4[1]. PROBABILITA

PROBABILITPROBABILITAA

PROBABILITPROBABILITAA

2

Pengertian tentang Probabilita :• Teori tentang Probabilita adalah cabang

dari ilmu Matematika Terapan (applied mathematics) dan yang menelaah perilaku faktor untung2-an (chance factor).

• Konsep tentang untung2-an lebih mudah dijelaskan dengan contoh dari pada dirumuskan dengan kata2.

3

TEORI PROBABILITAAda 3 pengertian probabilita

1. A priori probability2. A posteriory probability (probabilitas

empiris/probability experimental/probabilita statistik)

3. Probabilitas Subjective

4

Ad. 1 Definisi: pada kondisi-kondisi yang telah di-

ketahui, bila terdapat n kejadian yang mungkin terjadi dan kejadian tersebut lengkap terbatas jumlahnya, saling meng-asingkan dan memiliki kesempatan yang sama untuk terjadi dan bila x dari pada kejadian diatas merupakan peristiwa A maka probabilita peristiwa A dapat dirumuskan sebagi ratio x/n

p ( A ) = x/n

5

Contoh I : Mata uang, permukaan yang satu adalah gambar burung (G), satu lagi adalah huruf (H)

Lalu dilemparkan maka akan terjadi satu kemungkinan/probabilita

p (H) = ½ atau p (G) = ½

6

Contoh II : Sebuah dadu, dilemparkan maka kemungkinan/probabilita dari 6 permukaan

p (mata 1) = 1/6p (mata 2 dan 4) = 2/6 = 1/3 p (mata ganjil) = 3/6 = ½

7

Contoh III : Setumpuk kartu , diambil salah satu-nya

maka akan terjadi kemungkinan/pro-babilita : hati = 13 : daun = 13 52 : sido = 13

: klaver = 13 maka p (1 buah kartu) = 1/52

8

Ad. 2Definisi: bila x merupakan jumlah

perwujudan kejadian yang khusus dalam serangkaian n percobaan yang tidak terbatas, maka probabilita A merupakan limit frekuensi relatif dari pada x/n

nxApn

/)( lim

9

Contoh: Seorang dokter ingin mengetahui berapa kemungkinan dari tiap 100 anak yang diperiksa kesehatannya akan men-derita penyakit cacingan. Setelah ia mela-kukan percobaan berulang-ulang ia menarik kemungkinan bahwa probabilita dari anak-anak yang diperiksa dan ternyata menderita penyakit cacingan ada 0,20

10

Percob I 100 anak 20 anak cacinganPercob II 100 anak 19 anak cacinganPercob III 100 anak 21 anak cacinganPercob IV 100 anak 20 anak cacingan

. . 400 80 . p (A) = 80/400 = 0,20Percobaan

11

Ad. 3 Adalah merupakan probabilita yang

ditafsirkan sebagai pengukuran dari pada kepercayaan pribadi terhadap sebuah hipotesa tertentu.

• Hypotesa: anggapan/dugaan bahwa hal itu benar

• Contoh: kemungkinan setelah lulus saya akan dipromosikan adalah 85 %

12

Sifat-sifat ProbabilitaSifat-sifat Probabilita

Probabilita suatu perristiwa mempunyai nilai antara 0 1 0 p (A) 1

Maka tidak mungkin p > 1 atau p < 0p (A) = 0 peristiwa A tersebut praktis tidak terjadip (A) = 1 peristiwa A tersebut praktis terjadi (keterangan: praktis berarti tidak mutlak)

13

Setiap peristiwa mempunyai dua hasil yaitu sukses dan gagal

p (sukses) = p p ( A ) _ p + q = 1

p ( gagal ) = q p ( A )

14

Macam peristiwaMacam peristiwa

I . Aturan pertambahan (rules of addition) 1. Aturan pertambahan yang khusus

Mutually Exclusive2. Aturan pertambahan yang umum

InclusiveII . Aturan perkalian (rules of multiplication)

1. Aturan perkalian yang khusus Independent 2. Aturan perkalian yang umum

Dependent

15

Ad. 1 Mutually Exclusive Aturan pertambahan yang khusus (special rule of addition)

Suatu peristiwa dikatakan mutually exclusive bila dan hanya bila kemungkinan terjadi-nya peristiwa yang satu menghilangkan kemungkinan peristiwa yang lain.

p ( A B ) = p ( A ) + p ( B )

16

Contoh : sebuah kotak diisi 5 bola hijau, 2 bola merah dan 8 bola biru. Kemudian diambil sebu-ah bola secara random,

a. Berapa kemungkinan terambilnya bola merahb. Berapa kemungkinan terambilnya bola biruc. Berapa kemungkinan terambilnya bola hijaud. Berapa kemungkinan terambilnya bola

merah atau hijaue. Berapa kemungkinan terambilnya bola merah

atau biru

17

Jawab:a.

b.

c.

152

151

151

21 MpMpMp

158

151..........15

1151..........)( 821 BpBpBpBp

155

151..........15

1151.......... 521 HpHpHpHp

18

Jawab:d.

e.

157

155

152 HpMpHMp

1510

158

152 BpMpBMp

19

Ad. 2 Inclusive Aturan pertambahan yang umum

(general rule of addition) Suatu peristiwa dikatakan inclusive bila dan hanya

bila kemungkinan terjadinya peristiwa yang satu menghilangkan kemungkinan terjadinya peristiwa yang lain, tetapi dari peristiwa yang terjadi terdapat sifat gabungan dari peristiwa-peristiwa yang ada.

p ( A B ) = p ( A ) + p ( B ) – p ( A B )

20

• Contoh 1 : dari setumpuk kartu yang terkocok baik, diambil secara random sebuah kartu. Berapa kemungkinan terambilnya kartu A atau

Jawab:

21

524Ap 52

13hatip

521hatiAp

134

5216

521

5213

524 hatiAp

22

Contoh 2 :• Dari sebuah populasi yang terdiri dari

pembaca majalah, persentage pembaca majalah A, B dan C serta kombinasinya adalah sebagai berikut :

A = 9,8% ; B = 22,9% ; C = 12,1% ; A dan B = 5,1% ; A dan C = 3,7% ; B dan C = 6,0% ; A dan B dan C = 2,4%

23

Pertanyaannya:• Berapakah probabilita seorang yang

dipilih secara random dari populasi tsb adalah pembaca A atau B.

• Berapa % dari populasi yang ternyata membaca paling sedikit 1 dari tiga majalah tsb ?

24

Jawab :•

= 9,8% + 22,9% – 5,1% = 27,6%

• Probabilita seorang yang dipilih secara random dari populasi tsb adalah pembaca A atau B adalah 27,6% (0,276)

BApBpApBAp

25

Jawab := p(A) + p(B) + p(C) – p(A B) – p(A C) – p (B C) + p(A B C)

= 9,8% + 22,9% + 12,1% – 5,1% – 3,7% – 6,0% + 2,4% = 32,4% 0,324

• Dari populasi yang ternyata membaca paling sedikit 1 dari tiga majalah tsb adalah 32,4% (0,324)

26

Ad. 3 Independent Aturan perkalian yang khusus

(special rule of multiplication)

Suatu peristiwa dikatakan independent (bebas) bila dan hanya bila kemungkinan terjadinya peristiwa yang satu tidak mempengaruhi kemungkinan timbulnya peristiwa yang lain.

p ( A B ) = p ( A ) . p ( B )

27

• Contoh I : kita masukkan dalam sebuah bejana 4 bola putih dan 6 bola merah, diambil 2 buah bola berturut-turut. Berapakan probabilita akan terambil: (pengambilan bola dilakukan dengan pengembalian /with replacement)a. Kedua-duanya bola putih.b. Kedua-duanya bola merahc. Bola putih dan merah

28

Jawab:a.

b.

c.

16,010016

104.10

421 PPp

36,010036

106.10

621 MMp

24,010024

106.10

4 MPp

29

• Contoh II : dari setumpuk kartu yang terkocok baik diambil berturut-turut 3 buah kartu. Pengambilannya dilakukan dengan cara pemulihan.a. Berapa kemungkinan terambilnya kartu

A, K dan Qb. Berapa kemungkinan terambilnya kartu

, dan c. Berapa kemungkinan terambilnya kartu

, merah dan Q

30

Jawab:a.

b.

c.

00045,0608.14016

524

524.52

4.524 3

QKAp

015,0608.140197.2

5213.52

13.5213 daundaundaunp

0096,0608.140352.1

524.52

26.5213 Qmerahdaunp

31

Ad. 4 DependentAturan perkalian yang umum

(general rule of multiplication)

Suatu peristiwa dikatakan dependent atau bersyarat bila dan hanya bila kemungkinan terjadinya peristiwa yang satu mempengaruhi kemungkinan timbulnya peristiwa yang lain.

32

p ( A B ) = p ( A ) . p ( B A ) = p ( B ) . p ( A B )

• p ( B A ) : kemungkinan terjadinya peris- tiwa B akibat dari terjadinya peristiwa A• p ( A B ) : kemungkinan terjadinya peris- tiwa A akibat dari terjadinya peristiwa B

33

• Contoh III: dari 20 radio yang ada disuatu gudang toko, terdapat 6 radio rusak, diambil 2 buah radio untuk diperiksa.a. Berapa kemungkinannya bahwa radio

yang diambil kedua-duanya rusak.b. Berapa kemungkinannya bahwa radio

yang diambil kedua-duanya bagus.c. Berapa kemungkinannya bahwa radio

yang diambil bagus dan rusak.

34

Jawaba.

b.

12121 /. RRpRpRRp

12121 /. BBpBpBBp

383

195.20

6

19091

1913.20

14

35

Jawab:

c.

9521

196.20

14/. 12121 BRpBpRBp

9521

1914.20

6/. 12121 RBpRpBRp

36

• karena antara (R1 B2) dan (B1 R2) merupakan peristiwa yang mutually exclusive, maka

212111 RBpBRpBRp

9542

9521

9521

37

Probabilita Majemuk (Compound Probability)

Dari probabilita bersyarat (dependent)p (B A) = p (B) . p(A B)p (A B) = p (A) . p(B A) p (A B) = p (A) . p(B A)

= p (B) . p(A B)• Penting untuk menghitung peristiwa yang

terdiri dari serangkaian percobaan majemuk (compound experiment)

38

Contoh I : Peti A berisi 3 bola hijau dan 5 bola merah. Peti B berisi 2 bola hijau, 1 bola merah dan

2 bola kuning.

• Bila kita memilih sebuah peti secara random dan kemudian memilih satu bola dari dalamnya secara random pula, berapakah probabilita kita akan memilih bola hijau

39

3 bola hijau 3/8

A ½ 5 bola merah 5/8

2 bola hijau 2/5B ½

1 bola merah 1/5

2 bola kuning 2/5

40

163

21.8

3. ApHpAHp

102

21.5

2. BpHpBHp

BHpAHpHp

3875,08031

102

163

41

163

83.2

1/. AHpApHAp

102

52.2

1/. BHpBpHBp

HBpHApHp

3875,08031

102

163

atau

42

Probabilita bersyarat bagi A, B & C

• A1, A2, A3, ………. , An.

p(A1 A2 A3 .. An) =

p ( A1) . p ( A2 A1) . p( A3 A1 A2)

…. p( An A1 A2 A3... An – 1 )

BACpABpApCBAp /./.

43

Contoh II : Kotak I berisi 10 bola merah & 5 bola putih. Kotak II berisi 5 bola biru, 4 bola merah

dan 6 bola putih.Kotak III berisi 3 bola hijau, 2 bola merah

dan 5 bola kuning Bila kita memilih sebuah kotak secara ran-

dom dan kemudian memilih satu bola dari dalamnya secara random pula, berapakah probabilita kita akan memilih bola merah

44

10 bola merah → p(merah) = 10/15 = 2/3

I → p (I) = 1/3 5 bola putih → p(putih) = 5/15 = 1/3

5 bola biru → p(biru) = 5/15 = 1/3 II → p (II) = 1/3

4 bola merah → p(merah) = 4/15 6bola putih → p(putih) = 6/15 = 2/5

3 bola hijau → p(hijau) = 3/10 III → p (III) = 1/3

2 bola merah → p(merah) = 2/10 = 1/5 5 bola kuning → p(kuning) = 5/10 = 1/2

45

22,09

2

3

1

3

2IMp

09,045

4

3

1

15

4IIMp

07,015

1

3

1

5

1IIIMp

46

Mp3875.0

45

17

15

1

45

4

9

2

IIIMpIIMpIMp

47

9

2

3

2

3

1/. IMpIpMIp

45

4

15

4

3

1/. IIMpIIpMIIp

30

2

10

2

3

1/. IIIMpIIIpMIIIp

Atau

48

Mp MIIIpMIIpMIp

3875.030

2

45

4

9

2

49

BAYES• Definisi: suatu sekatan dari suatu kelompok

A ialah kelompok { A1, A2, A3, ………. , An} yang memiliki ciri-ciri seperti berikut:a. Aj A j = 1,2, ….. ,n

b. Aj Ak .= 0 j = 1,2, … ,n dan

k = 1,2, … ,n ; j kc. A1 A2 A3 ………. An= A

50

BAYES• Misalkan :

A1 : 13 kartu daun maka { A1, A2,

A2 : 13 kartu cengkeh A3, A4} meru-

A3 : 13 kartu hati pakan suatu

A4 : 13 kartu sido sekatan dari ruang sampel S

51

Teori I

• Bila { A1, A2, A3, ... , An} merupakan suatu sekatan dari ruang sampel S dan bila setiap peristiwa A1, A2, A3, …. , An probabilitanya 0 , makap( A ) = p ( A1) . p ( A A1) + p( A2 ) . p(A A2)

+……+ p( An ) . p (A An ) j

n

jj AApApAp .

1

52

Teori II.• Bila { A1, A2, A3, ………. , An} merupakan

suatu sekatan dari ruang sampel S dan bila setiap peristiwa A1, A2, A3, ………. , An memiliki probabilita 0 dan bila tiap sebarang peristiwa A memang memiliki probabilita (A) > 0, maka bagi tiap bilangan bulat k ( 1 k n ), kaidah Bayes dapat dirumuskan sebagai berikut.

53

n

jjj

kkk

AApAp

AApApAAp

1

.

.

54

Sesuai dengan definisi probabilita maka:

Ap

AApAp

Ap

AApAAp kkk

k

.

nn

kkk AApApAApApAApAp

AApApAAp

.............

.

2211

55

Contoh 1 :Peti A berisi 3 bola hijau dan 5 bola merah. Peti B berisi 2 bola hijau, 1 bola merah dan

2 bola kuning.

Bila satu peti dipilih secara random dan satu bola diambil dari dalamnya secara random pula dan bila ternyata bola tersebut berwarna hijau, berapakah probabilita bola hijau tersebut diambil dari peti B.

56

BHpBpAHpAp

BHpBpHBp

..

.

31

16..

.

51

163

51

52

21

83

21

52

21

HBp

57

Contoh 2 :Apabila terdapat 3 kotak yang sama, masing-

masing berisi 2 buah bola sama hanya warnanya berlainan.Kotak I , berisi 2 bola merahKotak II , berisi 1 bola merah dan 1 bola putihKotak III , berisi 2 bola putih

Sebuah kotak dipilih secara random dan dari kotak yang terpilih tersebut diambil satu bola juga secara random, ternyata bola tersebut warnanya merah.

Pertanyaannya: berapakah probabilita bahwa kotak yang terpilih adalah kotak pertama yang berisi yang berisi bola merah

58

Jawab:

K = 3 p (A1) = p (A2) = p (A3) = 1/3 Apabila A = kejadian bola merah terpilih setelah

salah satu kotak terpilih, makap (A I A1) = 2/2 = 1p (A I A2) = ½p (A I A3) = 0/2 = 0

p( A ) = p (A1) . p(A I A1) + p (A2) . P (A I A2) + p(A3) p (A I A3)

= (1/3) . (1) +(1/3) . (1/2) +(1/3) . (0) = 3/6 = ½

59

dengan demikian

3

2.

21

31

111

Ap

AApApAAp

60

Contoh 3 :Sebuah pabrik menggunakan 4 buah mesin (A1, A2 ,

A3 dan A4) untuk menghasilkan suatu macam barang. Hasilnya pada akhir bulan adalah : dari mesin A1 = 100 buah ; dari mesin A2 = 120 buah ; dari mesin A3 = 180 buah dan dari mesin A4 = 200 buah.

Mesin A1 dan A2 masing-masing mempunyai probabilita menghasilkan barang yang rusak 5% sedangkan mesin A3 dan A4 masing-masing probabilitanya 1%.

Jika dari 600 buah barang tersebut diambil 1 secara random ternyata rusak, berapakah probabilitanya bahwa barang tersebut berasal dari mesin A4 .

61

• Jawab:

p ( A1) = 100/600 = 1/6 p (R I A1) = 0,05

p ( A2) = 120/600 = 1/5 p (R I A2) = 0,05

p ( A3) = 180/600 = 3/10 p (R I A3) = 0,01

p ( A4) = 200/600 = 1/3 p (R I A4) = 0,01

62

44332211

444 ....

.

ARpApARpApARpApARpAp

ARpApRAp

100

131

1001

103

1005

51

1005

61

1001

31

4 ....

.

RAp

300

110003

5005

6005

3001

4 RAp

135,07410

4 RAp

63

• Probabilita bahwa bus dari Tasikmalaya ke Bandung akan berangkat tepat waktu adalah 0,8 dan probabilita bahwa bus tadi akan berangkat tepat waktu dan juga tiba tepat waktu adalah 0,72

• Berapa probabilita bersyarat (conditional probability) bahwa jika bus tadi berangkat tepat waktu juga akan tiba tepat waktu.

• Jika probabilita suatu bus akan tiba tepat waktu adalah 0,75 , berapa probabilita bersyarat bahwa jika suatu bus berangkat tidak tepat waktu toh akan tiba tepat pada waktunya.

64

Jawab:p ( A ) = 0,8 p ( A B ) = 0,72

ApBAp

ABp

65

p ( B ) = 0,75p ( B ) = 0,25

BApBpABp .

25,0

25,0.72,0

Bp

BApBAp

66

Harapan Matematis (Mathematical Expectation)

• Bila A1 , A2 , ……… , An adalah peristiwa yang independen dan lengkap terbatas (exhaustive) .

• Sedangkan p1 , p2 , ……… , pn merupakan probabilita terjadinya peristiwa ybs.

67

• Andaikan seseorang akan memenangkan sejumlah u1 bila A1 terjadi dan u2 bila A2 terjadi dst. Maka harapan matematis orang tersebut untuk memenangkan sejumlah uang A(u) adalah :

A (u) = u1 p1 + u2 p2 + ……… + un pn

• Dalam serangkaian percobaan yang cukup besar, A (u) sebenarnya menyatakan kemenangan rata-rata bagi tiap percobaan.

68

Contoh Soal:• Dari sebuah tabel mortality diketahui pro-

babilita seorang berusia 25 tahun dapat hidup setahun ialah sebesar 0,992. Bila sebuah perusahaan asuransi menjual sebuah polis asuransi sebesar Rp. 100.000.000,00 pada seorang pemuda berumur 25 tahun untuk jangka waktu setahun lamanya dengan premi sebesar Rp. 1.000.000,00. Berapa keuntungan secara matematis dari perusahaan ybs.

69

Ada 2 peristiwa ui pi

1.Meninggal dalam 1 tahun

100.000.000 - 1.000.000

0,08

2. Hidup dalam 1 tahun

1.000.000 0,992

A (u) = u1 p1 + u2 p2

= – (99.000.000)(0,08) + (1.000.000)(0,992) = – 792.000 + 992.000 = 200.000

70

• Selama Harapan Matematis perusahaan asuransi positif, maka perusahaan tersebut akan menjual polis asuransi di atas.