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Periodica Mathematica Hungarica Vol. 2 (1--4), (1972), pp. 33--39.
BEMERKUNGEN ZUM GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN
voI1
K. TANDOI~s (Szeged)
Dem Andenlcen von Pro]. A. R~NYI gewidmet
1. Von D. MENCHOFF [1] und H. RADE~CHER [2] s tammt im wesent- lichen der folgende Satz.
SATZ A. Es sei { }n} eine Folge yon orthogonaleu zufalligen GrS[3en (d. h. es bestehen f~r die M ittelwerte die Beziehungen M ( },~}rn) -~ O, n # m, mit M ( ~ ) ---- 1 (n = 1, 2 . . . . )). GiltfRr die reelle Zahlenfolge {an}
(1) Z a~ log 2 n ~ ~ ,
dann konvergiert die Reihe
X an ~ mit Wahrscheinlichkeit 1.
(2)
dann ist
(Im folgenden bezeichnet log a den Logarithmus mit der Basis 2.)
Aus dieser Behauptung folgt leicht das folgende Gesetz der grol]en Zahlen (s. z. B. P. R~v~sz [3], S. 87).
SATz B. Es sei {~n} eine Folge yon orthogonalen zufdlligen Gr6[3en. Gilt
M(~D, 2 n~ log n < ~ ,
~ 1 + . - . + ~ § n
mit Wahrscheinlichkeit 1.
Es wurde gezeigt, dab die Bedingung (1) im Satz A in verschiedenem Sinne unverbesserbar ist. (Siehe z . B . D . ME~C~O~'F [1], K. TANDORI [4].)
A. SI~o~ovlTs hut die Frage aufgeworfen, ob die Bedingung (2) im Satz B auch genau ist. P. R~v~sz ([3], S. 88) erwi~hnt, dab auf diese Frage eine bejahende Antwort angegeben werden kann, diskutiert aber das Problem nicht. Im Folgenden besch~ftigen wir uns mit dieser Frage ausfiihrlicher.
3 Periodica l~Iat. 2 ( 1 - 4 )
34 T_4xN'D01=tI: BEMEI~KUN@EN ZU2~I GESETZ DER GROSSEN ZAI~LEN
2. Erstens wird die folgende Behauptung bewiesen.
Sa~z 1. Es sei {M~} eine Folge yon positiven Zahlen mit
(3) ~% > 1-~'+~ (~ = ~, 2 , . . . ) , n n + l
(4) - ~ log 2 n = oo.
Dann cfibt es eine Folge {~} yon orthogonalen zuf~lligen Gr6[3en derart, daft M(~,~) = M~ (n = 1, 2 . . . . ) ist, und
l iml ~l + ' ' ' 4 - ~ n =
mit Wahrscheinlichkeit 1 besteht.
Also ist die Bedingung (2) im Falle (3) nicht nur hinreichend, sondern auch notwendig, dami~ die Behauptung des Satzes B fiir jede entsprechende Folge {~} giiltig ist.
B~wEIs des Satzes 1. Wit werden eine Fotge {/n} yon positiven Zahlen definieren, flit die die folgenden Bedingungen erftillt werden:
(5) l~ ~ l~+~ (n = 1, 2 . . . . ) ,
( 6 ) n = o(ln),
(7) Mn __ > Mn+x
I n - 1,~+1 (n = 1, 2 . . . . ),
(s) .~.~'~f221og2 n = 0% t,~
(9) . ~ M-~Zn log 3/2 n < ~ .
Ohne Beschrgnkung der Allgemeinhoi~ kOnnen wir
(lo) M~ ~ 2
annehmen. Wir setzen
= log ( ~ , M~ log 2k ( n . - 2, 3 , . . . ) , 11 = 1. [\k=~ k 2 ) ~--~ k 2
TA-NDOI~I: B E ~ E R K U N C x E N Z U ~ G-ESETZ DEB~ G-I1OSSEN ZA]~LEN 3 5
(5) ist offensichtlich erfiillt. Weiterhin ergeben sich (6) und (7) aus (3) und (4). Auf Grund yon (3), erhalten wir durch einfache Rechnung
M 2 ~ =i~e log s n = r t = 3 I"1
~* M~2n log 2 n 1 ~" {-n-k~s Me log2/c} log ( ~ l~ /
k = 2 - ~ -
(11)
:r ~Wl~ 1 (" dx > O ( 1 ) . ~ - ~ 7 1 ~ t > 0 ( 1 '
tk=s-~- log2 k log / ~ ~'~k logSk b,=2 k 2 M~
Weiterhin gilt
loga/2n = ~ n~- log s n n=s I;~ n=2 ~=k log2 k~ log ~ M~ ]~2 ] k=2 - ~ log2 ]~ 17gl/2 /b
(1~,) < o ( 1 ) :,~ i~" log~ n~,r 2 Tb 2 .
1 "t5 " M 2
k=2 ~ ..../c 2k logZ k~ log3JZ (k=.~2 M ~ ] ~ - log: k}
= O(1) ; dx < - - - o o
x loga/2 x M 1
wegen der auf Grund yon (3) gtiltigen Abschgtzung
{~ J ) : loe =< Oil/ o (n = 2, 3 , . . . ) .
Aus (11) und (12) erhalten wir (8) und (9). Die Folge {/~} befriedigt also alle erforderten Eigensehaften.
Auf Grund eines bekannten Resultates (siehe K. TA~DOm [4], Satz 1) gibt es wegen (7) und (8) eine Folge {~n} yon orthogonMen zufglligen GrSgen mit M(~) = 1 (n = 1, 2 . . . . ) derart, dab die Reihe
mit Wahrscheinlichkeit 1 divergier~. Es sei Cn ---- M ~ (n = 1, 2 . . . . ). Die Folge {~,~} ist orthogonM und M(~) = M~ (n = 1, 2 . . . . ). Wir setzen
/7
~n = ~Y Ck (n = 1, 2 , . . . ) . k = l
3*
36 T A ~ D O R I : B ]~ IERKU~GE~- ZUM GESETZ D~t~ GROSSEh ~ ZAKLEbZ
Durch Abelscher Umformung erhalten wir
also ist
(13)
k = l lk 1 l n
1 ~ k ~ / / k 1 } - - O ' n ~ - - O' k .
In k = l ~ k k = l l~l Erstens betrachten wir die Abschgtzung
(141 2 1 k = l
1 M ( l a k ] ) ~ 2 1 , 1 - ) V ~ = 1 , = ~ lk+ ~)
Ffir jedes n gilt-aber
(15/ ~-" 1 k = l ,
: . . . .
Aus (5) und (9) ergibt sich dutch Anwendung des wohlbekannten Kronecker- schen Lemmas
~ ~M~ § § M~_~ < VM~ § " " + M ~ - ~ O �9 . �9 = 1 2 _ _ 1
n ~ C O ) .
Daraus und aus (15) folgt
(16)
. ~ 1 1 V M ~ + " .. § = k = l
= MI__~+ ~=~'~1 ( V ~ + . . . + ~ - VM~ + . . . + M~_I)
Durch Anwendung des Lagrangeschen Mittelwertsatzes erhalten wir auf Grund von (3)
1 -;-(VM~ + . . . + M~ -- V M~ + . . . + M~_I) <~ (17) ~=2 ~
= M~ 1 < 0(1) . ~ - . - ~=~ l~ V M ~ + . §
T_~NDOI~I: BEMEl~KUNGEN ZUM GES]~TZ DEI~ GROSSEN ZAIILEN 37
(20)
besteht, aber
Da wegen (7) ftir jedes n
M 2 + (12 + + l~) M~ > (l~ + + . , n- �9 . . _ _ ~ . . . l ~ n
12. I. gi l l folgt
oo M~ 1 ~= 1 ~ 1
k:2 4 ] / M i § .q -M~ ~ = - . ~ ~ Mk --<
k~=~M k 1 = M k 1 < < 0 ( 1 ) = 17 ~--k--O(1)'~-~kl~
<O(1 ) ~ M~loga/2k ~ 1 = l~-k = k l o g a l 2 k < o o
auf Grund yon (9) und yon der aus der Definition yon lk und (7) folgenden Absehgtzung
l~k/~l _>_ 0(1) Ik (~ = 2; a . . . . ) .
Aus (14), (16), (17) und (18) erhalten wir
1 1 M ( i ~ I ) < oo" k=l 4-+1
Durch Anwendung des B. Levischen SaSzes ergibt sich mithin, dab die Reihe
O" k k = l /k 1
mit Wahrseheinliehkeit 1 konvergiert. Aus (13) folgt, dab die l~'olge [/n a~}
mit Wahrseheinliehkeit 1 divergiert, woraus wir auf Grund yon (6) die Behaup- ~ung erhalten.
3. Aus Satz 1 folgt
S~TZ 2. Es sei {w(n)} eine Folge von positiven Zahlen mit
(19) w(n) = o(log n) .
Dann gibt es eine Folge {In} yon orthogonalen zuf~lligen GrSfien derart, daft
~t 2
,iml x+ rl--~ r162 Tb
mit Wahrscheinlichkeit 1 erf~llt ist.
~8 TA~TDOP.I: BE~[E/~KUIqGEN ZU~I OESETZ DER GI~0SSEN ZAIILEN
BEWEIS des Satzes 2. Auf Grund yon (19) kann man eine Indexfolge (1 = ) n o < , . . ~ nk ~ �9 . . mi t folgenden Eigensehaf ten angeben:
(21) w(n) ~ 1 (n ~ nk), nk+ 2 - - nk+ 1 ~ nk+ I - - nk, (k = 1, 2 . . . . ). logn ~ k
Dann setzen wir
1 1 a ~ - - - - (n k ~ n ~ n k + 1; /~ :=1 ,2 . . . . ), a 1 . . . . . a ~ = l .
log n ]/'nk+ 1 - - n k
Weiterhin sei M,~ = na~, (n = 1, 2 . . . . ) .
Auf Grund yon (21) ist es ofiensichtlich, dab die folgenden Bedingungen erfiillt werden:
(22) M,~ ~ M,~+~ (n = 1, 2 . . . . ), n n q - 1
M~
2
(24) .~ M~ w2(n) < ~o. ~ ' ~ 7~2
Wegen (22) und (23) kann man den Satz 1 anwenden, und so ergibt sich eine Folge { G} von zuf/illigen ar6Ben mit M ( ~ ) = M~ (n = 1, 2 . . . . ) derart , dal~ die Behaup tung des Satzes 2 erfiillt wird. Aus (24) folgt auch (20).
4. Wir m0ehten noch eine Bemerkung erw/thnen. In einer vorherigen Arbeit (K. TA~DOaI [5]) habe ich im wesentlichen die folgende Behaup tung bewiesen:
SATZ C. E s sei {~n} eine Folge von orthogonalen zuf i i l l igen Gr6fien. Gilt
1 _Y M(~D log+ M(~D l o g n < ,
d a n n konvergiert die Re ihe X G
rail Wahrsche in l i chke i t 1.
Hier ist die Funk t ion log + x folgenderweise definiert:
{11 g x ' x ~ 2 , log+ x = sonst.
Aus der Satz C folgt mi t bekunnter Methode leicht
TANDORI: BEME~KUNG]~I~ ZUhl GESETZ DER GROSSEI~ ZAJELE~ 3~
(25)
dann besteht
S•TZ 3. Es sei {~n} eine Folge von orthogonalen zufi~lligen GrS[3en. Gilt
n ~ log+ ~ / ( ~ ) �9 log n ~ ~ ,
mit Wahrscheinlich]~eit 1.
Es ist leicht einzusehen, dab der Satz 3 sch~rfer ist als Satz B. Im Falle
M2($n) ~ M2(~n+l) (n ---- 1, 2, . .) sind die Bedingungen (2) und (25) gleich- n 2 - - ( n § 1) 2
wertig.
LITERATURVERZE ICI-INIS
[I] D. MEIqCIIOFF, Sur les s4ries de fonetions orthogonales (Premiere partie), Fund Math. 4 (1923), 82--105.
[2] ~I. ]=~ADEMACHEI~, Einige S~tze fiber Reihen von allgemeinen Orthogonalfunktionen, Math. Ann. 87 (1922), 112--138.
[3] P . !R]~v]~sz, The laws o] large numbers, Budapest, 1967. [4] K. TANDOI~I, Uber die orthogonalen Funk~ionen I, Acta Sei. Math, (Szeged) 18
(1957), 57--130. [ 5 ] - - , t~emerkung zur I~ionvergenz der Orthogonalreihen, Acta Sci. Math. (Szeged) 26
(1965), 249--251.
(Eingegangen am 29. September 1970.)
~IOzsEF ATTILA TUDOM~NYEGY]~TEI~I BOLYAI INT]~ZETE SZEGED, ARADI Vt~RTANI~K TERE 1. HUNGAI~Y
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