A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer

A. Krapež:A. Krapež:

Jednačine, grafovi Jednačine, grafovi i računari – jedan i računari – jedan

primerprimer

Kolarac, 4.12.2008.Kolarac, 4.12.2008.

Šta su jednačine?Šta su jednačine?

Primer:Primer:

Pre 2 godine Perica je bio 3 puta Pre 2 godine Perica je bio 3 puta stariji od Milice. Zbir Pericinih i stariji od Milice. Zbir Pericinih i Milicinih godina je 4 puta veći od Milicinih godina je 4 puta veći od njihove razlike. Koliko su stari Perica njihove razlike. Koliko su stari Perica i Milica?i Milica?

Primer:Primer:

Pre 2 godine Perica je bio 3 puta Pre 2 godine Perica je bio 3 puta stariji od Milice. Zbir Pericinih i stariji od Milice. Zbir Pericinih i Milicinih godina je 4 puta veći od Milicinih godina je 4 puta veći od njihove razlike. Koliko su stari Perica i njihove razlike. Koliko su stari Perica i Milica?Milica?

P - 2 = 3 * (M - 3)P - 2 = 3 * (M - 3) P + M = 4 * (P - M)P + M = 4 * (P - M)

Rešenje:Rešenje:

P = 5P = 5 M = 3M = 3

Perica ima 5 a Milica 3 godine.Perica ima 5 a Milica 3 godine.

Problem:Problem:

Dejan je 4 godine stariji od Jovana. Dejan je 4 godine stariji od Jovana. Za 3 godine Dejan će biti 5 puta Za 3 godine Dejan će biti 5 puta stariji od Jovana. Koliko su stari stariji od Jovana. Koliko su stari Dejan i Jovan?Dejan i Jovan?

Problem:Problem:

Dejan je 4 godine stariji od Jovana. Dejan je 4 godine stariji od Jovana. Za 3 godine Dejan će biti 5 puta Za 3 godine Dejan će biti 5 puta stariji od Jovana. Koliko su stari stariji od Jovana. Koliko su stari Dejan i Jovan?Dejan i Jovan?

D = J + 4D = J + 4 D + 3 = 5 * (J + 3)D + 3 = 5 * (J + 3)

Rešenje?Rešenje?

D = 2D = 2 J = -2J = -2

Rešenje sistema jednačina nije Rešenje sistema jednačina nije rešenje problema zbog rešenje problema zbog ““nevidljivenevidljive”” pretpostavke J pretpostavke J > > -1-1 . .

ReRešenje:šenje:

Osobe Dejan i Jovan takvi da Osobe Dejan i Jovan takvi da zadovoljavaju uslove postavljenog zadovoljavaju uslove postavljenog problema problema ne postojene postoje..

Elementi koji određuju pojam Elementi koji određuju pojam jednačine:jednačine:

Jezik na kome je jednačina Jezik na kome je jednačina formulisanaformulisana

Oblast važenjaOblast važenja Skup rešenjaSkup rešenja

Šta su funkcionalne Šta su funkcionalne jednačine?jednačine?

Primer:Primer:

Košijeva jednačina:Košijeva jednačina:

f(x + y) = f(x) + f(y)f(x + y) = f(x) + f(y)

f – neprekidna realna funkcijaf – neprekidna realna funkcija

Rešenje:Rešenje:

f(x) = p * x f(x) = p * x (p – realan (p – realan parametar)parametar)

Formulom je dato Formulom je dato opšteopšte rešenje. rešenje.

Primer:Primer:

Peksiderova jednačina:Peksiderova jednačina:

f(x + y) = g(x) + h(y)f(x + y) = g(x) + h(y)

f, g, h – neprekidne realne funkcijef, g, h – neprekidne realne funkcije

Formule opšteg rešenja:Formule opšteg rešenja:

f(x) = p * x + a + bf(x) = p * x + a + b g(x) = p * x + bg(x) = p * x + b h(x) = p * x + ah(x) = p * x + a

p, a , b – realni parametrip, a , b – realni parametri

Šta su grafovi?Šta su grafovi?

Elementi koji određuju pojam grafa:Elementi koji određuju pojam grafa:

ČvoroviČvorovi GraneGrane IncidencijeIncidencije

Primeri:Primeri:

DipolDipol

K2 = D1DipolDipol

D3

““DumbbelDumbbell”l”

KK33

Primeri:Primeri:

KK55

KK11

KK44

KK3,33,3

DefinicijaDefinicija

Graf je planaran Graf je planaran ako se moako se može potopiti u že potopiti u euklidsku ravan tako da se grane seku euklidsku ravan tako da se grane seku samo u čvorovima.samo u čvorovima.

Teorema Kuratovskog:Teorema Kuratovskog:

Graf je planaran ako se u njega ne mogu Graf je planaran ako se u njega ne mogu upisati grafovi Kupisati grafovi K55 i K i K3,3 3,3 . .

Primene:Primene:

Problem kenigsberških mostovaProblem kenigsberških mostova Problem putujućeg trgovcaProblem putujućeg trgovca

TokoviTokovi Vodovodna mrežaVodovodna mreža InternetInternet Tokovi novcaTokovi novca ““JuJužni tokžni tok””

Šta su kvazigrupe?Šta su kvazigrupe?

GrupeGrupe

Grupe simetrijaGrupe simetrija

Rubikova kockaRubikova kocka Automorfizmi strukturaAutomorfizmi struktura Rešivost linearnih jednačina:Rešivost linearnih jednačina:

a * y = ca * y = c ,, x * b = cx * b = c

y = ay = a-1-1 * c* c ,, x = c * bx = c * b-1-1

KvazigKvazigruperupe

JednoznaJednoznačna rešivost linearnih čna rešivost linearnih jednačina:jednačina:

a * y = ca * y = c ,, x * b = cx * b = c

y = a y = a \ c\ c ,, x = c / bx = c / b

levo deljenjelevo deljenje desno deljenjedesno deljenje

KvazigrupeKvazigrupe

Grupa = kvazigrupa + asocijativnostGrupa = kvazigrupa + asocijativnostx * (y * z) = (x * y) * zx * (y * z) = (x * y) * z

Komutativna grupa = grupa + Komutativna grupa = grupa + komutativnostkomutativnost

x * y = y * xx * y = y * x

Važne kvazigrupe:Važne kvazigrupe:

kvazigrupe kvazigrupe “linearne” nad “linearne” nad grupamagrupama

x . y = fx . y = f-1-1(g(x) + h(y))(g(x) + h(y))

Teorema (Aczel, Belousov, Hoszu).Teorema (Aczel, Belousov, Hoszu).

Kvazigrupe A, B, C, D vezane Kvazigrupe A, B, C, D vezane uopštenom jednačinom uopštenom jednačinom asocijativnosti:asocijativnosti:

A(B(x, y), z) = C(x, D(y, z))A(B(x, y), z) = C(x, D(y, z))

su sve linearne nad istom grupom.su sve linearne nad istom grupom.

KvazigrupeKvazigrupe

Relativističko slaganje brzinaRelativističko slaganje brzina Kodovi koji otkrivaju (popravljaju) Kodovi koji otkrivaju (popravljaju)

greškegreške Geometrijske rešetkeGeometrijske rešetke Latinski kvadratiLatinski kvadrati Dizajn eksperimenataDizajn eksperimenata

Geometrijske reGeometrijske rešetkešetke

** 0 1 2

0 0 1 2

1 1 2 0

2 2 0 1 0 1 2

2

1

0

Teorija Save KrstiTeorija Save Krstiććaa

Veza uopštenuh kvadratnih Veza uopštenuh kvadratnih funkcionalnih jednačina na funkcionalnih jednačina na kvazigrupama i konačnih povezanih kvazigrupama i konačnih povezanih kubnih grafovakubnih grafova

1. primer1. primer

Jednačina uopštene asocijativnosti:Jednačina uopštene asocijativnosti:A(B(x, y), z) = C(x, D(y,z))A(B(x, y), z) = C(x, D(y,z))

Krstićev graf jednačine:Krstićev graf jednačine: AA BB

x yx y z z DD

C C

1. primer1. primer

To je graf To je graf KK44

AA

BB DD

CC

2. primer2. primer

Jednačina uopštene tranzitivnosti:Jednačina uopštene tranzitivnosti:A(B(x, y), C(y, z)) = D(x, z)A(B(x, y), C(y, z)) = D(x, z)

Krstićev graf jednačine:Krstićev graf jednačine: AA BB C C

x yx y z z

DD

Teorema.Teorema.

Sličnim jednačinama odgovaraju Sličnim jednačinama odgovaraju slični grafovi.slični grafovi.

Teorema.Teorema.Operacije u jednačini su linearno Operacije u jednačini su linearno povezane ako u Krstićevom grafu postoje povezane ako u Krstićevom grafu postoje 3 disjunktna puta između njih.3 disjunktna puta između njih.Klasa povezanih operacija je linearna nad Klasa povezanih operacija je linearna nad istom grupom akistom grupom akkko ih ima o ih ima >2 u klasi akko >2 u klasi akko se se K4 uklapa u taj deo Krstićevog grafa.Klasa povezanih operacija je linearna nad istom komutativnom grupom akko taj deo grafa nije planaran akko se u njega uklapa graf K3,3 .

Svojstvima geometrijskih reSvojstvima geometrijskih reššetakaetaka odgovaraju odgovaraju konfiguracijekonfiguracije..

Konfiguracijama odgovaraju jednačine Konfiguracijama odgovaraju jednačine nad koordinatnim kvazigrupama.nad koordinatnim kvazigrupama.

Ako su ove jednačine kvadratne, Ako su ove jednačine kvadratne, umemo da ih rešimo i sledi da skoro umemo da ih rešimo i sledi da skoro uvek imaju za posledicu linearnost nad uvek imaju za posledicu linearnost nad grupomgrupom koja je koja je često komutativna.često komutativna.

TabelaTabela

BrojBroj

promenljipromenljivihvih

Broj Broj

jednačinajednačinaBroj Broj norm.norm.

jednačinajednačina

BrojBroj

grafovagrafova

1 1 1 12 30 9 23 3.780 330 54 1.081.08

022.785 17

5 551.350.800

2.303.910

71

Graf jGraf jednaednačinečine sa 1 promenljivom sa 1 promenljivom

x = xx = x

Grafovi jednačina Grafovi jednačina sa 2 promenljivesa 2 promenljive

A(x, x) = B(y, y)A(x, x) = B(y, y) A(x,y) = A(x,y) = B(x,y)B(x,y)

““DumbbellDumbbell””D3

Grafovi jednačina Grafovi jednačina sa 3 promenljivesa 3 promenljive

Grafovi jednačina Grafovi jednačina sa 3 promenljivesa 3 promenljive