4 Bulova Algebra

Visoka tehniVisoka tehniččka škola Niška škola Niš

Osnovi računarske tehnike(4)

Bulova algebraBulova algebra

Prof. dr Zoran Veličković, dipl. inž. el.Prof. dr Zoran Veličković, dipl. inž. el.

Mart, 2015.Mart, 2015.

Studijski programi: KOT i SRTStudijski programi: KOT i SRT

Osnovi računarske tehnike(4)

Bulova algebraBulova algebra

Prof. dr Zoran Veličković, dipl. inž. el.Prof. dr Zoran Veličković, dipl. inž. el.

Mart, 2015.Mart, 2015.

Bulova algebraBulova algebra Britanski matematičar, George BooleGeorge Boole, je 1850. objavio novunovu

formu matematikeformu matematike koja je poznata kao Bulova algebraBulova algebra.

Bulova algebraBulova algebra je jedan od alataalata koji se koriste uprojektovanjuprojektovanju, analizianalizi i optimizacijioptimizaciji elektronskihelektronskihkolakola od kojih se grade računarski sitemiračunarski sitemi.

Osnovna načelaOsnovna načela Bulove algebre su:

1.1. Logički iskazLogički iskaz može imati samo dve vrednostidve vrednosti:: TAČNUTAČNU (engl. true) ili NETAČNUNETAČNU (engl. false).

2.2. Logički iskaziLogički iskazi se mogu kombinovatikombinovati: Ako se logički iskazi kombinuju pomoću I OPERATORAI OPERATORA (engl. AND)

nazivaju se KONJUNKCIJEKONJUNKCIJE. Sa druge strane, iskazi kombinovani ILI OPERATOROMILI OPERATOROM (engl. OR)

nazivaju se DISJUNKCIJEDISJUNKCIJE.

Britanski matematičar, George BooleGeorge Boole, je 1850. objavio novunovuformu matematikeformu matematike koja je poznata kao Bulova algebraBulova algebra.

Bulova algebraBulova algebra je jedan od alataalata koji se koriste uprojektovanjuprojektovanju, analizianalizi i optimizacijioptimizaciji elektronskihelektronskihkolakola od kojih se grade računarski sitemiračunarski sitemi.

Osnovna načelaOsnovna načela Bulove algebre su:

1.1. Logički iskazLogički iskaz može imati samo dve vrednostidve vrednosti:: TAČNUTAČNU (engl. true) ili NETAČNUNETAČNU (engl. false).

2.2. Logički iskaziLogički iskazi se mogu kombinovatikombinovati: Ako se logički iskazi kombinuju pomoću I OPERATORAI OPERATORA (engl. AND)

nazivaju se KONJUNKCIJEKONJUNKCIJE. Sa druge strane, iskazi kombinovani ILI OPERATOROMILI OPERATOROM (engl. OR)

nazivaju se DISJUNKCIJEDISJUNKCIJE.

Operatori u Bulovoj algebriOperatori u Bulovoj algebri Simboli Bulovih operatoraoperatora dati su u tabeli:

Tek je ClaudeClaude ShannonShannon 19381938, koncept Bulove agebre, primenio nabinarne promenljivebinarne promenljive {00 i 11}, a koje se jednostavnojednostavno mogu realizovatielektronskim kolimaelektronskim kolima.

Cifre {00 i 11} koje se koriste za predstavljanje vrednosti u binarnombinarnombrojnom sistemubrojnom sistemu se u Bulovoj algebri nazivaju logičke vrednostilogičke vrednosti.

OperatorOperator OznakaOznaka Engleski nazivEngleski naziv

II (&)(&),, ((··)),, ((××)),, ((ΛΛ)) ANDANDILIILI (|)(|),, (+)(+),, ((νν)) OROR

Simboli Bulovih operatoraoperatora dati su u tabeli:

Tek je ClaudeClaude ShannonShannon 19381938, koncept Bulove agebre, primenio nabinarne promenljivebinarne promenljive {00 i 11}, a koje se jednostavnojednostavno mogu realizovatielektronskim kolimaelektronskim kolima.

Cifre {00 i 11} koje se koriste za predstavljanje vrednosti u binarnombinarnombrojnom sistemubrojnom sistemu se u Bulovoj algebri nazivaju logičke vrednostilogičke vrednosti.

(|)(|),, (+)(+),, ((νν))ISKLJUČIVO ILIISKLJUČIVO ILI (^)(^),, ( )( ) XORXOR

NEGACIJANEGACIJA (komplement)(komplement) ((¯̄)),, ((!!), (), (´́), (), (¬¬)) NOTNOT

Predstavljanje logiPredstavljanje logiččkih funkcijakih funkcija

BuloviBuloviizraziizrazi

VezeVeze između logičkih iskazalogičkih iskaza koje formiraju logičke funkcijelogičke funkcije mogubiti prikazanena tri ravnopravna načinatri ravnopravna načina: JednačinamaJednačinama (Bulovi izrazi), tablicom istinitostitablicom istinitosti i simboličkom logikomsimboličkom logikom..

Osnovne logičkeOsnovne logičkefunkcijefunkcije su datena sledećim slajdovima

TablicaTablicaistinitostiistinitosti

BuloviBuloviizraziizrazi

LogLogičkiičkidijagramidijagrami

VezeVeze između logičkih iskazalogičkih iskaza koje formiraju logičke funkcijelogičke funkcije mogubiti prikazanena tri ravnopravna načinatri ravnopravna načina: JednačinamaJednačinama (Bulovi izrazi), tablicom istinitostitablicom istinitosti i simboličkom logikomsimboličkom logikom..

Osnovne logičkeOsnovne logičkefunkcijefunkcije su datena sledećim slajdovima

TablicaTablicaistinitostiistinitosti

Osnovne logiOsnovne logiččke funkcije (1)ke funkcije (1)Unarna operacijaUnarna operacija Binarne operacije: a i b su logičke promenljiveBinarne operacije: a i b su logičke promenljive

JednačinaJednačina

TablicaTablicaistinitostiistinitosti

BAFERBAFER II ILIILI ISKLJ. ILIISKLJ. ILI

y = ay = a··bb y = a+by = a+b y = ay = abby = ay = a

TablicaTablicaistinitostiistinitosti

GrafičkiGrafički--LogičkimLogičkimkolimakolima

AlternativaAlternativa

Osnovne logiOsnovne logiččke funkcije (2)ke funkcije (2)Unarna operacijaUnarna operacija Binarne operacije: a i b su logičke promenljiveBinarne operacije: a i b su logičke promenljive

NINI NILINILI ISKLJ.NILIISKLJ.NILIKOMPLEMENTKOMPLEMENT

JednačinaJednačina

TablicaTablicaistinitostiistinitosti

Invertor funkcije - NN

y = ay = a··bb y = a+by = a+b y = ay = abb

TablicaTablicaistinitostiistinitosti

GrafičkiGrafički--LogičkimLogičkimkolimakolima

AlternativaAlternativa y = a’y = a’

Specijalni sluSpecijalni sluččajevi I/ILI funkcija, b=0ajevi I/ILI funkcija, b=0b=0b=0

ZAPAMTITE !!ZAPAMTITE !!

Domaći zadatak: Tablicom istinitisti pokazati rezultate zaspecifične slučajeve 1)1) b=1 2)2) b=a 3)3) b=a’

Specijalni sluSpecijalni sluččajeviajevi** I/ILI funkcija, b=1I/ILI funkcija, b=1b=1b=1

ZAPAMTITE !!ZAPAMTITE !!

Specijalni sluSpecijalni sluččajeviajevi** I/ILI funkcija, b=I/ILI funkcija, b=aab=ab=a

ZAPAMTITE !!ZAPAMTITE !!

Specijalni sluSpecijalni sluččajeviajevi** I/ILI funkcija, b=I/ILI funkcija, b=āāb=b=āā

ZAPAMTITE !!ZAPAMTITE !!

Dvostruka negacijaDvostruka negacija

ZAPAMTITE !!ZAPAMTITE !!kolone a i y su identične!kolone a i y su identične!

Osobina komutacije I/ILI funkcijeOsobina komutacije I/ILI funkcije

ZAPAMTITE !!ZAPAMTITE !!

Prioritet Bulovih operatoraPrioritet Bulovih operatora Prioritet operatoraPrioritet operatora u Bulovoj algebri je sličansličan kao kod standardne

aritmetike i može se regulisati zagradama:

66 ++ 22 ×× 44 ≡≡ 66 ++ (2(2 ×× 4)4)

aa || bb && cc ≡≡ aa || (b(b && c)c)

Usled ove sličnosti operator && (engl. ANDAND) se naziva logičkologičkomnoženjemnoženje ili proizvodproizvod, dok je operator || (engl. OROR) poznat kaologičko sabiranjelogičko sabiranje ili sumasuma.

66 ×× (5(5 ++ 2)2) ≡≡ (6(6 ×× 5)5) ++ (6(6 ×× 2)2)

Korišćenjem operatora i definisanjem prioriteta, u Bulovoj algebrimogu se formirati proizvoljne logičke funkcijeproizvoljne logičke funkcije.

U narednim slajdovima biće pokazane osnovne osobineosnovne osobine nekih Bulovihiskaza i operatora.

Prioritet operatoraPrioritet operatora u Bulovoj algebri je sličansličan kao kod standardnearitmetike i može se regulisati zagradama:

66 ++ 22 ×× 44 ≡≡ 66 ++ (2(2 ×× 4)4)

aa || bb && cc ≡≡ aa || (b(b && c)c)

Usled ove sličnosti operator && (engl. ANDAND) se naziva logičkologičkomnoženjemnoženje ili proizvodproizvod, dok je operator || (engl. OROR) poznat kaologičko sabiranjelogičko sabiranje ili sumasuma.

66 ×× (5(5 ++ 2)2) ≡≡ (6(6 ×× 5)5) ++ (6(6 ×× 2)2)

Korišćenjem operatora i definisanjem prioriteta, u Bulovoj algebrimogu se formirati proizvoljne logičke funkcijeproizvoljne logičke funkcije.

U narednim slajdovima biće pokazane osnovne osobineosnovne osobine nekih Bulovihiskaza i operatora.

Osobina asocijativnosti za & i |Osobina asocijativnosti za & i |

Osobina distributivnostiOsobina distributivnosti

y kolone su identične!y kolone su identične!

Specijalni sluSpecijalni sluččajeviajevi** logilogiččkih funkcijakih funkcija

UprošUprošććavanje logiavanje logiččkih izrazakih izraza**

Y = a + bY = a + b Y = aY = a ·· bb

Osnovne jednakosti Bulove algebreOsnovne jednakosti Bulove algebrePravila Bulove algebrePravila Bulove algebreNeutralni elementNeutralni element

Suma proizvodaSuma proizvoda iliili proizvod sumaproizvod suma

Komutativni zakonKomutativni zakon

Asocijativni zakonAsocijativni zakon

Distributivni zakonDistributivni zakon

Zakon AbsorpcijeZakon Absorpcije

ZadatakZadatak

RešenjeRešenje

ProblemProblemKoristeći prethodna pravila Bulove algebre uprostitiuprostiti sledeći iskaz:

1

1

Jednakost br.Jednakost br.

1414

4

14

18

14

14

2, 6

DomaDomaćći zadataki zadatak Odrediti logičko stanje xx na izlazu. Napisati logičke funkcije datih kola.

a)a)

b)b)

DeMorganovaDeMorganova teorema omogućava transformaciju logičkih funkcijatransformaciju logičkih funkcija.

Obezbeđuju realizaciju jedne te istejedne te iste logičke funkcijelogičke funkcije na viševišerazličitih načinarazličitih načina.

DeMorganoveDeMorganove transformacijetransformacije se satoje odod 4 koraka4 koraka::

1.1. IzmenitiIzmeniti sve II operatore sa ILIILI operatorima i obratnoi obratno..

2.2. InverovatiInverovati svesve promenljivepromenljive, takođe izmenite 00 u 11 i obratno.

3.3. InverovatiInverovati kompletnu funkcijukompletnu funkciju.

4.4. RedukuovatiRedukuovati niz više invertoraniz više invertora (ako postoji).

Pogledajmo primer prmene DeMorganoveDeMorganove teoremeteoreme na sledećem slajduza primer:

y =y = aa && bb

DeMorganova teoremaDeMorganova teorema DeMorganovaDeMorganova teorema omogućava transformaciju logičkih funkcijatransformaciju logičkih funkcija.

Obezbeđuju realizaciju jedne te istejedne te iste logičke funkcijelogičke funkcije na viševišerazličitih načinarazličitih načina.

DeMorganoveDeMorganove transformacijetransformacije se satoje odod 4 koraka4 koraka::

1.1. IzmenitiIzmeniti sve II operatore sa ILIILI operatorima i obratnoi obratno..

2.2. InverovatiInverovati svesve promenljivepromenljive, takođe izmenite 00 u 11 i obratno.

3.3. InverovatiInverovati kompletnu funkcijukompletnu funkciju.

4.4. RedukuovatiRedukuovati niz više invertoraniz više invertora (ako postoji).

Pogledajmo primer prmene DeMorganoveDeMorganove teoremeteoreme na sledećem slajduza primer:

y =y = aa && bb

22--ulazna I funkcija (1)ulazna I funkcija (1)11223344

00

y kolone suy kolone suidentične !identične !

11223344

00

22--ulazna I/NILI funkcijaulazna I/NILI funkcija** (2)(2)

22--ulazna ILI/NILIulazna ILI/NILI** funkcijafunkcija

Invertorfunkcije (a·b)

Invertorfunkcije (a·b)

Realizacija logiRealizacija logiččkih funkcijakih funkcija Bulovim izrazima se predstavlja prekidačkaprekidačka -- logička funkcijalogička funkcija tako

da nezavisne promenljive (simboli u izrazu) uzimaju vrednostiuzimaju vrednosti izskupa {{0,10,1}}.

U osnovi postoje dve tehnikedve tehnike za realizaciju Bulovih logičkih -prekidačkih funkcija direktnodirektno iz tabele istinitostiiz tabele istinitosti.

Kod prve tehnike formiraju se tzv. MINTERMIMINTERMI za svaku liniju izza svaku liniju iztabele istinitostitabele istinitosti čiji je izlaz jednak 1izlaz jednak 1, a zatim se povezuju ILIILIoperateromoperaterom.

Ova realizacija se naziva suma proizvodasuma proizvoda SoPSoP (engl. SSum oofPProducts) - ili DNFDNF (DDisjunktna NNormalna FForma).

Kada se formiraju tzv. MAXTERMIMAXTERMI za svaku liniju iz tabeliza svaku liniju iz tabeliistinitostiistinitosti čiji je izlaz jednak 0izlaz jednak 0 a zatim se povezuju I operateromI operaterom.

Ova realizacija se naziva proizvod sumaproizvod suma PoSPoS (engl. PProducts oof SSum)ili KNFKNF (KKonjuktivna NNormalna FForma).

Bulovim izrazima se predstavlja prekidačkaprekidačka -- logička funkcijalogička funkcija takoda nezavisne promenljive (simboli u izrazu) uzimaju vrednostiuzimaju vrednosti izskupa {{0,10,1}}.

U osnovi postoje dve tehnikedve tehnike za realizaciju Bulovih logičkih -prekidačkih funkcija direktnodirektno iz tabele istinitostiiz tabele istinitosti.

Kod prve tehnike formiraju se tzv. MINTERMIMINTERMI za svaku liniju izza svaku liniju iztabele istinitostitabele istinitosti čiji je izlaz jednak 1izlaz jednak 1, a zatim se povezuju ILIILIoperateromoperaterom.

Ova realizacija se naziva suma proizvodasuma proizvoda SoPSoP (engl. SSum oofPProducts) - ili DNFDNF (DDisjunktna NNormalna FForma).

Kada se formiraju tzv. MAXTERMIMAXTERMI za svaku liniju iz tabeliza svaku liniju iz tabeliistinitostiistinitosti čiji je izlaz jednak 0izlaz jednak 0 a zatim se povezuju I operateromI operaterom.

Ova realizacija se naziva proizvod sumaproizvod suma PoSPoS (engl. PProducts oof SSum)ili KNFKNF (KKonjuktivna NNormalna FForma).

KanoniKanoniččne forme: mintermi i maxtermine forme: mintermi i maxtermiMintermiMintermi (log.(log. 11))

--potpuni proizvodipotpuni proizvodiMaxtermiMaxtermi (log.(log. 00))--potpune sumepotpune sume

“I” funkcije“I” funkcije “ILI” funkcije“ILI” funkcije

MINTERMIMINTERMI predstavljaju kombinaciju ulaznih parametara povezanihI funkcijomI funkcijom koji daju rezultat 11, dok MAXTERMIMAXTERMI predstavljajukombinaciju ulaznih parametara povezanih ILI funkcijomILI funkcijom koji dajuvrednost 00.

Ulazni vektoriUlazni vektori

Dizajn prekidaDizajn prekidaččkih funkcija (1)kih funkcija (1) Pod dizajnom logičkih funkcija podrazumeva se određivanje logičkihodređivanje logičkih

vezaveza sadržaja crne kutijecrne kutije kako bi se na njenom izlazunjenom izlazu realizovalaprekidačka funkcija zadata tablicom istinitosti..

CrnaCrna

kutijakutija

Tablica istinitostiTablica istinitostiprekidačke funkcijeprekidačke funkcije

Dizajn prekidaDizajn prekidaččkih funkcija (2)kih funkcija (2)Proizvod sumaProizvod suma –– PoSPoS -- KNFKNF

Suma proizvodaSuma proizvoda –– SoPSoP -- DNFDNF

Realizacija prekidaRealizacija prekidaččkih funkcijakih funkcija

ProizvodaProizvoda

SumaSuma

SumaSuma

ProizvodProizvod

DomaDomaćći zadataki zadatak Realizujte funkciju yy predstavljenu tablicom istinitostitablicom istinitosti:

PrekidaPrekidaččke funkcije od n promenljivihke funkcije od n promenljivih Bulovim izrazima se predstavljaju PREKIDAČKEPREKIDAČKE - LOGIČKELOGIČKE

FUNKCIJEFUNKCIJE, tako da nezavisne promenljive (predstavljene simbolimau izrazu) uzimaju vrednostiuzimaju vrednosti iz skupa BB = {= {0,10,1}}.

Prekidačka funkcija ff od nn promenljivih se označava na sledći način:

f(x1, x2, ... ,xn), xi ϵ BB, i=0, 1 , ..., n

Elementi skupa BBnn su uredjene nuredjene n--torketorke i nazivaju se VEKTORIMAVEKTORIMAPROSTORAPROSTORA.

Ukupan broj vektora u prostoru BBnn je 22nn.

Prekidačka funkcijaPrekidačka funkcija je POTPUNO DEFINISANAPOTPUNO DEFINISANA ukoliko je njenavrednost definisana na svakomsvakom vektoru prostora BBnn.

Prekidačka funkcijaPrekidačka funkcija je NEPOTPUNO DEFINISANANEPOTPUNO DEFINISANA ukoliko njenavrednost nije definisana na svakomsvakom vektoru prostora BBnn.

Bulovim izrazima se predstavljaju PREKIDAČKEPREKIDAČKE - LOGIČKELOGIČKEFUNKCIJEFUNKCIJE, tako da nezavisne promenljive (predstavljene simbolimau izrazu) uzimaju vrednostiuzimaju vrednosti iz skupa BB = {= {0,10,1}}.

Prekidačka funkcija ff od nn promenljivih se označava na sledći način:

f(x1, x2, ... ,xn), xi ϵ BB, i=0, 1 , ..., n

Elementi skupa BBnn su uredjene nuredjene n--torketorke i nazivaju se VEKTORIMAVEKTORIMAPROSTORAPROSTORA.

Ukupan broj vektora u prostoru BBnn je 22nn.

Prekidačka funkcijaPrekidačka funkcija je POTPUNO DEFINISANAPOTPUNO DEFINISANA ukoliko je njenavrednost definisana na svakomsvakom vektoru prostora BBnn.

Prekidačka funkcijaPrekidačka funkcija je NEPOTPUNO DEFINISANANEPOTPUNO DEFINISANA ukoliko njenavrednost nije definisana na svakomsvakom vektoru prostora BBnn.

Predstavljanje logiPredstavljanje logiččkih funkcijakih funkcija Slično kao i osnovne logičke funkcije, složenije logičke funkcije se mogu

predstaviti: Tablicom istinitostiTablicom istinitosti;; Skupovima decimalnih indeksa;Skupovima decimalnih indeksa; Kombinacionim vektoromKombinacionim vektorom;; Bulovim izrarzimaBulovim izrarzima..

xx11xx22xx33 ff11(x(x11xx22xx33)) ff22(x(x11xx22xx33))

000000 11 11

001001 00 00

Slično kao i osnovne logičke funkcije, složenije logičke funkcije se mogupredstaviti: Tablicom istinitostiTablicom istinitosti;; Skupovima decimalnih indeksa;Skupovima decimalnih indeksa; Kombinacionim vektoromKombinacionim vektorom;; Bulovim izrarzimaBulovim izrarzima..

010010 00 **

011011 00 00

100100 11 **

101101 00 00

110110 11 11

111111 11 **

ff11 je POTPUNOPOTPUNODEFINISANADEFINISANAlogička funkcija

od tri promenljive

ff22 je NEPOTPUNONEPOTPUNODEFINISANADEFINISANA

logička funkcija odtri promenljive

Decimalni indeks funkcijaDecimalni indeks funkcija Svaki vektor prostora BBnn se može posmatrati i kao nn-tocifreni binarni

broj čiji se dekadni ekvivalent naziva decimalni indeksdecimalni indeks vektoravektora.

Za POTPUNO DEFINISANUPOTPUNO DEFINISANU prekidačku funkciju definiše se skupskupdecimalnih indeksadecimalnih indeksa koji odgovaraju vektorioma na kojima funkcija imavrednost 00, f(0)f(0), odnosno, skup decimalnih indeksa koji odgovarajuvektorima na kojima funkcija ima vrednost 11, f(1)f(1).

Za NEPOTPUNO DEFINISANUNEPOTPUNO DEFINISANU prekidačku funkciju definiše se iskup decimalnih indeksaskup decimalnih indeksa koji odgovaraju vektorioma na kojimafunkcija nije devinisana f(*)f(*).

Primer za prethodno prikazanu tablicu istinitosti:

ff11(0)={1, 2, 3, 5}(0)={1, 2, 3, 5} ff22(0)={1, 3, 5}(0)={1, 3, 5}

ff11(1)={0, 4, 6, 7}(1)={0, 4, 6, 7} ff22(1)={0, 6}(1)={0, 6}

ff22(*)={2, 4, 7}(*)={2, 4, 7}

Svaki vektor prostora BBnn se može posmatrati i kao nn-tocifreni binarnibroj čiji se dekadni ekvivalent naziva decimalni indeksdecimalni indeks vektoravektora.

Za POTPUNO DEFINISANUPOTPUNO DEFINISANU prekidačku funkciju definiše se skupskupdecimalnih indeksadecimalnih indeksa koji odgovaraju vektorioma na kojima funkcija imavrednost 00, f(0)f(0), odnosno, skup decimalnih indeksa koji odgovarajuvektorima na kojima funkcija ima vrednost 11, f(1)f(1).

Za NEPOTPUNO DEFINISANUNEPOTPUNO DEFINISANU prekidačku funkciju definiše se iskup decimalnih indeksaskup decimalnih indeksa koji odgovaraju vektorioma na kojimafunkcija nije devinisana f(*)f(*).

Primer za prethodno prikazanu tablicu istinitosti:

ff11(0)={1, 2, 3, 5}(0)={1, 2, 3, 5} ff22(0)={1, 3, 5}(0)={1, 3, 5}

ff11(1)={0, 4, 6, 7}(1)={0, 4, 6, 7} ff22(1)={0, 6}(1)={0, 6}

ff22(*)={2, 4, 7}(*)={2, 4, 7}

Kombinacioni vektor, decimalni indeksKombinacioni vektor, decimalni indeks U notaciji prikaza prekidačkih funkcija preko kombinacionog vektorakombinacionog vektora

(vektora istinitosti) mogu se izostaviti kolone sa vektorima:

FF11=[=[1000101110001011]]TT

Vektor istinitosti POTPUNO DEFINISANE FUNKCIJEPOTPUNO DEFINISANE FUNKCIJE od nnpromenljivihpromenljivih se može posmatrati kao binarni brojbinarni broj sa 22nn cifara.

Dekadni ekvivalent binarnog brojabinarnog broja je decimalni indeksdecimalni indeks funkcije.

Tako da je za prikazanu funkciju:

DDF1F1==209209

Primer prikaza Bulovim izrazimaBulovim izrazima:

ff11(x(x11xx22xx33) = x) = x11··xx22 ·· xx33

ff22(x(x11xx22xx33) = x) = x11 ·· xx22+x+x33

U notaciji prikaza prekidačkih funkcija preko kombinacionog vektorakombinacionog vektora(vektora istinitosti) mogu se izostaviti kolone sa vektorima:

FF11=[=[1000101110001011]]TT

Vektor istinitosti POTPUNO DEFINISANE FUNKCIJEPOTPUNO DEFINISANE FUNKCIJE od nnpromenljivihpromenljivih se može posmatrati kao binarni brojbinarni broj sa 22nn cifara.

Dekadni ekvivalent binarnog brojabinarnog broja je decimalni indeksdecimalni indeks funkcije.

Tako da je za prikazanu funkciju:

DDF1F1==209209

Primer prikaza Bulovim izrazimaBulovim izrazima:

ff11(x(x11xx22xx33) = x) = x11··xx22 ·· xx33

ff22(x(x11xx22xx33) = x) = x11 ·· xx22+x+x33

Potpuni proizvod, sumaPotpuni proizvod, suma ELEMENTARNIELEMENTARNI PROIZVODPROIZVOD u kojem učestvuju SVE PROMENLJIVESVE PROMENLJIVE

se naziva POTPUNI PROIZVODPOTPUNI PROIZVOD (minterm). ELEMENTARNAELEMENTARNA SUMASUMA u kojoj učestvuju sve promenljivesve promenljive se naziva

potpuna sumapotpuna suma (maksterm)). Potpuni proizvodPotpuni proizvod (minterm) ima vrednost 11 samo na jednom vektorusamo na jednom vektoru

iz skupa BBnn. Potpuna sumaPotpuna suma (maksterm) ima vrednost 00 samo na jednom vektorusamo na jednom vektoru iz

skupa BBnn. Svaka prekidačka funkcijaSvaka prekidačka funkcija (osim konstante 0) se može predstavitimože predstaviti

kao suma potpunih proizvodasuma potpunih proizvoda (minterma) koji imaju vr. 11 na onimvektorima na kojima i funkcija ima vr. 11.

Svaka prekidačka funkcijaSvaka prekidačka funkcija (osim konstante 1) se može predstavitimože predstavitikao proizvod potpunih sumaproizvod potpunih suma (maksterma) koje imaju vr. 00 na onimvektorima na kojima i funkcija ima vr. 00.

ELEMENTARNIELEMENTARNI PROIZVODPROIZVOD u kojem učestvuju SVE PROMENLJIVESVE PROMENLJIVEse naziva POTPUNI PROIZVODPOTPUNI PROIZVOD (minterm).

ELEMENTARNAELEMENTARNA SUMASUMA u kojoj učestvuju sve promenljivesve promenljive se nazivapotpuna sumapotpuna suma (maksterm)).

Potpuni proizvodPotpuni proizvod (minterm) ima vrednost 11 samo na jednom vektorusamo na jednom vektoruiz skupa BBnn.

Potpuna sumaPotpuna suma (maksterm) ima vrednost 00 samo na jednom vektorusamo na jednom vektoru izskupa BBnn.

Svaka prekidačka funkcijaSvaka prekidačka funkcija (osim konstante 0) se može predstavitimože predstavitikao suma potpunih proizvodasuma potpunih proizvoda (minterma) koji imaju vr. 11 na onimvektorima na kojima i funkcija ima vr. 11.

Svaka prekidačka funkcijaSvaka prekidačka funkcija (osim konstante 1) se može predstavitimože predstavitikao proizvod potpunih sumaproizvod potpunih suma (maksterma) koje imaju vr. 00 na onimvektorima na kojima i funkcija ima vr. 00.

Potpuna polinomna formaPotpuna polinomna forma Svaka prekidačka funkcija (osim konstante 1) se može predstaviti

kao suma po modulu 2suma po modulu 2 potpunih proizvodapotpunih proizvoda koji imaju vrednost 11 naonim vektorima na kojima i funkcija ima vrednost 11.

Dobijeni Bulov izraz se naziva POTPUNA POLINOMNA NORMALNAPOTPUNA POLINOMNA NORMALNAFORMAFORMA (PPNFPPNF).

f(xf(x11, x, x22, ... ,x, ... ,xnn)=c)=c00 cc11 xx11...... ccnn xxnncc1212 xx11 xx22 ...... cc1n1n xx1n1n cc123123 xx11xx22 xx33 ...... cc12..n12..n xx11 xx2 ...2 ... xxnn

Polinom po modulu 2 se može dobiti iz potpune polinomne normalneforme tako što se svaka negacijasvaka negacija zameni izrazom xxii11.

Napomena: Operator suma po modulu 2 je označen sa ..

Svaka prekidačka funkcija (osim konstante 1) se može predstavitikao suma po modulu 2suma po modulu 2 potpunih proizvodapotpunih proizvoda koji imaju vrednost 11 naonim vektorima na kojima i funkcija ima vrednost 11.

Dobijeni Bulov izraz se naziva POTPUNA POLINOMNA NORMALNAPOTPUNA POLINOMNA NORMALNAFORMAFORMA (PPNFPPNF).

f(xf(x11, x, x22, ... ,x, ... ,xnn)=c)=c00 cc11 xx11...... ccnn xxnncc1212 xx11 xx22 ...... cc1n1n xx1n1n cc123123 xx11xx22 xx33 ...... cc12..n12..n xx11 xx2 ...2 ... xxnn

Polinom po modulu 2 se može dobiti iz potpune polinomne normalneforme tako što se svaka negacijasvaka negacija zameni izrazom xxii11.

Napomena: Operator suma po modulu 2 je označen sa ..