Upload
cupian-amir-zaelani
View
171
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
PROBABILITPROBABILITAA
PROBABILITPROBABILITAA
2
Pengertian tentang Probabilita :• Teori tentang Probabilita adalah cabang
dari ilmu Matematika Terapan (applied mathematics) dan yang menelaah perilaku faktor untung2-an (chance factor).
• Konsep tentang untung2-an lebih mudah dijelaskan dengan contoh dari pada dirumuskan dengan kata2.
3
TEORI PROBABILITAAda 3 pengertian probabilita
1. A priori probability2. A posteriory probability (probabilitas
empiris/probability experimental/probabilita statistik)
3. Probabilitas Subjective
4
Ad. 1 Definisi: pada kondisi-kondisi yang telah di-
ketahui, bila terdapat n kejadian yang mungkin terjadi dan kejadian tersebut lengkap terbatas jumlahnya, saling meng-asingkan dan memiliki kesempatan yang sama untuk terjadi dan bila x dari pada kejadian diatas merupakan peristiwa A maka probabilita peristiwa A dapat dirumuskan sebagi ratio x/n
p ( A ) = x/n
5
Contoh I : Mata uang, permukaan yang satu adalah gambar burung (G), satu lagi adalah huruf (H)
Lalu dilemparkan maka akan terjadi satu kemungkinan/probabilita
p (H) = ½ atau p (G) = ½
6
Contoh II : Sebuah dadu, dilemparkan maka kemungkinan/probabilita dari 6 permukaan
p (mata 1) = 1/6p (mata 2 dan 4) = 2/6 = 1/3 p (mata ganjil) = 3/6 = ½
7
Contoh III : Setumpuk kartu , diambil salah satu-nya
maka akan terjadi kemungkinan/pro-babilita : hati = 13 : daun = 13 52 : sido = 13
: klaver = 13 maka p (1 buah kartu) = 1/52
8
Ad. 2Definisi: bila x merupakan jumlah
perwujudan kejadian yang khusus dalam serangkaian n percobaan yang tidak terbatas, maka probabilita A merupakan limit frekuensi relatif dari pada x/n
nxApn
/)( lim
9
Contoh: Seorang dokter ingin mengetahui berapa kemungkinan dari tiap 100 anak yang diperiksa kesehatannya akan men-derita penyakit cacingan. Setelah ia mela-kukan percobaan berulang-ulang ia menarik kemungkinan bahwa probabilita dari anak-anak yang diperiksa dan ternyata menderita penyakit cacingan ada 0,20
10
Percob I 100 anak 20 anak cacinganPercob II 100 anak 19 anak cacinganPercob III 100 anak 21 anak cacinganPercob IV 100 anak 20 anak cacingan
. . 400 80 . p (A) = 80/400 = 0,20Percobaan
11
Ad. 3 Adalah merupakan probabilita yang
ditafsirkan sebagai pengukuran dari pada kepercayaan pribadi terhadap sebuah hipotesa tertentu.
• Hypotesa: anggapan/dugaan bahwa hal itu benar
• Contoh: kemungkinan setelah lulus saya akan dipromosikan adalah 85 %
12
Sifat-sifat ProbabilitaSifat-sifat Probabilita
Probabilita suatu perristiwa mempunyai nilai antara 0 1 0 p (A) 1
Maka tidak mungkin p > 1 atau p < 0p (A) = 0 peristiwa A tersebut praktis tidak terjadip (A) = 1 peristiwa A tersebut praktis terjadi (keterangan: praktis berarti tidak mutlak)
13
Setiap peristiwa mempunyai dua hasil yaitu sukses dan gagal
p (sukses) = p p ( A ) _ p + q = 1
p ( gagal ) = q p ( A )
14
Macam peristiwaMacam peristiwa
I . Aturan pertambahan (rules of addition) 1. Aturan pertambahan yang khusus
Mutually Exclusive2. Aturan pertambahan yang umum
InclusiveII . Aturan perkalian (rules of multiplication)
1. Aturan perkalian yang khusus Independent 2. Aturan perkalian yang umum
Dependent
15
Ad. 1 Mutually Exclusive Aturan pertambahan yang khusus (special rule of addition)
Suatu peristiwa dikatakan mutually exclusive bila dan hanya bila kemungkinan terjadi-nya peristiwa yang satu menghilangkan kemungkinan peristiwa yang lain.
p ( A B ) = p ( A ) + p ( B )
16
Contoh : sebuah kotak diisi 5 bola hijau, 2 bola merah dan 8 bola biru. Kemudian diambil sebu-ah bola secara random,
a. Berapa kemungkinan terambilnya bola merahb. Berapa kemungkinan terambilnya bola biruc. Berapa kemungkinan terambilnya bola hijaud. Berapa kemungkinan terambilnya bola
merah atau hijaue. Berapa kemungkinan terambilnya bola merah
atau biru
17
Jawab:a.
b.
c.
152
151
151
21 MpMpMp
158
151..........15
1151..........)( 821 BpBpBpBp
155
151..........15
1151.......... 521 HpHpHpHp
18
Jawab:d.
e.
157
155
152 HpMpHMp
1510
158
152 BpMpBMp
19
Ad. 2 Inclusive Aturan pertambahan yang umum
(general rule of addition) Suatu peristiwa dikatakan inclusive bila dan hanya
bila kemungkinan terjadinya peristiwa yang satu menghilangkan kemungkinan terjadinya peristiwa yang lain, tetapi dari peristiwa yang terjadi terdapat sifat gabungan dari peristiwa-peristiwa yang ada.
p ( A B ) = p ( A ) + p ( B ) – p ( A B )
20
• Contoh 1 : dari setumpuk kartu yang terkocok baik, diambil secara random sebuah kartu. Berapa kemungkinan terambilnya kartu A atau
Jawab:
21
524Ap 52
13hatip
521hatiAp
134
5216
521
5213
524 hatiAp
22
Contoh 2 :• Dari sebuah populasi yang terdiri dari
pembaca majalah, persentage pembaca majalah A, B dan C serta kombinasinya adalah sebagai berikut :
A = 9,8% ; B = 22,9% ; C = 12,1% ; A dan B = 5,1% ; A dan C = 3,7% ; B dan C = 6,0% ; A dan B dan C = 2,4%
23
Pertanyaannya:• Berapakah probabilita seorang yang
dipilih secara random dari populasi tsb adalah pembaca A atau B.
• Berapa % dari populasi yang ternyata membaca paling sedikit 1 dari tiga majalah tsb ?
24
Jawab :•
= 9,8% + 22,9% – 5,1% = 27,6%
• Probabilita seorang yang dipilih secara random dari populasi tsb adalah pembaca A atau B adalah 27,6% (0,276)
BApBpApBAp
25
Jawab := p(A) + p(B) + p(C) – p(A B) – p(A C) – p (B C) + p(A B C)
= 9,8% + 22,9% + 12,1% – 5,1% – 3,7% – 6,0% + 2,4% = 32,4% 0,324
• Dari populasi yang ternyata membaca paling sedikit 1 dari tiga majalah tsb adalah 32,4% (0,324)
26
Ad. 3 Independent Aturan perkalian yang khusus
(special rule of multiplication)
Suatu peristiwa dikatakan independent (bebas) bila dan hanya bila kemungkinan terjadinya peristiwa yang satu tidak mempengaruhi kemungkinan timbulnya peristiwa yang lain.
p ( A B ) = p ( A ) . p ( B )
27
• Contoh I : kita masukkan dalam sebuah bejana 4 bola putih dan 6 bola merah, diambil 2 buah bola berturut-turut. Berapakan probabilita akan terambil: (pengambilan bola dilakukan dengan pengembalian /with replacement)a. Kedua-duanya bola putih.b. Kedua-duanya bola merahc. Bola putih dan merah
28
Jawab:a.
b.
c.
16,010016
104.10
421 PPp
36,010036
106.10
621 MMp
24,010024
106.10
4 MPp
29
• Contoh II : dari setumpuk kartu yang terkocok baik diambil berturut-turut 3 buah kartu. Pengambilannya dilakukan dengan cara pemulihan.a. Berapa kemungkinan terambilnya kartu
A, K dan Qb. Berapa kemungkinan terambilnya kartu
, dan c. Berapa kemungkinan terambilnya kartu
, merah dan Q
30
Jawab:a.
b.
c.
00045,0608.14016
524
524.52
4.524 3
QKAp
015,0608.140197.2
5213.52
13.5213 daundaundaunp
0096,0608.140352.1
524.52
26.5213 Qmerahdaunp
31
Ad. 4 DependentAturan perkalian yang umum
(general rule of multiplication)
Suatu peristiwa dikatakan dependent atau bersyarat bila dan hanya bila kemungkinan terjadinya peristiwa yang satu mempengaruhi kemungkinan timbulnya peristiwa yang lain.
32
p ( A B ) = p ( A ) . p ( B A ) = p ( B ) . p ( A B )
• p ( B A ) : kemungkinan terjadinya peris- tiwa B akibat dari terjadinya peristiwa A• p ( A B ) : kemungkinan terjadinya peris- tiwa A akibat dari terjadinya peristiwa B
33
• Contoh III: dari 20 radio yang ada disuatu gudang toko, terdapat 6 radio rusak, diambil 2 buah radio untuk diperiksa.a. Berapa kemungkinannya bahwa radio
yang diambil kedua-duanya rusak.b. Berapa kemungkinannya bahwa radio
yang diambil kedua-duanya bagus.c. Berapa kemungkinannya bahwa radio
yang diambil bagus dan rusak.
34
Jawaba.
b.
12121 /. RRpRpRRp
12121 /. BBpBpBBp
383
195.20
6
19091
1913.20
14
35
Jawab:
c.
9521
196.20
14/. 12121 BRpBpRBp
9521
1914.20
6/. 12121 RBpRpBRp
36
• karena antara (R1 B2) dan (B1 R2) merupakan peristiwa yang mutually exclusive, maka
212111 RBpBRpBRp
9542
9521
9521
37
Probabilita Majemuk (Compound Probability)
Dari probabilita bersyarat (dependent)p (B A) = p (B) . p(A B)p (A B) = p (A) . p(B A) p (A B) = p (A) . p(B A)
= p (B) . p(A B)• Penting untuk menghitung peristiwa yang
terdiri dari serangkaian percobaan majemuk (compound experiment)
38
Contoh I : Peti A berisi 3 bola hijau dan 5 bola merah. Peti B berisi 2 bola hijau, 1 bola merah dan
2 bola kuning.
• Bila kita memilih sebuah peti secara random dan kemudian memilih satu bola dari dalamnya secara random pula, berapakah probabilita kita akan memilih bola hijau
39
3 bola hijau 3/8
A ½ 5 bola merah 5/8
2 bola hijau 2/5B ½
1 bola merah 1/5
2 bola kuning 2/5
40
163
21.8
3. ApHpAHp
102
21.5
2. BpHpBHp
BHpAHpHp
3875,08031
102
163
41
163
83.2
1/. AHpApHAp
102
52.2
1/. BHpBpHBp
HBpHApHp
3875,08031
102
163
atau
42
Probabilita bersyarat bagi A, B & C
• A1, A2, A3, ………. , An.
p(A1 A2 A3 .. An) =
p ( A1) . p ( A2 A1) . p( A3 A1 A2)
…. p( An A1 A2 A3... An – 1 )
BACpABpApCBAp /./.
43
Contoh II : Kotak I berisi 10 bola merah & 5 bola putih. Kotak II berisi 5 bola biru, 4 bola merah
dan 6 bola putih.Kotak III berisi 3 bola hijau, 2 bola merah
dan 5 bola kuning Bila kita memilih sebuah kotak secara ran-
dom dan kemudian memilih satu bola dari dalamnya secara random pula, berapakah probabilita kita akan memilih bola merah
44
10 bola merah → p(merah) = 10/15 = 2/3
I → p (I) = 1/3 5 bola putih → p(putih) = 5/15 = 1/3
5 bola biru → p(biru) = 5/15 = 1/3 II → p (II) = 1/3
4 bola merah → p(merah) = 4/15 6bola putih → p(putih) = 6/15 = 2/5
3 bola hijau → p(hijau) = 3/10 III → p (III) = 1/3
2 bola merah → p(merah) = 2/10 = 1/5 5 bola kuning → p(kuning) = 5/10 = 1/2
45
22,09
2
3
1
3
2IMp
09,045
4
3
1
15
4IIMp
07,015
1
3
1
5
1IIIMp
46
Mp3875.0
45
17
15
1
45
4
9
2
IIIMpIIMpIMp
47
9
2
3
2
3
1/. IMpIpMIp
45
4
15
4
3
1/. IIMpIIpMIIp
30
2
10
2
3
1/. IIIMpIIIpMIIIp
Atau
48
Mp MIIIpMIIpMIp
3875.030
2
45
4
9
2
49
BAYES• Definisi: suatu sekatan dari suatu kelompok
A ialah kelompok { A1, A2, A3, ………. , An} yang memiliki ciri-ciri seperti berikut:a. Aj A j = 1,2, ….. ,n
b. Aj Ak .= 0 j = 1,2, … ,n dan
k = 1,2, … ,n ; j kc. A1 A2 A3 ………. An= A
50
BAYES• Misalkan :
A1 : 13 kartu daun maka { A1, A2,
A2 : 13 kartu cengkeh A3, A4} meru-
A3 : 13 kartu hati pakan suatu
A4 : 13 kartu sido sekatan dari ruang sampel S
51
Teori I
• Bila { A1, A2, A3, ... , An} merupakan suatu sekatan dari ruang sampel S dan bila setiap peristiwa A1, A2, A3, …. , An probabilitanya 0 , makap( A ) = p ( A1) . p ( A A1) + p( A2 ) . p(A A2)
+……+ p( An ) . p (A An ) j
n
jj AApApAp .
1
52
Teori II.• Bila { A1, A2, A3, ………. , An} merupakan
suatu sekatan dari ruang sampel S dan bila setiap peristiwa A1, A2, A3, ………. , An memiliki probabilita 0 dan bila tiap sebarang peristiwa A memang memiliki probabilita (A) > 0, maka bagi tiap bilangan bulat k ( 1 k n ), kaidah Bayes dapat dirumuskan sebagai berikut.
53
n
jjj
kkk
AApAp
AApApAAp
1
.
.
54
Sesuai dengan definisi probabilita maka:
Ap
AApAp
Ap
AApAAp kkk
k
.
nn
kkk AApApAApApAApAp
AApApAAp
.............
.
2211
55
Contoh 1 :Peti A berisi 3 bola hijau dan 5 bola merah. Peti B berisi 2 bola hijau, 1 bola merah dan
2 bola kuning.
Bila satu peti dipilih secara random dan satu bola diambil dari dalamnya secara random pula dan bila ternyata bola tersebut berwarna hijau, berapakah probabilita bola hijau tersebut diambil dari peti B.
56
BHpBpAHpAp
BHpBpHBp
..
.
31
16..
.
51
163
51
52
21
83
21
52
21
HBp
57
Contoh 2 :Apabila terdapat 3 kotak yang sama, masing-
masing berisi 2 buah bola sama hanya warnanya berlainan.Kotak I , berisi 2 bola merahKotak II , berisi 1 bola merah dan 1 bola putihKotak III , berisi 2 bola putih
Sebuah kotak dipilih secara random dan dari kotak yang terpilih tersebut diambil satu bola juga secara random, ternyata bola tersebut warnanya merah.
Pertanyaannya: berapakah probabilita bahwa kotak yang terpilih adalah kotak pertama yang berisi yang berisi bola merah
58
Jawab:
K = 3 p (A1) = p (A2) = p (A3) = 1/3 Apabila A = kejadian bola merah terpilih setelah
salah satu kotak terpilih, makap (A I A1) = 2/2 = 1p (A I A2) = ½p (A I A3) = 0/2 = 0
p( A ) = p (A1) . p(A I A1) + p (A2) . P (A I A2) + p(A3) p (A I A3)
= (1/3) . (1) +(1/3) . (1/2) +(1/3) . (0) = 3/6 = ½
59
dengan demikian
3
2.
21
31
111
Ap
AApApAAp
60
Contoh 3 :Sebuah pabrik menggunakan 4 buah mesin (A1, A2 ,
A3 dan A4) untuk menghasilkan suatu macam barang. Hasilnya pada akhir bulan adalah : dari mesin A1 = 100 buah ; dari mesin A2 = 120 buah ; dari mesin A3 = 180 buah dan dari mesin A4 = 200 buah.
Mesin A1 dan A2 masing-masing mempunyai probabilita menghasilkan barang yang rusak 5% sedangkan mesin A3 dan A4 masing-masing probabilitanya 1%.
Jika dari 600 buah barang tersebut diambil 1 secara random ternyata rusak, berapakah probabilitanya bahwa barang tersebut berasal dari mesin A4 .
61
• Jawab:
p ( A1) = 100/600 = 1/6 p (R I A1) = 0,05
p ( A2) = 120/600 = 1/5 p (R I A2) = 0,05
p ( A3) = 180/600 = 3/10 p (R I A3) = 0,01
p ( A4) = 200/600 = 1/3 p (R I A4) = 0,01
62
44332211
444 ....
.
ARpApARpApARpApARpAp
ARpApRAp
100
131
1001
103
1005
51
1005
61
1001
31
4 ....
.
RAp
300
110003
5005
6005
3001
4 RAp
135,07410
4 RAp
63
• Probabilita bahwa bus dari Tasikmalaya ke Bandung akan berangkat tepat waktu adalah 0,8 dan probabilita bahwa bus tadi akan berangkat tepat waktu dan juga tiba tepat waktu adalah 0,72
• Berapa probabilita bersyarat (conditional probability) bahwa jika bus tadi berangkat tepat waktu juga akan tiba tepat waktu.
• Jika probabilita suatu bus akan tiba tepat waktu adalah 0,75 , berapa probabilita bersyarat bahwa jika suatu bus berangkat tidak tepat waktu toh akan tiba tepat pada waktunya.
64
Jawab:p ( A ) = 0,8 p ( A B ) = 0,72
ApBAp
ABp
65
p ( B ) = 0,75p ( B ) = 0,25
BApBpABp .
25,0
25,0.72,0
Bp
BApBAp
66
Harapan Matematis (Mathematical Expectation)
• Bila A1 , A2 , ……… , An adalah peristiwa yang independen dan lengkap terbatas (exhaustive) .
• Sedangkan p1 , p2 , ……… , pn merupakan probabilita terjadinya peristiwa ybs.
67
• Andaikan seseorang akan memenangkan sejumlah u1 bila A1 terjadi dan u2 bila A2 terjadi dst. Maka harapan matematis orang tersebut untuk memenangkan sejumlah uang A(u) adalah :
A (u) = u1 p1 + u2 p2 + ……… + un pn
• Dalam serangkaian percobaan yang cukup besar, A (u) sebenarnya menyatakan kemenangan rata-rata bagi tiap percobaan.
68
Contoh Soal:• Dari sebuah tabel mortality diketahui pro-
babilita seorang berusia 25 tahun dapat hidup setahun ialah sebesar 0,992. Bila sebuah perusahaan asuransi menjual sebuah polis asuransi sebesar Rp. 100.000.000,00 pada seorang pemuda berumur 25 tahun untuk jangka waktu setahun lamanya dengan premi sebesar Rp. 1.000.000,00. Berapa keuntungan secara matematis dari perusahaan ybs.
69
Ada 2 peristiwa ui pi
1.Meninggal dalam 1 tahun
100.000.000 - 1.000.000
0,08
2. Hidup dalam 1 tahun
1.000.000 0,992
A (u) = u1 p1 + u2 p2
= – (99.000.000)(0,08) + (1.000.000)(0,992) = – 792.000 + 992.000 = 200.000
70
• Selama Harapan Matematis perusahaan asuransi positif, maka perusahaan tersebut akan menjual polis asuransi di atas.