Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1....

Algebra2, normál 1. előadás 1 / 24

Algebra2, normálELTE Algebra és Számelmélet Tanszék

Előadó: Kiss Emilhttp://ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress

ewwkiss@gmail.com

1. előadás

Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24

A félév anyaga: lineáris algebra

Vektorterek, alterek

Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24

A félév anyaga: lineáris algebra

Vektorterek, alterek

Függés, függetlenség, bázis, dimenzió

Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24

A félév anyaga: lineáris algebra

Vektorterek, alterek

Függés, függetlenség, bázis, dimenzió

Skaláris szorzat Rn-ben, vektorok hossza és szöge

Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24

A félév anyaga: lineáris algebra

Vektorterek, alterek

Függés, függetlenség, bázis, dimenzió

Skaláris szorzat Rn-ben, vektorok hossza és szöge

Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció

Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24

A félév anyaga: lineáris algebra

Vektorterek, alterek

Függés, függetlenség, bázis, dimenzió

Skaláris szorzat Rn-ben, vektorok hossza és szöge

Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció

Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság

Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24

A félév anyaga: lineáris algebra

Vektorterek, alterek

Függés, függetlenség, bázis, dimenzió

Skaláris szorzat Rn-ben, vektorok hossza és szöge

Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció

Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság

Sajátérték, karakterisztikus polinom, diagonalizálás

Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24

A félév anyaga: lineáris algebra

Vektorterek, alterek

Függés, függetlenség, bázis, dimenzió

Skaláris szorzat Rn-ben, vektorok hossza és szöge

Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció

Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság

Sajátérték, karakterisztikus polinom, diagonalizálás

Minimálpolinom, invariáns alterek, Jordan normálalak

Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24

A félév anyaga: lineáris algebra

Vektorterek, alterek

Függés, függetlenség, bázis, dimenzió

Skaláris szorzat Rn-ben, vektorok hossza és szöge

Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció

Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság

Sajátérték, karakterisztikus polinom, diagonalizálás

Minimálpolinom, invariáns alterek, Jordan normálalak

Euklideszi terek: merőlegesség és skaláris szorzat

Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24

A félév anyaga: lineáris algebra

Vektorterek, alterek

Függés, függetlenség, bázis, dimenzió

Skaláris szorzat Rn-ben, vektorok hossza és szöge

Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció

Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság

Sajátérték, karakterisztikus polinom, diagonalizálás

Minimálpolinom, invariáns alterek, Jordan normálalak

Euklideszi terek: merőlegesség és skaláris szorzat

Egybevágósági transzformációk valós és komplex fölött

Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24

A félév anyaga: lineáris algebra

Vektorterek, alterek

Függés, függetlenség, bázis, dimenzió

Skaláris szorzat Rn-ben, vektorok hossza és szöge

Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció

Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság

Sajátérték, karakterisztikus polinom, diagonalizálás

Minimálpolinom, invariáns alterek, Jordan normálalak

Euklideszi terek: merőlegesség és skaláris szorzat

Egybevágósági transzformációk valós és komplex fölött

Diagonalizálhatóság ortonormált bázisban

Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24

A félév anyaga: lineáris algebra

Vektorterek, alterek

Függés, függetlenség, bázis, dimenzió

Skaláris szorzat Rn-ben, vektorok hossza és szöge

Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció

Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság

Sajátérték, karakterisztikus polinom, diagonalizálás

Minimálpolinom, invariáns alterek, Jordan normálalak

Euklideszi terek: merőlegesség és skaláris szorzat

Egybevágósági transzformációk valós és komplex fölött

Diagonalizálhatóság ortonormált bázisban

Kvadratikus alak négyzetösszeg alakja

Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24

A félév anyaga: lineáris algebra

Vektorterek, alterek

Függés, függetlenség, bázis, dimenzió

Skaláris szorzat Rn-ben, vektorok hossza és szöge

Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció

Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság

Sajátérték, karakterisztikus polinom, diagonalizálás

Minimálpolinom, invariáns alterek, Jordan normálalak

Euklideszi terek: merőlegesség és skaláris szorzat

Egybevágósági transzformációk valós és komplex fölött

Diagonalizálhatóság ortonormált bázisban

Kvadratikus alak négyzetösszeg alakja

Tankönyv: Freud Róbert: Lineáris algebra.

Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24

A félév anyaga: lineáris algebra

Vektorterek, alterek

Függés, függetlenség, bázis, dimenzió

Skaláris szorzat Rn-ben, vektorok hossza és szöge

Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció

Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság

Sajátérték, karakterisztikus polinom, diagonalizálás

Minimálpolinom, invariáns alterek, Jordan normálalak

Euklideszi terek: merőlegesség és skaláris szorzat

Egybevágósági transzformációk valós és komplex fölött

Diagonalizálhatóság ortonormált bázisban

Kvadratikus alak négyzetösszeg alakja

Tankönyv: Freud Róbert: Lineáris algebra.Konzultáció: ewwkiss@gmail.com

Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 3 / 24

A számonkérés módja

A gyakorlat célja az elméleti anyag megértése.

Honlap: ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/

Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 3 / 24

A számonkérés módja

A gyakorlat célja az elméleti anyag megértése.Módja: önálló feladatmegoldás. Feladatsorok a honlapon.

Honlap: ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/

Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 3 / 24

A számonkérés módja

A gyakorlat célja az elméleti anyag megértése.Módja: önálló feladatmegoldás. Feladatsorok a honlapon.Begyakorlás otthon: feladatok Freud Róbert könyvében.

Honlap: ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/

Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 3 / 24

A számonkérés módja

A gyakorlat célja az elméleti anyag megértése.Módja: önálló feladatmegoldás. Feladatsorok a honlapon.Begyakorlás otthon: feladatok Freud Róbert könyvében.Három hiányzás megengedett. Minden gyakorlaton röpZH:

Honlap: ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/

Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 3 / 24

A számonkérés módja

A gyakorlat célja az elméleti anyag megértése.Módja: önálló feladatmegoldás. Feladatsorok a honlapon.Begyakorlás otthon: feladatok Freud Róbert könyvében.Három hiányzás megengedett. Minden gyakorlaton röpZH:

az előző heti előadás tételeiből, definícióiból

Honlap: ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/

Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 3 / 24

A számonkérés módja

A gyakorlat célja az elméleti anyag megértése.Módja: önálló feladatmegoldás. Feladatsorok a honlapon.Begyakorlás otthon: feladatok Freud Róbert könyvében.Három hiányzás megengedett. Minden gyakorlaton röpZH:

az előző heti előadás tételeiből, definícióiból(ehhez minden prezentáció legvégén összefoglaló);

Honlap: ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/

Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 3 / 24

A számonkérés módja

A gyakorlat célja az elméleti anyag megértése.Módja: önálló feladatmegoldás. Feladatsorok a honlapon.Begyakorlás otthon: feladatok Freud Róbert könyvében.Három hiányzás megengedett. Minden gyakorlaton röpZH:

az előző heti előadás tételeiből, definícióiból(ehhez minden prezentáció legvégén összefoglaló);50%-ot kell elérni, különben a gyakorlati jegy elégtelen.

Honlap: ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/

Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 3 / 24

A számonkérés módja

A gyakorlat célja az elméleti anyag megértése.Módja: önálló feladatmegoldás. Feladatsorok a honlapon.Begyakorlás otthon: feladatok Freud Róbert könyvében.Három hiányzás megengedett. Minden gyakorlaton röpZH:

az előző heti előadás tételeiből, definícióiból(ehhez minden prezentáció legvégén összefoglaló);50%-ot kell elérni, különben a gyakorlati jegy elégtelen.

Két évfolyamzárthelyi;

Honlap: ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/

Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 3 / 24

A számonkérés módja

A gyakorlat célja az elméleti anyag megértése.Módja: önálló feladatmegoldás. Feladatsorok a honlapon.Begyakorlás otthon: feladatok Freud Róbert könyvében.Három hiányzás megengedett. Minden gyakorlaton röpZH:

az előző heti előadás tételeiből, definícióiból(ehhez minden prezentáció legvégén összefoglaló);50%-ot kell elérni, különben a gyakorlati jegy elégtelen.

Két évfolyamzárthelyi;az elégtelen zárthelyiket ki kell javítani;

Honlap: ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/

Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 3 / 24

A számonkérés módja

A gyakorlat célja az elméleti anyag megértése.Módja: önálló feladatmegoldás. Feladatsorok a honlapon.Begyakorlás otthon: feladatok Freud Róbert könyvében.Három hiányzás megengedett. Minden gyakorlaton röpZH:

az előző heti előadás tételeiből, definícióiból(ehhez minden prezentáció legvégén összefoglaló);50%-ot kell elérni, különben a gyakorlati jegy elégtelen.

Két évfolyamzárthelyi;az elégtelen zárthelyiket ki kell javítani;javító a félév végén, a gyakorlatvezető döntése alapján.

Honlap: ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/

Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 3 / 24

A számonkérés módja

A gyakorlat célja az elméleti anyag megértése.Módja: önálló feladatmegoldás. Feladatsorok a honlapon.Begyakorlás otthon: feladatok Freud Róbert könyvében.Három hiányzás megengedett. Minden gyakorlaton röpZH:

az előző heti előadás tételeiből, definícióiból(ehhez minden prezentáció legvégén összefoglaló);50%-ot kell elérni, különben a gyakorlati jegy elégtelen.

Két évfolyamzárthelyi;az elégtelen zárthelyiket ki kell javítani;javító a félév végén, a gyakorlatvezető döntése alapján.Ha nem sikerül: gyakorlati jegy utóvizsga.

Honlap: ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/

Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 3 / 24

A számonkérés módja

A gyakorlat célja az elméleti anyag megértése.Módja: önálló feladatmegoldás. Feladatsorok a honlapon.Begyakorlás otthon: feladatok Freud Róbert könyvében.Három hiányzás megengedett. Minden gyakorlaton röpZH:

az előző heti előadás tételeiből, definícióiból(ehhez minden prezentáció legvégén összefoglaló);50%-ot kell elérni, különben a gyakorlati jegy elégtelen.

Két évfolyamzárthelyi;az elégtelen zárthelyiket ki kell javítani;javító a félév végén, a gyakorlatvezető döntése alapján.Ha nem sikerül: gyakorlati jegy utóvizsga.Csak érvényes gyakorlati jeggyel lehet vizsgázni.

Honlap: ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/

Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 3 / 24

A számonkérés módja

A gyakorlat célja az elméleti anyag megértése.Módja: önálló feladatmegoldás. Feladatsorok a honlapon.Begyakorlás otthon: feladatok Freud Róbert könyvében.Három hiányzás megengedett. Minden gyakorlaton röpZH:

az előző heti előadás tételeiből, definícióiból(ehhez minden prezentáció legvégén összefoglaló);50%-ot kell elérni, különben a gyakorlati jegy elégtelen.

Két évfolyamzárthelyi;az elégtelen zárthelyiket ki kell javítani;javító a félév végén, a gyakorlatvezető döntése alapján.Ha nem sikerül: gyakorlati jegy utóvizsga.Csak érvényes gyakorlati jeggyel lehet vizsgázni.

Írásbeli vizsga. Ez a prezentáció definiálja a vizsgaanyagot.

Honlap: ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/

Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 3 / 24

A számonkérés módja

A gyakorlat célja az elméleti anyag megértése.Módja: önálló feladatmegoldás. Feladatsorok a honlapon.Begyakorlás otthon: feladatok Freud Róbert könyvében.Három hiányzás megengedett. Minden gyakorlaton röpZH:

az előző heti előadás tételeiből, definícióiból(ehhez minden prezentáció legvégén összefoglaló);50%-ot kell elérni, különben a gyakorlati jegy elégtelen.

Két évfolyamzárthelyi;az elégtelen zárthelyiket ki kell javítani;javító a félév végén, a gyakorlatvezető döntése alapján.Ha nem sikerül: gyakorlati jegy utóvizsga.Csak érvényes gyakorlati jeggyel lehet vizsgázni.

Írásbeli vizsga. Ez a prezentáció definiálja a vizsgaanyagot.Nyomtatható változat is letölthető a honlapról.

Honlap: ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/

Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 3 / 24

A számonkérés módja

A gyakorlat célja az elméleti anyag megértése.Módja: önálló feladatmegoldás. Feladatsorok a honlapon.Begyakorlás otthon: feladatok Freud Róbert könyvében.Három hiányzás megengedett. Minden gyakorlaton röpZH:

az előző heti előadás tételeiből, definícióiból(ehhez minden prezentáció legvégén összefoglaló);50%-ot kell elérni, különben a gyakorlati jegy elégtelen.

Két évfolyamzárthelyi;az elégtelen zárthelyiket ki kell javítani;javító a félév végén, a gyakorlatvezető döntése alapján.Ha nem sikerül: gyakorlati jegy utóvizsga.Csak érvényes gyakorlati jeggyel lehet vizsgázni.

Írásbeli vizsga. Ez a prezentáció definiálja a vizsgaanyagot.Nyomtatható változat is letölthető a honlapról.Három rész (minta az előző évi vizsgák a honlapon):

Honlap: ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/

Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 3 / 24

A számonkérés módja

A gyakorlat célja az elméleti anyag megértése.Módja: önálló feladatmegoldás. Feladatsorok a honlapon.Begyakorlás otthon: feladatok Freud Róbert könyvében.Három hiányzás megengedett. Minden gyakorlaton röpZH:

az előző heti előadás tételeiből, definícióiból(ehhez minden prezentáció legvégén összefoglaló);50%-ot kell elérni, különben a gyakorlati jegy elégtelen.

Két évfolyamzárthelyi;az elégtelen zárthelyiket ki kell javítani;javító a félév végén, a gyakorlatvezető döntése alapján.Ha nem sikerül: gyakorlati jegy utóvizsga.Csak érvényes gyakorlati jeggyel lehet vizsgázni.

Írásbeli vizsga. Ez a prezentáció definiálja a vizsgaanyagot.Nyomtatható változat is letölthető a honlapról.Három rész (minta az előző évi vizsgák a honlapon):

beugró a röpzéhák anyagából;

Honlap: ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/

Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 3 / 24

A számonkérés módja

A gyakorlat célja az elméleti anyag megértése.Módja: önálló feladatmegoldás. Feladatsorok a honlapon.Begyakorlás otthon: feladatok Freud Róbert könyvében.Három hiányzás megengedett. Minden gyakorlaton röpZH:

az előző heti előadás tételeiből, definícióiból(ehhez minden prezentáció legvégén összefoglaló);50%-ot kell elérni, különben a gyakorlati jegy elégtelen.

Két évfolyamzárthelyi;az elégtelen zárthelyiket ki kell javítani;javító a félév végén, a gyakorlatvezető döntése alapján.Ha nem sikerül: gyakorlati jegy utóvizsga.Csak érvényes gyakorlati jeggyel lehet vizsgázni.

Írásbeli vizsga. Ez a prezentáció definiálja a vizsgaanyagot.Nyomtatható változat is letölthető a honlapról.Három rész (minta az előző évi vizsgák a honlapon):

beugró a röpzéhák anyagából;megértés-ellenőrző;

Honlap: ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/

Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 3 / 24

A számonkérés módja

A gyakorlat célja az elméleti anyag megértése.Módja: önálló feladatmegoldás. Feladatsorok a honlapon.Begyakorlás otthon: feladatok Freud Róbert könyvében.Három hiányzás megengedett. Minden gyakorlaton röpZH:

az előző heti előadás tételeiből, definícióiból(ehhez minden prezentáció legvégén összefoglaló);50%-ot kell elérni, különben a gyakorlati jegy elégtelen.

Két évfolyamzárthelyi;az elégtelen zárthelyiket ki kell javítani;javító a félév végén, a gyakorlatvezető döntése alapján.Ha nem sikerül: gyakorlati jegy utóvizsga.Csak érvényes gyakorlati jeggyel lehet vizsgázni.

Írásbeli vizsga. Ez a prezentáció definiálja a vizsgaanyagot.Nyomtatható változat is letölthető a honlapról.Három rész (minta az előző évi vizsgák a honlapon):

beugró a röpzéhák anyagából;megértés-ellenőrző;bizonyítás (a tételek listája az utolsó prezentáció végén).

Honlap: ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 4 / 24

Oszlopvektorok (ismétlés)

Definíció

Legyen T test.

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 4 / 24

Oszlopvektorok (ismétlés)

Definíció

Legyen T test. A T fölötti n magasságú oszlopvektorok az

a1

. . .

an

alakú mátrixok,

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 4 / 24

Oszlopvektorok (ismétlés)

Definíció

Legyen T test. A T fölötti n magasságú oszlopvektorok az

a1

. . .

an

alakú mátrixok, ahol a1, . . . , an ∈ T .

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 4 / 24

Oszlopvektorok (ismétlés)

Definíció

Legyen T test. A T fölötti n magasságú oszlopvektorok az

a1

. . .

an

alakú mátrixok, ahol a1, . . . , an ∈ T . Ezek halmaza T n.

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 4 / 24

Oszlopvektorok (ismétlés)

Definíció

Legyen T test. A T fölötti n magasságú oszlopvektorok az

a1

. . .

an

alakú mátrixok, ahol a1, . . . , an ∈ T . Ezek halmaza T n.

Definíció

Legyen T test, és értelmezzük T n-en az

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 4 / 24

Oszlopvektorok (ismétlés)

Definíció

Legyen T test. A T fölötti n magasságú oszlopvektorok az

a1

. . .

an

alakú mátrixok, ahol a1, . . . , an ∈ T . Ezek halmaza T n.

Definíció

Legyen T test, és értelmezzük T n-en az

összeadást

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 4 / 24

Oszlopvektorok (ismétlés)

Definíció

Legyen T test. A T fölötti n magasságú oszlopvektorok az

a1

. . .

an

alakú mátrixok, ahol a1, . . . , an ∈ T . Ezek halmaza T n.

Definíció

Legyen T test, és értelmezzük T n-en az

a1

. . .

an

+

b1

. . .

bn

=

összeadást

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 4 / 24

Oszlopvektorok (ismétlés)

Definíció

Legyen T test. A T fölötti n magasságú oszlopvektorok az

a1

. . .

an

alakú mátrixok, ahol a1, . . . , an ∈ T . Ezek halmaza T n.

Definíció

Legyen T test, és értelmezzük T n-en az

a1

. . .

an

+

b1

. . .

bn

=

a1 + b1

. . .

an + bn

összeadást

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 4 / 24

Oszlopvektorok (ismétlés)

Definíció

Legyen T test. A T fölötti n magasságú oszlopvektorok az

a1

. . .

an

alakú mátrixok, ahol a1, . . . , an ∈ T . Ezek halmaza T n.

Definíció

Legyen T test, és értelmezzük T n-en az

a1

. . .

an

+

b1

. . .

bn

=

a1 + b1

. . .

an + bn

összeadást és a λ skalárral szorzást

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 4 / 24

Oszlopvektorok (ismétlés)

Definíció

Legyen T test. A T fölötti n magasságú oszlopvektorok az

a1

. . .

an

alakú mátrixok, ahol a1, . . . , an ∈ T . Ezek halmaza T n.

Definíció

Legyen T test, és értelmezzük T n-en az

a1

. . .

an

+

b1

. . .

bn

=

a1 + b1

. . .

an + bn

összeadást és a λ skalárral szorzást (λ ∈ T ).

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 4 / 24

Oszlopvektorok (ismétlés)

Definíció

Legyen T test. A T fölötti n magasságú oszlopvektorok az

a1

. . .

an

alakú mátrixok, ahol a1, . . . , an ∈ T . Ezek halmaza T n.

Definíció

Legyen T test, és értelmezzük T n-en az

a1

. . .

an

+

b1

. . .

bn

=

a1 + b1

. . .

an + bn

és λ

a1

. . .

an

=

összeadást és a λ skalárral szorzást (λ ∈ T ).

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 4 / 24

Oszlopvektorok (ismétlés)

Definíció

Legyen T test. A T fölötti n magasságú oszlopvektorok az

a1

. . .

an

alakú mátrixok, ahol a1, . . . , an ∈ T . Ezek halmaza T n.

Definíció

Legyen T test, és értelmezzük T n-en az

a1

. . .

an

+

b1

. . .

bn

=

a1 + b1

. . .

an + bn

és λ

a1

. . .

an

=

λa1

. . .

λan

képletekkel az összeadást és a λ skalárral szorzást (λ ∈ T ).

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 4 / 24

Oszlopvektorok (ismétlés)

Definíció

Legyen T test. A T fölötti n magasságú oszlopvektorok az

a1

. . .

an

alakú mátrixok, ahol a1, . . . , an ∈ T . Ezek halmaza T n.

Definíció

Legyen T test, és értelmezzük T n-en az

a1

. . .

an

+

b1

. . .

bn

=

a1 + b1

. . .

an + bn

és λ

a1

. . .

an

=

λa1

. . .

λan

képletekkel az összeadást és a λ skalárral szorzást (λ ∈ T ).Azaz összeadni és skalárral szorozni komponensenként kell.

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 5 / 24

Az összeadás tulajdonságai

Tétel (HF ellenőrizni)

Tetszőleges u, v ,w ∈ T n vektorokra

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 5 / 24

Az összeadás tulajdonságai

Tétel (HF ellenőrizni)

Tetszőleges u, v ,w ∈ T n vektorokra

(1) (u + v) + w = u + (v + w) (az összeadás asszociatív).

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 5 / 24

Az összeadás tulajdonságai

Tétel (HF ellenőrizni)

Tetszőleges u, v ,w ∈ T n vektorokra

(1) (u + v) + w = u + (v + w) (az összeadás asszociatív).

(2) u + v = v + u (az összeadás kommutatív).

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 5 / 24

Az összeadás tulajdonságai

Tétel (HF ellenőrizni)

Tetszőleges u, v ,w ∈ T n vektorokra

(1) (u + v) + w = u + (v + w) (az összeadás asszociatív).

(2) u + v = v + u (az összeadás kommutatív).

A nullvektor

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 5 / 24

Az összeadás tulajdonságai

Tétel (HF ellenőrizni)

Tetszőleges u, v ,w ∈ T n vektorokra

(1) (u + v) + w = u + (v + w) (az összeadás asszociatív).

(2) u + v = v + u (az összeadás kommutatív).

A nullvektor 0 =

00. . .

0

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 5 / 24

Az összeadás tulajdonságai

Tétel (HF ellenőrizni)

Tetszőleges u, v ,w ∈ T n vektorokra

(1) (u + v) + w = u + (v + w) (az összeadás asszociatív).

(2) u + v = v + u (az összeadás kommutatív).

A nullvektor 0 =

00. . .

0

(minden komponens T nulleleme)

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 5 / 24

Az összeadás tulajdonságai

Tétel (HF ellenőrizni)

Tetszőleges u, v ,w ∈ T n vektorokra

(1) (u + v) + w = u + (v + w) (az összeadás asszociatív).

(2) u + v = v + u (az összeadás kommutatív).

(3) u + 0 = 0 + u = u (0 a nullvektor).

A nullvektor 0 =

00. . .

0

(minden komponens T nulleleme)

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 5 / 24

Az összeadás tulajdonságai

Tétel (HF ellenőrizni)

Tetszőleges u, v ,w ∈ T n vektorokra

(1) (u + v) + w = u + (v + w) (az összeadás asszociatív).

(2) u + v = v + u (az összeadás kommutatív).

(3) u + 0 = 0 + u = u (0 a nullvektor).

A nullvektor 0 =

00. . .

0

és az ellentett:

(minden komponens T nulleleme)

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 5 / 24

Az összeadás tulajdonságai

Tétel (HF ellenőrizni)

Tetszőleges u, v ,w ∈ T n vektorokra

(1) (u + v) + w = u + (v + w) (az összeadás asszociatív).

(2) u + v = v + u (az összeadás kommutatív).

(3) u + 0 = 0 + u = u (0 a nullvektor).

A nullvektor 0 =

00. . .

0

és az ellentett: −

a1

a2

. . .

an

=

(minden komponens T nulleleme)

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 5 / 24

Az összeadás tulajdonságai

Tétel (HF ellenőrizni)

Tetszőleges u, v ,w ∈ T n vektorokra

(1) (u + v) + w = u + (v + w) (az összeadás asszociatív).

(2) u + v = v + u (az összeadás kommutatív).

(3) u + 0 = 0 + u = u (0 a nullvektor).

A nullvektor 0 =

00. . .

0

és az ellentett: −

a1

a2

. . .

an

=

−a1

−a2

. . .

−an

(minden komponens T nulleleme)

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 5 / 24

Az összeadás tulajdonságai

Tétel (HF ellenőrizni)

Tetszőleges u, v ,w ∈ T n vektorokra

(1) (u + v) + w = u + (v + w) (az összeadás asszociatív).

(2) u + v = v + u (az összeadás kommutatív).

(3) u + 0 = 0 + u = u (0 a nullvektor).

A nullvektor 0 =

00. . .

0

és az ellentett: −

a1

a2

. . .

an

=

−a1

−a2

. . .

−an

(minden komponens T nulleleme) (komponensenkénti ellentett)

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 5 / 24

Az összeadás tulajdonságai

Tétel (HF ellenőrizni)

Tetszőleges u, v ,w ∈ T n vektorokra

(1) (u + v) + w = u + (v + w) (az összeadás asszociatív).

(2) u + v = v + u (az összeadás kommutatív).

(3) u + 0 = 0 + u = u (0 a nullvektor).

(4) u + (−u) = (−u) + u = 0 (−u az u ellentettje).

A nullvektor 0 =

00. . .

0

és az ellentett: −

a1

a2

. . .

an

=

−a1

−a2

. . .

−an

(minden komponens T nulleleme) (komponensenkénti ellentett)

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 6 / 24

A skalárral szorzás tulajdonságai

Tétel (HF ellenőrizni)

Tetszőleges u, v ∈ T n vektorokra, és λ, µ skalárokra

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 6 / 24

A skalárral szorzás tulajdonságai

Tétel (HF ellenőrizni)

Tetszőleges u, v ∈ T n vektorokra, és λ, µ skalárokra

(5) (λ+ µ)u = λu + µu.

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 6 / 24

A skalárral szorzás tulajdonságai

Tétel (HF ellenőrizni)

Tetszőleges u, v ∈ T n vektorokra, és λ, µ skalárokra

(5) (λ+ µ)u = λu + µu.

(6) λ(u + v) = λu + λv .

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 6 / 24

A skalárral szorzás tulajdonságai

Tétel (HF ellenőrizni)

Tetszőleges u, v ∈ T n vektorokra, és λ, µ skalárokra

(5) (λ+ µ)u = λu + µu.

(6) λ(u + v) = λu + λv .

(7) (λµ)u = λ(µu).

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 6 / 24

A skalárral szorzás tulajdonságai

Tétel (HF ellenőrizni)

Tetszőleges u, v ∈ T n vektorokra, és λ, µ skalárokra

(5) (λ+ µ)u = λu + µu.

(6) λ(u + v) = λu + λv .

(7) (λµ)u = λ(µu).

(8) 1 · u = u (ahol 1 a T test egységeleme).

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 6 / 24

A skalárral szorzás tulajdonságai

Tétel (HF ellenőrizni)

Tetszőleges u, v ∈ T n vektorokra, és λ, µ skalárokra

(5) (λ+ µ)u = λu + µu.

(6) λ(u + v) = λu + λv .

(7) (λµ)u = λ(µu).

(8) 1 · u = u (ahol 1 a T test egységeleme).

További példák ilyen tulajdonságú műveletekre.

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 6 / 24

A skalárral szorzás tulajdonságai

Tétel (HF ellenőrizni)

Tetszőleges u, v ∈ T n vektorokra, és λ, µ skalárokra

(5) (λ+ µ)u = λu + µu.

(6) λ(u + v) = λu + λv .

(7) (λµ)u = λ(µu).

(8) 1 · u = u (ahol 1 a T test egységeleme).

További példák ilyen tulajdonságú műveletekre.

A T n×m-beli mátrixok.

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 6 / 24

A skalárral szorzás tulajdonságai

Tétel (HF ellenőrizni)

Tetszőleges u, v ∈ T n vektorokra, és λ, µ skalárokra

(5) (λ+ µ)u = λu + µu.

(6) λ(u + v) = λu + λv .

(7) (λµ)u = λ(µu).

(8) 1 · u = u (ahol 1 a T test egységeleme).

További példák ilyen tulajdonságú műveletekre.

A T n×m-beli mátrixok.

T [x ] polinomjai:

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 6 / 24

A skalárral szorzás tulajdonságai

Tétel (HF ellenőrizni)

Tetszőleges u, v ∈ T n vektorokra, és λ, µ skalárokra

(5) (λ+ µ)u = λu + µu.

(6) λ(u + v) = λu + λv .

(7) (λµ)u = λ(µu).

(8) 1 · u = u (ahol 1 a T test egységeleme).

További példák ilyen tulajdonságú műveletekre.

A T n×m-beli mátrixok.

T [x ] polinomjai: λ(a0 + . . .+ anxn)=(λa0) + . . .+ (λan)x

n.

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 6 / 24

A skalárral szorzás tulajdonságai

Tétel (HF ellenőrizni)

Tetszőleges u, v ∈ T n vektorokra, és λ, µ skalárokra

(5) (λ+ µ)u = λu + µu.

(6) λ(u + v) = λu + λv .

(7) (λµ)u = λ(µu).

(8) 1 · u = u (ahol 1 a T test egységeleme).

További példák ilyen tulajdonságú műveletekre.

A T n×m-beli mátrixok.

T [x ] polinomjai: λ(a0 + . . .+ anxn)=(λa0) + . . .+ (λan)x

n.

Valós függvények (a pontonkénti műveletekre):

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 6 / 24

A skalárral szorzás tulajdonságai

Tétel (HF ellenőrizni)

Tetszőleges u, v ∈ T n vektorokra, és λ, µ skalárokra

(5) (λ+ µ)u = λu + µu.

(6) λ(u + v) = λu + λv .

(7) (λµ)u = λ(µu).

(8) 1 · u = u (ahol 1 a T test egységeleme).

További példák ilyen tulajdonságú műveletekre.

A T n×m-beli mátrixok.

T [x ] polinomjai: λ(a0 + . . .+ anxn)=(λa0) + . . .+ (λan)x

n.

Valós függvények (a pontonkénti műveletekre):(f + g)(x) = f (x) + g(x)

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 6 / 24

A skalárral szorzás tulajdonságai

Tétel (HF ellenőrizni)

Tetszőleges u, v ∈ T n vektorokra, és λ, µ skalárokra

(5) (λ+ µ)u = λu + µu.

(6) λ(u + v) = λu + λv .

(7) (λµ)u = λ(µu).

(8) 1 · u = u (ahol 1 a T test egységeleme).

További példák ilyen tulajdonságú műveletekre.

A T n×m-beli mátrixok.

T [x ] polinomjai: λ(a0 + . . .+ anxn)=(λa0) + . . .+ (λan)x

n.

Valós függvények (a pontonkénti műveletekre):(f + g)(x) = f (x) + g(x) és (λf )(x) = λ

(

f (x))

.

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 7 / 24

A vektortér fogalma

Definíció (F4.1.1. Definíció)

T test (elemei a skalárok),

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 7 / 24

A vektortér fogalma

Definíció (F4.1.1. Definíció)

T test (elemei a skalárok), V halmaz (elemei a vektorok).

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 7 / 24

A vektortér fogalma

Definíció (F4.1.1. Definíció)

T test (elemei a skalárok), V halmaz (elemei a vektorok).V vektortér T fölött, ha értelmezett a V -beli + összeadás,

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 7 / 24

A vektortér fogalma

Definíció (F4.1.1. Definíció)

T test (elemei a skalárok), V halmaz (elemei a vektorok).V vektortér T fölött, ha értelmezett a V -beli + összeadás,továbbá a skalárral szorzás

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 7 / 24

A vektortér fogalma

Definíció (F4.1.1. Definíció)

T test (elemei a skalárok), V halmaz (elemei a vektorok).V vektortér T fölött, ha értelmezett a V -beli + összeadás,továbbá a skalárral szorzás (skalárszor vektor = vektor)

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 7 / 24

A vektortér fogalma

Definíció (F4.1.1. Definíció)

T test (elemei a skalárok), V halmaz (elemei a vektorok).V vektortér T fölött, ha értelmezett a V -beli + összeadás,továbbá a skalárral szorzás (skalárszor vektor = vektor) úgy, hogytetszőleges u, v ,w ∈ V és λ, µ ∈ T esetén

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 7 / 24

A vektortér fogalma

Definíció (F4.1.1. Definíció)

T test (elemei a skalárok), V halmaz (elemei a vektorok).V vektortér T fölött, ha értelmezett a V -beli + összeadás,továbbá a skalárral szorzás (skalárszor vektor = vektor) úgy, hogytetszőleges u, v ,w ∈ V és λ, µ ∈ T esetén

(1) (u + v) + w = u + (v + w) (az összeadás asszociatív).

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 7 / 24

A vektortér fogalma

Definíció (F4.1.1. Definíció)

T test (elemei a skalárok), V halmaz (elemei a vektorok).V vektortér T fölött, ha értelmezett a V -beli + összeadás,továbbá a skalárral szorzás (skalárszor vektor = vektor) úgy, hogytetszőleges u, v ,w ∈ V és λ, µ ∈ T esetén

(1) (u + v) + w = u + (v + w) (az összeadás asszociatív).

(2) u + v = v + u (az összeadás kommutatív).

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 7 / 24

A vektortér fogalma

Definíció (F4.1.1. Definíció)

T test (elemei a skalárok), V halmaz (elemei a vektorok).V vektortér T fölött, ha értelmezett a V -beli + összeadás,továbbá a skalárral szorzás (skalárszor vektor = vektor) úgy, hogytetszőleges u, v ,w ∈ V és λ, µ ∈ T esetén

(1) (u + v) + w = u + (v + w) (az összeadás asszociatív).

(2) u + v = v + u (az összeadás kommutatív).

(3) u + 0 = 0 + u = u (LÉTEZIK 0 nullvektor).

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 7 / 24

A vektortér fogalma

Definíció (F4.1.1. Definíció)

T test (elemei a skalárok), V halmaz (elemei a vektorok).V vektortér T fölött, ha értelmezett a V -beli + összeadás,továbbá a skalárral szorzás (skalárszor vektor = vektor) úgy, hogytetszőleges u, v ,w ∈ V és λ, µ ∈ T esetén

(1) (u + v) + w = u + (v + w) (az összeadás asszociatív).

(2) u + v = v + u (az összeadás kommutatív).

(3) u + 0 = 0 + u = u (LÉTEZIK 0 nullvektor).

(4) u + (−u) = (−u) + u = 0 (LÉTEZIK −u, az u ellentettje).

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 7 / 24

A vektortér fogalma

Definíció (F4.1.1. Definíció)

T test (elemei a skalárok), V halmaz (elemei a vektorok).V vektortér T fölött, ha értelmezett a V -beli + összeadás,továbbá a skalárral szorzás (skalárszor vektor = vektor) úgy, hogytetszőleges u, v ,w ∈ V és λ, µ ∈ T esetén

(1) (u + v) + w = u + (v + w) (az összeadás asszociatív).

(2) u + v = v + u (az összeadás kommutatív).

(3) u + 0 = 0 + u = u (LÉTEZIK 0 nullvektor).

(4) u + (−u) = (−u) + u = 0 (LÉTEZIK −u, az u ellentettje).

(5) (λ+ µ)u = λu + µu.

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 7 / 24

A vektortér fogalma

Definíció (F4.1.1. Definíció)

T test (elemei a skalárok), V halmaz (elemei a vektorok).V vektortér T fölött, ha értelmezett a V -beli + összeadás,továbbá a skalárral szorzás (skalárszor vektor = vektor) úgy, hogytetszőleges u, v ,w ∈ V és λ, µ ∈ T esetén

(1) (u + v) + w = u + (v + w) (az összeadás asszociatív).

(2) u + v = v + u (az összeadás kommutatív).

(3) u + 0 = 0 + u = u (LÉTEZIK 0 nullvektor).

(4) u + (−u) = (−u) + u = 0 (LÉTEZIK −u, az u ellentettje).

(5) (λ+ µ)u = λu + µu.

(6) λ(u + v) = λu + λv .

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 7 / 24

A vektortér fogalma

Definíció (F4.1.1. Definíció)

T test (elemei a skalárok), V halmaz (elemei a vektorok).V vektortér T fölött, ha értelmezett a V -beli + összeadás,továbbá a skalárral szorzás (skalárszor vektor = vektor) úgy, hogytetszőleges u, v ,w ∈ V és λ, µ ∈ T esetén

(1) (u + v) + w = u + (v + w) (az összeadás asszociatív).

(2) u + v = v + u (az összeadás kommutatív).

(3) u + 0 = 0 + u = u (LÉTEZIK 0 nullvektor).

(4) u + (−u) = (−u) + u = 0 (LÉTEZIK −u, az u ellentettje).

(5) (λ+ µ)u = λu + µu.

(6) λ(u + v) = λu + λv .

(7) (λµ)u = λ(µu).

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 7 / 24

A vektortér fogalma

Definíció (F4.1.1. Definíció)

T test (elemei a skalárok), V halmaz (elemei a vektorok).V vektortér T fölött, ha értelmezett a V -beli + összeadás,továbbá a skalárral szorzás (skalárszor vektor = vektor) úgy, hogytetszőleges u, v ,w ∈ V és λ, µ ∈ T esetén

(1) (u + v) + w = u + (v + w) (az összeadás asszociatív).

(2) u + v = v + u (az összeadás kommutatív).

(3) u + 0 = 0 + u = u (LÉTEZIK 0 nullvektor).

(4) u + (−u) = (−u) + u = 0 (LÉTEZIK −u, az u ellentettje).

(5) (λ+ µ)u = λu + µu.

(6) λ(u + v) = λu + λv .

(7) (λµ)u = λ(µu).

(8) 1 · u = u (ahol 1 a T test egységeleme).

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 8 / 24

A sík és a tér vektorai

Ismétlés

A vektorok irányított szakaszok, de két vektor egyenlő,ha párhuzamosak,

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 8 / 24

A sík és a tér vektorai

Ismétlés

A vektorok irányított szakaszok, de két vektor egyenlő,ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 8 / 24

A sík és a tér vektorai

Ismétlés

A vektorok irányított szakaszok, de két vektor egyenlő,ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és irányúak.

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 8 / 24

A sík és a tér vektorai

Ismétlés

A vektorok irányított szakaszok, de két vektor egyenlő,ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és irányúak.Így minden vektor kezdőpontja az O origóba tolható.

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 8 / 24

A sík és a tér vektorai

Ismétlés

A vektorok irányított szakaszok, de két vektor egyenlő,ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és irányúak.Így minden vektor kezdőpontja az O origóba tolható.Az A pont és az

−→OA vektor közötti megfeleltetés

kölcsönösen egyértelmű.

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 8 / 24

A sík és a tér vektorai

Ismétlés

A vektorok irányított szakaszok, de két vektor egyenlő,ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és irányúak.Így minden vektor kezdőpontja az O origóba tolható.Az A pont és az

−→OA vektor közötti megfeleltetés

kölcsönösen egyértelmű. Az−→OA az A pont helyvektora.

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 8 / 24

A sík és a tér vektorai

Ismétlés

A vektorok irányított szakaszok, de két vektor egyenlő,ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és irányúak.Így minden vektor kezdőpontja az O origóba tolható.Az A pont és az

−→OA vektor közötti megfeleltetés

kölcsönösen egyértelmű. Az−→OA az A pont helyvektora.

Ha A = (a, b, c), akkor−→OA jele is (a, b, c).

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 8 / 24

A sík és a tér vektorai

Ismétlés

A vektorok irányított szakaszok, de két vektor egyenlő,ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és irányúak.Így minden vektor kezdőpontja az O origóba tolható.Az A pont és az

−→OA vektor közötti megfeleltetés

kölcsönösen egyértelmű. Az−→OA az A pont helyvektora.

Ha A = (a, b, c), akkor−→OA jele is (a, b, c).

Tehát (a, b, c) nemcsak egy pont a térben, hanem térvektor is.

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 8 / 24

A sík és a tér vektorai

Ismétlés

A vektorok irányított szakaszok, de két vektor egyenlő,ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és irányúak.Így minden vektor kezdőpontja az O origóba tolható.Az A pont és az

−→OA vektor közötti megfeleltetés

kölcsönösen egyértelmű. Az−→OA az A pont helyvektora.

Ha A = (a, b, c), akkor−→OA jele is (a, b, c).

Tehát (a, b, c) nemcsak egy pont a térben, hanem térvektor is.

A térvektorok az összeadásra (paralelogrammaszabály)és a skalárral szorzásra vektorteret alkotnak (HF).

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 8 / 24

A sík és a tér vektorai

Ismétlés

A vektorok irányított szakaszok, de két vektor egyenlő,ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és irányúak.Így minden vektor kezdőpontja az O origóba tolható.Az A pont és az

−→OA vektor közötti megfeleltetés

kölcsönösen egyértelmű. Az−→OA az A pont helyvektora.

Ha A = (a, b, c), akkor−→OA jele is (a, b, c).

Tehát (a, b, c) nemcsak egy pont a térben, hanem térvektor is.

A térvektorok az összeadásra (paralelogrammaszabály)és a skalárral szorzásra vektorteret alkotnak (HF).A helyvektoroknál ezek a műveletek a komponensenkéntiműveleteknek felelnek meg.

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 8 / 24

A sík és a tér vektorai

Ismétlés

A vektorok irányított szakaszok, de két vektor egyenlő,ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és irányúak.Így minden vektor kezdőpontja az O origóba tolható.Az A pont és az

−→OA vektor közötti megfeleltetés

kölcsönösen egyértelmű. Az−→OA az A pont helyvektora.

Ha A = (a, b, c), akkor−→OA jele is (a, b, c).

Tehát (a, b, c) nemcsak egy pont a térben, hanem térvektor is.

A térvektorok az összeadásra (paralelogrammaszabály)és a skalárral szorzásra vektorteret alkotnak (HF).A helyvektoroknál ezek a műveletek a komponensenkéntiműveleteknek felelnek meg. Ezért a térvektorok vektortere„ugyanolyan”, mint az oszlopvektorok R3 vektortere.

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 9 / 24

Elemi következmények

Tétel (F4.1.2. Tétel)

Legyen V vektortér a T test fölött, λ ∈ T , v ∈ V .

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 9 / 24

Elemi következmények

Tétel (F4.1.2. Tétel)

Legyen V vektortér a T test fölött, λ ∈ T , v ∈ V .

(1) A V nulleleme egyértelműen meghatározott.

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 9 / 24

Elemi következmények

Tétel (F4.1.2. Tétel)

Legyen V vektortér a T test fölött, λ ∈ T , v ∈ V .

(1) A V nulleleme egyértelműen meghatározott.

(2) Minden vektor ellentettje egyértelműen meghatározott.

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 9 / 24

Elemi következmények

Tétel (F4.1.2. Tétel)

Legyen V vektortér a T test fölött, λ ∈ T , v ∈ V .

(1) A V nulleleme egyértelműen meghatározott.

(2) Minden vektor ellentettje egyértelműen meghatározott.

(3) Minden v vektorra 0v = 0 (a bal 0 skalár, a jobb 0 vektor).

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 9 / 24

Elemi következmények

Tétel (F4.1.2. Tétel)

Legyen V vektortér a T test fölött, λ ∈ T , v ∈ V .

(1) A V nulleleme egyértelműen meghatározott.

(2) Minden vektor ellentettje egyértelműen meghatározott.

(3) Minden v vektorra 0v = 0 (a bal 0 skalár, a jobb 0 vektor).

(4) Minden λ skalárra λ0 = 0 (itt 0 a nullvektor).

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 9 / 24

Elemi következmények

Tétel (F4.1.2. Tétel)

Legyen V vektortér a T test fölött, λ ∈ T , v ∈ V .

(1) A V nulleleme egyértelműen meghatározott.

(2) Minden vektor ellentettje egyértelműen meghatározott.

(3) Minden v vektorra 0v = 0 (a bal 0 skalár, a jobb 0 vektor).

(4) Minden λ skalárra λ0 = 0 (itt 0 a nullvektor).

(5) Ha λv = 0, akkor λ = 0 vagy v = 0.

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 9 / 24

Elemi következmények

Tétel (F4.1.2. Tétel)

Legyen V vektortér a T test fölött, λ ∈ T , v ∈ V .

(1) A V nulleleme egyértelműen meghatározott.

(2) Minden vektor ellentettje egyértelműen meghatározott.

(3) Minden v vektorra 0v = 0 (a bal 0 skalár, a jobb 0 vektor).

(4) Minden λ skalárra λ0 = 0 (itt 0 a nullvektor).

(5) Ha λv = 0, akkor λ = 0 vagy v = 0.

(6) Minden v vektorra (−1)v = −v (a v ellentettje).

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 9 / 24

Elemi következmények

Tétel (F4.1.2. Tétel)

Legyen V vektortér a T test fölött, λ ∈ T , v ∈ V .

(1) A V nulleleme egyértelműen meghatározott.

(2) Minden vektor ellentettje egyértelműen meghatározott.

(3) Minden v vektorra 0v = 0 (a bal 0 skalár, a jobb 0 vektor).

(4) Minden λ skalárra λ0 = 0 (itt 0 a nullvektor).

(5) Ha λv = 0, akkor λ = 0 vagy v = 0.

(6) Minden v vektorra (−1)v = −v (a v ellentettje).

Mintabizonyítás (5)-re

Ha λv = 0, de λ 6= 0, akkor létezik λ−1.

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 9 / 24

Elemi következmények

Tétel (F4.1.2. Tétel)

Legyen V vektortér a T test fölött, λ ∈ T , v ∈ V .

(1) A V nulleleme egyértelműen meghatározott.

(2) Minden vektor ellentettje egyértelműen meghatározott.

(3) Minden v vektorra 0v = 0 (a bal 0 skalár, a jobb 0 vektor).

(4) Minden λ skalárra λ0 = 0 (itt 0 a nullvektor).

(5) Ha λv = 0, akkor λ = 0 vagy v = 0.

(6) Minden v vektorra (−1)v = −v (a v ellentettje).

Mintabizonyítás (5)-re

Ha λv = 0, de λ 6= 0, akkor létezik λ−1.λ−1(λv) = (λ−1λ)v

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 9 / 24

Elemi következmények

Tétel (F4.1.2. Tétel)

Legyen V vektortér a T test fölött, λ ∈ T , v ∈ V .

(1) A V nulleleme egyértelműen meghatározott.

(2) Minden vektor ellentettje egyértelműen meghatározott.

(3) Minden v vektorra 0v = 0 (a bal 0 skalár, a jobb 0 vektor).

(4) Minden λ skalárra λ0 = 0 (itt 0 a nullvektor).

(5) Ha λv = 0, akkor λ = 0 vagy v = 0.

(6) Minden v vektorra (−1)v = −v (a v ellentettje).

Mintabizonyítás (5)-re

Ha λv = 0, de λ 6= 0, akkor létezik λ−1.λ−1(λv) = (λ−1λ)v

A (7) vektortéraxióma miatt.

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 9 / 24

Elemi következmények

Tétel (F4.1.2. Tétel)

Legyen V vektortér a T test fölött, λ ∈ T , v ∈ V .

(1) A V nulleleme egyértelműen meghatározott.

(2) Minden vektor ellentettje egyértelműen meghatározott.

(3) Minden v vektorra 0v = 0 (a bal 0 skalár, a jobb 0 vektor).

(4) Minden λ skalárra λ0 = 0 (itt 0 a nullvektor).

(5) Ha λv = 0, akkor λ = 0 vagy v = 0.

(6) Minden v vektorra (−1)v = −v (a v ellentettje).

Mintabizonyítás (5)-re

Ha λv = 0, de λ 6= 0, akkor létezik λ−1.Így 0 = λ−10 = λ−1(λv) = (λ−1λ)v

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 9 / 24

Elemi következmények

Tétel (F4.1.2. Tétel)

Legyen V vektortér a T test fölött, λ ∈ T , v ∈ V .

(1) A V nulleleme egyértelműen meghatározott.

(2) Minden vektor ellentettje egyértelműen meghatározott.

(3) Minden v vektorra 0v = 0 (a bal 0 skalár, a jobb 0 vektor).

(4) Minden λ skalárra λ0 = 0 (itt 0 a nullvektor).

(5) Ha λv = 0, akkor λ = 0 vagy v = 0.

(6) Minden v vektorra (−1)v = −v (a v ellentettje).

Mintabizonyítás (5)-re

Ha λv = 0, de λ 6= 0, akkor létezik λ−1.Így 0 = λ−10 = λ−1(λv) = (λ−1λ)v

A fenti (4) miatt.

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 9 / 24

Elemi következmények

Tétel (F4.1.2. Tétel)

Legyen V vektortér a T test fölött, λ ∈ T , v ∈ V .

(1) A V nulleleme egyértelműen meghatározott.

(2) Minden vektor ellentettje egyértelműen meghatározott.

(3) Minden v vektorra 0v = 0 (a bal 0 skalár, a jobb 0 vektor).

(4) Minden λ skalárra λ0 = 0 (itt 0 a nullvektor).

(5) Ha λv = 0, akkor λ = 0 vagy v = 0.

(6) Minden v vektorra (−1)v = −v (a v ellentettje).

Mintabizonyítás (5)-re

Ha λv = 0, de λ 6= 0, akkor létezik λ−1.Így 0 = λ−10 = λ−1(λv) = (λ−1λ)v = 1v

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 9 / 24

Elemi következmények

Tétel (F4.1.2. Tétel)

Legyen V vektortér a T test fölött, λ ∈ T , v ∈ V .

(1) A V nulleleme egyértelműen meghatározott.

(2) Minden vektor ellentettje egyértelműen meghatározott.

(3) Minden v vektorra 0v = 0 (a bal 0 skalár, a jobb 0 vektor).

(4) Minden λ skalárra λ0 = 0 (itt 0 a nullvektor).

(5) Ha λv = 0, akkor λ = 0 vagy v = 0.

(6) Minden v vektorra (−1)v = −v (a v ellentettje).

Mintabizonyítás (5)-re

Ha λv = 0, de λ 6= 0, akkor létezik λ−1.Így 0 = λ−10 = λ−1(λv) = (λ−1λ)v = 1v = v

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 9 / 24

Elemi következmények

Tétel (F4.1.2. Tétel)

Legyen V vektortér a T test fölött, λ ∈ T , v ∈ V .

(1) A V nulleleme egyértelműen meghatározott.

(2) Minden vektor ellentettje egyértelműen meghatározott.

(3) Minden v vektorra 0v = 0 (a bal 0 skalár, a jobb 0 vektor).

(4) Minden λ skalárra λ0 = 0 (itt 0 a nullvektor).

(5) Ha λv = 0, akkor λ = 0 vagy v = 0.

(6) Minden v vektorra (−1)v = −v (a v ellentettje).

Mintabizonyítás (5)-re

Ha λv = 0, de λ 6= 0, akkor létezik λ−1.Így 0 = λ−10 = λ−1(λv) = (λ−1λ)v = 1v = v

A (8) vektortéraxióma miatt.

Vektortér Algebra2, normál 1. előadás 9 / 24

Elemi következmények

Tétel (F4.1.2. Tétel)

Legyen V vektortér a T test fölött, λ ∈ T , v ∈ V .

(1) A V nulleleme egyértelműen meghatározott.

(2) Minden vektor ellentettje egyértelműen meghatározott.

(3) Minden v vektorra 0v = 0 (a bal 0 skalár, a jobb 0 vektor).

(4) Minden λ skalárra λ0 = 0 (itt 0 a nullvektor).

(5) Ha λv = 0, akkor λ = 0 vagy v = 0.

(6) Minden v vektorra (−1)v = −v (a v ellentettje).

Mintabizonyítás (5)-re

Ha λv = 0, de λ 6= 0, akkor létezik λ−1.Így 0 = λ−10 = λ−1(λv) = (λ−1λ)v = 1v = v .

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 10 / 24

Az altér fogalma

Definíció (F4.2.1. Definíció)

Legyen V vektortér a T test fölött.

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 10 / 24

Az altér fogalma

Definíció (F4.2.1. Definíció)

Legyen V vektortér a T test fölött. A W ⊆ V részhalmaz altér,

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 10 / 24

Az altér fogalma

Definíció (F4.2.1. Definíció)

Legyen V vektortér a T test fölött. A W ⊆ V részhalmaz altér,ha maga is vektortér V műveleteire nézve.

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 10 / 24

Az altér fogalma

Definíció (F4.2.1. Definíció)

Legyen V vektortér a T test fölött. A W ⊆ V részhalmaz altér,ha maga is vektortér V műveleteire nézve.

Példák

(1) V a sík vektorai R fölött.

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 10 / 24

Az altér fogalma

Definíció (F4.2.1. Definíció)

Legyen V vektortér a T test fölött. A W ⊆ V részhalmaz altér,ha maga is vektortér V műveleteire nézve.

Példák

(1) V a sík vektorai R fölött.W az x-tengellyel párhuzamos vektorok.

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 10 / 24

Az altér fogalma

Definíció (F4.2.1. Definíció)

Legyen V vektortér a T test fölött. A W ⊆ V részhalmaz altér,ha maga is vektortér V műveleteire nézve.

Példák

(1) V a sík vektorai R fölött.W az x-tengellyel párhuzamos vektorok.Azaz W az x-tengely (a megfelelő helyvektorok végpontjai).

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 10 / 24

Az altér fogalma

Definíció (F4.2.1. Definíció)

Legyen V vektortér a T test fölött. A W ⊆ V részhalmaz altér,ha maga is vektortér V műveleteire nézve.

Példák

(1) V a sík vektorai R fölött.W az x-tengellyel párhuzamos vektorok.Azaz W az x-tengely (a megfelelő helyvektorok végpontjai).

(2) V = Q[x ] a Q fölött.

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 10 / 24

Az altér fogalma

Definíció (F4.2.1. Definíció)

Legyen V vektortér a T test fölött. A W ⊆ V részhalmaz altér,ha maga is vektortér V műveleteire nézve.

Példák

(1) V a sík vektorai R fölött.W az x-tengellyel párhuzamos vektorok.Azaz W az x-tengely (a megfelelő helyvektorok végpontjai).

(2) V = Q[x ] a Q fölött.W azok a polinomok, amelyeknek az 1 gyöke.

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 10 / 24

Az altér fogalma

Definíció (F4.2.1. Definíció)

Legyen V vektortér a T test fölött. A W ⊆ V részhalmaz altér,ha maga is vektortér V műveleteire nézve.

Példák

(1) V a sík vektorai R fölött.W az x-tengellyel párhuzamos vektorok.Azaz W az x-tengely (a megfelelő helyvektorok végpontjai).

(2) V = Q[x ] a Q fölött.W azok a polinomok, amelyeknek az 1 gyöke.

(3) V a valós függvények R fölött.

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 10 / 24

Az altér fogalma

Definíció (F4.2.1. Definíció)

Legyen V vektortér a T test fölött. A W ⊆ V részhalmaz altér,ha maga is vektortér V műveleteire nézve.

Példák

(1) V a sík vektorai R fölött.W az x-tengellyel párhuzamos vektorok.Azaz W az x-tengely (a megfelelő helyvektorok végpontjai).

(2) V = Q[x ] a Q fölött.W azok a polinomok, amelyeknek az 1 gyöke.

(3) V a valós függvények R fölött.W a folytonos függvények.

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 10 / 24

Az altér fogalma

Definíció (F4.2.1. Definíció)

Legyen V vektortér a T test fölött. A W ⊆ V részhalmaz altér,ha maga is vektortér V műveleteire nézve.

Példák

(1) V a sík vektorai R fölött.W az x-tengellyel párhuzamos vektorok.Azaz W az x-tengely (a megfelelő helyvektorok végpontjai).

(2) V = Q[x ] a Q fölött.W azok a polinomok, amelyeknek az 1 gyöke.

(3) V a valós függvények R fölött.W a folytonos függvények.

(4) V a kétszer kettes komplex mátrixok C fölött.

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 10 / 24

Az altér fogalma

Definíció (F4.2.1. Definíció)

Legyen V vektortér a T test fölött. A W ⊆ V részhalmaz altér,ha maga is vektortér V műveleteire nézve.

Példák

(1) V a sík vektorai R fölött.W az x-tengellyel párhuzamos vektorok.Azaz W az x-tengely (a megfelelő helyvektorok végpontjai).

(2) V = Q[x ] a Q fölött.W azok a polinomok, amelyeknek az 1 gyöke.

(3) V a valós függvények R fölött.W a folytonos függvények.

(4) V a kétszer kettes komplex mátrixok C fölött.W a felső háromszögmátrixok.

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 11 / 24

Az altér jellemzése

Tétel (F4.2.2. Tétel, HF)

Legyen V vektortér a T test fölött.

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 11 / 24

Az altér jellemzése

Tétel (F4.2.2. Tétel, HF)

Legyen V vektortér a T test fölött.A W ⊆ V nem üres részhalmaz akkor és csak akkor altér, ha

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 11 / 24

Az altér jellemzése

Tétel (F4.2.2. Tétel, HF)

Legyen V vektortér a T test fölött.A W ⊆ V nem üres részhalmaz akkor és csak akkor altér, ha

(1) W zárt az összeadásra,

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 11 / 24

Az altér jellemzése

Tétel (F4.2.2. Tétel, HF)

Legyen V vektortér a T test fölött.A W ⊆ V nem üres részhalmaz akkor és csak akkor altér, ha

(1) W zárt az összeadásra,azaz tetszőleges w1,w2 ∈ W esetén w1 + w2 ∈ W .

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 11 / 24

Az altér jellemzése

Tétel (F4.2.2. Tétel, HF)

Legyen V vektortér a T test fölött.A W ⊆ V nem üres részhalmaz akkor és csak akkor altér, ha

(1) W zárt az összeadásra,azaz tetszőleges w1,w2 ∈ W esetén w1 + w2 ∈ W .

(2) W zárt a skalárral szorzásra,

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 11 / 24

Az altér jellemzése

Tétel (F4.2.2. Tétel, HF)

Legyen V vektortér a T test fölött.A W ⊆ V nem üres részhalmaz akkor és csak akkor altér, ha

(1) W zárt az összeadásra,azaz tetszőleges w1,w2 ∈ W esetén w1 + w2 ∈ W .

(2) W zárt a skalárral szorzásra,azaz tetszőleges λ ∈ T és w ∈ W esetén λw ∈ W .

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 11 / 24

Az altér jellemzése

Tétel (F4.2.2. Tétel, HF)

Legyen V vektortér a T test fölött.A W ⊆ V nem üres részhalmaz akkor és csak akkor altér, ha

(1) W zárt az összeadásra,azaz tetszőleges w1,w2 ∈ W esetén w1 + w2 ∈ W .

(2) W zárt a skalárral szorzásra,azaz tetszőleges λ ∈ T és w ∈ W esetén λw ∈ W .

Segítség: 0 = 0v ,

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 11 / 24

Az altér jellemzése

Tétel (F4.2.2. Tétel, HF)

Legyen V vektortér a T test fölött.A W ⊆ V nem üres részhalmaz akkor és csak akkor altér, ha

(1) W zárt az összeadásra,azaz tetszőleges w1,w2 ∈ W esetén w1 + w2 ∈ W .

(2) W zárt a skalárral szorzásra,azaz tetszőleges λ ∈ T és w ∈ W esetén λw ∈ W .

Segítség: 0 = 0v , és az ellentett −v = (−1)v .

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 11 / 24

Az altér jellemzése

Tétel (F4.2.2. Tétel, HF)

Legyen V vektortér a T test fölött.A W ⊆ V nem üres részhalmaz akkor és csak akkor altér, ha

(1) W zárt az összeadásra,azaz tetszőleges w1,w2 ∈ W esetén w1 + w2 ∈ W .

(2) W zárt a skalárral szorzásra,azaz tetszőleges λ ∈ T és w ∈ W esetén λw ∈ W .

Segítség: 0 = 0v , és az ellentett −v = (−1)v .

F4.2.15. és F4.2.12. Feladat, HF:

(1) Altér nulleleme ugyanaz, mint az eredeti vektortéré.

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 11 / 24

Az altér jellemzése

Tétel (F4.2.2. Tétel, HF)

Legyen V vektortér a T test fölött.A W ⊆ V nem üres részhalmaz akkor és csak akkor altér, ha

(1) W zárt az összeadásra,azaz tetszőleges w1,w2 ∈ W esetén w1 + w2 ∈ W .

(2) W zárt a skalárral szorzásra,azaz tetszőleges λ ∈ T és w ∈ W esetén λw ∈ W .

Segítség: 0 = 0v , és az ellentett −v = (−1)v .

F4.2.15. és F4.2.12. Feladat, HF:

(1) Altér nulleleme ugyanaz, mint az eredeti vektortéré.

(2) Alterek metszete is altér.

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 11 / 24

Az altér jellemzése

Tétel (F4.2.2. Tétel, HF)

Legyen V vektortér a T test fölött.A W ⊆ V nem üres részhalmaz akkor és csak akkor altér, ha

(1) W zárt az összeadásra,azaz tetszőleges w1,w2 ∈ W esetén w1 + w2 ∈ W .

(2) W zárt a skalárral szorzásra,azaz tetszőleges λ ∈ T és w ∈ W esetén λw ∈ W .

Segítség: 0 = 0v , és az ellentett −v = (−1)v .

F4.2.15. és F4.2.12. Feladat, HF:

(1) Altér nulleleme ugyanaz, mint az eredeti vektortéré.

(2) Alterek metszete is altér.

(3) Két altér uniója csak akkor altér, ha valamelyiküktartalmazza a másikat.

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 12 / 24

Altér készítése

Kérdés

Adott egy v vektor a síkon.

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 12 / 24

Altér készítése

Kérdés

Adott egy v vektor a síkon. Mely vektorokat kellhozzávennünk (minél kevesebbet), hogy alteret kapjunk?

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 12 / 24

Altér készítése

Kérdés

Adott egy v vektor a síkon. Mely vektorokat kellhozzávennünk (minél kevesebbet), hogy alteret kapjunk?

A v skalárszorosait (azaz a λv vektorokat) be kell venni.

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 12 / 24

Altér készítése

Kérdés

Adott egy v vektor a síkon. Mely vektorokat kellhozzávennünk (minél kevesebbet), hogy alteret kapjunk?

A v skalárszorosait (azaz a λv vektorokat) be kell venni.Ez elég, mert ezek halmaza zárt mindkét műveletre.

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 12 / 24

Altér készítése

Kérdés

Adott egy v vektor a síkon. Mely vektorokat kellhozzávennünk (minél kevesebbet), hogy alteret kapjunk?

A v skalárszorosait (azaz a λv vektorokat) be kell venni.Ez elég, mert ezek halmaza zárt mindkét műveletre.

Ezek pont a v -vel párhuzamos vektorok, ha v 6= 0.

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 12 / 24

Altér készítése

Kérdés

Adott egy v vektor a síkon. Mely vektorokat kellhozzávennünk (minél kevesebbet), hogy alteret kapjunk?

A v skalárszorosait (azaz a λv vektorokat) be kell venni.Ez elég, mert ezek halmaza zárt mindkét műveletre.

Ezek pont a v -vel párhuzamos vektorok, ha v 6= 0. A megfelelőhelyvektorok végpontjai egy origón átmenő egyenest alkotnak.

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 12 / 24

Altér készítése

Kérdés

Adott egy v vektor a síkon. Mely vektorokat kellhozzávennünk (minél kevesebbet), hogy alteret kapjunk?

A v skalárszorosait (azaz a λv vektorokat) be kell venni.Ez elég, mert ezek halmaza zárt mindkét műveletre.

Ezek pont a v -vel párhuzamos vektorok, ha v 6= 0. A megfelelőhelyvektorok végpontjai egy origón átmenő egyenest alkotnak.

Adottak az x és x2 polinomok R[x ]-ben.

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 12 / 24

Altér készítése

Kérdés

Adott egy v vektor a síkon. Mely vektorokat kellhozzávennünk (minél kevesebbet), hogy alteret kapjunk?

A v skalárszorosait (azaz a λv vektorokat) be kell venni.Ez elég, mert ezek halmaza zárt mindkét műveletre.

Ezek pont a v -vel párhuzamos vektorok, ha v 6= 0. A megfelelőhelyvektorok végpontjai egy origón átmenő egyenest alkotnak.

Adottak az x és x2 polinomok R[x ]-ben. Mely polinomokat kellhozzávennünk (minél kevesebbet), hogy alteret kapjunk?

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 12 / 24

Altér készítése

Kérdés

Adott egy v vektor a síkon. Mely vektorokat kellhozzávennünk (minél kevesebbet), hogy alteret kapjunk?

A v skalárszorosait (azaz a λv vektorokat) be kell venni.Ez elég, mert ezek halmaza zárt mindkét műveletre.

Ezek pont a v -vel párhuzamos vektorok, ha v 6= 0. A megfelelőhelyvektorok végpontjai egy origón átmenő egyenest alkotnak.

Adottak az x és x2 polinomok R[x ]-ben. Mely polinomokat kellhozzávennünk (minél kevesebbet), hogy alteret kapjunk?

Az ax + bx2 alakú polinomok már alteret alkotnak (a, b ∈ R).

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 13 / 24

Generált altér

Tétel (F4.3.4. Tétel)

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 13 / 24

Generált altér

Tétel (F4.3.4. Tétel)

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm alakú vektorok,

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 13 / 24

Generált altér

Tétel (F4.3.4. Tétel)

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm alakú vektorok,ahol λ1, λ2, . . . , λm ∈ T ,

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 13 / 24

Generált altér

Tétel (F4.3.4. Tétel)

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm alakú vektorok,ahol λ1, λ2, . . . , λm ∈ T , alteret alkotnak V -ben.

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 13 / 24

Generált altér

Tétel (F4.3.4. Tétel)

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm alakú vektorok,ahol λ1, λ2, . . . , λm ∈ T , alteret alkotnak V -ben.Ez a v1, v2, . . . , vm ∈ V által generált altér,

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 13 / 24

Generált altér

Tétel (F4.3.4. Tétel)

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm alakú vektorok,ahol λ1, λ2, . . . , λm ∈ T , alteret alkotnak V -ben.Ez a v1, v2, . . . , vm ∈ V által generált altér, jele 〈v1, v2, . . . , vm〉.

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 13 / 24

Generált altér

Tétel (F4.3.4. Tétel)

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm alakú vektorok,ahol λ1, λ2, . . . , λm ∈ T , alteret alkotnak V -ben.Ez a v1, v2, . . . , vm ∈ V által generált altér, jele 〈v1, v2, . . . , vm〉.

Elnevezések

A v1, . . . , vm vektorok neve: generátorok.

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 13 / 24

Generált altér

Tétel (F4.3.4. Tétel)

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm alakú vektorok,ahol λ1, λ2, . . . , λm ∈ T , alteret alkotnak V -ben.Ez a v1, v2, . . . , vm ∈ V által generált altér, jele 〈v1, v2, . . . , vm〉.

Elnevezések

A v1, . . . , vm vektorok neve: generátorok.λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm a v1, . . . , vm egy lineáris kombinációja.

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 13 / 24

Generált altér

Tétel (F4.3.4. Tétel)

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm alakú vektorok,ahol λ1, λ2, . . . , λm ∈ T , alteret alkotnak V -ben.Ez a v1, v2, . . . , vm ∈ V által generált altér, jele 〈v1, v2, . . . , vm〉.

Elnevezések

A v1, . . . , vm vektorok neve: generátorok.λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm a v1, . . . , vm egy lineáris kombinációja.A λ1, . . . , λm ennek a lineáris kombinációnak az együtthatói.

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 13 / 24

Generált altér

Tétel (F4.3.4. Tétel)

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm alakú vektorok,ahol λ1, λ2, . . . , λm ∈ T , alteret alkotnak V -ben.Ez a v1, v2, . . . , vm ∈ V által generált altér, jele 〈v1, v2, . . . , vm〉.

Elnevezések

A v1, . . . , vm vektorok neve: generátorok.λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm a v1, . . . , vm egy lineáris kombinációja.A λ1, . . . , λm ennek a lineáris kombinációnak az együtthatói.A v1, . . . , vm generátorrendszer a V vektortérben,

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 13 / 24

Generált altér

Tétel (F4.3.4. Tétel)

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm alakú vektorok,ahol λ1, λ2, . . . , λm ∈ T , alteret alkotnak V -ben.Ez a v1, v2, . . . , vm ∈ V által generált altér, jele 〈v1, v2, . . . , vm〉.

Elnevezések

A v1, . . . , vm vektorok neve: generátorok.λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm a v1, . . . , vm egy lineáris kombinációja.A λ1, . . . , λm ennek a lineáris kombinációnak az együtthatói.A v1, . . . , vm generátorrendszer a V vektortérben,ha 〈v1, v2, . . . , vm〉 = V .

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 13 / 24

Generált altér

Tétel (F4.3.4. Tétel)

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm alakú vektorok,ahol λ1, λ2, . . . , λm ∈ T , alteret alkotnak V -ben.Ez a v1, v2, . . . , vm ∈ V által generált altér, jele 〈v1, v2, . . . , vm〉.

Elnevezések

A v1, . . . , vm vektorok neve: generátorok.λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm a v1, . . . , vm egy lineáris kombinációja.A λ1, . . . , λm ennek a lineáris kombinációnak az együtthatói.A v1, . . . , vm generátorrendszer a V vektortérben,ha 〈v1, v2, . . . , vm〉 = V .

A generált altér a generátorok lineáris kombinációinak halmaza.

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 13 / 24

Generált altér

Tétel (F4.3.4. Tétel)

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm alakú vektorok,ahol λ1, λ2, . . . , λm ∈ T , alteret alkotnak V -ben.Ez a v1, v2, . . . , vm ∈ V által generált altér, jele 〈v1, v2, . . . , vm〉.

Elnevezések

A v1, . . . , vm vektorok neve: generátorok.λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm a v1, . . . , vm egy lineáris kombinációja.A λ1, . . . , λm ennek a lineáris kombinációnak az együtthatói.A v1, . . . , vm generátorrendszer a V vektortérben,ha 〈v1, v2, . . . , vm〉 = V .

A generált altér a generátorok lineáris kombinációinak halmaza.Egy vektortérnek általában sok generátorrendszere van!

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 14 / 24

Példák generátorrendszerre

Legyen V a legfeljebb elsőfokú polinomok vektortere R fölött.

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 14 / 24

Példák generátorrendszerre

Legyen V a legfeljebb elsőfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x} generátorrendszer,

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 14 / 24

Példák generátorrendszerre

Legyen V a legfeljebb elsőfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x} generátorrendszer, mert λ · 1 + µ · x alakbanpontosan ezeket a polinomokat kapjuk

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 14 / 24

Példák generátorrendszerre

Legyen V a legfeljebb elsőfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x} generátorrendszer, mert λ · 1 + µ · x alakbanpontosan ezeket a polinomokat kapjuk (λ, µ ∈ R).

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 14 / 24

Példák generátorrendszerre

Legyen V a legfeljebb elsőfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x} generátorrendszer, mert λ · 1 + µ · x alakbanpontosan ezeket a polinomokat kapjuk (λ, µ ∈ R).De generátorrendszer {1 + x , x} is,

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 14 / 24

Példák generátorrendszerre

Legyen V a legfeljebb elsőfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x} generátorrendszer, mert λ · 1 + µ · x alakbanpontosan ezeket a polinomokat kapjuk (λ, µ ∈ R).De generátorrendszer {1 + x , x} is, mert

ax + b = b(1 + x) + (a− b)x ,

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 14 / 24

Példák generátorrendszerre

Legyen V a legfeljebb elsőfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x} generátorrendszer, mert λ · 1 + µ · x alakbanpontosan ezeket a polinomokat kapjuk (λ, µ ∈ R).De generátorrendszer {1 + x , x} is, mert

ax + b = b(1 + x) + (a− b)x ,vagyis λ(1 + x) + µx alakban V minden eleme megkapható.

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 14 / 24

Példák generátorrendszerre

Legyen V a legfeljebb elsőfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x} generátorrendszer, mert λ · 1 + µ · x alakbanpontosan ezeket a polinomokat kapjuk (λ, µ ∈ R).De generátorrendszer {1 + x , x} is, mert

ax + b = b(1 + x) + (a− b)x ,vagyis λ(1 + x) + µx alakban V minden eleme megkapható.

Egy altér generátorrendszerének elemei az altérben vannak!

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 14 / 24

Példák generátorrendszerre

Legyen V a legfeljebb elsőfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x} generátorrendszer, mert λ · 1 + µ · x alakbanpontosan ezeket a polinomokat kapjuk (λ, µ ∈ R).De generátorrendszer {1 + x , x} is, mert

ax + b = b(1 + x) + (a− b)x ,vagyis λ(1 + x) + µx alakban V minden eleme megkapható.

Egy altér generátorrendszerének elemei az altérben vannak!Például {1, x , x2} nem generátorrendszer a fenti V -ben,

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 14 / 24

Példák generátorrendszerre

Legyen V a legfeljebb elsőfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x} generátorrendszer, mert λ · 1 + µ · x alakbanpontosan ezeket a polinomokat kapjuk (λ, µ ∈ R).De generátorrendszer {1 + x , x} is, mert

ax + b = b(1 + x) + (a− b)x ,vagyis λ(1 + x) + µx alakban V minden eleme megkapható.

Egy altér generátorrendszerének elemei az altérben vannak!Például {1, x , x2} nem generátorrendszer a fenti V -ben,noha V elemei felírhatók ezek lineáris kombinációjaként.

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 14 / 24

Példák generátorrendszerre

Legyen V a legfeljebb elsőfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x} generátorrendszer, mert λ · 1 + µ · x alakbanpontosan ezeket a polinomokat kapjuk (λ, µ ∈ R).De generátorrendszer {1 + x , x} is, mert

ax + b = b(1 + x) + (a− b)x ,vagyis λ(1 + x) + µx alakban V minden eleme megkapható.

Egy altér generátorrendszerének elemei az altérben vannak!Például {1, x , x2} nem generátorrendszer a fenti V -ben,noha V elemei felírhatók ezek lineáris kombinációjaként.

Házi feladat (fizikából tudjuk)

Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok,

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 14 / 24

Példák generátorrendszerre

Legyen V a legfeljebb elsőfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x} generátorrendszer, mert λ · 1 + µ · x alakbanpontosan ezeket a polinomokat kapjuk (λ, µ ∈ R).De generátorrendszer {1 + x , x} is, mert

ax + b = b(1 + x) + (a− b)x ,vagyis λ(1 + x) + µx alakban V minden eleme megkapható.

Egy altér generátorrendszerének elemei az altérben vannak!Például {1, x , x2} nem generátorrendszer a fenti V -ben,noha V elemei felírhatók ezek lineáris kombinációjaként.

Házi feladat (fizikából tudjuk)

Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkorgenerátorrendszert alkotnak a sík vektorainak vektorterében.

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 15 / 24

A tétel bizonyítása

F4.3.4. Tétel: kiegészítés

〈v1, . . . , vm〉 a legszűkebb v1, . . . , vm-et tartalmazó altér.

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 15 / 24

A tétel bizonyítása

F4.3.4. Tétel: kiegészítés

〈v1, . . . , vm〉 a legszűkebb v1, . . . , vm-et tartalmazó altér.Azaz ha W altér és v1, . . . , vm ∈ W , akkor 〈v1, . . . , vm〉 ⊆ W .

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 15 / 24

A tétel bizonyítása

F4.3.4. Tétel: kiegészítés

〈v1, . . . , vm〉 a legszűkebb v1, . . . , vm-et tartalmazó altér.Azaz ha W altér és v1, . . . , vm ∈ W , akkor 〈v1, . . . , vm〉 ⊆ W .

Bizonyítás

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 15 / 24

A tétel bizonyítása

F4.3.4. Tétel: kiegészítés

〈v1, . . . , vm〉 a legszűkebb v1, . . . , vm-et tartalmazó altér.Azaz ha W altér és v1, . . . , vm ∈ W , akkor 〈v1, . . . , vm〉 ⊆ W .

Bizonyítás

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .U = 〈v1, . . . , vm〉 nem üres, mert 0 = 0v1 + . . .+ 0vm ∈ U.

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 15 / 24

A tétel bizonyítása

F4.3.4. Tétel: kiegészítés

〈v1, . . . , vm〉 a legszűkebb v1, . . . , vm-et tartalmazó altér.Azaz ha W altér és v1, . . . , vm ∈ W , akkor 〈v1, . . . , vm〉 ⊆ W .

Bizonyítás

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .U = 〈v1, . . . , vm〉 nem üres, mert 0 = 0v1 + . . .+ 0vm ∈ U.Ha u = λ1v1 + . . .+ λmvm ∈ U

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 15 / 24

A tétel bizonyítása

F4.3.4. Tétel: kiegészítés

〈v1, . . . , vm〉 a legszűkebb v1, . . . , vm-et tartalmazó altér.Azaz ha W altér és v1, . . . , vm ∈ W , akkor 〈v1, . . . , vm〉 ⊆ W .

Bizonyítás

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .U = 〈v1, . . . , vm〉 nem üres, mert 0 = 0v1 + . . .+ 0vm ∈ U.Ha u = λ1v1 + . . .+ λmvm ∈ U és λ ∈ T ,

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 15 / 24

A tétel bizonyítása

F4.3.4. Tétel: kiegészítés

〈v1, . . . , vm〉 a legszűkebb v1, . . . , vm-et tartalmazó altér.Azaz ha W altér és v1, . . . , vm ∈ W , akkor 〈v1, . . . , vm〉 ⊆ W .

Bizonyítás

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .U = 〈v1, . . . , vm〉 nem üres, mert 0 = 0v1 + . . .+ 0vm ∈ U.Ha u = λ1v1 + . . .+ λmvm ∈ U és λ ∈ T , akkor λu ∈ U,

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 15 / 24

A tétel bizonyítása

F4.3.4. Tétel: kiegészítés

〈v1, . . . , vm〉 a legszűkebb v1, . . . , vm-et tartalmazó altér.Azaz ha W altér és v1, . . . , vm ∈ W , akkor 〈v1, . . . , vm〉 ⊆ W .

Bizonyítás

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .U = 〈v1, . . . , vm〉 nem üres, mert 0 = 0v1 + . . .+ 0vm ∈ U.Ha u = λ1v1 + . . .+ λmvm ∈ U és λ ∈ T , akkor λu ∈ U, mertλu = (λλ1)v1 + . . .+ (λλm)vm.

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 15 / 24

A tétel bizonyítása

F4.3.4. Tétel: kiegészítés

〈v1, . . . , vm〉 a legszűkebb v1, . . . , vm-et tartalmazó altér.Azaz ha W altér és v1, . . . , vm ∈ W , akkor 〈v1, . . . , vm〉 ⊆ W .

Bizonyítás

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .U = 〈v1, . . . , vm〉 nem üres, mert 0 = 0v1 + . . .+ 0vm ∈ U.Ha u = λ1v1 + . . .+ λmvm ∈ U és λ ∈ T , akkor λu ∈ U, mertλu = (λλ1)v1 + . . .+ (λλm)vm. Így U skalárral szorzásra zárt.

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 15 / 24

A tétel bizonyítása

F4.3.4. Tétel: kiegészítés

〈v1, . . . , vm〉 a legszűkebb v1, . . . , vm-et tartalmazó altér.Azaz ha W altér és v1, . . . , vm ∈ W , akkor 〈v1, . . . , vm〉 ⊆ W .

Bizonyítás

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .U = 〈v1, . . . , vm〉 nem üres, mert 0 = 0v1 + . . .+ 0vm ∈ U.Ha u = λ1v1 + . . .+ λmvm ∈ U és λ ∈ T , akkor λu ∈ U, mertλu = (λλ1)v1 + . . .+ (λλm)vm. Így U skalárral szorzásra zárt.Az összegre zártság bizonyítása hasonló, HF.

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 15 / 24

A tétel bizonyítása

F4.3.4. Tétel: kiegészítés

〈v1, . . . , vm〉 a legszűkebb v1, . . . , vm-et tartalmazó altér.Azaz ha W altér és v1, . . . , vm ∈ W , akkor 〈v1, . . . , vm〉 ⊆ W .

Bizonyítás

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .U = 〈v1, . . . , vm〉 nem üres, mert 0 = 0v1 + . . .+ 0vm ∈ U.Ha u = λ1v1 + . . .+ λmvm ∈ U és λ ∈ T , akkor λu ∈ U, mertλu = (λλ1)v1 + . . .+ (λλm)vm. Így U skalárral szorzásra zárt.Az összegre zártság bizonyítása hasonló, HF.Ha v1, . . . , vm ∈ W , akkor λ1v1, λ2v2, . . . , λmvm ∈ W ,

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 15 / 24

A tétel bizonyítása

F4.3.4. Tétel: kiegészítés

〈v1, . . . , vm〉 a legszűkebb v1, . . . , vm-et tartalmazó altér.Azaz ha W altér és v1, . . . , vm ∈ W , akkor 〈v1, . . . , vm〉 ⊆ W .

Bizonyítás

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .U = 〈v1, . . . , vm〉 nem üres, mert 0 = 0v1 + . . .+ 0vm ∈ U.Ha u = λ1v1 + . . .+ λmvm ∈ U és λ ∈ T , akkor λu ∈ U, mertλu = (λλ1)v1 + . . .+ (λλm)vm. Így U skalárral szorzásra zárt.Az összegre zártság bizonyítása hasonló, HF.Ha v1, . . . , vm ∈ W , akkor λ1v1, λ2v2, . . . , λmvm ∈ W ,mert W zárt a skalárral szorzásra.

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 15 / 24

A tétel bizonyítása

F4.3.4. Tétel: kiegészítés

〈v1, . . . , vm〉 a legszűkebb v1, . . . , vm-et tartalmazó altér.Azaz ha W altér és v1, . . . , vm ∈ W , akkor 〈v1, . . . , vm〉 ⊆ W .

Bizonyítás

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .U = 〈v1, . . . , vm〉 nem üres, mert 0 = 0v1 + . . .+ 0vm ∈ U.Ha u = λ1v1 + . . .+ λmvm ∈ U és λ ∈ T , akkor λu ∈ U, mertλu = (λλ1)v1 + . . .+ (λλm)vm. Így U skalárral szorzásra zárt.Az összegre zártság bizonyítása hasonló, HF.Ha v1, . . . , vm ∈ W , akkor λ1v1, λ2v2, . . . , λmvm ∈ W ,mert W zárt a skalárral szorzásra. Ezértλ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm ∈ W ,

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 15 / 24

A tétel bizonyítása

F4.3.4. Tétel: kiegészítés

〈v1, . . . , vm〉 a legszűkebb v1, . . . , vm-et tartalmazó altér.Azaz ha W altér és v1, . . . , vm ∈ W , akkor 〈v1, . . . , vm〉 ⊆ W .

Bizonyítás

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .U = 〈v1, . . . , vm〉 nem üres, mert 0 = 0v1 + . . .+ 0vm ∈ U.Ha u = λ1v1 + . . .+ λmvm ∈ U és λ ∈ T , akkor λu ∈ U, mertλu = (λλ1)v1 + . . .+ (λλm)vm. Így U skalárral szorzásra zárt.Az összegre zártság bizonyítása hasonló, HF.Ha v1, . . . , vm ∈ W , akkor λ1v1, λ2v2, . . . , λmvm ∈ W ,mert W zárt a skalárral szorzásra. Ezértλ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm ∈ W , mert W zárt az összeadásra.

Altér, generátorrendszer Algebra2, normál 1. előadás 15 / 24

A tétel bizonyítása

F4.3.4. Tétel: kiegészítés

〈v1, . . . , vm〉 a legszűkebb v1, . . . , vm-et tartalmazó altér.Azaz ha W altér és v1, . . . , vm ∈ W , akkor 〈v1, . . . , vm〉 ⊆ W .

Bizonyítás

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, v2, . . . , vm ∈ V .U = 〈v1, . . . , vm〉 nem üres, mert 0 = 0v1 + . . .+ 0vm ∈ U.Ha u = λ1v1 + . . .+ λmvm ∈ U és λ ∈ T , akkor λu ∈ U, mertλu = (λλ1)v1 + . . .+ (λλm)vm. Így U skalárral szorzásra zárt.Az összegre zártság bizonyítása hasonló, HF.Ha v1, . . . , vm ∈ W , akkor λ1v1, λ2v2, . . . , λmvm ∈ W ,mert W zárt a skalárral szorzásra. Ezértλ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm ∈ W , mert W zárt az összeadásra.Így 〈v1, . . . , vm〉 minden eleme W -ben van.

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 16 / 24

Lineáris függetlenség

Definíció (Freud, 4.4. szakasz)

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, . . . , vm ∈ V .

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 16 / 24

Lineáris függetlenség

Definíció (Freud, 4.4. szakasz)

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, . . . , vm ∈ V .Ezek a vektorok lineárisan függetlenek, ha tetszőlegesλ1, . . . , λm ∈ T skalárokra

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 16 / 24

Lineáris függetlenség

Definíció (Freud, 4.4. szakasz)

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, . . . , vm ∈ V .Ezek a vektorok lineárisan függetlenek, ha tetszőlegesλ1, . . . , λm ∈ T skalárokra λ1v1 + . . .+ λmvm = 0CSAK ÚGY teljesülhet,

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 16 / 24

Lineáris függetlenség

Definíció (Freud, 4.4. szakasz)

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, . . . , vm ∈ V .Ezek a vektorok lineárisan függetlenek, ha tetszőlegesλ1, . . . , λm ∈ T skalárokra λ1v1 + . . .+ λmvm = 0CSAK ÚGY teljesülhet, ha λ1 = . . . = λm = 0.

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 16 / 24

Lineáris függetlenség

Definíció (Freud, 4.4. szakasz)

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, . . . , vm ∈ V .Ezek a vektorok lineárisan függetlenek, ha tetszőlegesλ1, . . . , λm ∈ T skalárokra λ1v1 + . . .+ λmvm = 0CSAK ÚGY teljesülhet, ha λ1 = . . . = λm = 0.Egyébként a v1, . . . , vm ∈ V vektorok lineárisan összefüggők.

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 16 / 24

Lineáris függetlenség

Definíció (Freud, 4.4. szakasz)

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, . . . , vm ∈ V .Ezek a vektorok lineárisan függetlenek, ha tetszőlegesλ1, . . . , λm ∈ T skalárokra λ1v1 + . . .+ λmvm = 0CSAK ÚGY teljesülhet, ha λ1 = . . . = λm = 0.Egyébként a v1, . . . , vm ∈ V vektorok lineárisan összefüggők.

Triviális lineáris kombináció: minden együttható nulla.

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 16 / 24

Lineáris függetlenség

Definíció (Freud, 4.4. szakasz)

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, . . . , vm ∈ V .Ezek a vektorok lineárisan függetlenek, ha tetszőlegesλ1, . . . , λm ∈ T skalárokra λ1v1 + . . .+ λmvm = 0CSAK ÚGY teljesülhet, ha λ1 = . . . = λm = 0.Egyébként a v1, . . . , vm ∈ V vektorok lineárisan összefüggők.

Triviális lineáris kombináció: minden együttható nulla.Vagyis v1, . . . , vm akkor és csak akkor lineárisan független,

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 16 / 24

Lineáris függetlenség

Definíció (Freud, 4.4. szakasz)

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, . . . , vm ∈ V .Ezek a vektorok lineárisan függetlenek, ha tetszőlegesλ1, . . . , λm ∈ T skalárokra λ1v1 + . . .+ λmvm = 0CSAK ÚGY teljesülhet, ha λ1 = . . . = λm = 0.Egyébként a v1, . . . , vm ∈ V vektorok lineárisan összefüggők.

Triviális lineáris kombináció: minden együttható nulla.Vagyis v1, . . . , vm akkor és csak akkor lineárisan független,ha CSAK a triviális lineáris kombinációjuk nulla.

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 16 / 24

Lineáris függetlenség

Definíció (Freud, 4.4. szakasz)

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, . . . , vm ∈ V .Ezek a vektorok lineárisan függetlenek, ha tetszőlegesλ1, . . . , λm ∈ T skalárokra λ1v1 + . . .+ λmvm = 0CSAK ÚGY teljesülhet, ha λ1 = . . . = λm = 0.Egyébként a v1, . . . , vm ∈ V vektorok lineárisan összefüggők.

Triviális lineáris kombináció: minden együttható nulla.Vagyis v1, . . . , vm akkor és csak akkor lineárisan független,ha CSAK a triviális lineáris kombinációjuk nulla.

Például 1, x , x2 lineárisan független R[x ]-ben R fölött,

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 16 / 24

Lineáris függetlenség

Definíció (Freud, 4.4. szakasz)

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, . . . , vm ∈ V .Ezek a vektorok lineárisan függetlenek, ha tetszőlegesλ1, . . . , λm ∈ T skalárokra λ1v1 + . . .+ λmvm = 0CSAK ÚGY teljesülhet, ha λ1 = . . . = λm = 0.Egyébként a v1, . . . , vm ∈ V vektorok lineárisan összefüggők.

Triviális lineáris kombináció: minden együttható nulla.Vagyis v1, . . . , vm akkor és csak akkor lineárisan független,ha CSAK a triviális lineáris kombinációjuk nulla.

Például 1, x , x2 lineárisan független R[x ]-ben R fölött,mert ha a · 1 + b · x + c · x2 = 0

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 16 / 24

Lineáris függetlenség

Definíció (Freud, 4.4. szakasz)

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, . . . , vm ∈ V .Ezek a vektorok lineárisan függetlenek, ha tetszőlegesλ1, . . . , λm ∈ T skalárokra λ1v1 + . . .+ λmvm = 0CSAK ÚGY teljesülhet, ha λ1 = . . . = λm = 0.Egyébként a v1, . . . , vm ∈ V vektorok lineárisan összefüggők.

Triviális lineáris kombináció: minden együttható nulla.Vagyis v1, . . . , vm akkor és csak akkor lineárisan független,ha CSAK a triviális lineáris kombinációjuk nulla.

Például 1, x , x2 lineárisan független R[x ]-ben R fölött,mert ha a · 1 + b · x + c · x2 = 0 (a nullapolinom),

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 16 / 24

Lineáris függetlenség

Definíció (Freud, 4.4. szakasz)

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, . . . , vm ∈ V .Ezek a vektorok lineárisan függetlenek, ha tetszőlegesλ1, . . . , λm ∈ T skalárokra λ1v1 + . . .+ λmvm = 0CSAK ÚGY teljesülhet, ha λ1 = . . . = λm = 0.Egyébként a v1, . . . , vm ∈ V vektorok lineárisan összefüggők.

Triviális lineáris kombináció: minden együttható nulla.Vagyis v1, . . . , vm akkor és csak akkor lineárisan független,ha CSAK a triviális lineáris kombinációjuk nulla.

Például 1, x , x2 lineárisan független R[x ]-ben R fölött,mert ha a · 1 + b · x + c · x2 = 0 (a nullapolinom),akkor minden együttható nulla,

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 16 / 24

Lineáris függetlenség

Definíció (Freud, 4.4. szakasz)

Legyen V vektortér a T test fölött és v1, . . . , vm ∈ V .Ezek a vektorok lineárisan függetlenek, ha tetszőlegesλ1, . . . , λm ∈ T skalárokra λ1v1 + . . .+ λmvm = 0CSAK ÚGY teljesülhet, ha λ1 = . . . = λm = 0.Egyébként a v1, . . . , vm ∈ V vektorok lineárisan összefüggők.

Triviális lineáris kombináció: minden együttható nulla.Vagyis v1, . . . , vm akkor és csak akkor lineárisan független,ha CSAK a triviális lineáris kombinációjuk nulla.

Például 1, x , x2 lineárisan független R[x ]-ben R fölött,mert ha a · 1 + b · x + c · x2 = 0 (a nullapolinom),akkor minden együttható nulla, azaz a = b = c = 0.

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 17 / 24

Példák függésre és függetlenségre

Az

[

23

]

és a

[

46

]

∈ R2 vektorok R fölött lineárisan összefüggenek.

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 17 / 24

Példák függésre és függetlenségre

Az

[

23

]

és a

[

46

]

∈ R2 vektorok R fölött lineárisan összefüggenek.

Valóban, 2

[

23

]

+

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 17 / 24

Példák függésre és függetlenségre

Az

[

23

]

és a

[

46

]

∈ R2 vektorok R fölött lineárisan összefüggenek.

Valóban, 2

[

23

]

+ (−1)

[

46

]

=

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 17 / 24

Példák függésre és függetlenségre

Az

[

23

]

és a

[

46

]

∈ R2 vektorok R fölött lineárisan összefüggenek.

Valóban, 2

[

23

]

+ (−1)

[

46

]

=

[

46

]

+

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 17 / 24

Példák függésre és függetlenségre

Az

[

23

]

és a

[

46

]

∈ R2 vektorok R fölött lineárisan összefüggenek.

Valóban, 2

[

23

]

+ (−1)

[

46

]

=

[

46

]

+

[

−4−6

]

=

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 17 / 24

Példák függésre és függetlenségre

Az

[

23

]

és a

[

46

]

∈ R2 vektorok R fölött lineárisan összefüggenek.

Valóban, 2

[

23

]

+ (−1)

[

46

]

=

[

46

]

+

[

−4−6

]

=

[

00

]

,

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 17 / 24

Példák függésre és függetlenségre

Az

[

23

]

és a

[

46

]

∈ R2 vektorok R fölött lineárisan összefüggenek.

Valóban, 2

[

23

]

+ (−1)

[

46

]

=

[

46

]

+

[

−4−6

]

=

[

00

]

, és pl. 2 6= 0.

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 17 / 24

Példák függésre és függetlenségre

Az

[

23

]

és a

[

46

]

∈ R2 vektorok R fölött lineárisan összefüggenek.

Valóban, 2

[

23

]

+ (−1)

[

46

]

=

[

46

]

+

[

−4−6

]

=

[

00

]

, és pl. 2 6= 0.

Az

[

23

]

és a

[

45

]

∈ R2 vektorok R fölött lineárisan függetlenek.

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 17 / 24

Példák függésre és függetlenségre

Az

[

23

]

és a

[

46

]

∈ R2 vektorok R fölött lineárisan összefüggenek.

Valóban, 2

[

23

]

+ (−1)

[

46

]

=

[

46

]

+

[

−4−6

]

=

[

00

]

, és pl. 2 6= 0.

Az

[

23

]

és a

[

45

]

∈ R2 vektorok R fölött lineárisan függetlenek.

Valóban, ha

λ1

[

23

]

+

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 17 / 24

Példák függésre és függetlenségre

Az

[

23

]

és a

[

46

]

∈ R2 vektorok R fölött lineárisan összefüggenek.

Valóban, 2

[

23

]

+ (−1)

[

46

]

=

[

46

]

+

[

−4−6

]

=

[

00

]

, és pl. 2 6= 0.

Az

[

23

]

és a

[

45

]

∈ R2 vektorok R fölött lineárisan függetlenek.

Valóban, ha

λ1

[

23

]

+ λ2

[

45

]

=

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 17 / 24

Példák függésre és függetlenségre

Az

[

23

]

és a

[

46

]

∈ R2 vektorok R fölött lineárisan összefüggenek.

Valóban, 2

[

23

]

+ (−1)

[

46

]

=

[

46

]

+

[

−4−6

]

=

[

00

]

, és pl. 2 6= 0.

Az

[

23

]

és a

[

45

]

∈ R2 vektorok R fölött lineárisan függetlenek.

Valóban, ha

[

00

]

= λ1

[

23

]

+ λ2

[

45

]

=

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 17 / 24

Példák függésre és függetlenségre

Az

[

23

]

és a

[

46

]

∈ R2 vektorok R fölött lineárisan összefüggenek.

Valóban, 2

[

23

]

+ (−1)

[

46

]

=

[

46

]

+

[

−4−6

]

=

[

00

]

, és pl. 2 6= 0.

Az

[

23

]

és a

[

45

]

∈ R2 vektorok R fölött lineárisan függetlenek.

Valóban, ha

[

00

]

= λ1

[

23

]

+ λ2

[

45

]

=

[

2λ1

3λ1

]

+

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 17 / 24

Példák függésre és függetlenségre

Az

[

23

]

és a

[

46

]

∈ R2 vektorok R fölött lineárisan összefüggenek.

Valóban, 2

[

23

]

+ (−1)

[

46

]

=

[

46

]

+

[

−4−6

]

=

[

00

]

, és pl. 2 6= 0.

Az

[

23

]

és a

[

45

]

∈ R2 vektorok R fölött lineárisan függetlenek.

Valóban, ha

[

00

]

= λ1

[

23

]

+ λ2

[

45

]

=

[

2λ1

3λ1

]

+

[

4λ2

5λ2

]

=

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 17 / 24

Példák függésre és függetlenségre

Az

[

23

]

és a

[

46

]

∈ R2 vektorok R fölött lineárisan összefüggenek.

Valóban, 2

[

23

]

+ (−1)

[

46

]

=

[

46

]

+

[

−4−6

]

=

[

00

]

, és pl. 2 6= 0.

Az

[

23

]

és a

[

45

]

∈ R2 vektorok R fölött lineárisan függetlenek.

Valóban, ha

[

00

]

= λ1

[

23

]

+ λ2

[

45

]

=

[

2λ1

3λ1

]

+

[

4λ2

5λ2

]

=

[

2λ1 + 4λ2

3λ1 + 5λ2

]

,

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 17 / 24

Példák függésre és függetlenségre

Az

[

23

]

és a

[

46

]

∈ R2 vektorok R fölött lineárisan összefüggenek.

Valóban, 2

[

23

]

+ (−1)

[

46

]

=

[

46

]

+

[

−4−6

]

=

[

00

]

, és pl. 2 6= 0.

Az

[

23

]

és a

[

45

]

∈ R2 vektorok R fölött lineárisan függetlenek.

Valóban, ha

[

00

]

= λ1

[

23

]

+ λ2

[

45

]

=

[

2λ1

3λ1

]

+

[

4λ2

5λ2

]

=

[

2λ1 + 4λ2

3λ1 + 5λ2

]

,

akkor 2λ1 + 4λ2 = 0

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 17 / 24

Példák függésre és függetlenségre

Az

[

23

]

és a

[

46

]

∈ R2 vektorok R fölött lineárisan összefüggenek.

Valóban, 2

[

23

]

+ (−1)

[

46

]

=

[

46

]

+

[

−4−6

]

=

[

00

]

, és pl. 2 6= 0.

Az

[

23

]

és a

[

45

]

∈ R2 vektorok R fölött lineárisan függetlenek.

Valóban, ha

[

00

]

= λ1

[

23

]

+ λ2

[

45

]

=

[

2λ1

3λ1

]

+

[

4λ2

5λ2

]

=

[

2λ1 + 4λ2

3λ1 + 5λ2

]

,

akkor 2λ1 + 4λ2 = 0 és 3λ1 + 5λ2 = 0.

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 17 / 24

Példák függésre és függetlenségre

Az

[

23

]

és a

[

46

]

∈ R2 vektorok R fölött lineárisan összefüggenek.

Valóban, 2

[

23

]

+ (−1)

[

46

]

=

[

46

]

+

[

−4−6

]

=

[

00

]

, és pl. 2 6= 0.

Az

[

23

]

és a

[

45

]

∈ R2 vektorok R fölött lineárisan függetlenek.

Valóban, ha

[

00

]

= λ1

[

23

]

+ λ2

[

45

]

=

[

2λ1

3λ1

]

+

[

4λ2

5λ2

]

=

[

2λ1 + 4λ2

3λ1 + 5λ2

]

,

akkor 2λ1 + 4λ2 = 0 és 3λ1 + 5λ2 = 0. Ezt a homogén lineárisegyenletrendszert megoldva λ1 = λ2 = 0.

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 18 / 24

A függetlenség eldöntése Gauss-eliminációval

Legyen v1 =

a11

a21

. . .

an1

,

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 18 / 24

A függetlenség eldöntése Gauss-eliminációval

Legyen v1 =

a11

a21

. . .

an1

, v2 =

a12

a22

. . .

an2

,

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 18 / 24

A függetlenség eldöntése Gauss-eliminációval

Legyen v1 =

a11

a21

. . .

an1

, v2 =

a12

a22

. . .

an2

, . . . , vm =

a1m

a2m

. . .

anm

∈ T n.

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 18 / 24

A függetlenség eldöntése Gauss-eliminációval

Legyen v1 =

a11

a21

. . .

an1

, v2 =

a12

a22

. . .

an2

, . . . , vm =

a1m

a2m

. . .

anm

∈ T n.

Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm = 0 az

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 18 / 24

A függetlenség eldöntése Gauss-eliminációval

Legyen v1 =

a11

a21

. . .

an1

, v2 =

a12

a22

. . .

an2

, . . . , vm =

a1m

a2m

. . .

anm

∈ T n.

Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm = 0 aza11λ1 + . . .+ a1mλm = 0

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 18 / 24

A függetlenség eldöntése Gauss-eliminációval

Legyen v1 =

a11

a21

. . .

an1

, v2 =

a12

a22

. . .

an2

, . . . , vm =

a1m

a2m

. . .

anm

∈ T n.

Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm = 0 aza11λ1 + . . .+ a1mλm = 0a21λ1 + . . .+ a2mλm = 0

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 18 / 24

A függetlenség eldöntése Gauss-eliminációval

Legyen v1 =

a11

a21

. . .

an1

, v2 =

a12

a22

. . .

an2

, . . . , vm =

a1m

a2m

. . .

anm

∈ T n.

Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm = 0 aza11λ1 + . . .+ a1mλm = 0a21λ1 + . . .+ a2mλm = 0

. . .

an1λ1 + . . .+ anmλm = 0

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 18 / 24

A függetlenség eldöntése Gauss-eliminációval

Legyen v1 =

a11

a21

. . .

an1

, v2 =

a12

a22

. . .

an2

, . . . , vm =

a1m

a2m

. . .

anm

∈ T n.

Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm = 0 aza11λ1 + . . .+ a1mλm = 0a21λ1 + . . .+ a2mλm = 0

. . .

an1λ1 + . . .+ anmλm = 0homogén lineáris egyenletrendszert adja

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 18 / 24

A függetlenség eldöntése Gauss-eliminációval

Legyen v1 =

a11

a21

. . .

an1

, v2 =

a12

a22

. . .

an2

, . . . , vm =

a1m

a2m

. . .

anm

∈ T n.

Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm = 0 aza11λ1 + . . .+ a1mλm = 0a21λ1 + . . .+ a2mλm = 0

. . .

an1λ1 + . . .+ anmλm = 0homogén lineáris egyenletrendszert adja a λ1, λ2, . . . , λm

ismeretlenekre.

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 18 / 24

A függetlenség eldöntése Gauss-eliminációval

Legyen v1 =

a11

a21

. . .

an1

, v2 =

a12

a22

. . .

an2

, . . . , vm =

a1m

a2m

. . .

anm

∈ T n.

Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm = 0 aza11λ1 + . . .+ a1mλm = 0a21λ1 + . . .+ a2mλm = 0

. . .

an1λ1 + . . .+ anmλm = 0homogén lineáris egyenletrendszert adja a λ1, λ2, . . . , λm

ismeretlenekre. A v1, . . . , vm akkor függetlenek,

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 18 / 24

A függetlenség eldöntése Gauss-eliminációval

Legyen v1 =

a11

a21

. . .

an1

, v2 =

a12

a22

. . .

an2

, . . . , vm =

a1m

a2m

. . .

anm

∈ T n.

Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm = 0 aza11λ1 + . . .+ a1mλm = 0a21λ1 + . . .+ a2mλm = 0

. . .

an1λ1 + . . .+ anmλm = 0homogén lineáris egyenletrendszert adja a λ1, λ2, . . . , λm

ismeretlenekre. A v1, . . . , vm akkor függetlenek, ha ennekcsak a triviális megoldása van,

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 18 / 24

A függetlenség eldöntése Gauss-eliminációval

Legyen v1 =

a11

a21

. . .

an1

, v2 =

a12

a22

. . .

an2

, . . . , vm =

a1m

a2m

. . .

anm

∈ T n.

Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm = 0 aza11λ1 + . . .+ a1mλm = 0a21λ1 + . . .+ a2mλm = 0

. . .

an1λ1 + . . .+ anmλm = 0homogén lineáris egyenletrendszert adja a λ1, λ2, . . . , λm

ismeretlenekre. A v1, . . . , vm akkor függetlenek, ha ennekcsak a triviális megoldása van, azaz ha nincs szabad változó.

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 18 / 24

A függetlenség eldöntése Gauss-eliminációval

Legyen v1 =

a11

a21

. . .

an1

, v2 =

a12

a22

. . .

an2

, . . . , vm =

a1m

a2m

. . .

anm

∈ T n.

Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm = 0 aza11λ1 + . . .+ a1mλm = 0a21λ1 + . . .+ a2mλm = 0

. . .

an1λ1 + . . .+ anmλm = 0homogén lineáris egyenletrendszert adja a λ1, λ2, . . . , λm

ismeretlenekre. A v1, . . . , vm akkor függetlenek, ha ennekcsak a triviális megoldása van, azaz ha nincs szabad változó.Következmény: Ha több vektor van, mint a vektorok magassága,

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 18 / 24

A függetlenség eldöntése Gauss-eliminációval

Legyen v1 =

a11

a21

. . .

an1

, v2 =

a12

a22

. . .

an2

, . . . , vm =

a1m

a2m

. . .

anm

∈ T n.

Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm = 0 aza11λ1 + . . .+ a1mλm = 0a21λ1 + . . .+ a2mλm = 0

. . .

an1λ1 + . . .+ anmλm = 0homogén lineáris egyenletrendszert adja a λ1, λ2, . . . , λm

ismeretlenekre. A v1, . . . , vm akkor függetlenek, ha ennekcsak a triviális megoldása van, azaz ha nincs szabad változó.Következmény: Ha több vektor van, mint a vektorok magassága,akkor ezek lineárisan összefüggenek

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 18 / 24

A függetlenség eldöntése Gauss-eliminációval

Legyen v1 =

a11

a21

. . .

an1

, v2 =

a12

a22

. . .

an2

, . . . , vm =

a1m

a2m

. . .

anm

∈ T n.

Ekkor a λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm = 0 aza11λ1 + . . .+ a1mλm = 0a21λ1 + . . .+ a2mλm = 0

. . .

an1λ1 + . . .+ anmλm = 0homogén lineáris egyenletrendszert adja a λ1, λ2, . . . , λm

ismeretlenekre. A v1, . . . , vm akkor függetlenek, ha ennekcsak a triviális megoldása van, azaz ha nincs szabad változó.Következmény: Ha több vektor van, mint a vektorok magassága,akkor ezek lineárisan összefüggenek (van nemtriviális megoldás).

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 19 / 24

A függetlenség elemi tulajdonságai

(1) Független vektorrendszerből vektorokat elhagyva függetlenrendszert kapunk.

Bizonyítás: HF.

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 19 / 24

A függetlenség elemi tulajdonságai

(1) Független vektorrendszerből vektorokat elhagyva függetlenrendszert kapunk. Azaz független rendszer része is független.

Bizonyítás: HF.

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 19 / 24

A függetlenség elemi tulajdonságai

(1) Független vektorrendszerből vektorokat elhagyva függetlenrendszert kapunk. Azaz független rendszer része is független.

(2) A {v} egyelemű rendszer pontosan akkor független,

Bizonyítás: HF.

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 19 / 24

A függetlenség elemi tulajdonságai

(1) Független vektorrendszerből vektorokat elhagyva függetlenrendszert kapunk. Azaz független rendszer része is független.

(2) A {v} egyelemű rendszer pontosan akkor független, ha v 6= 0.

Bizonyítás: HF.

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 19 / 24

A függetlenség elemi tulajdonságai

(1) Független vektorrendszerből vektorokat elhagyva függetlenrendszert kapunk. Azaz független rendszer része is független.

(2) A {v} egyelemű rendszer pontosan akkor független, ha v 6= 0.

(3) A nullvektort tartalmazó rendszerek összefüggők.

Bizonyítás: HF.

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 19 / 24

A függetlenség elemi tulajdonságai

(1) Független vektorrendszerből vektorokat elhagyva függetlenrendszert kapunk. Azaz független rendszer része is független.

(2) A {v} egyelemű rendszer pontosan akkor független, ha v 6= 0.

(3) A nullvektort tartalmazó rendszerek összefüggők.

(4) Két nem nulla vektor akkor és csak akkor összefüggő,

Bizonyítás: HF.

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 19 / 24

A függetlenség elemi tulajdonságai

(1) Független vektorrendszerből vektorokat elhagyva függetlenrendszert kapunk. Azaz független rendszer része is független.

(2) A {v} egyelemű rendszer pontosan akkor független, ha v 6= 0.

(3) A nullvektort tartalmazó rendszerek összefüggők.

(4) Két nem nulla vektor akkor és csak akkor összefüggő, hamindkettő a másik skalárszorosa.

Bizonyítás: HF.

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 19 / 24

A függetlenség elemi tulajdonságai

(1) Független vektorrendszerből vektorokat elhagyva függetlenrendszert kapunk. Azaz független rendszer része is független.

(2) A {v} egyelemű rendszer pontosan akkor független, ha v 6= 0.

(3) A nullvektort tartalmazó rendszerek összefüggők.

(4) Két nem nulla vektor akkor és csak akkor összefüggő, hamindkettő a másik skalárszorosa.

(5) Ha egy rendszerben egy vektor egy másik skalárszorosa,

Bizonyítás: HF.

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 19 / 24

A függetlenség elemi tulajdonságai

(1) Független vektorrendszerből vektorokat elhagyva függetlenrendszert kapunk. Azaz független rendszer része is független.

(2) A {v} egyelemű rendszer pontosan akkor független, ha v 6= 0.

(3) A nullvektort tartalmazó rendszerek összefüggők.

(4) Két nem nulla vektor akkor és csak akkor összefüggő, hamindkettő a másik skalárszorosa.

(5) Ha egy rendszerben egy vektor egy másik skalárszorosa, akkora rendszer összefüggő.

Bizonyítás: HF.

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 19 / 24

A függetlenség elemi tulajdonságai

(1) Független vektorrendszerből vektorokat elhagyva függetlenrendszert kapunk. Azaz független rendszer része is független.

(2) A {v} egyelemű rendszer pontosan akkor független, ha v 6= 0.

(3) A nullvektort tartalmazó rendszerek összefüggők.

(4) Két nem nulla vektor akkor és csak akkor összefüggő, hamindkettő a másik skalárszorosa.

(5) Ha egy rendszerben egy vektor egy másik skalárszorosa, akkora rendszer összefüggő. Speciálisan egy független rendszerbenminden vektor csak egyszer szerepelhet.

Bizonyítás: HF.

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 19 / 24

A függetlenség elemi tulajdonságai

(1) Független vektorrendszerből vektorokat elhagyva függetlenrendszert kapunk. Azaz független rendszer része is független.

(2) A {v} egyelemű rendszer pontosan akkor független, ha v 6= 0.

(3) A nullvektort tartalmazó rendszerek összefüggők.

(4) Két nem nulla vektor akkor és csak akkor összefüggő, hamindkettő a másik skalárszorosa.

(5) Ha egy rendszerben egy vektor egy másik skalárszorosa, akkora rendszer összefüggő. Speciálisan egy független rendszerbenminden vektor csak egyszer szerepelhet.

(6) A sík két vektora pontosan akkor lineárisan független R fölött,

Bizonyítás: HF.

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 19 / 24

A függetlenség elemi tulajdonságai

(1) Független vektorrendszerből vektorokat elhagyva függetlenrendszert kapunk. Azaz független rendszer része is független.

(2) A {v} egyelemű rendszer pontosan akkor független, ha v 6= 0.

(3) A nullvektort tartalmazó rendszerek összefüggők.

(4) Két nem nulla vektor akkor és csak akkor összefüggő, hamindkettő a másik skalárszorosa.

(5) Ha egy rendszerben egy vektor egy másik skalárszorosa, akkora rendszer összefüggő. Speciálisan egy független rendszerbenminden vektor csak egyszer szerepelhet.

(6) A sík két vektora pontosan akkor lineárisan független R fölött,ha nem párhuzamosak.

Bizonyítás: HF.

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 19 / 24

A függetlenség elemi tulajdonságai

(1) Független vektorrendszerből vektorokat elhagyva függetlenrendszert kapunk. Azaz független rendszer része is független.

(2) A {v} egyelemű rendszer pontosan akkor független, ha v 6= 0.

(3) A nullvektort tartalmazó rendszerek összefüggők.

(4) Két nem nulla vektor akkor és csak akkor összefüggő, hamindkettő a másik skalárszorosa.

(5) Ha egy rendszerben egy vektor egy másik skalárszorosa, akkora rendszer összefüggő. Speciálisan egy független rendszerbenminden vektor csak egyszer szerepelhet.

(6) A sík két vektora pontosan akkor lineárisan független R fölött,ha nem párhuzamosak.

(7) A tér három vektora pontosan akkor lineárisan összefüggőR fölött,

Bizonyítás: HF.

Lineáris függés és függetlenség Algebra2, normál 1. előadás 19 / 24

A függetlenség elemi tulajdonságai

(1) Független vektorrendszerből vektorokat elhagyva függetlenrendszert kapunk. Azaz független rendszer része is független.

(2) A {v} egyelemű rendszer pontosan akkor független, ha v 6= 0.

(3) A nullvektort tartalmazó rendszerek összefüggők.

(4) Két nem nulla vektor akkor és csak akkor összefüggő, hamindkettő a másik skalárszorosa.

(5) Ha egy rendszerben egy vektor egy másik skalárszorosa, akkora rendszer összefüggő. Speciálisan egy független rendszerbenminden vektor csak egyszer szerepelhet.

(6) A sík két vektora pontosan akkor lineárisan független R fölött,ha nem párhuzamosak.

(7) A tér három vektora pontosan akkor lineárisan összefüggőR fölött, ha egy síkban vannak.

Bizonyítás: HF.

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 20 / 24

A bázis fogalma

Definíció (F4.5.1. Definíció)

Egy vektorrendszer bázis, ha

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 20 / 24

A bázis fogalma

Definíció (F4.5.1. Definíció)

Egy vektorrendszer bázis, ha lineárisan független

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 20 / 24

A bázis fogalma

Definíció (F4.5.1. Definíció)

Egy vektorrendszer bázis, ha lineárisan függetlenés generátorrendszer.

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 20 / 24

A bázis fogalma

Definíció (F4.5.1. Definíció)

Egy vektorrendszer bázis, ha lineárisan függetlenés generátorrendszer.

Tétel (F4.5.2. Tétel)

Legyen V vektortér a T test fölött és b1, . . . , bn ∈ V .

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 20 / 24

A bázis fogalma

Definíció (F4.5.1. Definíció)

Egy vektorrendszer bázis, ha lineárisan függetlenés generátorrendszer.

Tétel (F4.5.2. Tétel)

Legyen V vektortér a T test fölött és b1, . . . , bn ∈ V .Ez pontosan akkor bázis V -ben,

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 20 / 24

A bázis fogalma

Definíció (F4.5.1. Definíció)

Egy vektorrendszer bázis, ha lineárisan függetlenés generátorrendszer.

Tétel (F4.5.2. Tétel)

Legyen V vektortér a T test fölött és b1, . . . , bn ∈ V .Ez pontosan akkor bázis V -ben, ha V minden elemeegyértelműen felírható a b1, . . . , bn lineáris kombinációjaként.

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 20 / 24

A bázis fogalma

Definíció (F4.5.1. Definíció)

Egy vektorrendszer bázis, ha lineárisan függetlenés generátorrendszer.

Tétel (F4.5.2. Tétel)

Legyen V vektortér a T test fölött és b1, . . . , bn ∈ V .Ez pontosan akkor bázis V -ben, ha V minden elemeegyértelműen felírható a b1, . . . , bn lineáris kombinációjaként.

Példa[

10

]

és

[

01

]

bázis R2-ben R fölött,

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 20 / 24

A bázis fogalma

Definíció (F4.5.1. Definíció)

Egy vektorrendszer bázis, ha lineárisan függetlenés generátorrendszer.

Tétel (F4.5.2. Tétel)

Legyen V vektortér a T test fölött és b1, . . . , bn ∈ V .Ez pontosan akkor bázis V -ben, ha V minden elemeegyértelműen felírható a b1, . . . , bn lineáris kombinációjaként.

Példa[

10

]

és

[

01

]

bázis R2-ben R fölött, mert

[

a

b

]

= λ

[

10

]

+ µ

[

01

]

akkor és csak akkor,

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 20 / 24

A bázis fogalma

Definíció (F4.5.1. Definíció)

Egy vektorrendszer bázis, ha lineárisan függetlenés generátorrendszer.

Tétel (F4.5.2. Tétel)

Legyen V vektortér a T test fölött és b1, . . . , bn ∈ V .Ez pontosan akkor bázis V -ben, ha V minden elemeegyértelműen felírható a b1, . . . , bn lineáris kombinációjaként.

Példa[

10

]

és

[

01

]

bázis R2-ben R fölött, mert

[

a

b

]

= λ

[

10

]

+ µ

[

01

]

akkor és csak akkor, ha λ = a és µ = b

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 20 / 24

A bázis fogalma

Definíció (F4.5.1. Definíció)

Egy vektorrendszer bázis, ha lineárisan függetlenés generátorrendszer.

Tétel (F4.5.2. Tétel)

Legyen V vektortér a T test fölött és b1, . . . , bn ∈ V .Ez pontosan akkor bázis V -ben, ha V minden elemeegyértelműen felírható a b1, . . . , bn lineáris kombinációjaként.

Példa[

10

]

és

[

01

]

bázis R2-ben R fölött, mert

[

a

b

]

= λ

[

10

]

+ µ

[

01

]

akkor és csak akkor, ha λ = a és µ = b (azaz egyértelmű is).

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 21 / 24

Példák bázisra

[

11

]

és

[

01

]

is bázis R2-ben R fölött,

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 21 / 24

Példák bázisra

[

11

]

és

[

01

]

is bázis R2-ben R fölött, mert

[

a

b

]

= λ

[

11

]

+ µ

[

01

]

akkor és csak akkor,

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 21 / 24

Példák bázisra

[

11

]

és

[

01

]

is bázis R2-ben R fölött, mert

[

a

b

]

= λ

[

11

]

+ µ

[

01

]

akkor és csak akkor, ha a = λ és b = λ+ µ,

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 21 / 24

Példák bázisra

[

11

]

és

[

01

]

is bázis R2-ben R fölött, mert

[

a

b

]

= λ

[

11

]

+ µ

[

01

]

akkor és csak akkor, ha a = λ és b = λ+ µ,azaz ha λ = a és µ = b − a

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 21 / 24

Példák bázisra

[

11

]

és

[

01

]

is bázis R2-ben R fölött, mert

[

a

b

]

= λ

[

11

]

+ µ

[

01

]

akkor és csak akkor, ha a = λ és b = λ+ µ,azaz ha λ = a és µ = b − a (egyértelmű megoldás λ-ra és µ-re).

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 21 / 24

Példák bázisra

[

11

]

és

[

01

]

is bázis R2-ben R fölött, mert

[

a

b

]

= λ

[

11

]

+ µ

[

01

]

akkor és csak akkor, ha a = λ és b = λ+ µ,azaz ha λ = a és µ = b − a (egyértelmű megoldás λ-ra és µ-re).

Legyen V a legfeljebb másodfokú polinomok vektortere R fölött.

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 21 / 24

Példák bázisra

[

11

]

és

[

01

]

is bázis R2-ben R fölött, mert

[

a

b

]

= λ

[

11

]

+ µ

[

01

]

akkor és csak akkor, ha a = λ és b = λ+ µ,azaz ha λ = a és µ = b − a (egyértelmű megoldás λ-ra és µ-re).

Legyen V a legfeljebb másodfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x , x2} bázis,

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 21 / 24

Példák bázisra

[

11

]

és

[

01

]

is bázis R2-ben R fölött, mert

[

a

b

]

= λ

[

11

]

+ µ

[

01

]

akkor és csak akkor, ha a = λ és b = λ+ µ,azaz ha λ = a és µ = b − a (egyértelmű megoldás λ-ra és µ-re).

Legyen V a legfeljebb másodfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x , x2} bázis, mert minden V -beli polinomegyértelműen felírható α · 1 + β · x + γ · x2 alakban

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 21 / 24

Példák bázisra

[

11

]

és

[

01

]

is bázis R2-ben R fölött, mert

[

a

b

]

= λ

[

11

]

+ µ

[

01

]

akkor és csak akkor, ha a = λ és b = λ+ µ,azaz ha λ = a és µ = b − a (egyértelmű megoldás λ-ra és µ-re).

Legyen V a legfeljebb másodfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x , x2} bázis, mert minden V -beli polinomegyértelműen felírható α · 1 + β · x + γ · x2 alakban (α, β, γ ∈ R).

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 21 / 24

Példák bázisra

[

11

]

és

[

01

]

is bázis R2-ben R fölött, mert

[

a

b

]

= λ

[

11

]

+ µ

[

01

]

akkor és csak akkor, ha a = λ és b = λ+ µ,azaz ha λ = a és µ = b − a (egyértelmű megoldás λ-ra és µ-re).

Legyen V a legfeljebb másodfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x , x2} bázis, mert minden V -beli polinomegyértelműen felírható α · 1 + β · x + γ · x2 alakban (α, β, γ ∈ R).

{1 + x , 1 + x2, x2} is bázis V -ben.

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 21 / 24

Példák bázisra

[

11

]

és

[

01

]

is bázis R2-ben R fölött, mert

[

a

b

]

= λ

[

11

]

+ µ

[

01

]

akkor és csak akkor, ha a = λ és b = λ+ µ,azaz ha λ = a és µ = b − a (egyértelmű megoldás λ-ra és µ-re).

Legyen V a legfeljebb másodfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x , x2} bázis, mert minden V -beli polinomegyértelműen felírható α · 1 + β · x + γ · x2 alakban (α, β, γ ∈ R).

{1 + x , 1 + x2, x2} is bázis V -ben. Valóban:ax2+bx+c = α(1+x)+β(1+x2)+γx2

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 21 / 24

Példák bázisra

[

11

]

és

[

01

]

is bázis R2-ben R fölött, mert

[

a

b

]

= λ

[

11

]

+ µ

[

01

]

akkor és csak akkor, ha a = λ és b = λ+ µ,azaz ha λ = a és µ = b − a (egyértelmű megoldás λ-ra és µ-re).

Legyen V a legfeljebb másodfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x , x2} bázis, mert minden V -beli polinomegyértelműen felírható α · 1 + β · x + γ · x2 alakban (α, β, γ ∈ R).

{1 + x , 1 + x2, x2} is bázis V -ben. Valóban:ax2+bx+c = α(1+x)+β(1+x2)+γx2= (α+β)+αx+(β+γ)x2

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 21 / 24

Példák bázisra

[

11

]

és

[

01

]

is bázis R2-ben R fölött, mert

[

a

b

]

= λ

[

11

]

+ µ

[

01

]

akkor és csak akkor, ha a = λ és b = λ+ µ,azaz ha λ = a és µ = b − a (egyértelmű megoldás λ-ra és µ-re).

Legyen V a legfeljebb másodfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x , x2} bázis, mert minden V -beli polinomegyértelműen felírható α · 1 + β · x + γ · x2 alakban (α, β, γ ∈ R).

{1 + x , 1 + x2, x2} is bázis V -ben. Valóban:ax2+bx+c = α(1+x)+β(1+x2)+γx2= (α+β)+αx+(β+γ)x2

pontosan akkor, ha c = α+ β,

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 21 / 24

Példák bázisra

[

11

]

és

[

01

]

is bázis R2-ben R fölött, mert

[

a

b

]

= λ

[

11

]

+ µ

[

01

]

akkor és csak akkor, ha a = λ és b = λ+ µ,azaz ha λ = a és µ = b − a (egyértelmű megoldás λ-ra és µ-re).

Legyen V a legfeljebb másodfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x , x2} bázis, mert minden V -beli polinomegyértelműen felírható α · 1 + β · x + γ · x2 alakban (α, β, γ ∈ R).

{1 + x , 1 + x2, x2} is bázis V -ben. Valóban:ax2+bx+c = α(1+x)+β(1+x2)+γx2= (α+β)+αx+(β+γ)x2

pontosan akkor, ha c = α+ β, b = α

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 21 / 24

Példák bázisra

[

11

]

és

[

01

]

is bázis R2-ben R fölött, mert

[

a

b

]

= λ

[

11

]

+ µ

[

01

]

akkor és csak akkor, ha a = λ és b = λ+ µ,azaz ha λ = a és µ = b − a (egyértelmű megoldás λ-ra és µ-re).

Legyen V a legfeljebb másodfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x , x2} bázis, mert minden V -beli polinomegyértelműen felírható α · 1 + β · x + γ · x2 alakban (α, β, γ ∈ R).

{1 + x , 1 + x2, x2} is bázis V -ben. Valóban:ax2+bx+c = α(1+x)+β(1+x2)+γx2= (α+β)+αx+(β+γ)x2

pontosan akkor, ha c = α+ β, b = α és a = β + γ,

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 21 / 24

Példák bázisra

[

11

]

és

[

01

]

is bázis R2-ben R fölött, mert

[

a

b

]

= λ

[

11

]

+ µ

[

01

]

akkor és csak akkor, ha a = λ és b = λ+ µ,azaz ha λ = a és µ = b − a (egyértelmű megoldás λ-ra és µ-re).

Legyen V a legfeljebb másodfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x , x2} bázis, mert minden V -beli polinomegyértelműen felírható α · 1 + β · x + γ · x2 alakban (α, β, γ ∈ R).

{1 + x , 1 + x2, x2} is bázis V -ben. Valóban:ax2+bx+c = α(1+x)+β(1+x2)+γx2= (α+β)+αx+(β+γ)x2

pontosan akkor, ha c = α+ β, b = α és a = β + γ,azaz ha α = b,

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 21 / 24

Példák bázisra

[

11

]

és

[

01

]

is bázis R2-ben R fölött, mert

[

a

b

]

= λ

[

11

]

+ µ

[

01

]

akkor és csak akkor, ha a = λ és b = λ+ µ,azaz ha λ = a és µ = b − a (egyértelmű megoldás λ-ra és µ-re).

Legyen V a legfeljebb másodfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x , x2} bázis, mert minden V -beli polinomegyértelműen felírható α · 1 + β · x + γ · x2 alakban (α, β, γ ∈ R).

{1 + x , 1 + x2, x2} is bázis V -ben. Valóban:ax2+bx+c = α(1+x)+β(1+x2)+γx2= (α+β)+αx+(β+γ)x2

pontosan akkor, ha c = α+ β, b = α és a = β + γ,azaz ha α = b, β = c − b

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 21 / 24

Példák bázisra

[

11

]

és

[

01

]

is bázis R2-ben R fölött, mert

[

a

b

]

= λ

[

11

]

+ µ

[

01

]

akkor és csak akkor, ha a = λ és b = λ+ µ,azaz ha λ = a és µ = b − a (egyértelmű megoldás λ-ra és µ-re).

Legyen V a legfeljebb másodfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x , x2} bázis, mert minden V -beli polinomegyértelműen felírható α · 1 + β · x + γ · x2 alakban (α, β, γ ∈ R).

{1 + x , 1 + x2, x2} is bázis V -ben. Valóban:ax2+bx+c = α(1+x)+β(1+x2)+γx2= (α+β)+αx+(β+γ)x2

pontosan akkor, ha c = α+ β, b = α és a = β + γ,azaz ha α = b, β = c − b és γ = a+ b − c .

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 21 / 24

Példák bázisra

[

11

]

és

[

01

]

is bázis R2-ben R fölött, mert

[

a

b

]

= λ

[

11

]

+ µ

[

01

]

akkor és csak akkor, ha a = λ és b = λ+ µ,azaz ha λ = a és µ = b − a (egyértelmű megoldás λ-ra és µ-re).

Legyen V a legfeljebb másodfokú polinomok vektortere R fölött.Ebben {1, x , x2} bázis, mert minden V -beli polinomegyértelműen felírható α · 1 + β · x + γ · x2 alakban (α, β, γ ∈ R).

{1 + x , 1 + x2, x2} is bázis V -ben. Valóban:ax2+bx+c = α(1+x)+β(1+x2)+γx2= (α+β)+αx+(β+γ)x2

pontosan akkor, ha c = α+ β, b = α és a = β + γ,azaz ha α = b, β = c − b és γ = a+ b − c .Lineáris egyenletrendszer az α, β, γ ismeretlenekre.

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 22 / 24

Szokásos bázis

Néhány fontos vektortérben az alábbi konkrét bázisokatsokszor használjuk.

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 22 / 24

Szokásos bázis

Néhány fontos vektortérben az alábbi konkrét bázisokatsokszor használjuk. Ezeket szokásos bázisnak nevezzük.

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 22 / 24

Szokásos bázis

Néhány fontos vektortérben az alábbi konkrét bázisokatsokszor használjuk. Ezeket szokásos bázisnak nevezzük.A sorrend lényeges (koordinátázás legközelebb).

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 22 / 24

Szokásos bázis

Néhány fontos vektortérben az alábbi konkrét bázisokatsokszor használjuk. Ezeket szokásos bázisnak nevezzük.A sorrend lényeges (koordinátázás legközelebb).

(1) A síkon, mint R feletti vektortéren az (1, 0), (0, 1) pontok.

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 22 / 24

Szokásos bázis

Néhány fontos vektortérben az alábbi konkrét bázisokatsokszor használjuk. Ezeket szokásos bázisnak nevezzük.A sorrend lényeges (koordinátázás legközelebb).

(1) A síkon, mint R feletti vektortéren az (1, 0), (0, 1) pontok.

(2) A T test feletti T n vektortérben azon e1, . . . , en vektorok,melyekre ei -nek az i-edik komponense 1, a többi nulla.

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 22 / 24

Szokásos bázis

Néhány fontos vektortérben az alábbi konkrét bázisokatsokszor használjuk. Ezeket szokásos bázisnak nevezzük.A sorrend lényeges (koordinátázás legközelebb).

(1) A síkon, mint R feletti vektortéren az (1, 0), (0, 1) pontok.

(2) A T test feletti T n vektortérben azon e1, . . . , en vektorok,melyekre ei -nek az i-edik komponense 1, a többi nulla.Speciálisan T -ben, mint önmaga feletti vektortérben az 1.

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 22 / 24

Szokásos bázis

Néhány fontos vektortérben az alábbi konkrét bázisokatsokszor használjuk. Ezeket szokásos bázisnak nevezzük.A sorrend lényeges (koordinátázás legközelebb).

(1) A síkon, mint R feletti vektortéren az (1, 0), (0, 1) pontok.

(2) A T test feletti T n vektortérben azon e1, . . . , en vektorok,melyekre ei -nek az i-edik komponense 1, a többi nulla.Speciálisan T -ben, mint önmaga feletti vektortérben az 1.

(3) A C -ben, mint R feletti vektortérben az 1 és az i .

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 22 / 24

Szokásos bázis

Néhány fontos vektortérben az alábbi konkrét bázisokatsokszor használjuk. Ezeket szokásos bázisnak nevezzük.A sorrend lényeges (koordinátázás legközelebb).

(1) A síkon, mint R feletti vektortéren az (1, 0), (0, 1) pontok.

(2) A T test feletti T n vektortérben azon e1, . . . , en vektorok,melyekre ei -nek az i-edik komponense 1, a többi nulla.Speciálisan T -ben, mint önmaga feletti vektortérben az 1.

(3) A C -ben, mint R feletti vektortérben az 1 és az i .

(4) A Tm×n vektortérben azok a mátrixok,melyeknek egyetlen eleme 1, a többi nulla

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 22 / 24

Szokásos bázis

Néhány fontos vektortérben az alábbi konkrét bázisokatsokszor használjuk. Ezeket szokásos bázisnak nevezzük.A sorrend lényeges (koordinátázás legközelebb).

(1) A síkon, mint R feletti vektortéren az (1, 0), (0, 1) pontok.

(2) A T test feletti T n vektortérben azon e1, . . . , en vektorok,melyekre ei -nek az i-edik komponense 1, a többi nulla.Speciálisan T -ben, mint önmaga feletti vektortérben az 1.

(3) A C -ben, mint R feletti vektortérben az 1 és az i .

(4) A Tm×n vektortérben azok a mátrixok,melyeknek egyetlen eleme 1, a többi nulla(ezeket a sorfolytonosság sorrendjében tekintjük).

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 22 / 24

Szokásos bázis

Néhány fontos vektortérben az alábbi konkrét bázisokatsokszor használjuk. Ezeket szokásos bázisnak nevezzük.A sorrend lényeges (koordinátázás legközelebb).

(1) A síkon, mint R feletti vektortéren az (1, 0), (0, 1) pontok.

(2) A T test feletti T n vektortérben azon e1, . . . , en vektorok,melyekre ei -nek az i-edik komponense 1, a többi nulla.Speciálisan T -ben, mint önmaga feletti vektortérben az 1.

(3) A C -ben, mint R feletti vektortérben az 1 és az i .

(4) A Tm×n vektortérben azok a mátrixok,melyeknek egyetlen eleme 1, a többi nulla(ezeket a sorfolytonosság sorrendjében tekintjük).

(5) A T [x ] legfeljebb n-edfokú elemeiből álló vektortérbenaz (1, x , x2, . . . , xn) bázis.

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 23 / 24

A bázis elemszáma

Tétel (F4.5.3. Tétel, bizonyítás legközelebb)

Minden vektortérben bármely két bázis elemszáma ugyanaz.

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 23 / 24

A bázis elemszáma

Tétel (F4.5.3. Tétel, bizonyítás legközelebb)

Minden vektortérben bármely két bázis elemszáma ugyanaz.

Definíció (F4.6.1. Definíció)

A V vektortér bázisainak közös elemszámát a térdimenziójának nevezzük.

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 23 / 24

A bázis elemszáma

Tétel (F4.5.3. Tétel, bizonyítás legközelebb)

Minden vektortérben bármely két bázis elemszáma ugyanaz.

Definíció (F4.6.1. Definíció)

A V vektortér bázisainak közös elemszámát a térdimenziójának nevezzük. Jele dimV

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 23 / 24

A bázis elemszáma

Tétel (F4.5.3. Tétel, bizonyítás legközelebb)

Minden vektortérben bármely két bázis elemszáma ugyanaz.

Definíció (F4.6.1. Definíció)

A V vektortér bázisainak közös elemszámát a térdimenziójának nevezzük. Jele dimV (vagy dimT V ).

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 23 / 24

A bázis elemszáma

Tétel (F4.5.3. Tétel, bizonyítás legközelebb)

Minden vektortérben bármely két bázis elemszáma ugyanaz.

Definíció (F4.6.1. Definíció)

A V vektortér bázisainak közös elemszámát a térdimenziójának nevezzük. Jele dimV (vagy dimT V ).

(1) A sík kétdimenziós R fölött.

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 23 / 24

A bázis elemszáma

Tétel (F4.5.3. Tétel, bizonyítás legközelebb)

Minden vektortérben bármely két bázis elemszáma ugyanaz.

Definíció (F4.6.1. Definíció)

A V vektortér bázisainak közös elemszámát a térdimenziójának nevezzük. Jele dimV (vagy dimT V ).

(1) A sík kétdimenziós R fölött.

(2) dimT T n = n.

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 23 / 24

A bázis elemszáma

Tétel (F4.5.3. Tétel, bizonyítás legközelebb)

Minden vektortérben bármely két bázis elemszáma ugyanaz.

Definíció (F4.6.1. Definíció)

A V vektortér bázisainak közös elemszámát a térdimenziójának nevezzük. Jele dimV (vagy dimT V ).

(1) A sík kétdimenziós R fölött.

(2) dimT T n = n.

(3) dimRC = 2.

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 23 / 24

A bázis elemszáma

Tétel (F4.5.3. Tétel, bizonyítás legközelebb)

Minden vektortérben bármely két bázis elemszáma ugyanaz.

Definíció (F4.6.1. Definíció)

A V vektortér bázisainak közös elemszámát a térdimenziójának nevezzük. Jele dimV (vagy dimT V ).

(1) A sík kétdimenziós R fölött.

(2) dimT T n = n.

(3) dimRC = 2.

(4) dimT Tm×n = mn.

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 23 / 24

A bázis elemszáma

Tétel (F4.5.3. Tétel, bizonyítás legközelebb)

Minden vektortérben bármely két bázis elemszáma ugyanaz.

Definíció (F4.6.1. Definíció)

A V vektortér bázisainak közös elemszámát a térdimenziójának nevezzük. Jele dimV (vagy dimT V ).

(1) A sík kétdimenziós R fölött.

(2) dimT T n = n.

(3) dimRC = 2.

(4) dimT Tm×n = mn.

(5) A T [x ] legfeljebb n-edfokú elemeiből álló vektortér

Bázis Algebra2, normál 1. előadás 23 / 24

A bázis elemszáma

Tétel (F4.5.3. Tétel, bizonyítás legközelebb)

Minden vektortérben bármely két bázis elemszáma ugyanaz.

Definíció (F4.6.1. Definíció)

A V vektortér bázisainak közös elemszámát a térdimenziójának nevezzük. Jele dimV (vagy dimT V ).

(1) A sík kétdimenziós R fölött.

(2) dimT T n = n.

(3) dimRC = 2.

(4) dimT Tm×n = mn.

(5) A T [x ] legfeljebb n-edfokú elemeiből álló vektortérn + 1-dimenziós T fölött.

Összefoglaló Algebra2, normál 1. előadás 24 / 24

Az 1. előadáshoz tartozó vizsgaanyag

Fogalmak

A nyolc vektortéraxióma, nullelem, ellentett.

Összefoglaló Algebra2, normál 1. előadás 24 / 24

Az 1. előadáshoz tartozó vizsgaanyag

Fogalmak

A nyolc vektortéraxióma, nullelem, ellentett.A sík és a tér mint vektortér, helyvektorok.

Összefoglaló Algebra2, normál 1. előadás 24 / 24

Az 1. előadáshoz tartozó vizsgaanyag

Fogalmak

A nyolc vektortéraxióma, nullelem, ellentett.A sík és a tér mint vektortér, helyvektorok.Altér, generált altér, generátorrendszer.

Összefoglaló Algebra2, normál 1. előadás 24 / 24

Az 1. előadáshoz tartozó vizsgaanyag

Fogalmak

A nyolc vektortéraxióma, nullelem, ellentett.A sík és a tér mint vektortér, helyvektorok.Altér, generált altér, generátorrendszer.Függetlenség, bázis, dimenzió.

Összefoglaló Algebra2, normál 1. előadás 24 / 24

Az 1. előadáshoz tartozó vizsgaanyag

Fogalmak

A nyolc vektortéraxióma, nullelem, ellentett.A sík és a tér mint vektortér, helyvektorok.Altér, generált altér, generátorrendszer.Függetlenség, bázis, dimenzió.

Tételek

Vektorterek elemi tulajdonságai (F4.1.2).

Összefoglaló Algebra2, normál 1. előadás 24 / 24

Az 1. előadáshoz tartozó vizsgaanyag

Fogalmak

A nyolc vektortéraxióma, nullelem, ellentett.A sík és a tér mint vektortér, helyvektorok.Altér, generált altér, generátorrendszer.Függetlenség, bázis, dimenzió.

Tételek

Vektorterek elemi tulajdonságai (F4.1.2).Altér jellemzése zártsággal,

Összefoglaló Algebra2, normál 1. előadás 24 / 24

Az 1. előadáshoz tartozó vizsgaanyag

Fogalmak

A nyolc vektortéraxióma, nullelem, ellentett.A sík és a tér mint vektortér, helyvektorok.Altér, generált altér, generátorrendszer.Függetlenség, bázis, dimenzió.

Tételek

Vektorterek elemi tulajdonságai (F4.1.2).Altér jellemzése zártsággal, altér nulleleme (F4.2.15. Feladat).

Összefoglaló Algebra2, normál 1. előadás 24 / 24

Az 1. előadáshoz tartozó vizsgaanyag

Fogalmak

A nyolc vektortéraxióma, nullelem, ellentett.A sík és a tér mint vektortér, helyvektorok.Altér, generált altér, generátorrendszer.Függetlenség, bázis, dimenzió.

Tételek

Vektorterek elemi tulajdonságai (F4.1.2).Altér jellemzése zártsággal, altér nulleleme (F4.2.15. Feladat).A lineáris kombinációk alteret alkotnak,

Összefoglaló Algebra2, normál 1. előadás 24 / 24

Az 1. előadáshoz tartozó vizsgaanyag

Fogalmak

A nyolc vektortéraxióma, nullelem, ellentett.A sík és a tér mint vektortér, helyvektorok.Altér, generált altér, generátorrendszer.Függetlenség, bázis, dimenzió.

Tételek

Vektorterek elemi tulajdonságai (F4.1.2).Altér jellemzése zártsággal, altér nulleleme (F4.2.15. Feladat).A lineáris kombinációk alteret alkotnak, ez a legszűkebb,az adott elemeket tartalmazó altér.

Összefoglaló Algebra2, normál 1. előadás 24 / 24

Az 1. előadáshoz tartozó vizsgaanyag

Fogalmak

A nyolc vektortéraxióma, nullelem, ellentett.A sík és a tér mint vektortér, helyvektorok.Altér, generált altér, generátorrendszer.Függetlenség, bázis, dimenzió.

Tételek

Vektorterek elemi tulajdonságai (F4.1.2).Altér jellemzése zártsággal, altér nulleleme (F4.2.15. Feladat).A lineáris kombinációk alteret alkotnak, ez a legszűkebb,az adott elemeket tartalmazó altér.A függetlenség kiszámítása Gauss-eliminációval.

Összefoglaló Algebra2, normál 1. előadás 24 / 24

Az 1. előadáshoz tartozó vizsgaanyag

Fogalmak

A nyolc vektortéraxióma, nullelem, ellentett.A sík és a tér mint vektortér, helyvektorok.Altér, generált altér, generátorrendszer.Függetlenség, bázis, dimenzió.

Tételek

Vektorterek elemi tulajdonságai (F4.1.2).Altér jellemzése zártsággal, altér nulleleme (F4.2.15. Feladat).A lineáris kombinációk alteret alkotnak, ez a legszűkebb,az adott elemeket tartalmazó altér.A függetlenség kiszámítása Gauss-eliminációval.Bázis jellemzése a lineáris kombinációk egyértelműségével.

Összefoglaló Algebra2, normál 1. előadás 24 / 24

Az 1. előadáshoz tartozó vizsgaanyag

Fogalmak

A nyolc vektortéraxióma, nullelem, ellentett.A sík és a tér mint vektortér, helyvektorok.Altér, generált altér, generátorrendszer.Függetlenség, bázis, dimenzió.

Tételek

Vektorterek elemi tulajdonságai (F4.1.2).Altér jellemzése zártsággal, altér nulleleme (F4.2.15. Feladat).A lineáris kombinációk alteret alkotnak, ez a legszűkebb,az adott elemeket tartalmazó altér.A függetlenség kiszámítása Gauss-eliminációval.Bázis jellemzése a lineáris kombinációk egyértelműségével.Bármely két bázis elemszáma ugyanaz.