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Geodätische Berechnungenmit Beispielen

HorizontalrichtungsmessungZenitwinkelmessungGeometrisches NivellementErste geodätische GrundaufgabeZweite geodätische GrundaufgabePolares AnhängenKleinpunktberechnungVorwärtsschnittPolygonzugFlächenberechnung aus KoordinatenStandardabweichung

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Richtungsmessung Seite: ...............

Datum: Instr: Nr.: Beobachter: Protokolleur:

Horizontalrichtungsmessung

red. Ablesung I red. Ablesung II Satzmittel

Zenitwinkelmessung

Standpunkt Zielpunkt

AblesungLage I

AblesungLage II

I + II vz =400 - (I + II)

2z = I + vz

Mittel ausallen

MessungenBemerkungen

1 2 3 4 5 6 7 8

Horizontalrichtungsmessung mit Theodolit

2 610

102 140258 312345 486

302 14258 306

145 482

202 604358 779

45 953

0 000156 168243 343

0 000156 172243 346

0 000156 164243 340

0 000 0 000156 175243 349

0 000156 170243 349

0 000156 169243 346

Stp. 1Ziel 11Ziel 12Ziel 13

Ziel 11Ziel 12Ziel 13

=1113 282

=1113 266

2226 548

2 x 2 x 399 515= 1598 060

+ 3 x 609 496= 3426 548

Summenproben für Horizontalrichtungsmessung mit n = Anzahl der Ziele, s = Anzahl der Sätze: Lage I + Lage II = 2 ∙ Satzmittel + n ∙ (Nullrichtungen Lage I + II) oder Lage I + Lage II = 2 ∙ s ∙ Gesamtmittel + n ∙ (Nullrichtungen Lage I + II)

Horizontal-

0,00

0 go

n

245 959158 775 156 165

243 3491

11

1213

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Richtungsmessung Seite: ...............

Datum: Instr: Nr.: Beobachter: Protokolleur:

Horizontalrichtungsmessung

red. Ablesung I red. Ablesung II Satzmittel

Zenitwinkelmessung

Standpunkt Zielpunkt

AblesungLage I

AblesungLage II

I + II vz =400 - (I + II)

2z = I + vz

Mittel ausallen

MessungenBemerkungen

1 2 3 4 5 6 7 8

Zenitwinkelmessungen mit Theodolit

92 360 307 648

92 358400 010 -0 005

400 008 -0 004 92 356 92 357105 778

Stp. 1Ziel 1Ziel 2

Ziel 1Ziel 2

Zenitwinkel-

105 786 294 228

Summenproben für Zenitwinkelmessungen mit n = Anzahl der Ziele, s = Anzahl der Sätze: s ∙ Zenitwinkel Spalte 7 = {n ∙ s ∙ 400 + Lage I - Lage II} / 2

=198 135

x 2 =396 270

=396 270

400 012 -0 006 105 777

400 014 -0 007 105 779

Probe für z:z = ((400 + I) - II)/2

105 783 294 229

92 363 307 647

2 x 2 x 400 = 1600 000+ 396 292

- 1203 752= 792 540

=396 292

=1203 752

: 2 = 396,270

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Geometrisches Nivellement

Nivellement Seite: ...............

Datum: Beobachter: Datum: Rechner: Datum: Prüfer:

Instr.: Nr.: Punkt

Ablesung

r z v

Höhen-unter-schied

h

Höheüber

Nr. Lagebeschreibung

Bemerkungen

1 2 3 4 5 6 7

NHN

199 217 HP 59 Marienstraße 9 MB1 6280 416 WP 11 9570 816 WP21 534

1 2431 5860 7971 832

38 Kanaldeckel39 Bürgersteig40 OK Fußboden41 Kanaldeckel

0 996 M 2 Mauerbolzen2 2151 441 WP 31 5391 876 WP 41 113

HSoll = HE - HA = 2 680

r =9 986

v =7 303

HIst = r - v = 2 683 w = HSoll - HIst = -0 003

1 758 HP 76 Ackerwand 23 MB201 897

+1 212+1 140+0 291-0 343+0 789-1 035+0 836+0 773-0 337-0 646

h =+2 680

200 429201 569201 860201 517202 306201 271202 107202 880202 543

fzul = ± 15 mm · s[s in km]

-1

-1

-1

HP 59

WP 1

WP 2

M 2

WP 3

WP 4

38

3940

41

HP 76

Kontrolle!

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Erste geodätische Grundaufgabe

t1,2

x

yy1

x2

x1

y2

yx s

Berechnung der Koordinaten eines Neupunktesaus Richtungswinkel und Strecke

Gegeben: x1, y1, t1,2, s

Gesucht: x2, y2

x = s · cos t1,2 y = s · sin t1,2

x2 = x1 + x y2 = y1 + y

P1

P2

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Beispiel zur ersten geodätischen Grundaufgabe

t1,2

x

yy1

x2

x1

y2

y

xs

Berechnung der Koordinaten eines Neupunktesaus Richtungswinkel und Strecke

Gegeben: x1 = 28.234,72 m

y1 = 15.536,42 m

t1,2 = 140,300 gon

s = 47,45 m

Gesucht: x2, y2

1. Berechnung der Koordinatenunterschiede

x = s · cos t1,2 = 47,45 m · (-0,59159) = -28,07 m

y = s · sin t1,2 = 47,45 m · (-0,80624) = +38,26 m

2. Berechnung der Neupunktkoordinaten

x2 = x1 + x = 28.234,72 m - 28,07 m = 28.206,65 m

y2 = y1 + y = 15.536,42 m + 38,26 m = 15.574,68 m

P2

P1

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x = x2 - x1 y = y2 - y1

Zweite geodätische Grundaufgabe

xyt

arctan2,1

t1,2

t2,1

x

yy1

x2

x1

y2

yx s

Berechnung von Richtungswinkel und Streckeaus Koordinaten zweier Punkte

Gegeben: x1, y1, x2, y2

Gesucht: t1,2, s

t2,1 = t1,2 + 200 gon

Quadrant y x Richtungswinkel t

I + + = arctan (y/x)II + - = arctan (y/x) + 200 gonIII - - = arctan (y/x) + 200 gonIV - + = arctan (y/x) + 400 gon

IV I

III II

22 yxs P1

P2

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Beispiel zur zweiten geodätischen Grundaufgabe

t1,2

x

yy1

x2

x1

y2

yx s

Berechnung von Richtungswinkel und Streckeaus Koordinaten zweier Punkte

Gegeben: x1 = 18.783,61 m

y1 = 27.617,34 m

x2 = 18.748,93 m

y2 = 27.581,23 m

Gesucht: t1,2 , sP2

P1

1. Berechnung der Koordinatenunterschiedex = x2 - x1 = 18.748,93 m - 18.783,61 m = -34,68 m

y = y2 - y1 = 27.581,23 m - 27.617,34 m = -36,11 m

2. Berechnung des Richtungswinkelsx < 0, y < 0 Richtungswinkel liegt in Quadrant III

= arctan (1,04123) + 200 gon = 251,286 gon

3. Berechnung der Strecke

= 50,07 m

xyt

arctan2,1

myxs 2222 11,3668,34

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1. Berechnung des Richtungswinkels tS,A ( 2. Grundaufgabe)

xS,A = xA - xS yS,A = yA - yS

AS,

AS,AS, arctan

x

yt

tS,Nx

SN

ySN

xS

A

ySA

tS,A

Polares Anhängen

Berechnung der Koordinaten eines Neupunktesaus gemessenem Horizontalwinkel und Strecke

Gegeben: xS, yS, xA, yA , ß, sS,N

Gesucht: xN, yN

x

y

ß

sS,N

AN

S

2. Berechnung des Richtungswinkels tS,N

tS,N = tS,A + ß

3. Berechnung der Neupunktkordinaten ( 1. Grundaufgabe)xS,N = sS,N · cos tS,N yS,N = sS,N · sin tS,N

xN = xS + xS,N yN = yS + yS,N

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t A,N

yAN

x

ANs AN

ßt A,E

+x

yAE

xA

E

+y

Kleinpunktberechnung

Berechnung der Koordinaten eines Neupunktes xN, yN aus einer OrthogonalaufnahmeGegeben: Koordinaten xA, yA, xE, yE. Gemessen: eA, eE, eN, hN

5. Berechnung des Richtungswinkels tS,N

tA,N = tA,N + ß

6. Berechnung der Neupunktkordinaten ( 1. Grundaufgabe)xA,N = sA,N · cos tA,N yA,N = sA,N · sin tA,N

xN = xA + xA,N yN = yA + yA,N

1. Berechnung von Richtungswinkel tA,E und Strecke sA,E Soll

xA,E = xE - xA yA,E = yE - yE

tA,E = arctan sA,E Soll = xA,E² + yA,E² yA,E

xA,E

2. Gemessene Länge der Messungslinie und Abweichung dsA,E Ist = eE - eA d = sA,E Soll - sA,E Ist

4. Örtliche Polarkoordinaten ß, sA,N

ß = arctan sA,N = q · (eN - eA) ² + hN² hN

eN - eA

3. Maßstabsverhältnis qq = sA,E Soll / sA,E Ist

A

E

N

+h

+e

eE

eN

eA

hE

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Beispiel zur Kleinpunktberechnung (1)

Gegeben: P1: x1 = 12.573,82 m; y1 = 23.416,90 m

P2: x2 = 12.598,92 m; y2 = 23.401,77 m

2. Gemessene Länge der Messungslinie S 1,2 Ist

und Abweichung d

s1,2 Ist = e2 - e1 = 34,69 m - 5,32 m = 29,37 m

d = s1,2 Soll - s1,2 Ist = 29,31 m - 29,37 m = -0,06 m

3. Maßstabsverhältnis q

q = s1,2 Soll / s1,2 Ist = 29,31 m / 29,37 m = 0,99796

1. Berechnung von Richtungswinkel und Strecke 1/2

x1,2 = x2 - x1 = 25,10 m

y1,2 = y2 - y1 = -15,13 m

gon365,4651,2

1,21,2 arctan

Δx

Δyt

m29,31 21,2

21,2Soll1,2 ΔΔ yxs

1

2

5,32

16,80

6,38

102

34,69

24,46101

t1,2

|| +x

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ßs1,102

Beispiel zur Kleinpunktberechnung (2)

5. Berechnung des Richtungswinkels t1,102

t1,102 = t1,2 + ß102 = 365,465 gon - 32,292 gon = 333,173 gon

6. Berechnung der Neupunktkordinaten (1. Grundaufg.)

x1,102 = s1,102 · cos t1,102 = 6,52 m

y1,102 = s1,102 · sin t1,102 = -11,37 m

x102 = x1 + x1,102 = 12.580,34 m

y102 = y1 + y1,102 = 23.405,53 m

4. Örtliche Polarkoordinaten ß102, s1,102

h

ße - e

102102

102 1

-6,38 marctan16,80 m - 5,32 m

32,292 gon

s q e e h2 21,102 102 1 102

( ) 0,99796 13,13 m 13,11m

1

2

5,32

16,80

6,38

102

34,69

24,46101

Koordinaten von Punkt 102

t1,2

|| +x

t 1,102

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Vorwärtsschnitt

A B

NBestimmung der Koordinaten unzugänglicher Punktedurch Horizontalrichtungsmessungen von zwei Standpunkten

b

gegeben: Koordinaten der Standpunkte A, B

gemessen: Horizontalwinkel Basislänge b (oder aus Koordinaten)

s A,N

sB,N

3. Strecken von den Standpunkten zum Neupunkt nach Sinussatz:

sin)(sinNA,

bs

sin

)(sinNB,

b

s

4. Neupunktkoordinaten durch polares Anhängen

2. Richtungswinkel von den Standpunkten zum NeupunkttA,N = tA,B – tB,N = tB,A +

1. Richtungswinkel tA,B und Strecke b zwischen Standpunkten (2.te Grundaufgabe)

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Prinzip Polygonzugberechnung

1. Richtungswinkel tA‘,A und tE,E‘ aus Koordinaten (2.te Grundaufgabe)

2. Richtungswinkel tA,A‘ = tA‘,A + 200 gon (-400 gon, falls > 400 gon)

3. Richtungswinkel tA,1 = tA,A‘ + ßA

tA,1 = tA‘,A + 200 gon + ßA (-400 gon, falls > 400 gon)

4. Koordinaten von Punkt 1 durch polares Anhängen (1.te Grundaufgabe)xA,1 = sA,1 · cos tA,1 yA,1 = sA,1 · sin tA,1

x1 = xA + xA,1 y1 = yA + yA,1

5. Folgende Punkte 2, 3, ..., n (und E) entsprechend Schritt 3 und 4

6. Winkelabschluss tE,E‘ (berechnet) = tE,E‘ (aus Koordinaten)?

Koordinatenabschluss xE (berechnet) = xE?, yE (berechnet) = yE?

+ vß

+ vxi + vyi

Winkelfehler verteilen

Koordinatenfehler verteilen

s2,Es1,2sA,1

ßA

ß1 ß2

ßE

A‘

1 2E

E‘A

tA‘,A

|| +x

tA,A‘

tE,E‘

tA,1

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Beispiel Polygonzugberechnung

A

E

E‘

A‘

1

2s2,E

s1,2

s A,1

ßA

ß1

ß2

ßE

|| +x

tA‘,A

Gegeben:xA‘ = 57224,12 m yA‘ = 14214,72 m

xA = 56428,31 m yA = 14296,48 m

xE = 55967,21 m yE = 14420,70 m

xE‘ = 55824,72 m yE‘ = 14581,21 mGemessen:ßA = 220,713 gon sA,1 = 177,06 m

ß1 = 180,308 gon s1,2 = 164,65 m

ß2 = 149,730 gon s2,E = 194,49 m

ßE = 201,961 gon

Gesucht:Koordinaten der Neupunkte 1 und 2

|| +x

tE,E

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Polygonpunkte Seite: ...............

Datum: Rechner: Datum: Prüfer: System:

Punkt

x; yt; sß

entn.

Richtungswinkelt

Brechungswinkelß

Streckes

2ssin(t+50gon)

x + y

x = s cos t

Hochwertx

y = s sin t

Rechtswerty

Punkt

1 2 3 4 5 6 7 8

Beispiel Polygonzugberechnung

A‘

A

1

2

E

E‘

57 224,12 14 214,72

56 428,31 14 296,48

55 967,21 14 420,70

55 824,72 14 581,21

A‘

A

1

2

E

E‘

220,713

180,308

149,730

201,961

177,06

164,65

194,49

- 795,81 + 81,76t A‘,A 193,482

- 142,49 + 160,51tE,E‘ 146,218

t E,E‘ Ist = t A‘,A + ßi + n · 200 gon

= 146,194fß = tE,E‘ Ist - tE,E‘ Soll

= -0,024

+6

+6

+6

+6

214,201

194,515

144,251

- 172,67 - 39,17

- 164,04 + 14,17

- 124,56 + 149,37

fx = x - (xE - xA) fy = y - (yE - yA)

= -0,17 = +0,15

s =536,20

+6 -5

+5 -5

+6 -5

56 255,70 14 257,26

56 091,71 14 271,38

1. Punktbezeichnungen eintragen2. Koordinaten x, y der An- und Abschlusspunkte eintragen3. Gemessene Winkel ß und Strecken s eintragen6. Winkelabschlußfehler fß = tE,E‘ Ist - tE,E‘ Soll berechnen7. Winkelabschlussfehler gleichmäßig verteilen8. Richtungswinkel t berechnen9. Koordinatenunterschiede x = s · cos t, y = s ·sin t berechnen10. Koordinatenabschlussfehler fx = xIst - xSoll , fy = yIst - ySoll berechnen11. Koordinatenabschlussfehler streckenproportional verteilen12. Koordinaten x, y berechnen4. Anschlussrichtung tA‘A = arctan y/x berechnen5 . Abschlussrichtung tE,E‘ = arctan y/x berechnen (2. Grundaufgabe)

Winkel- u. Koordinatenabschlussfehler auf Zuverlässigkeit prüfen!

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Flächenberechnung

y1

y4

y2

y5

y3

1

2

3

4

5

x1

x4

x2

x3

x5

x

y

Flächenberechnung aus Trapezen:

2 · F1 = (x1 – x2) · (y1 + y2)

+ 2 · F2 = (x2 – x3) · (y2 + y3)

+ 2 · F3 = (x3 – x4) · (y3 + y4)

+ 2 · F4 = (x4 – x5) · (y4 + y5) negativ

+ 2 · F5 = (x5 – x1) · (y5 + y1) negativ

)()(2 11

1

ii

n

iii yyxxF

Gaußsche Trapezformel:

mit Punkt n + 1 = Punkt 1

)(2 111

ii

n

ii yyxF

Gaußsche Dreiecksformeln:

)(2 111

ii

n

ii xxyF

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yi+1 - yi-1 xi (yi+1 - yi-1)

[m] [m²]

28,79 1.091,72-33,17 -400,69-33,38 -172,57

0,08 1,4037,68 1.224,60

2 F = 1.744,45

F = 872,2 m²

Pkt.-Nr. xi yi

[m] [m]

5 32,50 -14,751 37,92 18,342 12,08 14,043 5,17 -14,834 17,54 -19,345 32,50 -14,751 37,92 18,34

Beispiel Flächenberechnung aus Koordinaten

14,75

18,3437,92

32,50

17,54

14,04

5,1714,83

19,34

12,08

+x

+y

1

2

3

5

4

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Standardabweichung

MesswertNr. xi [m]

1 15,1232 15,1283 15,1254 15,1205 15,1296 15,1247 15,1268 15,121

xi = 120,996

Eine Strecke wurde 8 mal unabhängig elektro-optisch gemessen:

Quadratsummevx² [mm²]

2,2512,25

0,2520,2520,25

0,252,25

12,25

vx² = 70,00

Anzahl der Messwerte: n = 8

Arithmetisches Mittel:

m15,1245 nx

x i

Empirische Standardabweichung der Einzelmessung:

xx

vs

n

2

3,2 mm1

Empirische Standardabweichung des Gesamtmittels:

xx

ss

n1,1mm

Verbesserungenvx = xi - x [mm]

-1,53,50,5

-4,54,5

-0,51,5

-3,5

vx = 0,0