Ojlerovi grafovi

Elektronski fakultet, Univerzitet u Nišu

Seminarski rad

Naziv teme: Ojlerovi grafovi

Studenti:

Miloš Jeremić 12591 Aleksandar Simić 12750

Januar 2011.

Sadržaj:

1. OSNOVNI POJMOVI O GRAFOVIMA...........................................................................................3

2. PROBLEM KENIGSBERŠKIH MOSTOVA....................................................................................6

3. DOKAZ OJLEROVE TEOREME...................................................................................................14

4. ALGORITAM FLERIJA...................................................................................................................15

5. EULERIAN FINDER V1.0................................................................................................................16

6. Literatura...............................................................................................................................................17

Elektronski fakultet,Niš 2011 2

1.Osnovni pojmovi o grafovima

Grafovi predstavljaju matematičke objekte, i oni mogu izgledati kao :

a) b)

Ukoliko pogledamo ove dve slike, možemo primetiti da se graf sastoji od :

čvorova (temena) – koji su na slici označeni tačkama

potega (lukova) – koji na slici povezuju čvorove, i mogu biti uređeni i neuređeni

Grafovi predstavljaju veoma bitan matematički aparat, jer pomoću njih možemo jednostavno opisivati i rešavati složene sisteme, kao što su saobraćajni putevi, električne mreže, računarske mreže itd.

Matematička definicija grafa:

Graf je uređeni par G=(V,E), gde je V neprazan skup a E skup parova elemenata iz skupa V koji mogu biti uređeni i neuređeni. Prema tome graf može biti orijentisan i neorijentisan.Skup V može biti konačan ili beskonačan, dok kolekcija E može biti prazna, konačna ili beskonačna.Preciznije, graf se sastoji od skupa čvorova i skupa grana, gde se svaka grana može gledati kao uređeni par od dva (obično različita) čvora.

Čvorovi i potezi u grafu G se mogu obeležavati malim slovima latinice (a,b,c....), pri čemue={u,v} predstavlja neorijentisani poteg koji spaja čvorove u i v, a e=(u,v) označava orijentisani poteg koji spaja čvor u sa čvorom v.

Definicija 1:

Za čvorove u i v kažemo da su susedni, ako postoji poteg e={u,v} u tom grafu koji ih spaja.Dva potega f i e su susedna ako postoji čvor u tom grafu koji je njima zajednički.


Definicija 2:

Orijentisani graf (orgraf, digraf) koji ne sadrži simetrične grane tj. koji ne sadrži iste grane suprotnih orijentacija, naziva se direktnim(usmerenim) grafom.

Definicija 3:

Put u grafu G je konačan niz čvorova v1 v2 v3…..vn-1vn u kome su svaka dva čvora susedna i svi čvorovi različiti, osim početnog i krajnjeg čvora.Put se može označiti na sledeći način:

v1 -> v2 -> v3 ->……->vn-1 -> vn

Put u grafu G je prost ukoliko se svaki čvor pojavljuje u njemu samo jednom.

Definicija 4:

Ciklus je put čiji se prvi i poslednji čvor poklapaju.Ciklus može biti prost, ukoliko se sem prvog i poslednjeg čvora, niti jedan drugi čvor ne pojavljuje dva puta.

Slika 1. Primer ciklusa

Ukoliko pogledamo sliku 1, možemo primetiti ciklus 1- 5- 4- 2- 3- 4- 1 koji nije prost jer se čvor 4 dva puta javlja u ciklusu.Međutim, ukoliko pogledamo ciklus 1- 2- 3- 4- 5- 1 možemo zaključiti da je ovaj ciklus prost jer se svaki čvor javlja samo jednom.


Ojlerov ciklus je ciklus koji svaku granu grafa sadrži tačno jednom.

Slika 2. Primer Ojlerovog ciklusa

Graf na slici 2 sadrži Ojlerov ciklus koji je predstavljen nizom čvorova 1 - 2 - 3 - 5 – 4 – 1 – 3 – 4 – 2 – 5 - 1

Definicija 5:

Za graf G kažemo da je povezan, ako i samo ako postoji put između svaka dva čvora.

Slika 3 .Primer nepovezanog grafa Slika 4 .Primer povezanog grafa

Na slici 4 prikazan je povezan graf, jer u njemu postoji put od svakog čvora do ostalih.Na slici 3 to nije slučaj, pa možemo zaključiti da je graf nepovezan.


2.Problem Kenigsberških mostova

Ukoliko se osvrnemo na istoriju matematike, osamnaesti vek se uobičajeno naziva „Ojlerovim dobom“ kao priznanje ogromnom doprinosu koji je Ojler doneo matematici u ovom periodu.

Leonard Ojler (15. aprila 1707. - 18. septembra 1783.) je švajcarski matematičar, koji je rođen u Bazelu, a živeo je i radio u Berlinu i Petrogradu. Ojler je učio matematiku kod Johana Bernulija, koji je bio jedan od vodećih matematičara Evrope u to vreme, i koji je među prvima primenio nove tehnike računanja u proučavanju grafikona, koje je razvio Lajbnic (17. vek). Ojler je vrlo brzo prevazišao svog učitelja i znatno doprineo raznim matematičkim temama, počevši od teorije brojeva i analiza u astronomiji i optici, pa sve do teorije grafova.

Rad koji ovde ispitujemo se prvo pojavio Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae 1736. godine. U njemu, Ojler se bavio matematičkom formulacijom poznatog problema Kenigsberških mostova. Problem glasi:

Da li je moguće da se prođe kroz Kenigsberg, prelazeći preko svakog od 7 gradskih mostova jednom i samo jednom?

Ovaj problem Kenigsberških mostova, kao i svaki drugi rad vezan za teoriju grafova deluje kao ništa više od interesantne zagonetke.

U narednim paragrafima se navode originalni delovi Ojlerovog rada:

1

„Osim grane geometrije koja se bavi vrednostima, i koja je uvek privlačila najveću pažnju, postoji još jedna grana, ranije skoro nepoznata, koju je prvi spomenuo Lajbnic, nazivajući je geometrijom pozicije. Ona se bavi samo određivanjem pozicija i njihovih svojstava i ne uključuje merenja, niti kalkulacije koje se obavljaju njima. Još uvek nije jasno određeno koji problemi su vezani za ovu geometriju pozicije, ili koje metode treba da se koriste pri njihovom rešavanju. Stoga, kada sam naišao na problem, koji je na prvi problem izgledao geometrijski ali je bio konstruisan na taj način da nije zahtevao nikakva merenja distanci, niti bi ikakvo računanje istih pomoglo, nisam imao sumnje da sam imao posla sa geometrijom pozicije, posebno zato što je rešenje uključivalo samo poziciju, a računanje nije bilo od ikakve pomoći.“


2

„Problem, za koji mi je rečeno da je naširoko poznat, glasi: U Kenigsbergu u Prusiji, postoji ostrvo A, zvano Knajphof, reka koja ga okružuje je podeljena u dva toka, kao što se može videti na slici. Ova dva toka su ispresecana sa sedam mostova, a, b, c, d, e, f i g. Pitanje glasi, da li neko može da obiđe ostrvo na taj način da pređe svaki od mostova jednom i samo jednom. Rečeno mi je da su neki ljudi izjavili da je to nemoguće, dok su drugi sumnjali: ali niko nije mogao da dokaže da se to može uraditi. Uzimajući ovo u obzir, formulisao sam opšti problem: Bilo kakav da je raspored reke u tokove, i ma koliko mostova postojalo na njoj, da li neko može da sazna da li je ili nije moguće preći svaki od mostova samo jednom? “

Slika 5. Dijagram Kenigsberških mostova

Primetimo da Ojler počinje svoju analizu ‘prelaska mostova’ tako što najpre zameni mapu grada jednostavnijim dijagramom koji pokazuje samo najbitiniji deo. U modernoj teoriji grafova, dijagram se uprošćava još više kako bi prikazao samo tačke, koje predstavljaju delove zemlje i linije, koje predstavljaju mostove. Ove tačke i linije se drugačije nazivaju čvorovima i granama respektivno. Kolekcija čvorova i grafova zajedno sa međusobnim relacijama između njih se naziva graf. Preciznije, graf se sastoji od skupa čvorova i skupa grana, gde se svaka grana može gledati kao uređeni par od dva (obično različita) čvora. U slučaju kada grana povezuje čvor sa samim sobom, tu granu nazivamo petljom. Sada se vraćamo Ojlerovom originalnom radu, gde paragrafi od 3 do 5 dodatno pojednostavljuju problem prelaska mostova.

3

„Kada razmatramo problem mostova u Kenigsbergu, on se može rešiti pravljenjem iscrpne liste svih mogućih ruta, a zatim ispitivanjem da li neka od ruta zadovoljava uslove problema. Zbog velikog broja mogućnosti, ovaj metod rešavanja problema bi bio previše težak i naporan, a u drugim problemima sa većim brojem mostova, bio bi praktično nemoguć. Štaviše, ako bi se na ovaj način problem rešio do kraja, našli bi mnogo irelevantnih ruta, što je glavni razlog za težinu ove metode. Stoga sam je ja odbacio i potražio drugi metod koji se bavi samo problemom nalaženja specifičnog puta; smatrao sam da bi ovaj način bio mnogo jednostavniji i praktičniji.“


4

„Moja kompletna metoda se oslanja na delimično pogodan način na koji se može predstaviti prelazak mostova. Za ovo sam iskoristio velika slova A, B, C, D, za svaki od delova zemlje koji su odvojeni vodom. Ako putnik krene od A ka B preko mosta a ili b, ja to zapisujem kao AB – gde prvo slovo predstavlja oblast koju putnik napušta, a drugo slovo predstavlja oblast do koje putnik dolazi prelazeći most. Tako, ako putnik odlazi iz B i prelazi u D preko mosta f, ovaj prelazak se zapisuje kao BD, a dva prelaska AB i BD kombinovano predstavljam sa tri slova ABD, gde srednje slovo B označava oblast u koju smo ušli u prvom prelasku i koju smo napustili u drugom prelasku.“

5

„Slično tome, ako putnik ide od D do C preko mosta g, ova tri sukcesivna prelaska predstavljam sa četiri slova ABDC, što znači da putnik, polazeći iz A, prelazi u B, ide dalje u D i konačno stiže u C. Pošto je svaka od oblasti odvojena od druge tokom reke, putnik je morao da pređe tri mosta. Dalje, sukcesivni prelazak četiri mosta bi bio predstavljen sa pet slova, a u opštem slučaju, ma koliko mostova prešao putnik, njegov put je predstavljen sa brojem slova koji je za jedan veći od broja mostova. Stoga prelazak sedam mostova zahteva osam slova za njegovu reprezentaciju.“

Pošto je preformulisao problem prelaska mostova u funkciji niza slova (čvorova), Ojler se sada okreće pitanju određivanja da li za dati problem postoji rešenje.

6

„Problem je zatim redukovan ka pronalasku niza od osam slova, sačinjenog od slova A, B, C i D, u kome se različiti parovi slova pojavljuju određeni broj puta. Pre nego što pređem na problem pronalaska takvog niza, bilo bi korisno da se sazna da li je uopšte moguće organizovati slova na taj način, jer ako je moguće pokazati da ne postoji takav raspored, onda je svaki rad usmeren ka njegovom pronalasku uzaludan. Stoga sam pokušao da nađem pravilo koje bi bilo korisno u ovom slučaju, a i u drugima, za određivanje da li uopšte postoji takav raspored slova.“

Slika 6. Jednostavan primer koji je Ojler ispitivao


7

„Kako bi pronašao takvo pravilo, posmatram samo oblast A, u koju vodi mnogo mostova a, b, c, d, itd (slika 6). Pogledajmo sada samo prvi most a koji vodi u A: ako putnik prelazi most, on je ili bio u A pre prelaska, ili je došao u A posle prelaska, pa će u bilo kom slučaju slovo A biti prisutno u opisu prikazanom iznad. Ako tri mosta ( recimo a, b, i c ) vode u A, i ako putnik pređe sva tri, onda će se u predstavljanju njegovog puta slovo A pojaviti dva puta, bilo da on započinje svoj put iz A ili ne. Slično tome, ako pet mostova vode u A, reprezentacija puta preko njih će imati tri slova A. Uopšteno, ako je broj mostova bilo koji neparan broj, i ako ga povećamo za jedan, onda će broj pojavljivanja A biti polovina od tog broja.“

U ovom paragrafu, Ojler izvodi pravilo za određivanje koliko puta čvor mora da se pojavi u reprezentaciji puta za dati problem sa mostovima za slučaj kada neparni broj mostova vodi u oblast predstavljenu datim čvorom.

8

„U slučaju Kenigsberških mostova, stoga, slovo A se mora pojaviti tri puta u predstavljanju puta, zato što pet mostova (a,b,c,d,e) vodi u oblast A. Dalje, pošto tri mosta vode u B, slovo B se mora pojaviti dva puta; slično tome, D se pojavljuje dva puta, takođe i C. Tako u skupu od osam slova, A se mora pojaviti tri puta, a slova B, C i D po dva puta – ali se ovo ne može dogoditi u sekvenci od osam slova. Iz ovoga sledi da se takav put ne može izvesti preko sedam mostova Kenigsberga.“

9

„Moguće je reći da li se put može izvesti prelaskom svakog od mostova jednom, za bilo koji raspored mostova, uvek kad je broj mostova koji vode u određenu oblast neparan. Ako je zbir brojeva pojavljivanja svakog slova za jedan veći od broja mostova, takav put se može izvesti; ako, ipak, kao u našem primeru, broj pojavljivanja je veći od jedan od broja mostova, onda se takav put nikada ne može izvesti. Pravilo koje sam formulisao za pronalazak broja pojavljivanja slova A od broja mostova koji vode u A se može primeniti bilo da su svi mostovi došli iz oblasti B, ili da su došli iz različitih oblasti, pošto sam posmatrao samo oblast A, a zatim pokušao da vidim koliko puta se slovo A mora pojaviti.“

10

„Ako je, ipak, broj mostova koji vodi u A paran, onda se u opisu puta mora uzeti u obzir da li je putnik započeo ili nije svoje putovanje iz A; jer ako dva mosta vode u A, a putnik kreće iz A, onda se A mora pojaviti dva puta, jednom da predstavi odlazak preko jednog, a drugi put da predstavi povratak u A preko drugog mosta. Ako, ipak, putnik započne svoj put iz neke druge oblasti, onda se slovo A pojavljuje samo jednom, jer će ta jedna pojava predstaviti i dolazak u A i odlazak odatle, prema mom modelu reprezentacije puta.“


11

„Ako četiri mosta vode u A i ako putnik kreće iz A, onda se u predstavljanju celog puta, slovo A mora javiti tri puta ako se svaki most prelazi samo jednom; ako započinje svoj put iz druge oblasti, onda će se A pojaviti dva puta. Ako šest mostova vode u A, onda će se A pojaviti četiri puta ako put kreće iz A, a ako ne kreće iz A, pojaviće se tri puta. Tako, uopšteno, ako je broj mostova paran, onda će broj pojavljivanja slova A biti polovina od tog broja ako put nije započet iz A, a broj pojavljivanja će biti za jedan veći od polovine mostova ako put kreće iz A.“

12

„Pošto se put može započeti iz jedne oblasti u bilo kom putovanju, definisaću, u analogiji sa brojem mostova koji vode u svaku oblast, broj pojavljivanja slova koje označava datu oblast će biti jednak polovini broja mostova plus jedan, ako je broj mostova neparan, a ako je broj mostova paran, jednak je polovini broja mostova. Stoga, ako je broj pojavljivanja jednak broju mostova plus jedan, traženi put će biti moguć, i moraće da započne iz oblasti sa neparnim brojem mostova koji vode u nju. Ako je, ipak, ukupan broj slova za jedan manji od ukupnog broja mostova plus jedan, onda je put moguć ako krećemo iz oblasti sa parnim brojem mostova koji vode u nju, jer je broj slova time uvećan za jedan.“

Možemo primetiti da je Ojlerova definicija koja se odnosi na broj pojavljivanja slova koje označava određenu oblast zavisi od toga da li je broj mostova (grana) koji vode u tu oblast (čvor) paran ili neparan. U savremenoj terminologiji, broj grana koje su incidentne čvoru v se označava kao stepen čvora v.Neka deg(v) označava stepen čvora v u grafu G. Ojlerova definicija broja pojavljivanja v se može definisati na sledeći način:

Ako je deg(v) paran broj, onda se v javlja ½[deg(v)] puta. Ako je deg(v) neparan broj, onda se v javlja ½[deg(v)+1] puta

13

„Dakle, ma kakav bio raspored reke i mostova na njoj, sledeća metoda će odrediti da li je ili nije moguće preći svaki od mostova tačno jednom: Najpre slovima A, B, C itd. označim različite oblasti koje su vodom odvojene jedna od druge. Zatim uzimam ukupni broj mostova, dodam jedan i zapamtim taj broj (zapišem ga iznad). Dalje, slova A, B, C itd. zapisujem u koloni i pored svakog slova napišem broj mostova koji vode u datu oblast. Zatim zvezdicom označim ona slova koja imaju paran broj pored njih. Posle toga, pored svakog parnog broja upisujem polovinu te vrednosti, a pored svakog neparnog broja, pišem polovinu te vrednosti plus jedan. Zatim sabiram te brojeve i ako je njihov zbir manji ili jednak od broja upisanog iznad, koji je broj mostova plus jedan, smatram da je zahtevani put moguć. Mora se zapamtiti da ako je zbir za jedan manji od broja zapisanog iznad, onda putovanje mora započeti iz jedne od oblasti označene zvezdicom, i mora početi iz neoznačene oblasti ako je zbir jednak zapamćenom broju. Tako u Kenigsberškom problemu, problem se rešava na sledeći način:


Broj mostova je 7, broj koji pamtim je 8

Mostovi 8 A, 5 3 B, 3 2 C, 3 2 D, 3 2

=9

Pošto je broj koji dobijamo na kraju veći od 8, traženi put nije moguć.“

Slika 7. Primer u kome postoji Ojlerov put

14

„Pretpostavimo da imamo dva ostrva A i B okružena vodom kao na slici 7. Petnaest mostova (a, b, c, d, itd.) presecaju reku i povezuju susedna ostrva. Potrebno je da odredim da li se može organizovati put tako da se svaki od mostova pređe tačno jednom. Najpre imenujem sve oblasti odvojene vodom kao A, B, C, D, E, F tako da ih ima ukupno šest. Zatim, povećavam broj mostova (15) sa jedan i upisujem rezultat (16) iznad kolone sa kojom radim.

16A*, 8 4B*, 4 2C*, 4 2D, 3 2E, 5 3

F*, 6 3=16

Zatim, upisujem slova A, B, C itd. u koloni i pored svakog od njih upisujem broj mostova koji vode u odgovarajuću oblast, tako da osam mostova vode u A, četiri u B i tako dalje. Sada zvezdicom obeležim ona slova koja imaju pored sebe paran broj. Posle toga u trećoj koloni upisujem polovinu vrednosti od parnih brojeva, ili polovinu od neparnih brojeva plus jedan. Zatim, sabiram sve brojeve iz treće kolone i dobijam sumu od 16; pošto je ona jednaka broju 16 koji sam zapisao iznad, sledi da se dati put može preći ako se kreće iz oblasti D ili E, pošto oni nisu obeleženi zvezdicom. Put se može obići na sledeći način:


EaFbBcFdAeFfCgAhCiDkAmEnApBoElD, gde sam zapisao mostove koji se prelaze između odgovarajućih velikih slova.“

15

„Na ovaj način biće lako, čak i u najkomplikovanijim slučajevima, da se odredi da li se put može isplanirati prelaskom svakog mosta jednom i samo jednom. Ja ću, ipak, opisati mnogo jednostavniji način za rešenje ovog problema, pošto sam napravio par zapažanja. Najpre, primetio sam da je broj mostova koje pišemo pored slova A, B, C itd. zajedno sa njima daje broj duplo veći od ukupnog broja mostova. Razlog ovoga je da u računanju gde se broji svaki most koji vodi do da date oblasti, svaki most se broji dva puta, jednom za svaku od dve oblasti koje most spaja.“

16

„Sledi da ukupan broj mostova koji vode do svake oblasti mora biti paran broj, pošto je polovina tog broja jednaka ukupnom broju mostova. Ovo je nemoguće ako je samo jedan od ovih brojeva neparan, ili ako su tri neparna, ili pet, i tako dalje. Stoga ako je broj mostova koji su dodati slovima A, B, C itd. neparan, onda mora postojati paran broj njih. Tako, u Kenigsberškom problemu, postojali su neparni brojevi uz slova A, B, C i D kao što se može videti u paragrafu 14, a u poslednjem primeru u paragrafu 15, samo dva broja su neparna, uz D i E.“

Rezultat opisan u paragrafu se ponekad naziva „Teorema rukovanja“. Zasnovana je na ekvivalentnom problemu brojanja broja rukovanja koji se dese tokom nekog društvenog skupa na kome se svaka osoba rukuje sa svakom drugom osobom tačno jednom. Moderna definicija teoreme rukovanja bi glasila: Suma stepena svih čvorova u konačnom grafu jednaka je dvostrukom broju grana u grafu. Rezultat opisan u ovom paragrafu se može definisati kao: Svaki konačni graf sadrži paran broj čvorova sa neparnim stepenom. Ojler sada koristi zapažanja iznad da razvije uprošćena pravila za rešavanje problema prelaska mostova.

17

„Pošto je ukupna vrednost brojeva pridruženih slovima A, B, C itd. jednak dvostrukoj vrednosti broja mostova, jasno je da ako se suma poveća za dva a zatim podeli sa dva, onda će se dobiti broj koji se zapisuje iznad problema koji rešavamo. Ako su, ipak, svi brojevi koji stoje uz slova A, B, C, D itd. parni, a polovina od njih je uzeta kako bi dobili brojeve u trećoj koloni, onda će suma ovih brojeva biti za jedan manja od broja zapisanog iznad. Ma koja oblast da obeležava početak puta, imaće paran broj mostova koji vode u nju, kao što je i traženo. Ovo će se takođe desiti u problemu Kenigsberga ako putnik prelaz svaki most dva puta, pošto se svaki most može tretirati kao da je podeljen na dva dela, a broj mostova koji vode u svaku oblast će zbog toga biti paran.“


18

„Dalje, ako su samo dva broja koja su pridružena slovima A, B, C itd. neparna, a ostali su parni, onda će put koji se traži uvek biti moguć ako počinje iz oblasti sa neparnim brojem mostova koji vode u nju. Jer, ako se parni brojevi prepolove, a neparni brojevi se uvećaju za jedan, kao što se zahteva, suma njihovih polovina će biti za jedan veća od broja mostova, i stoga jednaka broju koji smo zapisali iznad. Iz ovoga se dalje može videti da ako se četiri, ili šest, ili osam... neparnih brojeva pojave u drugoj koloni, onda će zbir brojeva u trećoj koloni biti veći za jedan, dva, tri... od broja zapisanog iznad i put će biti nemoguće izvesti.“

19

„Dakle, ma kakav problem sa mostovima imali, može se lako odrediti da li se ili ne može izvesti traženi put, prelaskom svakog mosta tačno jednom, prateći sledeća pravila:

Ako postoji više od dve oblasti sa neparnim brojem mostova koji vode u njih, onda je traženi put nemoguće izvesti.

Ako je, ipak, broj mostova neparan za tačno dve oblasti, onda je put moguć ako počinje iz jedne od te dve oblasti.

Ako, konačno, ne postoje oblasti do kojih vodi neparan broj mostova, onda je put moguće izvesti polazeći iz bilo koje oblasti.Sa ovim pravilima, dati problem se uvek može rešiti.“

20

„Kada se odredi da li je traženi put moguć, mora se odrediti kako organizovati takav put. Za ovo koristim sledeće pravilo: neka parove mostova koji vode iz jedne oblasti u drugu uklonimo, čime značajno smanjujemo broj mostova; posle toga je lako konstruisati tražni put preko ostalih mostova, a mostove koje smo uklonili neće značajno izmeniti put koji smo pronašli, što će postati jasno posle malo razmišljanja. Stoga nisam smatrao bitnim dalje komentarisanje pronalaženja puta.“

Glavni rezultat Ojlerovog rada se može definisati na sledeći način:Teorema:

Konačni graf G sadrži Ojlerov put ako i samo ako je G povezan i ne sadrži čvorove neparnog stepena.

Posledica:

Konačni graf G sadrži Ojlerov put ako i samo ako je G povezan i sadrži najviše dva čvora neparnog stepena.

Definicija: Ojlerov put koji počinje i završava se u istom čvoru naziva se Ojlerov ciklus.

Definicija:


Graf u kome postoji Ojlerov ciklus, naziva se Ojlerov graf, a graf u kome postoji Ojlerov put, obično se naziva polu Ojlerov.

3.Dokaz Ojlerove teoreme

Da bi smo uspešno dokazali Ojlerovu teoremu, pre svega potrebno je dokazati sledeću teoremu.

Teorema:Ako je u grafu G najmanji stepen čvora δ ≥ 2, onda graf G sadrži ciklus.

Dokaz:Da bi smo ovo dokazali, pođimo od pretpostavke da je graf G acikličan. U tom slučaju imamo da je graf G šuma, a svaka njena komponenta povezanosti H je stablo. Ali kako u svakom netrivijalnom stablu treba da važi d(v)> δ >2, što je kontradikcija jer je d(v)=0 prema tvrđenju za stabla, da u svakom stablu postoje bar dva čvora stepena 1. U tom slučaju dobijamo kontradikciju sa polaznom pretpostavkom da je δ > 2, pa zaključujemo da graf G sadrži ciklus.

Ojlerova teorema:Povezan multigraf, sa bar jednom granom je Ojlerov graf ako i samo ako sadrži sve čvorove parnog stepena.

Dokaz:Ukoliko se krećemo po Ojlerovoj konturi, tada uvek kada nekom granom uđemo u neki čvor, moramo koristiti neku drugu granu koju još nismo koristili da izadjemo iz tog čvora.Kako kod Ojlerove konture moramo proći kroz sve grane, i na kraju se vratiti u polazni čvor, dobijamo da su stepeni svih čvorova parni.

Ako pretpostavimo da je stepen svakog čvora u povezanom multigrafu paran, i da pomoću matematičke indukcije po broju grana dokažemo da taj multigraf sadrži Ojlerovu konturu.Za povezani multigraf sa dve grane tvrđenje je tačno.Sada pretpostavimo da je tvrđenje tačno za sve multigrafove sa manje od m grana i posmatrajmo povezani multigraf G sa m grana, kod kojeg su svi čvorovi parnog stepena.Prema prethodnoj lemi, postoji ciklus s u ovom grafu.Sada izbacimo iz multigrafa G grane iz s.Dobijeni podmultigraf H ne mora biti povezan, ali mu svi čvorovi imaju paran stepen. Svaka od komponenti povezanosti Hi po induktivnoj pretpostavci sadrži Ojlerovu konturu si.Kako je multigraf bio povezan, svaka od staza s1, s2…sk ima bar jedan zajednički čvor sa zatvorenom stazom s. Traženu zatvorenu Ojlerovu stazu dobijamo tako što se krećemo po stazi s i

kad god naiđemo na neki čvor u koji se nalazi u zatvorenoj stazi si koju nismo obišli, iz tog čvora skrenemo i obiđemo celu stazu si , a zatim nastavljamo obilazak po stazi s.Ovim smo dobili, da i za povezani multigraf sa m grana i svim čvorovima parnog stepena postoji Ojlerova kontura, pa po principu matematičke indukcije ovaj smer teoreme važi za svaki multigraf koji ispunjava uslove.

Posledica prethodne teoreme je i sledeće tvrđenje:Povezan multigraf sa bar jednom granom je poluojlerov ako i samo ako sadrži 0 ili 2 čvora neparnog stepena.


Dokaz:Ako multigraf poseduje Ojlerov put tj. zatvorenu Ojlerovu stazu ili Ojlerovu stazu, tada analogno kao i u prethodnoj teoremi dobijamo da svaki čvor ima paran stepen, sem možda početnog i krajnjeg ukoliko su različiti.Ako povezan multigraf ima 0 čvorova neparnog stepena onda zadovoljava uslove Ojlerove teoreme, pa sadrži Ojlerovu stazu.Ukoliko povezan multigraf G ima dva čvora neparnog stepena (u i v) onda od njega možemo napraviti multigraf H, tako što ćemo grafu G dodati još jednu granu e={u,v}.U tom slučaju graf H prema Ojlerovoj teoremi sadrži Ojlerovu konturu. Izbacivanjem grane e iz ove Ojlerove konture, dobijamo Ojlerov put koji polazi iz čvora u i završava se u čvoru v.

Nalaženje Ojlerovog puta je od interesa za organizacije koje u velikim gradovima vrše neke usluge. Organizatori velikih izložbi moraju (ako hoće da posetioci vide sve eksponate i da prelaze što manji put) da odrede jedan Ojlerov put u grafu određenom izložbenim prostorom i stazama kroz njega. Najpoznatiji ovakav problem je “Problem kineskog poštara” (dobio takvo ime jer ga je prvi razmatrao kineski matematičar Kuan 1962. godine).

U pošti, poštar ujutru uzima pisma, obilazi ulice u svom reonu i na kraju radnog dana vraća se u poštu. Poštar će najracionalnije razneti pisma u svom reonu ako kroz svaku ulicu prođe tačno jedanput. To je moguće samo ako je odgovarajući graf Ojlerov, a u ostalim slučajevima se traži optimalno rešenje, tj. da poštar odabere maršrutu kojom će hodati što je manje moguće. Ovaj problem je u literaturi poznat kao “Problem kineskog poštara”.

4.Algoritam Flerija

Algoritam Flerija (Fleury) predstavlja postupak za nalaženje Ojlerove konture u Ojlerovom grafu. Naime, ovaj algoritam konstruiše Ojlerovu konturu tako što u svakom koraku bira most, samo ako nema drugog izbora. Ulaz za ovaj algoritam je Ojlerov graf G, a izlaz je niz čvorova i grana W koji predstavljaju Ojlerovu konturu.


procedure Flerijev algoritam(G)v := v0

// pretpostavlja se da je izabran proizvoljan čvor v0 koji pripada V(G)W := v0

H := Gwhile E(H) ≠ 0

// neka je do sada izabrana staza W = v0,e1,v1,…… ,ei,vi

beginizabrati ei+1 € E(H) tako da važe uslovi:

1. ei+1 je susedna sa vi ;// tj. ei+1 ={ vi ,vi+1}

2. ei+1 nije most u H (izuzev ako nema drugog izbora)

W := W,ei+1,vi+1

H := H – ei+1

//iz H izbacimo ei+1 , a u stazu W dopišemo ei+1 i vi+1 end

endprocedure

5.Eulerian Finder v1.0Program koji smo realizovali tokom rada na ovom projektu jeste Eulerian Finder. Program pronalazi Ojlerov ciklus za grafički unet graf i ukoliko on postoji, ispisuje ga na ekranu. Program je rađen u .net framework-u 4.0 i koristi napredne grafičke kontrole WPF fondacije. Upustvo o korišćenju programa možete dobiti klikom na dugme "Pomoć" u samom programu.


Napomena: -Da bi program radio potrebno je instalirati Microsoft framework 4.0 koj se nalazi na disku.-Da bi ste videli Source Code morate imati instaliran Microsoft Visual Studio 2010

6.Literatura

1. I. Milovanović, E. Milovanović, Diskretna matematika, Niš, 2000.2. Janet Heine Barnett, Early Writings on Graph Theory: Euler Circuits and The

Konigsberg Bridge Problem3. Vladimir Baltić, Teorija grafova, Beograd, 2008


Documents

Ojlerovi grafovi