A matematika néhány kihívása napjainkbanweb.cs.elte.hu/~mrobert/MEAM/03.12.%20-%20A%20...A...

A MATEMATIKA NÉHÁNY KIHÍVÁSA

NAPJAINKBAN

Simon L. Péter

ELTE, Matematikai IntézetAlkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tsz.

1 / 20

MATEMATIKA AZ ÉLET KÜLÖNBÖZO TERÜLETEIN

Kaotikus sorozatok és differenciálegyenletek, avagy miért nehézelorejelezni az idojárást.

2 / 20

MATEMATIKA AZ ÉLET KÜLÖNBÖZO TERÜLETEIN

Kaotikus sorozatok és differenciálegyenletek, avagy miért nehézelorejelezni az idojárást.

Nagy gráfok felépítése, hogyan lehet az interneten egy reklámothatékonyan terjeszteni, vagy egy fertozo betegség (H1N1) terjedésétmegállítani.

2 / 20

MATEMATIKA AZ ÉLET KÜLÖNBÖZO TERÜLETEIN

Kaotikus sorozatok és differenciálegyenletek, avagy miért nehézelorejelezni az idojárást.

Nagy gráfok felépítése, hogyan lehet az interneten egy reklámothatékonyan terjeszteni, vagy egy fertozo betegség (H1N1) terjedésétmegállítani.

Lineáris egyenlotlenségek megoldása, hogyan tervezzük megoptimálisan egy ügyfélszolgálat muködését.

2 / 20

MATEMATIKA AZ ÉLET KÜLÖNBÖZO TERÜLETEIN

Kaotikus sorozatok és differenciálegyenletek, avagy miért nehézelorejelezni az idojárást.

Nagy gráfok felépítése, hogyan lehet az interneten egy reklámothatékonyan terjeszteni, vagy egy fertozo betegség (H1N1) terjedésétmegállítani.

Lineáris egyenlotlenségek megoldása, hogyan tervezzük megoptimálisan egy ügyfélszolgálat muködését.

Nagy számok prímfelbontása, avagy hogyan biztosítható azinternetes vásárlás biztonsága az RSA algoritmus segítségével.

2 / 20

SOROZATOK

Számtani sorozat: an+1 = an + d

3 / 20

SOROZATOK

Számtani sorozat: an+1 = an + d

Például: an+1 = an + 2, a0 = 0⇒ an a páros számokból álló sorozat.

3 / 20

SOROZATOK

Számtani sorozat: an+1 = an + d

Mértani sorozat: an+1 = qan

3 / 20

SOROZATOK

Számtani sorozat: an+1 = an + d

Mértani sorozat: an+1 = qan

Például: an+1 = 2an, a0 = 1⇒ an a 2 hatványaiból álló sorozat.

3 / 20

SOROZATOK

Számtani sorozat: an+1 = an + d

Mértani sorozat: an+1 = qan

an+1 = an2 + 1

an

3 / 20

SOROZATOK

Számtani sorozat: an+1 = an + d

Mértani sorozat: an+1 = qan

an+1 = an2 + 1

an

a0 = 3.0000, a1 = 1.8333, a2 = 1.4621, a3 = 1.4150, a4 = 1.4142

3 / 20

SOROZATOK

Számtani sorozat: an+1 = an + d

Mértani sorozat: an+1 = qan

an+1 = an2 + 1

an

Bármely a0 > 0 esetén az an a√

2 közelítését adja.

3 / 20

SOROZATOK

Számtani sorozat: an+1 = an + d

Mértani sorozat: an+1 = qan

an+1 = an2 + 1

an

Bármely a0 > 0 esetén az an a√

2 közelítését adja.

xn+1 = axn(1− xn) , a ∈ [0,4] adott szám.

3 / 20

SOROZATOK

Számtani sorozat: an+1 = an + d

Mértani sorozat: an+1 = qan

an+1 = an2 + 1

an

Bármely a0 > 0 esetén az an a√

2 közelítését adja.

xn+1 = axn(1− xn) , a ∈ [0,4] adott szám.

Ha a = 4, akkor xn kaotikus sorozat.

3 / 20

SOROZATOK

Számtani sorozat: an+1 = an + d

Mértani sorozat: an+1 = qan

an+1 = an2 + 1

an

Bármely a0 > 0 esetén az an a√

2 közelítését adja.

xn+1 = axn(1− xn) , a ∈ [0,4] adott szám.

Ha a = 4, akkor xn kaotikus sorozat.

Logisztikus leképezés: f (x) = ax(1− x).

3 / 20

SOROZATOK

Számtani sorozat: an+1 = an + d

Mértani sorozat: an+1 = qan

an+1 = an2 + 1

an

Bármely a0 > 0 esetén az an a√

2 közelítését adja.

xn+1 = axn(1− xn) , a ∈ [0,4] adott szám.

Ha a = 4, akkor xn kaotikus sorozat.

Logisztikus leképezés: f (x) = ax(1− x).

Egyszeru módszer a sorozat viselkedésének tanulmányozására

3 / 20

LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS

Ha 0 < a < 1, akkor xn → 0.

4 / 20

LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS

Ha 0 < a < 1, akkor xn → 0.

Ha 1 < a < 3, akkor xn → 1− 1a .

4 / 20

LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS

Ha 0 < a < 1, akkor xn → 0.

Ha 1 < a < 3, akkor xn → 1− 1a .

Ha a1 = 3 < a < 1 +√

6 = a2, akkor xn 2-ciklushoz tart.

4 / 20

LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS

Ha 0 < a < 1, akkor xn → 0.

Ha 1 < a < 3, akkor xn → 1− 1a .

Ha a1 = 3 < a < 1 +√

6 = a2, akkor xn 2-ciklushoz tart.

Ha a2 < a < a3, akkor xn 4-ciklushoz tart.

4 / 20

LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS

Ha 0 < a < 1, akkor xn → 0.

Ha 1 < a < 3, akkor xn → 1− 1a .

Ha a1 = 3 < a < 1 +√

6 = a2, akkor xn 2-ciklushoz tart.

Ha a2 < a < a3, akkor xn 4-ciklushoz tart.

4 / 20

LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS

5 / 20

LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS

Ha ak < a < ak+1, akkor xn 2k -ciklushoz tart.

5 / 20

LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS

Ha ak < a < ak+1, akkor xn 2k -ciklushoz tart.

Feigenbaum szám δ = 4,669201609102990...

ak − ak−1

ak+1 − ak→ δ.

5 / 20

LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS

Ha ak < a < ak+1, akkor xn 2k -ciklushoz tart.

Feigenbaum szám δ = 4,669201609102990...

ak − ak−1

ak+1 − ak→ δ.

Ha a = 4, akkor az xn sorozat kaotikus,

5 / 20

LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS

Ha ak < a < ak+1, akkor xn 2k -ciklushoz tart.

Feigenbaum szám δ = 4,669201609102990...

ak − ak−1

ak+1 − ak→ δ.

Ha a = 4, akkor az xn sorozat kaotikus,

a sorozat tagjai különlegesen függenek az elso tagtól.5 / 20

LORENZ-EGYENLET

Valóságos folyamatoknál is elofordul kaotikus viselkedés.

6 / 20

LORENZ-EGYENLET

Valóságos folyamatoknál is elofordul kaotikus viselkedés.

Rayleigh-Bénard konvekció

6 / 20

LORENZ-EGYENLET

Valóságos folyamatoknál is elofordul kaotikus viselkedés.

Rayleigh-Bénard konvekció

A folyadékot alulról melegítjük, felülrol hutjük. Ennek hatásáraáramlás indul meg.

6 / 20

LORENZ-EGYENLET

A Rayleigh-Bénard konvekció egyszerusített matematikai modellje aLorenz-egyenlet.

7 / 20

LORENZ-EGYENLET

A Rayleigh-Bénard konvekció egyszerusített matematikai modellje aLorenz-egyenlet.

x = σ(y − x)

y = ρx − xz − yz = xy − βz

7 / 20

LORENZ-EGYENLET

A Rayleigh-Bénard konvekció egyszerusített matematikai modellje aLorenz-egyenlet.

x = σ(y − x)

y = ρx − xz − yz = xy − βz

x : a konvekció erossége,y : a felfelé és lefelé áramlás homérsékletének különbsége,z: a függoleges homérsékletváltozás eltérése a lineáristól.

7 / 20

LORENZ-EGYENLET

A Rayleigh-Bénard konvekció egyszerusített matematikai modellje aLorenz-egyenlet.

x = σ(y − x)

y = ρx − xz − yz = xy − βz

x : a konvekció erossége,y : a felfelé és lefelé áramlás homérsékletének különbsége,z: a függoleges homérsékletváltozás eltérése a lineáristól.

A megoldás érzékenyen függ a kezdeti feltételtol.

7 / 20

LORENZ-EGYENLET, PILLANGÓ HATÁS

Az x(t) értéke két különbözo kezdeti feltételbol indulva.

Kék: x(0) = y(0) = z(0) = 1Piros: x(0) = y(0) = 1, z(0) = 1.001

8 / 20

LORENZ-EGYENLET, PILLANGÓ HATÁS

Az x(t) értéke két különbözo kezdeti feltételbol indulva.

Kék: x(0) = y(0) = z(0) = 1Piros: x(0) = y(0) = 1, z(0) = 1.001

σ = 10, β = 8/3, ρ = 25

8 / 20

VALÓDI IDOJÁRÁS MODELLEK

Parciális differenciálegyenletek a szél sebességére, a homérsékletre,a nyomásra.

9 / 20

VALÓDI IDOJÁRÁS MODELLEK

Parciális differenciálegyenletek a szél sebességére, a homérsékletre,a nyomásra.

∂tu(t , x , y , z) = D∆u(t , x , y , z)+a∂xu(t , x , y , z)+b∂y u(t , x , y , z)+f (t , x , y , z)

9 / 20

VALÓDI IDOJÁRÁS MODELLEK

Parciális differenciálegyenletek a szél sebességére, a homérsékletre,a nyomásra.

∂tu(t , x , y , z) = D∆u(t , x , y , z)+a∂xu(t , x , y , z)+b∂y u(t , x , y , z)+f (t , x , y , z)

Numerikus nehézség: több millió egyszeru egyenlet megoldásapárhuzamosan.

9 / 20

VALÓDI IDOJÁRÁS MODELLEK

Parciális differenciálegyenletek a szél sebességére, a homérsékletre,a nyomásra.

∂tu(t , x , y , z) = D∆u(t , x , y , z)+a∂xu(t , x , y , z)+b∂y u(t , x , y , z)+f (t , x , y , z)

Numerikus nehézség: több millió egyszeru egyenlet megoldásapárhuzamosan.

Mérési nehézség: a légkör állapotát egy adott idopontban, sokhelyen, nagy pontossággal kell ismerni az elorejelzéshez.

9 / 20

VALÓDI IDOJÁRÁS MODELLEK

Parciális differenciálegyenletek a szél sebességére, a homérsékletre,a nyomásra.

∂tu(t , x , y , z) = D∆u(t , x , y , z)+a∂xu(t , x , y , z)+b∂y u(t , x , y , z)+f (t , x , y , z)

Numerikus nehézség: több millió egyszeru egyenlet megoldásapárhuzamosan.

Mérési nehézség: a légkör állapotát egy adott idopontban, sokhelyen, nagy pontossággal kell ismerni az elorejelzéshez.

A Lorenz-egyenletnél megfigyelt kaotikus hatások miatt:

Minél hosszabb idore akarunk elorejelezni, annál pontosabban kellismerni a kezdeti feltételeket⇒ pillangóhatás.

9 / 20

SIS JÁRVÁNYTERJEDÉS

Adott egy N csúcsú gráf

A csúcsok kétféle állapotban lehetnek: egészséges S, fertozo I

10 / 20

SIS JÁRVÁNYTERJEDÉS

Adott egy N csúcsú gráf

A csúcsok kétféle állapotban lehetnek: egészséges S, fertozo I

Átmenetek:

S → I, ráta: kτ , k a szomszédos I csúcsok száma.I → S, ráta: γ

10 / 20

SIS JÁRVÁNYTERJEDÉS

Adott egy N csúcsú gráf

A csúcsok kétféle állapotban lehetnek: egészséges S, fertozo I

Állapottér

10 / 20

SIS JÁRVÁNYTERJEDÉS

Adott egy N csúcsú gráf

A csúcsok kétféle állapotban lehetnek: egészséges S, fertozo I

Állapottér

Fertozés: SIS → IISGyógyulás: SIS → SSS

10 / 20

SIS JÁRVÁNYTERJEDÉS

Alapegyenletek (master equations)

XSSS = γ(XSSI + XSIS + XISS),

XSSI = γ(XSII + XISI)− (2τ + γ)XSSI ,

XSIS = γ(XSII + XIIS)− (2τ + γ)XSIS,

XISS = γ(XISI + XIIS)− (2τ + γ)XISS,

XSII = γXIII + τ(XSSI + XSIS)− 2(τ + γ)XSII ,

XISI = γXIII + τ(XSSI + XISS)− 2(τ + γ)XISI ,

XIIS = γXIII + τ(XSIS + XISS)− 2(τ + γ)XIIS,

XIII = −3γXIII + 2τ(XSII + XISI + XIIS),

11 / 20

SIS JÁRVÁNYTERJEDÉS

Alapegyenletek (master equations)

XSSS = γ(XSSI + XSIS + XISS),

XSSI = γ(XSII + XISI)− (2τ + γ)XSSI ,

XSIS = γ(XSII + XIIS)− (2τ + γ)XSIS,

XISS = γ(XISI + XIIS)− (2τ + γ)XISS,

XSII = γXIII + τ(XSSI + XSIS)− 2(τ + γ)XSII ,

XISI = γXIII + τ(XSSI + XISS)− 2(τ + γ)XISI ,

XIIS = γXIII + τ(XSIS + XISS)− 2(τ + γ)XIIS,

XIII = −3γXIII + 2τ(XSII + XISI + XIIS),

N csúcsú gráf esetén 2N differenciálegyenlet

11 / 20

SIS JÁRVÁNYTERJEDÉS

Alapegyenletek (master equations)

XSSS = γ(XSSI + XSIS + XISS),

XSSI = γ(XSII + XISI)− (2τ + γ)XSSI ,

XSIS = γ(XSII + XIIS)− (2τ + γ)XSIS,

XISS = γ(XISI + XIIS)− (2τ + γ)XISS,

XSII = γXIII + τ(XSSI + XSIS)− 2(τ + γ)XSII ,

XISI = γXIII + τ(XSSI + XISS)− 2(τ + γ)XISI ,

XIIS = γXIII + τ(XSIS + XISS)− 2(τ + γ)XIIS,

XIII = −3γXIII + 2τ(XSII + XISI + XIIS),

A rendszer mérete a gráf automorfizmuscsoportja ismeretébencsökkentheto:

Simon, P.L., Taylor, M., Kiss., I.Z., Exact epidemic models on graphs using graph-automorphism

driven lumping, J. Math. Biol., 62 (2011).

11 / 20

ÁLTALÁNOS MATEMATIKAI MODELL

Adott egy N csúcsú, irányítatlan, hurokélmentes gráf

12 / 20

ÁLTALÁNOS MATEMATIKAI MODELL

Adott egy N csúcsú, irányítatlan, hurokélmentes gráf

Csúcsok állapotainak halmaza {a1,a2, . . .am}.

12 / 20

ÁLTALÁNOS MATEMATIKAI MODELL

Adott egy N csúcsú, irányítatlan, hurokélmentes gráf

Csúcsok állapotainak halmaza {a1,a2, . . .am}.

A gráf összes lehetséges állapotainak halmaza mN elemu

12 / 20

ÁLTALÁNOS MATEMATIKAI MODELL

Adott egy N csúcsú, irányítatlan, hurokélmentes gráf

Csúcsok állapotainak halmaza {a1,a2, . . .am}.

A gráf összes lehetséges állapotainak halmaza mN elemu

Az állapotok változását Poisson-folyamat írja le

∆t ido alatt annak valószínusége, hogy egy ai állapotban levo csúcsaj állapotba kerül:

1− exp(−λij ∆t).

12 / 20

PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA

SIS járványterjedés

13 / 20

PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA

SIS járványterjedés

A csúcsok állapotainak halmaza: {S, I}.

13 / 20

PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA

SIS járványterjedés

A csúcsok állapotainak halmaza: {S, I}.

Átmenetek és rátáik

S → I, λ = kτ , k a szomszédos I csúcsok száma.I → S, λ = γ

13 / 20

PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA

SIR járványterjedés

14 / 20

PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA

SIR járványterjedés

A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {S, I,R}.

14 / 20

PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA

SIR járványterjedés

A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {S, I,R}.

Átmenetek és rátáik

S → I, λ = kτ , k a szomszédos I csúcsok száma.I → R, λ = γ

14 / 20

PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA

SIR járványterjedés

A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {S, I,R}.

Átmenetek és rátáik

S → I, λ = kτ , k a szomszédos I csúcsok száma.I → R, λ = γ

Körmentes gráf esetén egzakt, nemlineáris, O(N) méretu rendszeradható meg.

14 / 20

PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA

Híresztelés terjedése

15 / 20

PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA

Híresztelés terjedése

A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {X ,Y ,Z} (tájékozatlan,terjeszto, akadályozó).

15 / 20

PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA

Híresztelés terjedése

A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {X ,Y ,Z} (tájékozatlan,terjeszto, akadályozó).

Átmenetek és rátáik

X → Y , λ = kτ , k a szomszédos Y csúcsok száma.Y → Z , λ = γ + jp, j a szomszédos Y és Z csúcsok együttesszáma.

15 / 20

PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA

Aktivitás terjedése neuron hálózatban

16 / 20

PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA

Aktivitás terjedése neuron hálózatban

A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {E+,E−, I+, I−}(gerjesztheto aktív és inaktív, gátló aktív és inaktív).

16 / 20

PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA

Aktivitás terjedése neuron hálózatban

A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {E+,E−, I+, I−}(gerjesztheto aktív és inaktív, gátló aktív és inaktív).

Átmenetek és rátáik

E+ → E−, λ = α.E− → E+, λ = th(iwE − jwI + hE ), i , j a szomszédos E+, és I+csúcsok száma.I+ → I−, λ = α.I− → I+, λ = th(iwE − jwI + hI), i , j a szomszédos E+, és I+csúcsok száma.

16 / 20

PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA

Aktivitás terjedése neuron hálózatban

A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {E+,E−, I+, I−}(gerjesztheto aktív és inaktív, gátló aktív és inaktív).

Átmenetek és rátáik

E+ → E−, λ = α.E− → E+, λ = th(iwE − jwI + hE ), i , j a szomszédos E+, és I+csúcsok száma.I+ → I−, λ = α.I− → I+, λ = th(iwE − jwI + hI), i , j a szomszédos E+, és I+csúcsok száma.

Taylor, T.J., Hartley, C., Simon, P.L., Kiss., I.Z., Berthouze, L., Identification of criticality in neuronal

avalanches: I. A theoretical investigation of the non-driven case, J. Math. Neuroscience, 2013

16 / 20

PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA

Cégek csodbemenetele

17 / 20

PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA

Cégek csodbemenetele

A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: muködo (M),csodbement (C).

17 / 20

PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA

Cégek csodbemenetele

A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: muködo (M),csodbement (C).

Átmenetek és rátáik

M → C, λ = c + kw , k a szomszédos C csúcsok száma, c aspontán csodbemenetel rátája.

17 / 20

GRÁF TÍPUSOK

Véletlen gráfok:

18 / 20

GRÁF TÍPUSOK

Véletlen gráfok:

Erdos-Rényi véletlen gráf

18 / 20

GRÁF TÍPUSOK

Véletlen gráfok:

Erdos-Rényi véletlen gráf

18 / 20

GRÁF TÍPUSOK

Véletlen gráfok:

Erdos-Rényi véletlen gráf

Watts-Strogatz véletlen gráf, kicsi a világ tulajdonsággal

18 / 20

GRÁF TÍPUSOK

Véletlen gráfok:

Erdos-Rényi véletlen gráf

Watts-Strogatz véletlen gráf, kicsi a világ tulajdonsággal

18 / 20

GRÁF TÍPUSOK

Véletlen gráfok:

Erdos-Rényi véletlen gráf

Watts-Strogatz véletlen gráf, kicsi a világ tulajdonsággal

Barabási-Albert véletlen gráf, skálafüggetlen fokszámeloszlás

18 / 20

GRÁF TÍPUSOK

Véletlen gráfok:

Erdos-Rényi véletlen gráf

Watts-Strogatz véletlen gráf, kicsi a világ tulajdonsággal

Barabási-Albert véletlen gráf, skálafüggetlen fokszámeloszlás

18 / 20

GRÁF TÍPUSOK

Véletlen gráfok:

Erdos-Rényi véletlen gráf

Watts-Strogatz véletlen gráf, kicsi a világ tulajdonsággal

Barabási-Albert véletlen gráf, skálafüggetlen fokszámeloszlás

Kutatás célja:

Különbözo típusú gráfokon, különbözo dinamikához megfeleloközelíto (esetleg egzakt) differenciálegyenletek levezetése.

18 / 20

ÖSSZEFOGLALÁS

xn+1 = 4xn(1− xn), a sorozat tagjai erosen függenek az elso tagtól.

19 / 20

ÖSSZEFOGLALÁS

xn+1 = 4xn(1− xn), a sorozat tagjai erosen függenek az elso tagtól.

Miért nem lehet hosszú távra elorejelezni az idojárást: pillangóeffektus.Kaotikus rendszer megoldása erosen függ a kiindulási feltételektol.

19 / 20

ÖSSZEFOGLALÁS

xn+1 = 4xn(1− xn), a sorozat tagjai erosen függenek az elso tagtól.

Miért nem lehet hosszú távra elorejelezni az idojárást: pillangóeffektus.Kaotikus rendszer megoldása erosen függ a kiindulási feltételektol.

Egy nagy gráfon végbemeno folyamat modellezése kezelhetetlenülsok egyenletre vezet.

19 / 20

ÖSSZEFOGLALÁS

xn+1 = 4xn(1− xn), a sorozat tagjai erosen függenek az elso tagtól.

Miért nem lehet hosszú távra elorejelezni az idojárást: pillangóeffektus.Kaotikus rendszer megoldása erosen függ a kiindulási feltételektol.

Egy nagy gráfon végbemeno folyamat modellezése kezelhetetlenülsok egyenletre vezet.

A valóságos folyamatok modellezése nehéz matematikát igényel.

19 / 20

ÖSSZEFOGLALÁS

xn+1 = 4xn(1− xn), a sorozat tagjai erosen függenek az elso tagtól.

Miért nem lehet hosszú távra elorejelezni az idojárást: pillangóeffektus.Kaotikus rendszer megoldása erosen függ a kiindulási feltételektol.

Egy nagy gráfon végbemeno folyamat modellezése kezelhetetlenülsok egyenletre vezet.

A valóságos folyamatok modellezése nehéz matematikát igényel.

Az igazi kihívás olyan matematikai kérdés kituzése és megoldása,ami nem reménytelenül nehéz, de azért mond valamit a világról.

19 / 20

Köszönöm a figyelmet!

20 / 20