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Chapitre 4. Base et génératrice

§1. Système lié ou libre

Soient ~v1, · · · ,~vm un système de vecteurs. On se pose la question :

Est-ce que le vecteur ~0 est une combinaison linéaire des ~vi ?

La réponse est facile : 0~v1 + 0~v2 + · · · + 0~vm = ~0 !

Cette solution n’est pas très intéressante. On s’intéresse à dessolutions plus intéressantes, c’est-à-dire de coefficients non tousnuls. Ce genre de solutions peut exister ou ne pas exister selon lechoix des ~vi . Ceci conduit à la définition suivante :

Définition. On dit que le système des ~v1, · · · ,~vm est lié (oudépendant) s’il existe des coefficients ak non tous nuls tels que

a1~v1 + a2~v2 + · · ·+ am~vm = ~0.

Une telle relation est appelée une relation de dépendance linéaire.

Définition. On dit que le système des ~v1, · · · ,~vm est lié (oudépendant) s’il existe des coefficients ak non tous nuls tels que

a1~v1 + a2~v2 + · · ·+ am~vm = ~0.

Une telle relation est appelée une relation de dépendance linéaire.

Si Non, on dit que le système est libre.

Une autre formulation

Soient ~v1, · · · ,~vm un système de vecteurs. La question qu’on sepose ici est : Est-ce que l’un d’eux est une combinaison linéaire desautres ?

Théorème. Oui ssi le système est lié ; Non ssi le système est libre.

Preuve : Soit∑

k ak~vk = ~0, tel que l’un des coefficients, parexemple aj , est non nul, alors ~vj est une combinaison linéaire desautres !

Une autre formulation

Soient ~v1, · · · ,~vm un système de vecteurs. La question qu’on sepose ici est : Est-ce que l’un d’eux est une combinaison linéaire desautres ?

Théorème. Oui ssi le système est lié ; Non ssi le système est libre.

Preuve : Soit∑

k ak~vk = ~0, tel que l’un des coefficients, parexemple aj , est non nul, alors ~vj est une combinaison linéaire desautres ! Pourquoi ?Et réciproquement ?

Comment répondre : Est-ce que ~v1, · · · ,~vm sont liés ou libres ?

On pose A = (~v1, · · · ,~vk) :

Théorème. Le système des ~vi est

lié libre

échelonne

Hsi B a une zéro-colonne si B est sans zéro-colonne

Preuve. On pose et résout un système linéaire sans second membre

x1~v1 + x2~v2 + · · · + xm~vm = ~0, ou bien A~x = ~0.

L’ensemble des solutions est S = {H~u,B~u = ~0}. Si B n’a pas dezéro-colonne, la seule solution pour B~u = ~0 est le vecteur ~0. Dansle cas contraire, il y a d’autres solutions.

Comment répondre : Est-ce que ~v1, · · · ,~vm sont liés ou libres ?

On pose A = (~v1, · · · ,~vk) :

Théorème. Le système des ~vi est

lié libre

échelonne

Hsi B a une zéro-colonne si B est sans zéro-colonne

Preuve. On pose et résout un système linéaire sans second membre

x1~v1 + x2~v2 + · · · + xm~vm = ~0, ou bien A~x = ~0.

L’ensemble des solutions est S = {H~u,B~u = ~0}. Si B n’a pas dezéro-colonne, la seule solution pour B~u = ~0 est le vecteur ~0. Dansle cas contraire, il y a d’autres solutions.

Problème : Expliciter une relation de dépendance linéaire des ~vi sile système est lié

Réponse : Prendre pour ~x une colonne de H sous une zéro-colonnede B . (pourquoi ça marche ?)

§2. Famille génératrice de Rn

Une famille de vecteurs en dimension n est un système

générateur (ou une famille génératrice) de Rn si tout autre vecteur

de Rn s’exprime en combinaison linéaire des vecteurs de ce système.

Comment répondre :Est-ce que ~v1, · · · ,~vm forment une famille génératrice ?

On prend un vecteur quelconque

dans R

On pose un système linéaire

x1~v1 + x2~v2 + · · · + xm~vm =

(il faut traiter les bi comme des paramètres).On le résout pour voir s’il existe toujours une solution (indépendantdes valeurs des bi ).

On prend un vecteur quelconque

dans R

On pose un système linéaire

x1~v1 + x2~v2 + · · · + xm~vm =

(il faut traiter les bi comme des paramètres).On le résout pour voir s’il existe toujours une solution (indépendantdes valeurs des bi ). Oui = génératrice.

§3. Base de Rn

Une famille de vecteurs ~v1, · · · ,~vm est une base de Rn si la famille

est à la fois libre et génératrice.

Théorème : Dans ce cas tout vecteur ~b de Rn s’exprime en

a1~v1 + a2~v2 + · · · + am~vm = ~b. et l’expression est unique. Les ai

sont les coordonnées de ~b dans cette base.

§3. Base de Rn

Une famille de vecteurs ~v1, · · · ,~vm est une base de Rn si la famille

est à la fois libre et génératrice.

Théorème : Dans ce cas tout vecteur ~b de Rn s’exprime en

a1~v1 + a2~v2 + · · · + am~vm = ~b. et l’expression est unique. Les ai

sont les coordonnées de ~b dans cette base.

Preuve. On prend un vecteur quelconque ~b ∈ Rn. Puisque la famille

est une famille génératrice, ce ~b s’exprime en combinaison linéairedes ~vi .Unicité : Si jamais on a deux expressions

a1~v1 + a2~v2 + · · ·+ am~vm = ~b.

a′1~v1 + a′

2~v2 + · · ·+ a′m~vm = ~b.

on soustrait l’une à l’autre :(a1 − a′

1)~v1 + (a2 − a′

2)~v2 + · · ·+ (am − a′m)~vm = ~0.

Comme le système est libre, tous les coefficients sont nuls. Doncai = a′i pour tout i . Donc les deux expressions sont en effetidentiques. Fin de la preuve.

§4. Comptage

Théorème fondamental : Dans Rn :

1. Un système de n − 1 vecteurs ou moins n’est jamais générateur(il manque des pivots)

2. Un système de n + 1 vecteurs ou plus n’est jamais libre

3. Une base a exactement n vecteurs.

4. Tout système libre se complète (facilement) en une base.

5. De tout système générateur on peut constituer une base (avecou sans combinaison linéaires).

§4. Comptage

Ainsi, dans R2, deux vecteurs quelconques non co-linéaires

constituent une base. Exemples.

§4. Comptage

Ainsi, dans R2, deux vecteurs quelconques non co-linéaires

constituent une base. Exemples. Et dans R3 ?

§5. famille génératrice et base dans un sous espaces vectoriel

• Une droite D passant par 0 admet un vecteur directeur. Etn’importe quel vecteur ~v non-nul de la droite sert comme unvecteur directeur. On a D = 〈~v〉.

• Une droite D passant par 0 admet un vecteur directeur. Etn’importe quel vecteur ~v non-nul de la droite sert comme unvecteur directeur. On a D = 〈~v〉.• Un plan P passant par 0

• Une droite D passant par 0 admet un vecteur directeur. Etn’importe quel vecteur ~v non-nul de la droite sert comme unvecteur directeur. On a D = 〈~v〉.• Un plan P passant par 0 admet deux vecteurs directeurs.

• Une droite D passant par 0 admet un vecteur directeur. Etn’importe quel vecteur ~v non-nul de la droite sert comme unvecteur directeur. On a D = 〈~v〉.• Un plan P passant par 0 admet deux vecteurs directeurs. Etn’importe quel couple de vecteurs ~v1,~v2 du plan, tant qu’ils

• Une droite D passant par 0 admet un vecteur directeur. Etn’importe quel vecteur ~v non-nul de la droite sert comme unvecteur directeur. On a D = 〈~v〉.• Un plan P passant par 0 admet deux vecteurs directeurs. Etn’importe quel couple de vecteurs ~v1,~v2 du plan, tant qu’ils ne sontpas co-linéaires, autrement dit qu’ils sont libres, peuvent êtreutilisés comme vecteurs directeurs. On a P = 〈~v1,~v2〉.

• Une droite D passant par 0 admet un vecteur directeur. Etn’importe quel vecteur ~v non-nul de la droite sert comme unvecteur directeur. On a D = 〈~v〉.• Un plan P passant par 0 admet deux vecteurs directeurs. Etn’importe quel couple de vecteurs ~v1,~v2 du plan, tant qu’ils ne sontpas co-linéaires, autrement dit qu’ils sont libres, peuvent êtreutilisés comme vecteurs directeurs. On a P = 〈~v1,~v2〉.• Dans R

n, on a des objets ayant 1,2,3,4,5 ... vecteurs directeurs.Ces objets sont appelé des sous espaces vectoriels et ces vecteursdirecteurs sont appelés bases.

n, on a des objets ayant 1,2,3,4,5 ... vecteurs directeurs.Ces objets sont appelé des sous espaces vectoriels et ces vecteursdirecteurs sont appelés bases.Définition. Un sous espace vectoriel de R

n est un sous ensemble E

tel que pour tout ~v1,~v2 ∈ E on a ~v1 + ~v2 ∈ E et pour tout ~v ∈ E

et k ∈ R on a k~v ∈ E . Autrement dit toute combinaison linéairesde vecteurs de E reste dans E . Une base de E est une famille devecteurs ~v1, · · · ,~vk ∈ E telle que

n, on a des objets ayant 1,2,3,4,5 ... vecteurs directeurs.Ces objets sont appelé des sous espaces vectoriels et ces vecteursdirecteurs sont appelés bases.Définition. Un sous espace vectoriel de R

n est un sous ensemble E

tel que pour tout ~v1,~v2 ∈ E on a ~v1 + ~v2 ∈ E et pour tout ~v ∈ E

et k ∈ R on a k~v ∈ E . Autrement dit toute combinaison linéairesde vecteurs de E reste dans E . Une base de E est une famille devecteurs ~v1, · · · ,~vk ∈ E telle que elle soit à la fois libre etgénératrice. Et dimension(E ) = k .

Exemple et Comptage

Exemple. On peut bien sur prendre E = Rn ou E = {0}.

Question Est-ce qu’un cercle ou une demi-droite est un sousespace vectoriel ?

Théorème fondamental : Dans

une droite Dun plan Pun sev E, avec dim(E)=k

1. Un système de

01k − 1

vecteurs ou moins n’est jamais

générateur,

2. Un système de

23k + 1

vecteurs ou plus n’est jamais libre.

3. Une base V a exactement k vecteurs ~v1, · · · ,~vk , et constitue unsystème de repère : Tout vecteur ~b de E s’exprime en combinaisonlinéaire a1~v1 + a2~v2 + · · ·+ ak~vk = ~b et l’expression est unique. Lesai sont les coordonnées de ~b dans cette base.

L’ensemble des solutions de l’équation x − y − 2z = 0 forme-il unsous espace vectoriel ? Si oui en donner une base et determiner sadimension.

L’ensemble des solutions s’écrit

y + 2zy

, y , z ∈ R

Une base de S se constitue simplement des deux vecteurs

, et la dimension est deux (c’est un plan dans R3).

Même exo. pour x + y − z = 0.

§6. Changement de bases, matrice de passage

R2 possède beaucoup de bases. Voici deux exemples :

U = {~e1,~e2} la base canonique, et V = {~v1,~v2} = {

Il existe une matrice de passage d’une base à une autre (unchangement de repère), elle est obtenue de la manière suivante :Par exemple on veut passer de U à V :1. On exprime chaque vecteur dans V en combinaison linéaire desvecteurs dans U :

~v1 = 1~e1 + 2~e2 = (~e1 ~e2)

; ~v2 = (~e1 ~e2)

~v1 = 1~e1 + 2~e2 = (~e1 ~e2)

; ~v2 = (~e1 ~e2)

2. On les assemble en une matrice :

V = {~v1,~v2} ={

(~e1 ~e2)

, (~e1 ~e2)

~v1 = 1~e1 + 2~e2 = (~e1 ~e2)

; ~v2 = (~e1 ~e2)

V = {~v1,~v2} ={

(~e1 ~e2)

, (~e1 ~e2)

= (~e1 ~e2)

1 22 3

~v1 = 1~e1 + 2~e2 = (~e1 ~e2)

; ~v2 = (~e1 ~e2)

V = {~v1,~v2} ={

(~e1 ~e2)

, (~e1 ~e2)

= (~e1 ~e2)

1 22 3

~v1 = 1~e1 + 2~e2 = (~e1 ~e2)

; ~v2 = (~e1 ~e2)

V = {~v1,~v2} ={

(~e1 ~e2)

, (~e1 ~e2)

= (~e1 ~e2)

1 22 3

= UPU ,V .

~v1 = 1~e1 + 2~e2 = (~e1 ~e2)

; ~v2 = (~e1 ~e2)

V = {~v1,~v2} ={

(~e1 ~e2)

, (~e1 ~e2)

= (~e1 ~e2)

1 22 3

= UPU ,V .

3. La matrice de passage PU ,V de la base U vers la base V est donc(

1 22 3

Par exemple on veut passer de U à V :1. On exprime chaque vecteur dans V en combinaison linéaire desvecteurs dans U :

~v1 = 1~e1 + 2~e2 = (~e1 ~e2)

; ~v2 = (~e1 ~e2)

~v1 = 1~e1 + 2~e2 = (~e1 ~e2)

; ~v2 = (~e1 ~e2)

V = {~v1,~v2} ={

(~e1 ~e2)

, (~e1 ~e2)

~v1 = 1~e1 + 2~e2 = (~e1 ~e2)

; ~v2 = (~e1 ~e2)

V = {~v1,~v2} ={

(~e1 ~e2)

, (~e1 ~e2)

= (~e1 ~e2)

1 22 3

~v1 = 1~e1 + 2~e2 = (~e1 ~e2)

; ~v2 = (~e1 ~e2)

V = {~v1,~v2} ={

(~e1 ~e2)

, (~e1 ~e2)

= (~e1 ~e2)

1 22 3

~v1 = 1~e1 + 2~e2 = (~e1 ~e2)

; ~v2 = (~e1 ~e2)

V = {~v1,~v2} ={

(~e1 ~e2)

, (~e1 ~e2)

= (~e1 ~e2)

1 22 3

= UPU ,V .

~v1 = 1~e1 + 2~e2 = (~e1 ~e2)

; ~v2 = (~e1 ~e2)

V = {~v1,~v2} ={

(~e1 ~e2)

, (~e1 ~e2)

= (~e1 ~e2)

1 22 3

= UPU ,V .

3. La matrice de passage PU ,V de la base U vers la base V est donc(

1 22 3

Un autre exemple

U = {~u1, ~u2} et V = {~v1,~v2} avec ~v1 = ~u1 + ~u2 et ~v2 = ~u1 − ~u2.Quelle est la matrice de passage de U à V, et celle de V à U ?

PU ,V permet de convertir les coordonnées dans la base Vaux coordonnées dans la base U

Soit ~w un vecteur en dimension deux. Imaginons qu’on connait sescoordonnées de ~w dans la base V, c’est à dire qu’on connait les

valeurs a, b tel que ~w = a~v1 + b~v2 = V

Comme U est une base, le vecteur ~w a aussi des coordonnées dansla base U . Comment les trouver ?

Théorème Les coordonnées de ~w dans la base U sont PU ,V

Preuve. On cherche

tel que ~w = c~e1 + d~e2 = U

~w = V

UPU ,V

Preuve. On cherche

~w = V

UPU ,V

= PU ,V

Preuve. On cherche

~w = V

UPU ,V

= PU ,V

1 22 3

a + 2b2a + 3b

Par exemple ~w vaut deux fois ~v1 plus trois fois ~v2. Quelles sont sescoordonnées dans U ?

Cas général

Base U = (~u1, · · · , ~un) Base V = (~v1, · · · ,~vn)

matrice UPU ,V = V

de passage (~u1, · · · , ~un)PU ,V = (~v1, · · · ,~vn)

conversion CoorU ~w =

= PU ,V

= PU ,VCoorV ~w

De plus, P−1

U ,Vest la matrice de passage de V à U , autrement dit

U ,V= PV ,U . On peut ainsi convertir les coordonnées d’un vecteur

dans la base U aux coordonnées du même vecteur dans la base V.

Exo. Choisir deux vecteurs ~u1, ~u2 non-colinéaires en dimension deux(ils forment donc une base U). Puis former deux autres vecteurs~v1,~v2 à l’aide des combinaisons linéaires des deux premiers, enprenant soin qu’ils ne sont par co-linéaires (ils forment une nouvellebase V).

Exo. Choisir deux vecteurs ~u1, ~u2 non-colinéaires en dimension deux(ils forment donc une base U). Puis former deux autres vecteurs~v1,~v2 à l’aide des combinaisons linéaires des deux premiers, enprenant soin qu’ils ne sont par co-linéaires (ils forment une nouvellebase V). Demander à votre voisin de retrouver la matrice depassage de U vers V, et de trouver les coordonnées dans la base Udu vecteur ~w ayant pour coordonnées 1 et -1 dans la base V.

Même exo dans le SEV x − y − 2z = 0.

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