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AULA 8 – CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA II
CurvasFonte: Anton, Flemming, Stewart, Thomas, Buske
Definição Representação paramétrica de curvas:
Representação paramétrica de uma retaRepresentação paramétrica de uma circunferênciaRepresentação paramétrica de uma elipseRepresentação paramétrica de uma hélice circularParametrização de outras curvas
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Curvas – definição:
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Exemplo: Descrever a trajetória L de um ponto móvel P, cujo deslocamento é
expresso por
Na tabela apresentamos os vetores posição de alguns pontos da trajetória L, que pode ser visualizada na figura do slide seguinte.
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Representação paramétrica de curvas
Sejam x = x(t)y = y(t)z = z(t)
funções contínuas de uma variável t, definidas para t ϵ [a,b]. Estas equações são chamadas equações paramétricas de uma curva e t é chamado parâmetro.
Para obter a equação vetorial basta considerar o vetor posição r(t) de cada ponto da curva. As componentes de r(t) são precisamente as coordenadas do ponto, ou seja,
r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k , a ≤ t ≤ b
OBS.: se as funções forem constantes,a curva degenera-se em um ponto.
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Exemplo 1:
Exemplo 2:
Exemplo 3:
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Definição: Curva planaUma curva plana é uma curva que está contida em um plano no espaço. Uma curva que não é plana chama-se curva reversa.
As curvas dos exemplos 1 e 3 anteriores são planas e a curva 2 é reversa.
Definição: Curva fechadaa) Uma curva parametrizada r (t), t ϵ [a,b], é dita fechada se r (a) = r (b).b) Se a cada ponto da curva corresponde um único valor do parâmetro t (exceto
quando t = a e t = b), dizemos que a curva é simples.
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Exemplo 1: Esboços de curvas fechadas simples:
Exemplo 2: Esboços de curvas fechadas que não são simples:
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Parametrização de uma reta:
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Exemplo 1:
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Exemplo 2:
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Parametrização de uma circunferência:
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Exemplo 1:
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Exemplo 2:
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Parametrização de uma elipse:
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Exemplo 1:
Exemplo 2:
Fazer ...
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Parametrização de uma hélice circular:
Enrolemos à volta da superfície um
triangulo flexível ABC de modo que
A seja o ponto (a,0,0) e que o lado
AB se enrole sobre a seção do
cilindro no plano xy. A hipotenusa
AC determina, então, sobre a
superfície cilíndrica, uma curva
chamada hélice circular.
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OBS.: A equação acima representa a equação da hélice esboçada na figura anterior, e, portanto m > 0. Sua forma lembra um parafuso de rosca à direita. De maneira análoga pode-se deduzir a equação para m < 0 de forma a representar a figura ao lado que lembra um parafuso de rosca à esquerda.
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Parametrização de outras curvas:
Como vimos, uma curva pode ser representada por equações paramétricas ou por uma equação vetorial. Existem outras formas de representação de uma curva. Por exemplo, o gráfico de uma função contínua y = f(x) representa uma curva no plano xy. A intersecção de duas superfícies representa, em geral, uma curva no plano ou no espaço.
A seguir, encontraremos uma representação paramétrica para algumas curvas dadas como intersecção de duas superfícies. A partir de uma representação paramétrica também obteremos a representação gráfica de algumas curvas.
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Exemplo 1:
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Exemplo 2:
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Exemplo 3:
Fazer ...
Resposta:
Elipse no plano yz
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Exemplo 4:
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