View
8
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku
Odjel za matematiku
Preddiplomski studij matematike
Andreja Sratel
Euklidski skalarni produkt
Zavrsni rad
Osijek, 2011.
Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku
Odjel za matematiku
Preddiplomski studij matematike
Andreja Sratel
Euklidski skalarni produkt
Zavrsni rad
Voditelj zavrsnog rada: doc.dr.sc. Darija Markovic
Osijek, 2011.
i
Sazetak. Euklidski skalarni umnozak vektora je definiran kao umnozak iznosa (mo-
dula, duljine, intenziteta) dva vektora i kosinusa kuta izmedu njih. Dobiveni je rezultat
skalar (broj).~a ·~b = ~b · ~a = |~a| · |~b| cos ϕ
Skalarni umnozak vektora sa samim sobom daje kvadrat njegovog iznosa, jer je u
tom slucaju kosinus 0◦ jednak 1. Skalarni umnozak vektora koji su pod pravim kutom
(90◦) jednak je 0 jer je kosinus pravog kuta 0. Skalarni umnozak je komutativan,
distributivan i linearan. Takoder, skalarni umnozak vektora ~a i ~b mozemo oznaciti s
(~a|~b) i definiramo formulom:
(~a|~b) := a1b1 + . . .+ anbn
gdje su a1, . . . , an komponente vektora ~a, a b1, . . . , bn komponente vektora ~b. Skalarni
se produkt moze zapisati kao
~a ·~b =[a1 . . . an
] b1...bn
= [~a]T [~b ] = ~aT ·~b
sto se primjenjuje u mnozenju matrica.
Kljucne rijeci: skalarni umnozak, mnozenje vektora, mnozenje matrica
Abstract. Euclidean scalar product of two vectors is defined as a multiple of the
amount (module, length, intensity) of the first and second vector and the cosine of the
angle between them. The product is a scalar (number). Scalar product of vector with
itself gives the square of its amount, because in this case, the cosine of 0◦ is 1. Scalar
product of vectors that are perpendicular (90◦) is 0, because the cosine of the right
angle is 0. Scalar product is commutative, distributive and linear. Also, the scalar
product of vectors ~a and ~b can be described with (~a|~b) and defined by the formula:
(~a|~b) := a1b1 + . . .+ anbn
where a1, . . . , an are the components of a vector ~a, and b1, . . . , bn are the components
of a vector ~b. Scalar product can be written as
~a ·~b =[a1 . . . an
] b1...bn
= [~a]T [~b ] = ~aT·~b
which is used in matrix multiplication.
Key words: scalar product, vector multiplication, matrix multiplication
ii
Sadrzaj
Sazetak i
Uvod 1
1. Euklidski skalarni produkt vektora 3
1.1. Operacije s vektorima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1. Zbrajanje vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2. Oduzimanje vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3. Mnozenje vektora sa skalarom (brojem) . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4. Euklidski skalarni produkt vektora (Skalarni umnozak) . . . . . 8
2. Mnozenje matrica 15
2.1. Operacije s matricama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1. Zbroj matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2. Produkt matrice skalarom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.3. Mnozenje matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3. Zadatci - primjeri 21
Literatura 23
1
Uvod
Kako je tema zavrsnog rada iz podrucja Linearne algebre ukratko cemo objasniti njezin
znacaj i doprinos razvoju same matematike i ostalih znanosti.
Linearna algebra se u svom danasnjem obliku prvi put spominje u prvoj polovici dva-
desetog stoljeca, dok su matrice i tenzori uvedeni u drugom dijelu 19. stoljeca. To
je jedna od tradicionalnih matematickih disciplina, a bit joj je pronalazenje rjesenja
linearnih jednadzbi. Problem rjesavanja sustava linearnih jednadzbi je jako bitan zbog
mnogo primjena u ostalim granama matematike, pa i u drugim znanostima, npr. u nu-
merickoj matematici i racunarstvu. Nekoliko znacajnijih matematicara koji su odigrali
kljucnu ulogu u oblikovanju linearne algebre u suvremenu matematicku granu su: G.
Cramer, H. Grassman, W. R. Hamilton, A. Cayley, J. J. Sylvester, L. Kronecker i C.
Hermite.
Cramer, G. – svicarski matematicar (1704. – 1752.) [9]
Roden u Zenevi i vec kao mlad ostao zapazen na podrucju matematike. Vec
sa 18 godina imao je doktorat, a sa 20 godina imao je katedru matematike u skoli u
Zenevi. 1728. godine predlozio je rjesenje St. Petersburg Paradoksa, sto je bilo vrlo
blizu Bernoullijevoj teoriji 10 godina kasnije. Cramer je objavio svoj najpoznatiji rad
“Introduction a l’analyse des lignes courbes algebriques” 1750. godine. Uredio je i dva
Bernoullijeva djela. Bio je profesor u Zenevi, a preminuo je nedugo nakon objavljivanja
svog djela.
Grassmann, H. – njemacki matematicar (1809. – 1877.) [10]
Bio je poznat kao jezikoslovac, a danas cijenjen i kao matematicar. Takoder je
bio i fizicar, neohumanist i izdavac. Njegov matematicki doprinos nije bio priznat za
njegova zivota.
Sylvester, J. J. – engleski matematicar (1814. – 1897.) [11]
On je dao temeljni doprinos teoriji matrica, invarijantnoj teoriji, teoriji brojeva,
teoriji particije i kombinatorici. Takoder je igrao vodecu ulogu u americkoj matematici
u kasnijem dijelu druge polovice 19. stoljeca kao profesor na Sveucilistu Johns Hopkins
i kao osnivac lista”American Journal of Mathematics“. U vrijeme smrti bio je profesor
na Oxfordu.
Hamilton, W. R. – irski fizicar, astronom i matematicar (1805. – 1865.) [12]
Hamilton je napravio velik doprinos za klasicnu mahaniku, optiku i algebru.
Njegova istrazivanja mehanickih i optickih sustava dovela su do otkrivanja novih ma-
tematickih koncepata i tehnika. Njegov je najveci doprinos mozda ozivljavanje Newto-
nove mehanike, sada nazvane Hamiltonova mehanika. Ovaj njegov rad je u sredistu
suvremenih studija klasicne teorije polja, kao sto su elektromagnetizam i razvoj kvantne
mehanike. Njegov veliki talent otkrio je astronom Dr. John Brinkley jos 1823. godine.
2
Caylay, A. – britanski matematicar (1821. - 1895.) [13]
Kao dijete, Caylay je uzivao u rjesavanju slozenih matematickih problema za
zabavu. Pohadao je Trinity College, Cambrige, gdje je zablistao u grckom, francuskom,
njemackom, talijanskom i naravno matematici. On je pokazao da je svaka kvadratna
matrica korijen svog karakteristicnog polinoma, takoder je bio prvi koji definira pojam
”grupa“ na moderan nacin.
Kronecker, L. – njemacki matematicar i logicar (1823. – 1891.) [14]
Tvrdio je da aritmetika i analiza moraju biti utemeljene na”cijelim brojevima“,
te je citirao H. Webera koji je rekao:”Bog je stvorio cijele brojeve, sve ostalo je
djelo covjeka.“. Po njemu ime su dobili Kroneckerov simbol, Kroneckerov produkt,
Kronecker – Weber teorem itd..
Hermite, C. – francuski matematicar (1822. – 1901.) [15]
Istrazivao je teoriju brojeva, kvadratni oblik, invarijantnu teoriju, ortogonalne po-
linome i algebru. Prvi je dokazao da je e, baza prirodnog logaritma, transcendentalan
broj. Njegove metode je kasnije koristio Lindermann kako bi dokazao da je π transcen-
dentalan broj. Po njemu ime su dobili Hermiteovi polinomi, Hermiteova interpolacija,
Hermitovi operatori itd..
3
1. Euklidski skalarni produkt vektora
Neka su A,B dvije tocke na pravcu, u ravnini ili prostoru. Duzinu s krajevima A,B
oznacavamo s AB. Duljinu duzine AB oznacavamo s |AB| ili d(AB).
Usmjerena duzina−→AB je duzina za koju se zna pocetna tocka A i zavrsna tocka B.
Za dvije usmjerene duzine−→AB,−−→CD kazemo da su ekvivalentne ako postoji translacija
koja prvu prevodi u drugu, tj. ako je ABCD paralelogram.
Slika 1: Reprezentanti (predstavnici) vektora ~a
Definicija 1 Skup svih medusobno ekvivalentnih usmjerenih duzina nazivamo vekto-
rom. Vidi [6].
Dakle, sve medusobno ekvivalentne duzine zovemo klasom medusobno ekvivalentnih
usmjerenih duzina. Pojedinu duzinu iz te klase zovemo reprezentantom (predstavni-
kom), obzirom da znajuci jednu znamo odrediti i svaku drugu duzinu iz te klase. Klasu
medusobno ekvivalentnih duzina nazivamo vektorom1 i oznacavamo [−→AB]. To je klasa
ciji je reprezentant usmjerena duzina−→AB.
Propozicija 1 Neka je ~a ∈ V 3 bilo koji vektor, a A ∈ E3 bilo koja tocka. Onda postoji
jedna i samo jedna tocka B ∈ E3 sa svojstvom da je [−→AB] = ~a. Vidi [4].
Geometrijski, vektor je zadan s:
• pravcem nosiocem na kojem se vektor nalazi
• duljinom ili modulom: |−→AB| = d(AB) (udaljenost tocaka A i B)
• orijentacijom na pravcu nosiocu
1engl. vector, njem. Vektor, fran. vecteur, rus. BEKTOP od lat. vector - nositelj
4
Dakle, usmjerene duzine koje leze na paralelnim (moguce istovjetnim pravcima), imaju
istu orijentaciju i jednaku duljinu definiraju isti vektor. (Slika 1 )
Ponekad se govori o smjeru vektora. Smjer objedinjuje pojmove nosaca i orjentacije,
te zato kazemo da je vektor odreden smjerom i iznosom.
Propozicija 2 Vektor iz V 3 jednoznacno je odreden svojim modulom, smjerom i ori-
jentacijom. Vidi [4].
1.1. Operacije s vektorima
Nul vektor je vektor duljine 0. Oznacavamo ga s ~0 i vrijedi da je ~0 =−→AA =
−−→BB . . .
za bilo koju tocku. Kod nul vektora nema smisla govoriti o nosacu, niti o smjeru.
Jedinicni vektor je vektor duljine 1. Za zadani vektor ~a, duljine |~a|, jedinicni vektor
je definiran sa ~a0 =~a
|~a|, gdje je ~a0 vektor koji ima isti smjer kao i ~a a duljina mu je 1.
Radijvektor - ako u prostoru2 istaknemo neku tocku i oznacimo ju slovom O, tada
je moguce za svaki vektor izabrati njegova predstavnika tako da mu pocetna tocka
bude bas ta tocka O. Vektor−→OT nazivamo radijvektor tocke T u prostoru i mozemo
ga zapisati ~rT .
Duljina vektora ~a oznacava se s |~a|. Taj broj zovemo i norma vektora ~a. Ako je−→AB
neki njegov reprezentant tad je |~a| = d(A,B).
Kolinearni vektori su vektori koji pripadaju istom ili paralelnim pravcima
Slika 2: Kolinearni vektori
Komplanarni vektori su vektori koji pripadaju istoj ili paralelnim ravninama
2Skup svih vektora oznacavat cemo slovom V, ( V 1 je jednodimenzionalni vektorski prostor - pravac;V 2 je dvodimenzionalni vektorski prostor - ravnina; V 3 je trodimenzionalni vektorski prostor)
5
Projekcija vektora
• ortogonalna projekcija u ravnini na pravac p je funkcija koja svakoj tocki A
ravnine pridruzuje tocku u kojoj okomica na p, koja prolazi tockom A, sijece
pravac p.
• ortogonalna projekcija u prostoru na pravac p je funkcija koja svakoj tocki A
prostora pridruzuje tocku u kojoj ravnina koja prolazi tockom A, a okomita je
na p, sijece pravac p.
Slika 3: Projekcija vektora na pravac
1.1.1. Zbrajanje vektora
Definicija 2 Neka su ~a,~b bilo kakvi vektori,−→AB bilo koji predstavnik vektora ~a te
−−→BC predstavnik vektora ~b s pocetkom u tocki B. Taj je zbroj vektora ~a + ~b odreden
predstavnikom−→AC. Vidi [3].
Slika 4: Pravilo trokuta Slika 5: Pravilo paralelograma
Vektore zbrajamo po pravilu trokuta i po pravilu paralelograma.
6
Svojstva:
(1) (~a+~b) + ~c = ~a+ (~b+ ~c) asocijativnost
(2) ~a+~0 = ~0 + ~a = ~a nul vektor je neutralni element za zbrajanje vektora
(3) ~a+ (−~a) = (−~a) + ~a = ~0 −~a je suprotan element za zbrajanje vektora ~a
(4) ~a+~b = ~b+ ~a komutativnost
Slika 6: Komutativnost (lijevo); Asocijativnost (desno)
1.1.2. Oduzimanje vektora
Oduzimanje vektora definira se kao operacija zbrajanja vektora sa suprotnim vektorom
~a−~b = ~a+ (−~b)
Slika 7: Oduzimanje vektora
7
1.1.3. Mnozenje vektora sa skalarom (brojem)
Neka je ~a vektor i λ realan broj. Mnozenje vektora sa skalarom je funkcija koja paru
(λ, ~a) pridruzuje vektor λ~a.
Za vektor λ~a vrijedi:
• ~a i λ~a su kolinearni (imaju isti ili paralelni nosac)
• |λ~a| = |λ| · |~a|
• λ > 0⇒ ~a i λ~a su isto orijentirani
λ < 0⇒ ~a i λ~a su suprotno orijentirani
Svojstva:
(5) λ(~a+~b) = λ~a+ λ~b,
(6) (λ+ µ)~a = λ~a+ µ~a,
(7) (λµ)~a = λ(µ~a),
(8) 1 · ~a = ~a, (−1) · ~a = −~a, 0 · ~a = ~0
U zapisu mnozenja vektora skalarom obicno izostavljamo znak ·, te pisemo kratko
λ~a, 2~a i slicno.
Svaki skup na kojemu su definirane dvije operacije: zbrajanje vektora i mnozenje
vektora sa skalarom tako da su zadovoljena svojstva (1)-(8) naziva se vektorski prostor.
Teorem 1 Skup V 3 je u odnosu na operacije zbrajanja vektora i mnozenja vektora
realnim brojevima vektorski prostor nad poljem R realnih brojeva. Vidi [4].
Svaku uredenu trojku B = (~a1, ~a2, ~a3) nekomplanarnih vektora iz V 3 nazivamo baza
prostora V 3. Govori se takoder o koordinatnoj bazi ili koordinatnom sustavu za V 3.
Vektore ~ai iz baze zovemo koordinatni vektori.
Medu svim mogucim bazama prostora V 3 izdvojit cemo jednu narocito pogodnu za
prikazivanje vektora.
Kartezijev pravokutni koordinatni sustav cine tri medusobno okomite osi:
• Ox - os apscisa
• Oy - os ordinata
• Oz - os aplikata
8
Zajednicka tocka O je ishodiste koordinatnog sustava. Izdvojimo tocku na jedinicnoj
udaljenosti od ishodista na svakoj od ove tri osi i pridruzimo joj odgovarajuci vektor.
• Tocki E1 = (1, 0, 0) odgovara vektor ~i =−−→OE1
• Tocki E2 = (0, 1, 0) odgovara vektor ~j =−−→OE2
• Tocki E3 = (0, 0, 1) odgovara vektor ~k =−−→OE3
Kartezijev sustav je sustav (O;~i,~j,~k). Trojku (~i,~j,~k) zovemo kanonska baza prostora
V 3.
Slika 8: Kartezijev koordinatni sustav
Neka je zadan vektor ~a. Njega mozemo napisati kao linernu kombinaciju vektora ka-
nonske baze: ~a = ax~i+ ay~j + az~k.
1.1.4. Euklidski skalarni produkt vektora (Skalarni umnozak)
Definicija 3 Neka je u : V 3 × V 3 → R preslikavanje, definirano ovako:
(1) ako je bar jedan od vektora ~a i ~b nulvektor, onda je
u(~a,~b) = 0;
(2) ako je ~a 6= ~0,~b 6= ~0, onda je
u(~a,~b) = |~a| · |~b| cos∠(~a,~b).
Vidi [4].
9
Preslikavanje u zovemo skalarnim mnozenjem u prostoru V 3 a vrijednost u(~a,~b) ∈R zovemo euklidskim skalarnim produktom vektora ~a i ~b, a u daljnjem tekstu zbog
jednostavnosti cemo koristiti naziv skalarni produkt. Obicno pisemo u(~a,~b) = ~a·~b = ~a~b
i takoder krace cos∠(~a,~b) = cos(~a,~b) = cosϕ.
Smatramo da je pojam kuta medu vektorima jasan: to je manji (po apsolutnom smislu)
od dvaju kutova koji zatvaraju zadana dva vektora (translatirana u zajednicki pocetak).
Oznacavat cemo ga s ϕ = ∠(~a,~b). Prema tome kut moze poprimiti vrijednost −π <ϕ < π.
Slika 9: Kut medu dvama vektorima
Definicija 3 ima za posljedicu i formulu |~a|2 = ~a·~a. Takoder za okomite vektore vrijedi:
Propozicija 3 Neka su ~a i ~b bilo koji vektori iz V 3. Ti su vektori okomiti ako i samo
ako je ~a ·~b = 0. Vidi [4].
Dokaz: Neka je ~a ⊥ ~b. Onda je ∠(~a,~b) = π/2 pa imamo
~a ·~b = |~a| · |~b| · cosπ
2= 0.
Obratno, neka je ~a ·~b = 0. Onda je
|~a| · |~b| · cos(~a,~b) = 0,
a kako je ~a 6= ~0 i ~b 6= ~0, to je cos(~a,~b) = 0. No, u intervalu [0, π] je kut ∠(~a,~b) = π2
jedini kut s tim svojstvom pa je ~a ⊥ ~b. �
Primjecujemo, ukoliko je jedan od vektora ~a ili ~b jednak nul vektoru, tada je i njihov
skalarni umnozak po Definiciji 3 jednak nuli. Slicno se vidi da je (−~a)~a = −|~a|2.
Propozicija 4 Za svaki je izbor ~a,~b ∈ V 3
(~a+~b)2 = ~a2 +~b2 + 2~a~b;
(~a−~b)2 = ~a2 +~b2 − 2~a~b;
Vidi [4].
10
Dokaz: Dokazimo prvu tvrdnju.
Pretpostavimo da vektori ~a i ~b nisu kolinearni.
Neka je ~a = [−→AB] i ~b = [
−−→BC]. Onda je ~c = ~a+~b = [
−→AC].
Promatrajmo trokut ABC i primjenimo kosinusov poucak. Imamo
(~a+~b)2 = ~c2 = |~c|2 = |~a|2 + |~b|2 − 2|~a||~b| cosϕ
= |~a|2 + |~b|2 + 2|~a||~b| cos(~a,~b)
= ~a2 +~b2 + 2~a~b
Tvrdnja se lako provjeri i kad su ~a i ~b kolinearni.
Svojstva skalarnog produkta dana su Teoremom 2.
Teorem 2 Skalarno mnozenje vektora ima ova svojstva:
(1) komutativnost, tj.~a~b = ~b~a,∀~a,~b ∈ V 3;
(2) kvaziasocijativnost, tj.
(λ~a)~b = λ(~a~b),∀λ ∈ R, ~a,~b ∈ V 3;
(3) distributivnost prema zbrajanju, tj.
~a(~b+ ~c) = ~a~b+ ~a~c,∀~a,~b,~c ∈ V 3;
(4) pozitivnu definitnost, tj.
~a2 ≥ 0;~a2 = 0 ⇐⇒ ~a = ~0
Vidi [4].
11
Dokaz:
(1) neposredno slijedi iz definicije mnozenja
(2) Ako je λ = 0 ili je ~a = ~0 odnosno ~b = ~0, tvrdnja je trivijalna
Uzmimo zato da je λ 6= 0 i ~a 6= ~0,~b 6= ~0. Ako je λ > 0, onda je |λ~a| = λ|~a|,∠(λ~a,~b) = ∠(~a,~b), pa imamo (λ~a)~b = |λ~a||~b| cos(λ~a,~b) = λ|~a||~b| cos(~a,~b) =
λ(~a,~b). Ako je λ < 0, onda je |λ~a| = −λ|~a| i nadalje ∠(λ~a,~b) = π − ∠(~a,~b),
pa je
(λ~a)~b = |λ~a||~b| cos(λ~a,~b) = −λ|~a||~b| cos(π − ∠(~a,~b))
= λ|~a||~b| cos(~a,~b) = λ(~a,~b)
i tvrdnja je dokazana.
(3) Imamo
4~a(~b+ ~c) =[2~a+ (~b+ ~c)
]2− 4~a2 − (~b+ ~c)2 =
=[2~a+ (~b+ ~c)
]2− 4~a2 − (~b− ~c)2 − 2~b2 − 2~c2 =
=[(~a+~b) + (~a+ ~c)
]2+[(~a+~b)− (~a+ ~c)
]2− 4~a2 − 2~b2 − 2~c2 =
= 2(~a+~b)2 + 2(~a+ ~c)2 − 4~a2 − 2~b2 − 2~c2 =
= 4~a2 + 4~a~b+ 4~a~c+ 2~b2 + 2~c2 − 4~a2 − 2~b2 − 2~c2 =
= 4~a~b+ 4~a~c
= 4(~a~b+ ~a~c)
pa dijeljenjem s 4 zaista dobivamo
~a(~b+ ~c) = ~a~b+ ~a~c.
(4) Trivijalno. �
12
Korolar 1 Za skalarno mnozenje takoder vrijedi
(5) ~a(λ~b) = λ(~a~b),∀λ ∈ R,∀~a,~b ∈ V 3,
(6) (~a+~b)~c = ~a~c+~b~c,∀~a,~b,~c ∈ V 3.
Vidi [4].
Dokaz: Iz tvrdnji (1) i (2) Teorema 2 imamo
~a(λ~b) = (λ~b)~a = λ(~b~a) = λ(~a)~b
pa je tvrdnja (5) verificirana. Slicno se vidi i tvrdnja (6). �
Teorem 3 Vektorski prostor V 3 je uz skalarno mnozenje vektora unitarni prostor.
Vidi [4].
Skalarni umnozak u komponentama
Neka je B = (~i,~j,~k) kanonska (koordinatna) baza u V 3 sa svojstvom da za koordinatne
vektore vrijedi
|~i| = |~j| = |~k| = 1
i~j ⊥ ~k,~k ⊥~i,~i ⊥ ~j
tj. nadam se da su ti vektori jedinicni i u parovima okomiti.
Tada kazemo da je B jedna ortonormirana baza za prostor V 3. Zgodno je prikazati ove
umnoske u sljedecoj tablici mnozenja
~i ~j ~k
~i 1 0 0~j 0 1 0~k 0 0 1
Svaki se vektor moze na jednoznacan nacin prikazati preko vektora baze.
Propozicija 5 Neka su ~a = ax~i + ay~j + az~k i ~b = bx~i + by~j + bz~k bilo koji vektori iz
V 3, tada za njihov skalarni umnozak (uz svojstva skalarnog produkta i gore navedenu
tablicu) dobivamo
~a ·~b = (ax~i+ ay~j + az~k) · (bx~i+ by~j + bz~k) =
= axbx~i~i+ axby~i~j + axbz~i~k + aybx~j~i+ ayby~j~j + aybz~j~k + azbx~k~i+ azby~k~j + azbz~k~k
= axbx + ayby + azbz.
Vidi [3]. �
13
Time smo dobili formulu za racunanje skalarnog produkta zadanih koordinatnim kom-
ponentama.
Korolar 2 Neka je ~a = ax~i+ ay~j + az~k bilo koji vektor. Onda je njegov modul dan sa
|~a| =√a2x + a2y + a2z,
gdje treba uzeti pozitivno odredenje drugog korijena. Vidi [4].
Dokaz: Imamo |~a|2 = ~a2 = ~a~a = a2x + a2y + a2z odakle slijedi tvrdnja. �
Korolar 3 Neka su ~a = ax~i + ay~j + az~k i ~b = bx~i + by~j + bz~k bilo koji vektori iz V 3,
razliciti od nulvektora. Onda je kut tih vektora dan formulom
cos(~a,~b) =axbx + ayby + azbz√
a2x + a2y + a2z ·√b2x + b2y + b2z
.
Vidi [4].
Dokaz: Iz definicije skalarnog produkta imamo
cos(~a,~b) =~a ·~b|~a| · |~b|
pa tvrdnju dobivamo primjenom Propozicije 5 i Korolara 2. �
Iz gornje formule neposredno citamo uvjet za okomitost dvaju vektora.
Korolar 4 Vektori ~a i ~b su okomiti onda i samo onda ako za njihove koordinate vrijedi
axbx + ayby + azbz = 0.
Vidi [4].
Promotrimo slucaj kada je jedan od vektora koordinatni vektor. Ako je npr. ~b = ~i.
Onda je bx = 1, by = 0, bz = 0, pa iz Korolara 3 slijedi, uz oznaku ∠(~a,~i) = ϕ1,
cosϕ1 =ax√
a2x + a2y + a2z=ax
|~a|.
Analogno odredujemo ϕ2 = ∠(~a,~j) i ϕ3 = ∠(~a,~k) vektora ~a s ostalim koordinatnim
vektorima. Skalare
cosϕ1 =ax
|~a|, cosϕ2 =
ay
|~a|, cosϕ3 =
az
|~a|
nazivamo kosinusi smjera vektora ~a, jer je njima odreden smjer tog vektora u prostoru.
Kosinusi smjera nisu neovisni.
14
Propozicija 6 Za kosinuse smjera bilo kojeg vektora ~a vrijedi
cos2 ϕ1 + cos2 ϕ2 + cos2 ϕ3 = 1.
Vidi [4].
Dokaz: Relacija se dobiva kvadriranjem i zbrajanjem kosinusa smjera i primjenom
Korolara 2. �
Specijalno ako je ~a jedinicni vektor, |~a| = 1, imamo
cosϕ1 = ax, cosϕ2 = ay, cosϕ3 = az
tj. pravokutne koordinate jedinicnog vektora podudaraju se s kosinusima smjera tog
vektora.
Propozicija 7 Kosinusi smjera vektora ~a ∈ V 3 jednaki su pravokutnim koordinatama
jedinicnog vektora ~a0 u smjeru tog vektora. Vidi [4].
Primjer 1 Za vektore ~a,~b vrijedi: |~a| =√
5, |~b| =√
30,∠(~a,~b) = 45◦. Neka su ~e =
4~a−~b i ~f = ~a+ 3~b. Izracunaj ~e · ~f.
Rjesenje:
~e · ~f = (4~a−~b)(~a+ 3~b) = 4~a~a+ 11~a~b− 3~b~b
= 4 · 5 + 11√
150− 3 · 30 = 20 + 11 · 5 ·√
6− 90 = −70 + 55√
6.
Pomocu skalarnog umnoska izracunava se i projekcija vektora na vektor, tj.
~a · ~b0 = |~a| · cosϕ = ab =⇒ skalarna prijekcija vektora ~a na vektor ~b,
~a ·~b = |~b| cosϕ = ba =⇒ skalarna projekcija vektora ~b na vektor ~a.
Slika 10: Skalarne projekcije vektora na vektor
15
Ako se vektori ~a i ~b prikazuju kao vektor-stupci n×1− matricama, skalarni se produkt
moze napisati kao
~a ·~b =[a1 . . . an
] b1...bn
= [~a]T [~b ] = ~aT ·~b
gdje je [~a]T vektor-redak.
2. Mnozenje matrica
Skalarni produkt vektora u trodimenzionalnom prostoru V 3 definirali smo formulom
~a ·~b := |~a||~b| cosϕ
gdje su |~a| i |~b| duljine vektora ~a i ~b, a ϕ kut medu njima.
Ova formula nam bas ne odgovara za n - dimenzionalni prostor. No, spomenuli smo
drugu formulu. Ako je {~i,~j,~k} kanonska baza u V 3 u kojoj vektori imaju prikaze
~a = ax~i+ ay~j + az~k,
~b = bx~i+ by~j + bz~k,
tada se skalarni produkt racuna formulom
~a ·~b = axbx + ayby + azbz.
Za razliku od prethodne ova se formula direktno poopcava u n - dimenzionalni prostor
Rn.
Elementi prostora Rn su uredene n - torke:
~a = (a1, . . . , an), ~b = (b1, . . . , bn).
Definicija 4 Skalarni umnozak vektora ~a i ~b oznacavamo s (~a|~b) i definiramo formu-
lom:
(~a|~b) = a1b1 + . . .+ anbn.
Vidi [7].
Duljina vektora ili norma racuna se formulom
|~a| =√
(~a|~a) =√a21 + . . .+ a2n.
Kut medu vektorima racunamo formulom
cosϕ =(~a|~b )
|~a| · |~b |.
16
Definicija 5 Za prirodne brojeve m i n, preslikavanje A :{1, . . . ,m}×{1, 2, . . . , n}−→Fse naziva matrica tipa (m,n) s elementima iz polja F. Vidi [7].
Djelovanje svake takve funkcije moze se zapisati tablicom u m redaka i n stupaca.
Takoder funkcijsku vrijednost A(i, j) jednostavnije oznacavamo aij. Dakle, svaku ma-
tricu s m redaka i n stupaca standardno pisemo u obliku
A = [aij] =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...
.... . .
...an1 an2 . . . ann
Skup svih matrica s m redaka i n stupaca s elementima iz polja F oznacavamo s
Mmn(F), a ako je m = n pisemo krace Mn(F), a elemente tog skupa zovemo kvadratnim
matricama reda n.
Nulmatrica je matrica kojoj su svi elementi aij = 0.
Matrica redak je matrica tipa (1, n) a matrica stupac je matrica tipa (m, 1).
Za kvadratnu matricu reda n definiramo glavnu dijagonalu kao n-torku njezinih eleme-
nata (a11, a22, a33, . . . , ann), i sporednu dijagonalu, kao n-torku (a1n, a2n−1, . . . , an1).
Zatim, za kvadratnu matricu A definirat cemo trag, kao sumu elemenata na glavnoj
dijagonali,
tr A =n∑i=1
aii.
Kvadratnu matricu s jedinicama na glavnoj dijagonali nazivamo jedinicna matrica.
Matrice A = [aij] i B = [bij] nad istim poljem F su jednake, A = B, ako su istog tipa
(ista domena) i ako je
aij = bij, ∀i, j.
Matricom A = [aij] tipa (m,n) jednoznacno je odredena matrica B = [bji] tipa (n,m),
definirana s
bji = aij,∀i = 1, . . . ,m, k = 1, . . . , n.
Tu matricu zovemo transponirana matrica matrice A i oznacavamo s AT .
Primjer 2
A =
2 34 10 2
i AT =
[2 4 03 1 2
]
Ocito je da vrijedi (AT )T = A.
Transponirana matrica kvadratne matrice je opet kvadratna matrica istog reda.
17
2.1. Operacije s matricama
2.1.1. Zbroj matrica
Ako su A,B ∈ Mmn, A = [aij], B = [bij], bilo koje matrice, definiramo njihov zbroj,
kao matricu C = [cij] istog tipa kao A i B, Ciji su elementi dani s
cij = aij + bij, ∀i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n
i pisemo C = A+B.
Ako A i B nisu istog tipa, njihov zbroj se ne definira.
2.1.2. Produkt matrice skalarom
Za λ ∈ F i bilo koju matricu A ∈ Mmn, A = [aij], definiramo produkt te matrice sa
skalarom λ kao matricu C = [cij], koja je istog tipa kao A, a za cije elemente vrijedi
cij = λaij, ∀i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n
i pisemo C = λA.
Primjer 3
3
[2 3 11 0 −2
]=
[6 9 33 0 −6
]Ocito je da vrijedi
(1) λ(µA) = (λµ)A;
(2) 1A = A;
(3) (λ+ µ)A = λA+ µA;
(4) λ(A+B) = λA+ λB, ∀λ, µ ∈ F i A,B ∈Mmn.
2.1.3. Mnozenje matrica
Mnozenje matrica se definira samo za matrice kod kojih su dimenzije u specijalnom
odnosu, tj. za tzv. ulancane matrice.
Definicija 6 Neka je A ∈Mmn i B ∈Mrs. Kazemo da su matrice A i B ulancane ako
je n = r. Vidi [7].
18
Matrice A i B su ulancane ako je broj stupaca matrice A jednak broju redaka matrice
B. Uocimo da ovo nije simetricna relacija, u slucaju kada je A ∈Mmn a B ∈Mrs, dok,
ako su A i B kvadratne matrice istog tipa onda su one ulancane u oba poretka.
Definicija 7 Neka su A = [aij] ∈ Mmn i B = [bij] ∈ Mns ulancane matrice. Tada je
produkt AB definiran kao matrica AB = [aij] ∈Mms pri cemu je
cij =n∑k=1
aikbkj, i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , 1, 2, . . . , n
Vidi [7].
Umnozak AB ima redaka kao prvi faktor i stupaca kao drugi faktor. Smisao definicije je
da koeficijent cij koji se u produktu nalazi u i-tom retku i j-tom stupcu izracunamo kao
“umnozak i-tog retka od A i j-tog stupca od B”. Pod tim umnoskom se podrazumijeva
zbroj ai1b1j + ai2b2j + . . .+ ainbnj.
Sada je jasno da zahtjev da matrice budu ulancane upravo znaci da svaki redak od A
ima tocno onoliko elemenata koliko i svaki stupac od B cime je osigurano da ovakvo
mnozenje ima smisla.
Primjer 4 [1 1 −1 31 0 2 1
]1 −1 −11 0 90 −1 −21 2 3
=
[5 6 192 −1 −2
]
(2, 4) × (4, 3) = (2, 3).
Napomena 1
a) Mnozenje matrica je preslikavanje
· : Mmn ×Mns −→Mms, m, n, s ∈ N.
Zato, opcenito, mnozenje nije binarna operacija. Izuzetak je slucaj m = n = s;
jedino tada je mnozenje
· : Mn ×Mn −→Mn
binarna operacija na skupu Mn.
b) Iz definicije je jasno da mnozenje matrica nije komutativna operacija. Proma-
tramo li proizvoljne ulancane matrice A i B, umnozak BA ne samo da nije jednak
AB, nego mozda nije niti definiran. Cak i u prostoru Mn zakon komutacije ne
vrijedi.
19
Primjer 5 [0 10 0
] [0 01 0
]=
[1 00 0
][
0 01 0
] [0 10 0
]=
[0 00 1
]c) za svaku matricu A ∈ Mmn vrijedi A0 = 0 i 0A = 0 (pri cemu je nulmatrica
prikladno formulirana da bismo je s desna ili s lijeva mogli mnoziti s A)
d) za n ∈ N definiramo jedinicnu matricu reda n. Mozemo ju zapisati kao
I = [eij] ∈Mn, eij =
{1, ako je i = j,0, ako je i 6= j.
Jedinicna matrica ima jedinice na glavnoj dijagonali i sve ostale nule.
Kroneckerov simbol
δij =
{1, ako je i = j,0, ako je i 6= j.
Jedinicnu matricu n-tog reda zapisujemo kao
I = [δij] ∈Mn.
Za svaku matricu A ∈ Mmn vrijedi AI = A i IA = A, ako je I prikladno
formulirana. Dakle, I je neutralni element za mnozenje svih matrica.
Svojstva mnozenja matrica
Teorem 4 Za mnozenje matrica vrijedi (kad god su navedeni produkti definirani)
(1) A(B + C) = AB + AC;
(2) (A+B)C = AC +BC;
(3) (λA)B = A(λB) = λ(AB), ∀λ ∈ F;
(4) (AB)C = A(BC);
(5) IA = A;AI = A.
Svojstva (1) i (2) se zovu desna, odnosno lijeva distributivnost mnozenja prema zbra-
janju, a svojstvo (3) kvaziasocijativnost. Vidi [7].
Dokaz: (4) - asocijativnost mnozenja matrica Neka je A = [aij] ∈ Mmn, B = [bij] ∈Mns, C = [cij] ∈Mst. Uocimo da je AB ∈Mms pa je produkt (AB)C definiran i rezultat
je matrica iz Mmt. Isto se pokaze da je A(BC) ∈ Mmt. Zato preostaje vidjeti da su
20
matricama (AB)C i A(BC) svi odgovarajuci elementi jednaki. Odaberemo proizvoljne
1 ≤ i ≤ m i 1 ≤ j ≤ t. Sada je
[(AB)C]ij =s∑
k=1
[AB]ikckj =s∑
k=1
(n∑l=1
ailblk
)ckj,
dok s druge strane imamo
[A(BC)]ij =n∑p=1
aip[BC]pj =n∑p=1
aip
(s∑r=1
bprcij
)=
s∑r=1
(n∑p=1
aipbpr
)crj,
odakle je ocito da su dobiveni rezultati identicni. Takoder primijetimo da je zamjena
redoslijeda sumiranja moguca jer su sume konacne, a zbrajanje u polju komutativno.
Korolar 5 Mnozenja matrica u vektorskom prostoru Mn(F) ima sljedeca svojstva:
(1) A(B + C) = AB + AC, ∀A,B,C ∈Mn(F);
(2) (A+B)C = AC +BC, ∀A,B,C ∈Mn(F);
(3) (λA)B = A(λB) = λ(AB), ∀λ ∈ F, ∀A,B ∈Mn(F);
(4) (AB)C = A(BC), ∀A,B ∈Mn(F);
(5) IA = AI = A, ∀A ∈Mn(F).
Vidi [7].
21
3. Zadatci - primjeri
Zadatak 1 Nadite kut izmedu vektora ~a i ~b ako je poznato da je ~a + ~b okomito na
7~a− 5~b i ~a− 4~b okomito na 7~a− 2~b.
Rjesenje: Oznacimo ~a = |~a| i ~b = |~b|. Tada je
(~a+~b) · (7~a− 5~b) = 7~a2 + 2~a ·~b− 5~b2 = 0
(~a− 4~b) · (7~a− 2~b) = 7~a2 − 30~a ·~b+ 8~b2 = 0
iz toga slijedi da je
5~b2 − 7~a2
2=
7~a2 + 8~b2
30,
odnosno
67~b2 = 112~a2.
Dakle,
cosϕ =~a ·~b|~a| · |~b|
=5~b2 − 7~a2
2~a~b=
5~b2 − 7 · 67112~b2
2 ·√
67112~b2
=5 · 112− 7 · 67
244 ·√
67112
= 0.53
ϕ = 57◦59′40.4′′
Zadatak 2 Za matrice A =
[1 10 1
], B =
[1 −10 1
], C =
[1 32 1
], D =
[4 02 1
]izracunajte (AC)D,A(CD) i AB
Rjesenje:
(AC)D =
([1 10 1
] [1 32 1
])[4 02 1
]=
[3 42 1
] [4 02 1
]=
[20 410 1
]A(CD) =
[1 10 1
]([1 32 1
] [4 02 1
])=
[1 10 1
] [10 310 1
]=
[20 410 1
]AB =
[1 10 1
] [1 −10 1
]=
[1 00 1
]Zadatak 3 Ako je {~a,~b,~c} ortonormiran skup vektora onda su vektori ~a,~b i ~c linearno
nezavisni. Dokazi!
Rjesenje: Treba pokazati da α~a + β~b + γ~c = 0 povlaci α = β = γ = 0, odnosno
jednadzba α~a + β~b + γ~c = 0 (nepoznanice su α, β i γ) ima trivijalno rjesenje. Ako tu
jednadzbu skalarno mnozimo redom s ~a,~b i ~c, dobivamo
α|~a|2 + β|~b|2 + γ|~c|2 = 0
dakle slijedi da je α = β = γ = 0.
22
Zadatak 4 Treba dokazati da se visine trokuta sijeku u jednoj tocki.
Rjesenje: Neka je O sjeciste visina povucenih iz vrhova A i B; dakle−→OA ·
−−→BC = 0 i
−−→OB ·
−→CA = 0, zatim
−−→BC =
−−→BO +
−→OC
−→CA =
−→CO +
−→OA =⇒
−→OA ·
−−→BO +
−→OA ·
−→OC = 0
−−→OB ·
−→CO +
−−→OB ·
−→OA = 0.
Zbrajanjem ovih relacija zbog−−→OB = −
−−→BO dobivamo
−→OC · (
−−→BO +
−→OA) = 0, tj.
−→OC ·
−→BA = 0;
dakle, duz OC je okomita na stranicu AB.
Zadatak 5 Pokazite da vrijedi C(A+B) = CA+ CB (distributivnost s lijeva)(*)
Rjesenje: Neka su A,B,C,D matrice po redu tipa m× n,m× n, p×m,n× q i neka je
α ∈ C.
Buduci su A i B tipa m×n, to je A+B definirano, i to je matrica tipa m×n. Kako je
C tipa m×n. Kako je C tipa p×m i A+B tipa m×n, produkt C(A+B) je definiran
i to je matrica tipa p× n. Isto tako je svaka od matrica CA,CB tipa p× n, pa su sve
operacije izvrsene u (*) izvedive.
Dokazimo jednakost:
[C(A+B)]ij = [CA+ CB]ij (i = 1, . . . , p; j = 1, . . . n).
No,
[C(A+B)]ij =∑m
k=1 cik(A+B)kj =∑m
k=1 cik(akj + bkj) =∑m
k=1 cikakj +∑m
k=1 cikbkj
= (CA)ij + (CB)ij = (CA+ CB)ij
�
23
Literatura
[1] D. Butkovic, Predavanja iz linearne algebre, Grafika d.o.o., Osijek, 2006.
[2] L. Caklovic, Zbirka zadataka iz linearne algebre, Skolska knjiga, Zagreb, 1992.
[3] N. Elezovic, Linearna algebra, Element, Zagreb, 1999.
[4] K. Horvatic, Linearna algebra, Golden marketing - Tehnicka knjiga, Zagreb, 2004.
[5] S. Kurepa, Uvod u linearnu algebru, Skolska knjiga, Zagreb, 1985.
[6] http://www.geof.unizg.hr/~jbeban/AGLA/01 vektori.pdf
[7] http://web.math.hr/nastava/la/razno/matrice.pdf
[8] http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node59.html
[9] http://en.wikipedia.org/wiki/Gabriel Cramer
[10] http://en.wikipedia.org/wiki/Hermann Grassmann
[11] http://en.wikipedia.org/wiki/James Joseph Sylvester
[12] http://en.wikipedia.org/wiki/William Rowan Hamilton
[13] http://en.wikipedia.org/wiki/Arthur Cayley
[14] http://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker
[15] http://en.wikipedia.org/wiki/Charles Hermite
Recommended