Güven Aralıkları - Prof. Dr. Serkan Ada

Güven Aralıkları

• Nokta Tahmini – Popülasyon parametresi hakkında tek

bir rakamdan oluşan tahmindir. Popülasyon ortalaması ile

ilgili en iyi nokta tahmini örnek ortalamasıdır.

• Aralık Tahmini – Popülasyon parametresi hakkında belli

bir aralıktaki muhtemel değerlerden oluşan tahmindir.

• Güven Düzeyi, c –Aralık tahmininin popülasyon

parametresini içermesi konusundaki kesinlik düzeyi.

• Güven aralığı – Belli bir güven düzeyi ile ilişkili aralık

tahminidir.

• Hata Payı, E – Güven aralığının kapsadığı nokta

tahminden muhtemel en büyük uzaklıktır.

Tanımlar:

Popülasyon Ortalamasının Tahmin Edilmesi

Öğrencilerin İstatistik final sınavından aldıkları puanlarla ilgili

rastsal olarak seçilen örneklem aşağıdaki gibidir. Popülasyon

ortalaması için en iyi nokta tahminini bulunuz.

En iyi nokta tahminini bulunuz:

Popülasyon ortalaması için en iyi nokta tahmini

örneklem ortalamasıdır.

Çözüm:

45 68 72 91 100 71

69 83 86 55 89 97

76 68 92 75 84 70

81 90 85 74 88 99

76 91 93 85 96 100

Popülasyon Ortalaması İçin Güven Aralığı:

ya da

Alt Sınır Üst Sınır

E’yi çıkar E’yi ekle

Öğrencilerin haftalık ders çalışma süreleri hakkında yapılan

bir araştırma kapsamında, rastsal olarak 250 öğrenciden

oluşan bir örneklem seçilmiştir. Örneklem ortalaması15.7

saat olarak hesaplanmıştır. %95’lik güven düzeyinde hata

payı 2.2 saat olduğuna göre %95 lik güven aralığını

oluşturunuz.

Güven aralığınız oluşturunuz:

Alt sınır:

15.7 - 2.2 = 13.5 saat

Üst sınır:

15.7 + 2.2 = 17.9 saat

Çözüm:

13.5 < < 17.9

• Belli bir büyüklükteki tüm olası örneklemlerin seçilme

olasılığı eşittir.

• Örneklem büyüklüğü en az 30 olmalıdır (n ≥ 30).

• Popülasyonun standart sapması bilinmemektedir.

Yukarıdaki koşullar yerine getirildiğinde, popülasyon

ortalaması için hata payı hesaplanmasında kullanılacak olan

dağılım t-dağılımıdır.

Ancak, n ≥ 30 olduğunda, t-dağılımındaki kritik değerler

yaklaşık olarak normal dağılımdaki kritik değerlerle aynı

olmaktadır (karşılık gelen güven düzeyinde).

Bu nedenle, normal dağılım kullanılabilmektedir.

Popülasyon Ortalamasının Tahmin Edilmesi (Büyük Örneklemler)

Kritik değeri bulunuz:

%95 güven aralığı için kritik değeri bulunuz.

Öncelikle, –z0.95 ve z0.95 değerlerinin bulunması gerekmektedir.

–z0.95 ve z0.95 arasındaki alan 0.95 olduğu için, kuyruklarda 0.05 yada tek bir kuyrukta 0.025 lik bir alan olacaktır.

Çözüm:

Kritik Değer, zc:

Güven aralıkları için kritik z-değerleri

Güven düzeyi, c zc

0.80 1.28

0.85 1.44

0.90 1.645

0.95 1.96

0.98 2.33

0.99 2.575

Büyük Örneklemler İçin Hata Payı, E:

zc = Kritik z-değeri

s = Örneklem standart sapması

n = Örneklem büyüklüğü

Örneklem büyüklüğü 100, standart sapma 15.50

ise, %99 güven aralığı için hata payını bulunuz.

Hata payını bulunuz:

n = 100, s = 15.50, c = 0.99

z0.99 =

Çözüm:

2.575

85 ev sahibi ile yapılan bir ankette, ev bakımına aylık olarak

ortalama 67$ (standart sapma = 14$) harcadıkları tespit edilmiştir.

Tüm ev sahiplerinin aylık ev bakım harcamaları için %95 güven

aralığını oluşturunuz.

Güven aralığını oluşturunuz:

c = 0.95, n = 85, s = 14, = 67

z0.95 =

Çözüm:

1.96

$64.02 < < $69.98

($64.02, $69.98)

67 – 2.98 < < 67 + 2.98

Ortalamalar İçin Minimum Örneklem Büyüklüğünün Belirlenmesi:

zc = Kritik z-değeri

= Popülasyon standart sapması

E = Hata payı

Örnek ortalamasının, popülasyon ortalamasının 2 birim

etrafında olduğu konusunda %99 luk bir güven olduğu

belirtilmiştir ( = 6.5). Popülasyonun normal olarak

dağıldığını varsayarak minimum örneklem büyüklüğünü

belirleyiniz.

Minimum örneklem büyüklüğünü belirleyiniz:

c = 0.99, = 6.5, E = 2

z0.99 =

Minimum örneklem büyüklüğü 71 olarak belirlenmiştir.

Çözüm:

2.575

Ortalama hane halkı elektrik tüketim miktarının 15.7 kWh ve

standart sapması 3.24 kWh olduğu tahmin edilmektedir. Hane

halkı başına düşen elektrik tüketim miktarının tahmin edilebilmesi

için seçilmesi gereken örneklem büyüklüğünü %99 güven düzeyi

ve 0.12 kWh hata payına dayanarak belirleyiniz.

Minimum örneklem büyüklüğünü belirleyiniz:

c = 0.99, = 1.8, E = 0.12, z0.99 = 2.575

Minimum örneklem büyüklüğü 1492 olarak belirlenmiştir.

Çözüm:

• Belli bir büyüklükteki tüm olası örneklemlerin

seçilme olasılığı eşittir.

• Örneklem büyüklüğü 30’dan küçüktür (n < 30).

• Popülasyonun dağılımı yaklaşık olarak normaldir.

• Popülasyon standart sapması bilinmemektedir.

Yukarıdaki koşullar yerine getirildiğinde, popülasyon

ortalaması için hata payı hesaplanmasında kullanılacak olan

dağılım t-dağılımıdır.

Popülasyon Ortalamasının Tahmin Edilmesi (Küçük Örneklemler)

Küçük Örneklemler İçin Hata Payı, E:

ta/2 = Kritik t-değeri

a = 1 – c

s = Örneklem standart sapması

n = Örneklem büyüklüğü

s.d. = n - 1

Örneklem büyüklüğü 10, s = 15.5 ve güven düzeyi %95 ise,

hata payını bulunuz.

Hata payını bulunuz:

n = 10, s = 15.5, c = 0.95, a = 1 – 0.95 = 0.05

t0.05/2 = t0.025 =

Çözüm:

2.262

Rastsal olarak seçilen 20 bilgisayarın tamirat maliyeti

kaydedilmiştir. Örneklem ortalaması $216.53 ve standart sapması

$15.86 olarak hesaplanmıştır. Tüm bilgisayarların ortalama tamirat

maliyeti %98 güven aralığını oluşturunuz

Güven aralığını oluşturunuz:

n = 20, = 216.53, s = 15.86, c = 0.98, a = 1 – 0.98 = 0.02

t0.02/2 = t0.01 =

Çözüm:

2.539

$207.53 < < $225.53

($207.53, $225.53)

216.53 – 9.00 < < 216.53+ 9.00

İki Örneklem İçin Güven Aralıkları

İki Ortalamanın Karşılaştırılması (Büyük ve Bağımsız Örneklemler)

• Her bir örneklem büyüklüğü en az 30 olmalıdır (n ≥ 30).

• Veri setleri birbirinden bağımsız olmalıdır.

• Her bir popülasyon için bilinmemektedir.

İki Büyük ve Bağımsız Örneklem İçin Hata Payı, E:

zc = Kritik z-değeri

s1, s2 = Örneklem standart sapması

n1, n2 = Örneklem büyüklüğü

Kritik Değer, zc:

Güven Aralıkları İçin Kritik z-değerleri

Güven Düzeyi, c zc

0.80 1.28

0.85 1.44

0.90 1.645

0.95 1.96

0.98 2.33

0.99 2.575

İki Popülasyon Ortalaması İçin Güven Aralığı:

ya da

Bir oto tamircisi yakıt katkısının motordaki aşınmayı azalttığı

yönünde promosyon yapmaktadır. Bağımsız bir araştırmacı, yakıt

katkısını kullanan arabalardan 50 büyüklüğünde bir örneklem

seçmiş, ortalama motor tamirat masrafını 3250$ olarak

hesaplamıştır (standart sapma = 748$). Daha sonra yakıt katkısı

kullanmayan arabalardan 55 büyüklüğünde bir örneklem seçmiş,

ortalama motor tamirat masrafını 3445$ olarak hesaplamıştır

(standart sapma = 812$). Yakıt katkısı kullanan ve kullanmayan

arabaların motor tamirat masraflarının tahmin edilmesi için %85

güven aralığını oluşturunuz.

Güven aralığını oluşturunuz:

Grup 1 = yakıt katkısı kullanan araçlar

Grup 2 = yakıt katkısı kullanmayan araçlar

Çözüm:

3250 – 3445 = –195

Çözüm (devamı):

219

–195 – 219 < 1 – 2 < –195 + 219

–414 < 1 – 2 < 24

(–414, 24)

• Örneklemler bağımsızdır.

• Örneklemlerin seçildiği her bir popülasyon yaklaşık

olarak normal olarak dağılmaktadır.

• Bir yada her bir örneklem için n < 30.

• Her bir popülasyon için bilinmemektedir.

İki Ortalamanın Karşılaştırılması (Küçük ve Bağımsız Örneklemler)

Küçük ve Bağımsız İki Örneklem İçin Hata Payı, E,

s.d. = n1 – 1 yada n2 – 1 den küçük olanı

ta/2 = Kritik t-değeri

a = 1 – c

s1, s2 = Örneklem standart sapması

n1, n2 = Örneklem büyüklüğü

Bir öğrenci aldığı bir dersten başarısız olmasını öğretmenin

tecrübesizliğinden kaynaklandığını, diğer sınıftaki öğrencilerin

başarısını ise tecrübeli öğretmenlerinden kaynaklandığını

düşünmektedir. Tecrübesiz öğretmenin yaptığı sınava giren 11

öğrencilik bir örneklemin sınav puanları ortalaması 75 (s.s.=8),

tecrübeli öğretmenin sınavına girenler arasından seçilen 9 öğrencilik

bir örneklemin ortalaması 82 (s.s.=5) olarak hesaplanmıştır.

Varyansların farklı olduğu varsayımı ile, sınav ortalamaları

arasındaki gerçek fark için %90 lık güven aralığını oluşturunuz.

Güven aralığını oluşturunuz:

Grup 1 = tecrübesiz öğretmen, Grup 2 = tecrübeli öğretmen,

Çözüm:

75 – 82 = –7

n1 – 1 = 8

t0.10/2 = t0.05 = 1.860

10 ve n2 – 1 =

s.d. = 8

Çözüm (devamı):

5

–7 – 5 < 1 – 2 < –7 + 5

–12 < 1 – 2 < – 2

(–12, –2)