Upload
others
View
21
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Raču
nars
ka te
hnika
Izvo
di iz
pre
dava
nja
2012
/201
3.
Računarska tehnika Bulova algebra i logička kola
6. BULOVA ALGEBRA I LOGIČKA KOLA
Poznato je da se pojam algebre odnosi na oblast matematike koja se
bavi proučavanjem opštih svojstava brojnih sistema i opštih metoda rešavanja problema pomoću jednačina. To, međutim, nije jedina vrsta algebre. Džordž Bul (1815. - 1864.) je pronašao novu vrstu algebre, algebru koja se bavi logikom i procesom zaključivanja. Još od prvih grčkih filozofa, logika i zaključivanje se baziraju na upotrebi “istinitih” i “neistinitih” ili “tačnih” i “netačnih” tvrdnji. Dugo su matematičari pokušavali da matematički izraze logičke zakone "istinu - neistinu" i uvedu ih u oblast algebre. To je prvi put uspelo Džordžu Bulu sa publikacijom “Ispitivanje zakona mišljenja”, objavljenom 1854. godine (Boole, G.: An Investigation of Laws of Thought, London, Dover Publication Inc., New York, 1854.).
Bul je uveo zakone logičkog mišljenja u algebru i razvio matematički aparat - novu vrstu algebre, koja je po njemu dobila ime Bulova algebra (prekidačka algebra).
Bulova algebra je ostala u oblasti neprimenjene matematike skoro ceo jedan vek. Prvu primenu Bulove algebre pronašao je Šenon u svom članku "Simbolička analiza relejnih i prekidačkih kola" iz 1938. godine (Shannon, C.E.: A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits, Transactions of the AIEE, Vol. 57, 1938.). U tom članku Šenon je upotrebio Bulovu algebru koja je time našla svoju primenu u digitalnoj tehnici.
U ovoj glavi su dati osnovni identiteti Bulove algebre, logička kola kojima se realizuju logičke (Bulove) funkcije i potreban aparat za sintezu logičkih mreža, koje čine osnovu digitalne tehnike, tj. savremenih računarskih sistema, telekomunikacija, itd. 6.1. Elementarne logičke funkcije
Logičke funkcije se nazivaju još i Bulove ili prekidačke funkcije. Elementarne logičke funkcije su: logička ILI (eng. OR) funkcija, logička I (eng. AND) funkcija i logička NE (eng. NOT) funkcija. Elementarne logičke funkcije se realizuju elementarnim logičkim kolima.
41
Raču
nars
ka te
hnika
Izvo
di iz
pre
dava
nja
2012
/201
3.
Računarska tehnika Bulova algebra i logička kola
6.1.1. Logička ILI funkcija i logičko ILI kolo
Logički izraz za elementarnu logičku ILI funkciju glasi: Izlaz će imati stanje "1", ako je bar jedan od ulaza u stanju "1"; ili: Izlaz će imati stanje "0", ako i samo ako su svi ulazi u stanju "0".
Ova funkcija se često naziva uključivo ILI (inkluzivno ILI). Ekvivalentna električna (prekidačka) mreža za dva ulaza izgleda kao na slici 6.1.
x1
x2 y
Slika 6.1. Prekidačka ILI mreža
Logički operator za funkciju ILI je ili +, pa se funkcija ILI sa n promenljivih može zapisati u obliku:
∨
nxxxxxY ∨∨∨∨∨= ...3321 , ili u obliku
nxxxxxY +++++= ...3321 ,
zbog čega se ova funkcija naziva i logički zbir. Tablica istinitosti (eng. Truth Table) za logičku funkciju ILI sa dve
promenljive data je tabelarno:
ILI (OR) x1 x2 x1 + x2
0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
Tabela 6.1. Tabela istinitosti za logičku ILI funkciju
Simbol prema standardu ANSI (eng. American National Standard Institute) za ILI logičko kolo (Slika 6.2.) je prihvaćen i koristi se kod prikazivanja šema povezivanja u digitalnoj, a samim tim i računarskoj tehnici.
42
Raču
nars
ka te
hnika
Izvo
di iz
pre
dava
nja
2012
/201
3.
Računarska tehnika Bulova algebra i logička kola
x1
x2
y
Slika 6.2. Simbol za logičko ILI kolo prema ANSI standardu
Iz tablice istinitosti i sa slike 6.2. neposredno slede neki od Bulovih identiteta:
11=+A , AA =+ 0 , AAA =+ .
Za logički zbir tj. logičku ILI funkciju važe, kao i za klasično sabiranje, zakoni:
- komutativnost: ABBA +=+ , - asocijativnost: )()( CBACBACBA ++=++=++ .
6.1.2. Logička I funkcija i logičko I kolo
Logički izraz za elementarnu logičku I funkciju glasi: Izlaz će imati stanje "1", ako i samo ako su svi ulazi u stanju "1"; ili: Izlaz će imati stanje "0", ako je bar jedan od ulaza u stanju "0".
Ekvivalentna električna (prekidačka) mreža izgleda kao na slici 6.3. x1 x2
y
Slika 6.3. Prekidačka I mreža
Logički operator za funkciju I je ∧ ili • , pa se funkcija I sa n promenljivih može zapisati u obliku:
nxxxxxY ∧∧∧∧∧= ...3321 , ili
nxxxxxY ⋅⋅⋅⋅⋅= ...3321 ,
zbog čega se ova funkcija naziva i logički proizvod. Tablica istinitosti za logičku funkciju I sa dve promenljive data je
tabelarno na sledeći način:
43
Raču
nars
ka te
hnika
Izvo
di iz
pre
dava
nja
2012
/201
3.
Računarska tehnika Bulova algebra i logička kola
I (AND) x1 x2 y
0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
Tabela 6.2. Tablica istinitosti za logičku I funkciju
Simbol za I logičko kolo prikazan je na slici 6.4. x1
x2
y
Slika 6.4. Simbol za logičko I kolo prema ANSI standardu
Iz tablice istinitosti neposredno slede osnovni Bulovi identiteti:
AA =⋅1 , 00 =⋅A , AAA =⋅ .
Za logički proizvod (logičku I funkciju) važe, kao i za klasično množenje, zakoni:
- komutativnost: ABBA ⋅=⋅ , - asocijativnost: )()( CBACBACBA ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ .
Pomoću tablice istinitosti se može proveriti da li važi zakon distributivnosti iz klasične algebre za logički zbir i logički proizvod ( ACABCBA +=+ )( ).
A B C B+C A(B+C) AB AC AB+AC 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Tabela 6.3. Provera važnosti zakona distributivnosti
44
Raču
nars
ka te
hnika
Izvo
di iz
pre
dava
nja
2012
/201
3.
Računarska tehnika Bulova algebra i logička kola
Na ovaj način, formiranjem tablica istinitosti, može se proveriti valjanost svih logičkih relacija. Problem je što kod dokazivanja logičkih relacija sa velikim brojem promenljivih tablica istinitosti postaje izuzetno velika, a samim tim i nepraktična. 6.1.3. Logička NE funkcija i logičko NE kolo
Logički izraz za elementarnu logičku NE funkciju glasi: Izlaz će imati stanje "1" ako i samo ako ulaz ima stanje "0"; ili: Izlaz će imati stanje "0" ako i samo ako ulaz ima stanje "1".
Ova funkcija naziva se i logička negacija ili komplement i izvršava se
nad jednom promenljivom, pa zato je i operacija unarna. Logički operator za komplement je , unarni operator, pa se funkcija
može zapisati u obliku:
AY = .
Tablica istinitosti za logičku NE funkciju je prikazana u tabeli 6.4:
A Y0 1 1 0
Tabela 6.4. Tablica istinitosti za logičku NE funkciju
Simbol prema ANSI standardu za NE logičko kolo je prikazan na slici 6.5. Često se za ovo logičko kolo koristi naziv invertor.
x y
Slika 6.5. Simbol za logičku NE funkciju
Iz tablice istinitosti neposredno slede osnovni Bulovi identiteti:
0=⋅ AA , 1=+ AA ,
AA = .
45
Raču
nars
ka te
hnika
Izvo
di iz
pre
dava
nja
2012
/201
3.
Računarska tehnika Bulova algebra i logička kola
6.2. Logičke funkcije i logička kola NILI i NI
Kombinacijom elementarnih logičkih funkcija i odgovarajućih logičkih kola dobijena su izvedena logička kola NILI (eng. Not OR, NOR) i NI (eng. Not AND, NAND). Izvedene logičke funkcije su:
NILI: 21 xxY += , NI: 21 xxY ⋅= .
NILI (NOR)
1x 2x 21 xx + 21 xx +
0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0
Tabela 6.5. Logička NILI funkcija
NI (NAND)
1x 2x 21xx 21xx
0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0
Tabela 6.6. Logička NI funkcija
Simboli za izvedena logička kola NI i NILI, prema ANSI standardu, prikazani su na slici 6.6., respektivno:
x1x1
x2
x2
y y
Slika 6.6. ANSI simboli za NI i NILI kolo
46
Raču
nars
ka te
hnika
Izvo
di iz
pre
dava
nja
2012
/201
3.
Računarska tehnika Bulova algebra i logička kola
6.3. Logička funkcija isključivo ILI
Ekskluzivno ili isključivo ILI (eng. eXclusive OR, XOR) spada u složena logička kola, jer se sastoji od elementarnih logičkih kola i predstavlja specifičnu logičku funkciju.
Logički izraz za funkciju isključivo ILI glasi: Izlaz će imati vrednost
"1" ako i samo ako je broj jedinica na ulazu neparan; ili: Izlaz će imati vrednost "0" ako i samo ako je broj jedinica na ulazu paran. Zbog toga se ova logička funkcija često naziva suma po modulu 2.
Logički operator za funkciju XOR je ⊕ , pa se funkcija XOR sa n
promenljivih možemo zapisati u obliku:
nxxxxxY ⊕⊕⊕⊕⊕= ...3321
XOR
1x 21 xx2x ⊕0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0
Tabela 6.7. Tablica istinitosti za logičku funkciju EXOR
Ova logička funkcija se može realizovati na više načina od kojih su neki prikazani na slici 6.7. Međutim, postoji i elektronsko kolo koje direktno realizuje XOR funkciju.
yAB
yAB
BABABAY ⊕=+= ))(( BABAY ++=
Slika 6.7. Neki načini realizacije XOR elementarnim logičkim kolima
S obzirom na to da ovo složeno logičko kolo ima veliku primenu u digitalnoj tehnici, ono ima svoj simbol u ANSI standardu koji je prikazani su na slici 6.8.
47
Raču
nars
ka te
hnika
Izvo
di iz
pre
dava
nja
2012
/201
3.
Računarska tehnika Bulova algebra i logička kola
x1
x2
y
Slika 6.8. Simbol za XOR logičko kolo
Iz tablice istinitosti i iskaza za ovu logičku funkciju neposredno slede i odgovarajući osnovni Bulovi identiteti:
AA =⊕1 , AA =⊕ 0 , 0=⊕ AA 1=⊕ AA .
Za logičku funkciju isključivo ILI (XOR) važe zakoni komutativnosti i asocijativnosti:
- komutativnost: ABBA ⊕=⊕ , - asocijativnost: )()( CBACBACBA ⊕⊕=⊕⊕=⊕⊕ .
koje se dokazuju korišćenjem osnovnih Bulovih identiteta. Na primer,
ABABABBABABA ⊕=+=+=⊕ .
6.4. Generisanje logičkih funkcija
Ukupan broj različitih ulaznih stanja za funkciju od promenljivih izračunava se kao broj varijacija sa ponavljanjem od 2 elementa (0 i 1) - te klase . Ukupan broj logičkih funkcija od promenljivih izračunava se takođe kao broj varijacija sa ponavljanjem od 2 elementa (0 i 1), ali je sada
klasa pa je .
nn
n2 n
n2n
N 22=
Za 1=n biće: . 422 221===N
x 0y 1y 2y 3y0 0 0 1 1 1 0 1 0 1
Tabela 6.8. Logičke funkcije jedne promenljive
Značenja funkcija su sledeća:
00 =y , logička konstanta 0, xy =1 , ekvivalencija,
48
Raču
nars
ka te
hnika
Izvo
di iz
pre
dava
nja
2012
/201
3.
Računarska tehnika Bulova algebra i logička kola
xy =2 , negacija (komplement), 13 =y , logička konstanta 1.
Kako broj funkcija koje se mogu ostvariti na bazi n promenljivih iznosi
nN 22= za 2=n biće . 1622 422
===N
Sve prekidačke funkcije dve promenljive su prikazane u tabeli 6.9. a njihovi nazivi i algebarska definicija u tabeli 6.10.
Prekidačke funkcije
A B f0
f1
f2
f3
f4
f5
f6
f7
f8
f9
f10
f11
f12
f13
f14
f15
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
Tabela 6.9. Prekidačke funkcije dve promenljive
Naziv funkcije fi Funkcija fi
0. Konstanta 0 1. Konjunkcija (logički proizvod, I funkcija) AB 2. Negacija implikacije (inhibiciona funkcija) A B⇒ 3. Promenljiva A 4. Negacija implikacije (inhibiciona funkcija) B A⇒ 5. Promenljiva B 6. Isključivo ILI (negacija ekvivalencije) A B A B⊕ ⇔, 7. Disjunkcija (logički zbir, ILI funkcija) A B+ 8. Pirs-ova funkcija (NILI, operacija Lukasiewicz-a ) A B↓ 9. Ekvivalencija A B⇔ 10. Komplement promenljive B 11. Implikacija B A⇒ 12. Komplement promenljive A 13. Implikacija A B⇒ 14. Sheffer-ova funkcija (Ni, negacija konjunkcije) A B↑ 15. Konstanta 1
Tabela 6.10. Prekidačke funkcije dve promenljive
49
Raču
nars
ka te
hnika
Izvo
di iz
pre
dava
nja
2012
/201
3.
Računarska tehnika Bulova algebra i logička kola
6.5. De Morganove teoreme
De Morgan je bio veliki logičar i matematičar i Bulov prijatelj. Između važnih De Morganovih doprinosa logici, posebno su značajne dve teoreme izražene sledećim relacijama:
Ι De Morganova teorema:
BABA +=⋅ ,
ΙΙ De Morganova teorema:
BABA ⋅=+ .
Logički iskaz za I De Morganovu teoremu glasi: Komplement logičkog proizvoda jednak je logičkom zbiru komplemenata.
Logički iskaz za II De Morganovu teoremu glasi: Komplement logičkog zbira jednak je logičkom proizvodu komplemenata.
De Morganove teoreme se mogu dokazati pomoću tablice istinitosti ili algebarski. Algebarski dokaz De Morganovih teorema:
00000)( =+=+=+=⋅+ xyyxyyxxyxyx
jer je:
yxA += , yxA += i 0=AA .
Tablica istinitosti za I De Morganovu teoremu:
I De Morganova teorema A B AB AB A B BA+ 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0
Tabela 6.11. Dokaz De Morganovih teorema
Iz jednakosti osenčenih kolona sledi da je BAAB += , dakle I De Morganova teorema važi.
Ako se proširi izraz na desnoj strani jednakosti, dobija se:
ABCCABCBA =+=++ ,
jer je BAAB += , što je dokazano i takođe, ABCCAB =+ .
50
Raču
nars
ka te
hnika
Izvo
di iz
pre
dava
nja
2012
/201
3.
Računarska tehnika Bulova algebra i logička kola
Dakle, I De Morganova teorema, za koju je dokazano da važi za dva člana, važi i za tri, pa i za članova, tj.: n
NCBANABC ++++=⋅⋅⋅⋅ ... .
NCBANCBA ⋅⋅⋅⋅=++++ ...... .
I De Morganova teorema praktično znači da su logički sklopovi sa slike 6.9. ekvivalentni.
xx
y
y
xy x+y
Slika 6.9. Ekvivalentna logička kola po I De Morgan - ovoj teoremi
Na sličan način se može dokazati da i II De Morganova teorema važi za n članova. II De Morganova teorema praktično znači da su logički sklopovi sa slike 6.10. ekvivalentni.
xx
y
y
xyx+y
Slika 6.10. Ekvivalentna logička kola po II De Morgan - ovoj teoremi
6.6. Dodatni logički identiteti
Osim formiranja tablica istinitosti, logičke relacije se mogu dokazivati korišćenjem osnovnih Bulovih identiteta. Na primer, koristeći osnovne Bulove identitete dokazati zakon apsorpcije:
BABAA +=+ .
Razvijanjem leve strane identiteta prvo množenjem neutralnim članom a zatim dodavanjem neutralnog člana dobija se
BAAABBBA
ABBABAABBABBABAA
+=+++=
=+++=++=+
)()(
)(
Prethodni identitet se može dokazati i pomoću tablice istinitosti.
51
Raču
nars
ka te
hnika
Izvo
di iz
pre
dava
nja
2012
/201
3.
Računarska tehnika Bulova algebra i logička kola
A B A BA BAA + BA + 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1
Tabela 6.12. Dokaz zakona apsorpcije tablicom istinitosti
Na sličan se može dokazati zakon generalnog sažimanja (dva člana funkcije koji se razlikuju samo po vrednosti jedne promenljive sažimaju se u jedan član bez te promenljive) na identitetu:
CBACCBABAC +=++
CBACACBBAC
CBCABABCACCBCCABACCBABAC
+=+++=
=+++=+++=++
)1()1(
)(
Primenom De Morganovih zakona je moguće dokazati sledeći identitet:
BABAAB ⊕=+
Razvijanjem desne strane dobija se
BAABBBBAABAABABA
BABABABABABABA
+=+++=+⋅+=
=+⋅+=⋅=+=⊕
)()(
)()(
6.7. Kombinaciona i sekvencijalna kola
Većina logičkih kola koja se realizuju pomoću elementarnih logičkih kola su kombinaciona kola, tj. logička kola čija vrednost na izlazu zavisi od trenutne kombinacije ulaznih veličina. Kombinaciona kola se projektuju za različite namene, počev od logičkih mreža za izvršavanje različitih logičkih i računskih operacija u računaru do mreža za rešavanje različitih praktičnih problema kao što su signalizacija alarma u različitim namenama i slično. Na drugoj strani, često postoji potreba, i to pre svega pri digitalnoj obradi podataka, da se podaci čuvaju i pamte tj. da se memorišu. To znači da ovakva kola moraju da budu u stanju da po prestanku delovanja ulaznih signala zadrže privremeno ili trajno uspostavljena logička stanja. Pri promeni pobudnih signala na ulazu ova kola menjaju zatečena (zapamćena) izlazna stanja u skladu sa funkcijom logičke mreže. To znači da izlazna funkcija kola zavisi osim od stanja ulaza (pobudnih signala) i od parametra koji vodi računa o prethodnom stanju kola. Zbog toga što ova kola zavise od
52
Raču
nars
ka te
hnika
Izvo
di iz
pre
dava
nja
2012
/201
3.
Računarska tehnika Bulova algebra i logička kola
vremenskog redosleda (sekvence) logičkih stanja, ona se nazivaju sekvencijalna kola i služe za izgradnju složenijih sekvencijalnih mreža. 6.8. Sinteza kola za aritmetičko sabiranje S obzirom na činjenicu da logičke funkcije realizuju isključivo logičke operacije, od interesa je sinteza logičke mreže za sabiranje dva broja, jer se sve aritmetičke operacije svode na sabiranje.
6.8.1. Polusabirač
Prilikom sinteze kombinacione mreže za sabiranje - sabirača polazi se od tablice istinitosti za sabiranje dva jednobitna binarna broja, bez uzimanja u obzir prethodno (eventualno) nastalog prenosa. Mreža za realizacuju ovakve funkcije se naziva polusabirač - HA (eng. half adder) i u tabeli 6.13. je prikazana njena tablica istinitosti.
A B Y1 (Zbir) Y2 (Prenos)0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1
Tabela 6.13. Tablica istinitosti polusabirača
Iz tablice istinitosti se vidi da vrednosti za izlaz Y1 (zbir jednobitnih brojeva A i B) odgovaraju funkciji ”Isključivo ILI”, a za izlaz Y2 funkciji “I”, tj.:
BAYBAY
⋅=⊕=
21
Odgovarajuća logička mreža polusabirača ima izgled kao na slici 6.11.
Y1 (Zbir)
Y2 (Prenos)
A
B
Polusabirac Slika 6.11. Logička mreža polusabirača
Logička mreža polusabirač može da posluži kao osnovni gradivni element za potpuni sabirač (sabirač koji uzima u obzir prethodno nastali prenos), za dvobitni, i u opštem slučaju za n-bitni sabirač.
53
Raču
nars
ka te
hnika
Izvo
di iz
pre
dava
nja
2012
/201
3.
Računarska tehnika Bulova algebra i logička kola
6.8.2. Potpuni sabirač
Očigledno je da polusabirač prilikom sabiranja dva broja sa n bitova može da se upotrebi samo za sabiranje bitova najmanje težine, jer prilikom sabiranja ne uzima u obzir prenos koji je nastao od sabiranja prethodnih bitova. Zbog toga je potrebno realizovati logičku mrežu za sabiranje dva jednobitna broja koja će uključivati i prethodno nastali prenos - potpuni sabirač FA (eng. full adder). Tablica istinitosti za potpuni sabirač sa ulazima za dva jednobitna broja A i B i ulazni prenos P je prikazana u tabeli 6.14.
A B P Y (Zbir) C (prenos) 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1
Tabela 6.14. Tablica istinitosti potpunog sabirača
Odgovarajuća logička mreža je prikazana na slici 6.12.
Y (Zbir)
C (Prenos)
A
P
B
Polusabirac
Polusabirac
Slika 6.12. Logička mreža potpunog sabirača
6.8.3. Sabirač dvobitnih i n-bitnih brojeva
Na sličan način, korišćenjem polusabirača i potpunog sabirača moguće je realizovati sabirač dvobitnih brojeva i n-to bitni sabirač. Logičke mreže su prikazane na slikama 6.13. i 6.14. Kada je u pitanju dvobitni sabirač treba imati u vidu sledeće činjenice: • nema potrebe za uzimanjem u obzir prethodnog prenosa;
54
Raču
nars
ka te
hnika
Izvo
di iz
pre
dava
nja
2012
/201
3.
Računarska tehnika Bulova algebra i logička kola
• polusabirač nalazi bit manje težine sume korišćenjem funkcije isključivo ILI nad bitovima najmanje težine ulaza;
• Izlazni prenos polusabirača je u isto vreme ulazni prenos potpunog sabirača;
• potpuni sabirač računa sumu ulaza A1 i A2 i bit prenosa.
A0 S0
S1
S2
A1
B0
B1
Polusabirac
Potpunisabirac
prenos 0
prenos 1
Slika 6.13. Logička mreža sabirača dva dvobitna broja
Kad je u pitanju sabirač dva n-bitna broja bitne su sledeće činjenice: • sabirači sa proizvoljno velike binarne brojeve se konstruišu korišćenjem
kaskadne veze potpunih sabirača; • linija za bit prenosa povezuje sabirače; • za n-bitni sabirač je potrebno 2n-1 logičkih kola.
A0A2
S0S3S4 S1S2
A1A3 B0B2 B1B3
Potpunisabirac Polusabirac
Potpunisabirac
Potpunisabirac
Slika 6.14. Logička mreža n-bitnog sabirača
6.9. Sinteza memorijskih kola Pri projektovanju sekvencijalnih kola potrebno je, kao i kod projektovanja kombinacionih kola, da se definišu funkcije koje to kolo treba da ispuni. Osnovna sekvencijalna kola su memorijska kola, odnosno logička kola koja i po prestanku delovanja ulaznog signala zadržavaju uspostavljeno logičko stanje na izlazu (nula ili jedan). Svako od stanja na izlazu treba da bude na neki način održavano i po prestanku delovanja pobudnog signala i to je bitna razlika memorijskog kola od bilo kog kombinacionog kola..
55
Raču
nars
ka te
hnika
Izvo
di iz
pre
dava
nja
2012
/201
3.
Računarska tehnika Bulova algebra i logička kola
6.9.1. RS flipflop
Flipflop je bistabilno kolo sa dva stanja koja se izražavaju na standardni način - logičkom nulom i logičkom jedinicom. Pored toga, kod flipflopa se uvodi termin koji opisuje stanje mirovanja (početno stanje) kola koje se naziva resetovano stanje (reset) i prema konvenciji odgovara stanju logičke nule. Stanje koje odgovara logičkoj jedinici se naziva setovano stanje (set). Osnovno memorijsko kolo kod koga postoji samo mogućnost resetovanja i setovanja se naziva RS flipflop. RS flipflop se realizuje uspostavljanjem povratne sprege između dva NILI logička kola. Ulazi memorijskog elementa su označeni sa R (reset) i S (set) a izlaz se izražava logičkom vrednošću na izlazu Q. Na slici 6.16. je prikazan grafički simbol i logička šema RS flipflopa sa NILI kolima.
SS
RR QQ
Slika 6.15. RS flipflop Ovo kolo može da bude samo setovano ili samo resetovano. Njegov rad kao memorijskog elementa može da bude opisan kombinacionom tabelom ili pomoću jednačina prekidačke algebre. Tabela sadrži sve moguće kombinacije nezavisno promenljivih veličina i odgovarajuće izlazne funkcije (stanja).
t=tn t=tn+1 R S Qn Qn+1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 ND 1 1 1 ND
Tabela 6.15. Kombinaciona tablica RS flipflopa
56
Raču
nars
ka te
hnika
Izvo
di iz
pre
dava
nja
2012
/201
3.
Računarska tehnika Bulova algebra i logička kola
Nezavisno promenljive veličine su vrednosti ulaza R i S, kao i prethodno stanje flipflopa na izlazu Q. Pošto su vrednosti izlaza Q važni u dva sukcesivna vremenska intervala, posle određenog vremenskog kvanta, (tzv. taktnog intervala), kombinaciona tabela sadrži vrednosti izlaza u dva susedna taktna intervala t=tn i t=tn+1 u oznaci Qn i Qn+1. (Izlaz Q ima komplemantarnu vrednost izlaza Q.). Iz kombinacione tablice se vidi da je izlazna funkcija flipflopa nedefinisana (ND) u slučaju da se pobudni signali dovedu istovremeno na oba ulaza kola. To znači da se pri ovakvoj pobudi ispoljavaju suprotne tendencije u kolu pa nije sigurno poznato da li će kolo biti setovano ili resetovano. Prekidačka funkcija flipflopa prema stanjima opisanim u tabeli 6.15. može da se nađe kao zbir logičkih proizvoda jednakih jedinici (potpuna disjunktivna normalna forma), tj.:
SRQSRSQRQSRQSRQ nnnn +=++=+1
Prethodni izraz koji opisuje izlaznu funkciju RS flipflopa može da se pojednostavi primenom zakona apsorpcije na sledeći način:
)()(1 nnnn QSRSQSRSRQSRQ +=+=+=+
Najzad, ako se nedefinisana stanja kola ND eliminišu na taj način što se pretpostavi da u posmatranom taktnom intervalu, ili S ili R moraju da imaju vrednost 0 dobija se:
nn QRSQ +=+1
Prethodna jednačina potpuno definiše logiku rada RS flipflopa. RS flipflop ima stanje logičke jedinice na izlazu jedino ako se setuje a zatim se ne resetuje, ili posmatrano unazad, ako je već bio u setovanom stanju a ne resetuje se.
6.10. Pitanja za proveru znanja 1. Elementarne logičke funkcije i elementarna logička kola 2. Izvedene logičke funkcije i izvedena logička kola. 3. Logička funkcija isključivo ILI. 4. Generisanje logičkih funkcija. 5. DeMorganove teoreme. 6. Dodatni logički identiteti. 7. Sinteza kola za aritmetičko sabiranje. 8. Sinteza memorijskih kola.
57