramerta .

4. Rešiti sistem jednačina matričnom metodom

2 3

2 3 1

3 2 4

x y z

x y z

x y z

1

2 3

3

ax y z

x ay z

x y z

2 2 3 0

3 5 0

7 3 0

x y z

x ay z

x y z

2

2 3 2

2 5

x y z

x y z

x y z

Teorijska pitanja

1. Matrična metoda za rešavanje sistema jednačina

2. Homogeni sistem jednačina