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Rosa – 2014
Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241
Aula de hoje
Função Distribuição CondicionalCalculando Probabilidades Condicionando
Aula passada
Propriedades da média e da variânciaCovariância, coeficiente de correlaçãoFunção Distribuição Condicional
Rosa – 2014
Função Distribuição Condicional: Motivação
Muitas vezes as variáveis aleatórias possuem dependência
A forma de expressar a dependência entre duas variáveis aleatórias é condicionando uma v.a. na outra e depois usar o teorema da probabilidade total e suas variações
Rosa – 2014
Função Distribuição Condicional
Considere que iremos condicionar a variável Y na variável X
Casos a serem estudados:
X e Y são duas variáveis aleatórias discretas
X e Y são duas variáveis aleatórias contínuas
X é v.a. discreta e Y é v.a. contínua
X é v.a. contínua e Y é v.a. discreta
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Caso 1: X e Y v.a. discretas
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Caso 1: X e Y v.a. discretas
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Exemplo: X e Y v.a. discretas
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Exemplo: X e Y discretas O número de jobs enviados para o
servidor A dado que chegaram n jobs no sistema é uma v.a. Binomial
pY (k)=∑n=0
n=∞
pY /X (k /n) pX (n)
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Caso 2: X e Y v.a. contínuas
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Caso 2: X e Y v.a. contínuas
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Caso 3: Y v.a. contínua e X v.a. discreta
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Caso 3: Y v.a. contínua e X v.a. discreta
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Caso 4: Y v.a. discreta e X v.a. contínua
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Caso 4: Y v.a. discreta e X v.a. contínua
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Caso 4: Y v.a. discreta e X v.a. contínua
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Calculando Probabilidades Condicionando
Muitas vezes para calcular a probabilidade de um evento temos que condicionar em uma variável aleatória
O evento pode ser uma relação entre duas variáveis aleatórias (ex: X > Y)
Depois usamos o teorema da probabilidade total e suas variações para obter a probabilidade do evento
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Probabilidade Condicional de um Evento
Considere E um evento de interesse. P[E] pode ser calculada a partir de:
P [E ]=∑y P [E /Y= y]P [Y= y] , seY é v.a. discreta
P [E ]=∫−∞
∞
P [E /Y= y ] f Y y dy , se Y é v.a. contínua
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Exemplo: X e Y v.a. contínuas
Suponha duas tarefas T1 e T2 independentes. Queremos saber a probabilidade da tarefa T1 terminar primeiro que a tarefa T2.
Sabemos que T1 tem duração representada pela v.a. X com função densidade f
X(x) e que T2 tem duração
representada pela v.a. Y com função densidade f
Y(y).
Como podemos calcular ?
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Exemplo: X e Y v.a. contínuas
Queremos calcular P[X<Y]
P [X Y ]=∫−∞
∞
P [X Y /Y= y ] f Y y dy
P [X Y ]=∫−∞
∞
P [X y ] f Y y dy
P [X Y ]=∫−∞
∞
F X y f Y y dy
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