View
248
Download
1
Category
Preview:
DESCRIPTION
Ajuste de Curvas
Citation preview
7/17/2019 Clculo Numrico - Unidade 6 - Ajuste de Curvas
1/34
D
SOF
T
AmintasAmintas
engenhariaengenharia
7/17/2019 Clculo Numrico - Unidade 6 - Ajuste de Curvas
2/34
D
SOF
TAjuste de Curvas
Unidade 6
7/17/2019 Clculo Numrico - Unidade 6 - Ajuste de Curvas
3/34
D
SOF
T
Ajuste de Curvas
Ementa:6.1 Introduo
6.2 Ajuste Linear Simples
6.3 Ajuste Linear Mltiplo6.4 Ajuste Polinomial
6. !rans"orma#es de Modelos $o
Lineares em Lineares
7/17/2019 Clculo Numrico - Unidade 6 - Ajuste de Curvas
4/34
D
SOF
T
Ajuste de Curvas
6.1 IntroduoA %ariao das leituras de uma %ari&%el ou
"atores e'ternos aos e'perimentos podem
muitas %e(es le%ar a interpolao a )erar umpolin*mio de )rau ele%ado para modelar
sistemas +ue na %erdade so lineares ou de
)rau ,em mais ,ai'o.
$estes -asos de%emos usar o ajuste de -ur%as
para determinar o melor polin*mio de )rau
mais ,ai'o +ue se en-ai'e nos dados
apresentados.
7/17/2019 Clculo Numrico - Unidade 6 - Ajuste de Curvas
5/34
D
SOF
T
Ajuste de Curvas
Portanto/ a di"erena entre interpolao eajuste de -ur%as 0
$a interpolao/ o polin*mio )erado ir&
in%aria%elmente passar por todos os pontosda ta,ela utili(ada no -&l-ulo/ -om um
polin*mio de )rau n15
$o ajuste de -ur%as/ o polin*mio )erado
passa pelo melor -amino entre os pontos
da ta,ela/ e no so,re eles. ajuste de
-ur%as normalmente utili(a polin*mios de
)rau menor.
7/17/2019 Clculo Numrico - Unidade 6 - Ajuste de Curvas
6/34
D
SOF
T
Ajuste de Curvas
Se por a-aso o polin*mio )erado no ajuste de-ur%as "or de )rau n1/ ele ser& id7nti-o ao
polin*mio )erado na interpolao.
8omo as %ari&%eis em um ajuste de -ur%asso pro%enientes de e'perimentos/ de%emos
entender melor os tipos de relao +ue
temos entre as %ari&%eis.
7/17/2019 Clculo Numrico - Unidade 6 - Ajuste de Curvas
7/34
D
SOF
T
Ajuste de Curvas
Relaes Determinsticas$este tipo de relao/ as %ari&%eis so
rela-ionadas por interm0dio de uma "9rmula
matem&ti-a pre-isa/ e +ual+uer %ariao naso,ser%a#es 0 atri,u:da a erros
e'perimentais.
;'emplo Lei dos juros -ompostos.
meses
7/17/2019 Clculo Numrico - Unidade 6 - Ajuste de Curvas
8/34
D
SOF
T
Ajuste de Curvas
Relaes Semideterminsticas:;m outras situa#es/ e'iste uma e'presso
matem&ti-a +ue rela-iona as %ari&%eis/ mas
nem todos os seus par=metros so-one-idos/ sendo ne-ess&rio estim&los.
;'emplo A -on-entrao de uma su,st=n-ia
depois de um tempo t depende de uma
-onstante de %elo-idade da reao espe-:"i-a
>/ o,tida e'perimentalmente
t>e-- .0.
=
7/17/2019 Clculo Numrico - Unidade 6 - Ajuste de Curvas
9/34
D
SOF
T
Ajuste de Curvas
Relaes empricas:;m muitas outras situa#es/ a relao entre
as %ari&%eis 0 des-one-ida. Pro-urase
ento e'pressar uma poss:%el relao entreelas atra%0s da determinao de uma
e+uao +ue melor se ajuste aos pontos
e'perimentais.
Por e'emplo A relao entre a produti%idade
de uma "a(enda e a +uantidade de adu,o
utili(ada na la%oura. ;'istem di%ersos "atores
+ue podem -ontri,uir para a produti%idade/
7/17/2019 Clculo Numrico - Unidade 6 - Ajuste de Curvas
10/34
D
SOF
T
Ajuste de Curvas
6.2 Auste linear simples tipo de relao mais simples entre duas
%ari&%eis 0 a relao linear. $esta relao/
temos uma %ari&%el independente ?'@rela-ionada a uma %ari&%el resposta ou
dependente ?@ por meio de um modelo
linear/ por e'emplo
B,CD,1.'
7/17/2019 Clculo Numrico - Unidade 6 - Ajuste de Curvas
11/34
D
SOF
T
Ajuste de Curvas
Ee%emos ento estimar os par=metros ,Ce ,1para en-ontrarmos a relao entre ' e .
Fma etapa importante 0 %isuali(armos o
)r&"i-os dos pontos em um dia)rama dedisperso/ de "orma a determinarmos se &
al)uma relao %is:%el entre as %ari&%eis.
;'emplo Eado o -onjunto de pontos a,ai'o/tra-e seu dia)rama de disperso.
x 0,3 2,7 4,5 5,9 7,8
y 1,8 1,9 3,1 3,9 3,3
7/17/2019 Clculo Numrico - Unidade 6 - Ajuste de Curvas
12/34
D
SOF
T
Ajuste de Curvas
Gesoluo Mar-amos em um )r&"i-o oslo-ais dos pontos ' e
Aparentemente & relao apro'imadamente
linear entre as %ari&%eis.
7/17/2019 Clculo Numrico - Unidade 6 - Ajuste de Curvas
13/34
D
SOF
T
Ajuste de Curvas
Para estimarmos os par=metros ,C e ,1/de%emos re-orrer ao m0todo dos +uadrados
m:nimos.
;sta t0-ni-a estima os par=metros de "orma+ue a dist=n-ia total entre a e+uao ajustada
e os pontos do e'perimento seja a menor
poss:%el.
7/17/2019 Clculo Numrico - Unidade 6 - Ajuste de Curvas
14/34
D
SOF
T
Ajuste de Curvas
As e+ua#es para determinao dospar=metros ,Ce ,1so
( ) ( )
n
',,
'n'
'n',
',,
ii
ii
iiii
=
=
+=
.
.
).(..
.
1
0
221
10
7/17/2019 Clculo Numrico - Unidade 6 - Ajuste de Curvas
15/34
D
SOF
T
Ajuste de Curvas
;'emplo Eados os pontos do e'emploanterior/ -al-ule a melor reta de ajuste
i x y x2 x.y y2
1 0,3 1,8 0,09 0,54 3,24
2 2,7 1,9 7,29 5,13 3,61
3 4,5 3,1 20,25 13,95 9,61
4 5,9 3,9 34,81 23,01 15,21
5 7,8 3,3 60,84 25,74 10,89
21,2 14,0 123,28 68,37 42,56
7/17/2019 Clculo Numrico - Unidade 6 - Ajuste de Curvas
16/34
D
SOF
T
Ajuste de Curvas
8al-ulando os par=metros
( ) ( )
6560,15
2,21.2698,00,14
.
2698,028,123.5)2,21(
37,68.50,14.2,21
.
).(..
0
10
21
221
=
=
=
==
=
,
n',,
,
'n'
'n',
ii
ii
iiii
7/17/2019 Clculo Numrico - Unidade 6 - Ajuste de Curvas
17/34
D
SOF
T
Ajuste de Curvas
;sta reta seria representada no )r&"i-o dedisperso -omo
B1/66CDC/26H.'
7/17/2019 Clculo Numrico - Unidade 6 - Ajuste de Curvas
18/34
D
SOF
T
Ajuste de Curvas
A +ualidade do ajuste linear 0 medida atra%0sdo -oe"i-iente de determinao e da %ari=n-ia
residual/ -al-ulados -omo se)ue -i0 o %alor
de -al-ulado pela e+uao de re)resso
( )
( )( )
2
.
11
2
2
22
2
2
=
=
n
n
r
-ii
ii
-ii
7/17/2019 Clculo Numrico - Unidade 6 - Ajuste de Curvas
19/34
D
SOF
T
Ajuste de Curvas
;'emplo Eetermine a +ualidade do modelopara o e'emplo anterior.
i x y yc y-yc (y-yc)2
1 0,3 1,8 1,7369 0,0631 0,0040
2 2,7 1,9 2,3845 -0,4845 0,2347
3 4,5 3,1 2,8701 0,2299 0,0528
4 5,9 3,9 3,2478 0,6522 0,4254
5 7,8 3,3 3,7604 -0,4604 0,2120
21,2 14,0 0,9289
7/17/2019 Clculo Numrico - Unidade 6 - Ajuste de Curvas
20/34
D
SOF
T
Ajuste de Curvas
Gesol%endo as e+ua#es( )
( )
( )
( )
3096,0
25
9289,0
2
7235,0
0,14.5
156,42
9289,01
.1
1
2
22
2
2
22
2
2
=
=
=
=
=
=
n
AA
r
A
n
A
AAr
-ii
ii
-ii
7/17/2019 Clculo Numrico - Unidade 6 - Ajuste de Curvas
21/34
D
SOF
T
Ajuste de Curvas
6.! Auste "inear #$ltiploJuando temos mais de uma %ari&%el
independente ?'@ para uma ni-a %ari&%el
dependente ?@/ de%emos utili(ar a re)ressolinear mltipla para rela-ionarmos todas
elas.
Ajuste linear mltiplo parte do prin-:pio de
+ue 0 poss:%el en-ontrar um polin*mio tal
+ue
B,CD,1.'1D,2.'2D...D,p.'p
7/17/2019 Clculo Numrico - Unidade 6 - Ajuste de Curvas
22/34
D
SOF
T
Ajuste de Curvas
$osso pro,lema a)ora 0 en-ontrar osdi%ersos par=metros ,C/ ,1/ ,2... ,p.
Para en-ontrarmos estes par=metros/
utili(amos as e+ua#es normais. ;stase+ua#es/ de "orma resumida/ nos entre)am
os par=metros pro-urados ao resol%ermos o
sistema de e+ua#es mostrado a se)uir.
7/17/2019 Clculo Numrico - Unidade 6 - Ajuste de Curvas
23/34
D
SOF
T
Ajuste de Curvas
;'emplo Eados os pontos a se)uir/
determine o ajuste linear mltiplo.
=
iip
ii
ii
i
pipipipiipiip
iipiiiii
iipiiiii
ipii
A'
A'
A'
A
,
,
,
,
'''''''
'''''''
'''''''
'''n
.
.
.
.
...
...
...
2
1
2
1
0
21
222212
112111
21
7/17/2019 Clculo Numrico - Unidade 6 - Ajuste de Curvas
24/34
D
SOF
T
Ajuste de Curvas
.
i xi1 xi2 yi xi12 xi2
2 xi1.xi2 xi1.yi xi2.yi
01 60,3 108 234 3636,09 11664 6512,4 14110,2 25272
02 61,1 109 259 3733,21 11881 6659,9 15824,9 28231
03 60,2 110 258 3624,04 12100 6622 15531,6 28380
04 61,2 112 285 3745,44 12544 6854,4 17442 31920
05 63,2 112 329 3994,24 12544 7078,4 20792,8 36848
06 63,6 113 347 4044,96 12769 7186,8 22069,2 39211
07 65,0 115 365 4225 13225 7475 23725 41975
08 63,8 116 363 4070,44 13456 7400,8 23159,4 42108
09 66,0 117 396 4356 13689 7722 26136 46332
10 67,9 119 419 4610,41 14161 8080,1 28450,1 49861
11 68,2 120 443 4651,24 14400 8184 30212,6 53160
12 66,5 122 445 4422,25 14884 8113 29592,5 54290
13 68,7 123 483 4719,69 15129 8450,1 33182,1 59409
14 69,6 125 503 4844,16 15625 8700 35008,8 62875
15 69,3 128 518 4802,49 16384 8870,4 35897,4 6630416 70,6 130 555 4984,36 16900 9178 39183 72150
7/17/2019 Clculo Numrico - Unidade 6 - Ajuste de Curvas
25/34
D
SOF
T
Ajuste de Curvas
s somat9rios das -olunas da ta,ela anteriorso
8olo-ando os %alores na matri(
Podemos resol%er o sistema de e+ua#es
a-ima atra%0s de +ual+uer m0todo Kauss.
xi1 xi2 yi xi12 xi2
2 xi1.xi2 xi1.yi xi2.yi
1045,2 1879 6202 68464,02 221355 123087,3 410317,6 738326
=
738326
6,410317
6202
.
2213553,1230871879
3,12308702,684642,1045
18792,104516
2
1
0
,,
,
7/17/2019 Clculo Numrico - Unidade 6 - Ajuste de Curvas
26/34
D
SOF
T
Ajuste de Curvas
Gesultado do sistema de e+ua#es,CB14C/4
,1B13/4
,2B/C
Assim/ a e+uao de ajuste 0
B14C/4 D 13/4.'1D /C.'2
7/17/2019 Clculo Numrico - Unidade 6 - Ajuste de Curvas
27/34
D
SOF
T
Ajuste de Curvas
6.% Auste &olinomialFm -aso parti-ular do ajuste linear mltiplo
0 a+uele em +ue +ueremos ajustar um
polin*mio de )rau ?)@. $este -aso/ teremossomente uma %ari&%el independente ?'@
rela-ionada a uma %ari&%el dependente ?@
atra%0s de um polin*mio do tipo
B,CD,1.'D,2.'2D...D,).'
)
7/17/2019 Clculo Numrico - Unidade 6 - Ajuste de Curvas
28/34
D
SOF
T
Ajuste de Curvas
Para este -aso parti-ular/ o sistema dee+ua#es anterior se simpli"i-a para
=
++
+
+
i
)
i
ii
i
)))))
)
)
i
)
ii
A'
A'A'
A
,
,,
,
''''
''''''''
'''n
i
i
iiii
iiii
iii
i
.
..
. 2
2
1
0
.221
2432
132
2
7/17/2019 Clculo Numrico - Unidade 6 - Ajuste de Curvas
29/34
D
SOF
T
Ajuste de Curvas
;'emplo Eada a ta,ela a,ai'o/ en-ontre omelor polin*mio de )rau 3 +ue se ajusta aos
dadosi xi yi xi
2 xi3 xi
xi! xi
6 xiyi xi2yi xi
3yi
01 0,01 0,1000 0,0001 1E-06 1E-08 1E-10 1E-12 0,001 1E-05 1E-07
02 0,10 0,3162 0,01 0,001 0,0001 1E-05 1E-06 0,0316 0,0032 0,0003
03 0,20 0,4472 0,04 0,008 0,0016 0,0003 6,4E-05 0,0894 0,0179 0,0036
04 0,30 0,5477 0,09 0,027 0,0081 0,0024 0,00073 0,1643 0,0493 0,0148
05 0,40 0,6325 0,16 0,064 0,0256 0,0102 0,0041 0,253 0,1012 0,0405
06 0,50 0,7071 0,25 0,125 0,0625 0,0313 0,01563 0,3536 0,1768 0,0884
07 0,60 0,7746 0,36 0,216 0,1296 0,0778 0,04666 0,4648 0,2789 0,1673
08 0,70 0,8367 0,49 0,343 0,2401 0,1681 0,11765 0,5857 0,41 0,287
09 0,80 0,8944 0,64 0,512 0,4096 0,3277 0,26214 0,7155 0,5724 0,4579
10 0,90 0,94870,81 0,729 0,6561 0,5905 0,53144 0,8538 0,7684 0,6916
11 1,00 1,0000 1 1 1 1 1 1 1 1
7/17/2019 Clculo Numrico - Unidade 6 - Ajuste de Curvas
30/34
D
SOF
T
Ajuste de Curvas
A ta,ela -om os somat9rios 0
8olo-ando os %alores na matri(
Gesol%endo este sistema de e+ua#es atra%0s
de +ual+uer m0todo j& %isto Kauss
xi yi xi2 xi
3 xi xi
! xi6 xiyi xi
2yi xi3yi
5,51 7,2051 3,8501 3,025 2,5333 2,2083 1,97841 4,5127 3,378 2,7514
=
7514,2378,3
5127,4
2051,7
.
97841,12083,25333,2025,32083,25333,2025,38501,3
5333,2025,38501,351,5
025,38501,351,511
3
2
1
0
,,
,
,
7/17/2019 Clculo Numrico - Unidade 6 - Ajuste de Curvas
31/34
D
SOF
T
Ajuste de Curvas
Soluo do sistema,CBC/1C11
,1B2/C6
,2B2/12
,3B1/C16
; o polin*mio de ajuste ser&
BC/1C11D2/C6.'2/12.'2D1/C16.'3
7/17/2019 Clculo Numrico - Unidade 6 - Ajuste de Curvas
32/34
D
SOF
T
Ajuste de Curvas
6.' (rans)ormao de modelos nolineares em lineares
;m al)uns -asos/ deparamos -om modelos
essen-ialmente no lineares/ em +uepre-isamos determinar seus par=metros.
$estes -asos/ apli-amos al)umas re)ras
simples para trans"ormar este modelo no
linear em linear para poder ser tra,alado.
7/17/2019 Clculo Numrico - Unidade 6 - Ajuste de Curvas
33/34
D
SOF
T
Ajuste de Curvas
;'emplos de trans"orma#esBa.', lnBlnaD,.ln'
Ba.,' lnBlnaDln,.'
Ba.e,.'
lnBlnaD,.'BeaD,.'1D-.'2 lnBaD,.'1D-.'2
21..
21
21
2121
..11
ln1
1
..1..
1
)ln(.)ln(.)ln()ln(..
21
'-',ae
'-',a'-',a
'-',a''a
'-',a
-,
++=
+=
++=++
=
++==
++
7/17/2019 Clculo Numrico - Unidade 6 - Ajuste de Curvas
34/34
D
SOF
T
www.matematiques.comwww.matematiques.com
.br.br
engenhariaengenharia
Recommended