View
10
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Le Galassie: relazioni di scala
Lezione 4
A. Marconi Astronomia Extragalattica (2010/2011)
Proprietà di una galassiaE’ possibile ottenere spettri ed immagini di una galassia a tutte le lunghezze d’onda (dal radio ai raggi X).Si possono quindi avere due tipi di osservazioni complementari per misure quantitative:
Fotometria (da immagini)morfologia (→ braccia a spirale, barre, bulge → classificazione di Hubble; presenza di reddening, interazione con altre galassie ecc.)fotometria (→ profili di brillanza -> luminosità della galassia e delle sue componenti, raggi scala → SED spectral energy distributions)
Spettroscopia (da spettri)cinematica del gas e delle stelle (→curve di rotazione, dispersione di velocità, ecc.)condizioni fisiche del gas (→ meccanismo di ionizzazione → sorgente ionizzante)popolazioni stellari (→ storia di formazione stellare → evoluzione)
2
A. Marconi Astronomia Extragalattica (2010/2011)
Il Teorema del Viriale
3
d
dt(mα�vα) = −
�
β �=α
Gmαmβ
|�xα − �xβ |3 (�xα − �xβ) + �Fαext = −mα∇φ(�xα)
�
α
d
dt(mα�vα) · �xα = −
�
α,β �=α
Gmαmβ
|�xα − �xβ |3 (�xα − �xβ) · �xα +�
α
�Fαext · �xα
�
β
d
dt(mβ�vβ) · �xβ = −
�
β,α �=β
Gmβmα
|�xβ − �xα|3 (�xβ − �xα) · �xβ +�
β
�F βext · �xβ
Consideriamo un sistema di N particelle in interazione gravitazionale con masse mα (α=1,2,...,N) alle posizioni �xα
Per ogni stella α
Faccio il prodotto scalare membro a membro con e sommo su α:�xα
Analogamente per la stella β
Forza esterna, esempio interazione con materia oscura, gas
�
α
d
dt(mα�vα) · �xα = −
�
α,β �=α
Gmαmβ
|�xα − �xβ |3 (�xα − �xβ) · �xα +�
α
�Fαext · �xα
�
β
d
dt(mβ�vβ) · �xβ = −
�
β,α �=β
Gmβmα
|�xβ − �xα|3 (�xβ − �xα) · �xβ +�
β
�F βext · �xβ
�xα
�xα
d
dt(mα�vα) = −
�
β �=α
Gmαmβ
|�xα − �xβ |3 (�xα − �xβ) + �Fαext = −mα∇φ(�xα)
A. Marconi Astronomia Extragalattica (2010/2011)
d
dt(mα�vα) · �xα =
12
d2
dt2(mα�xα · �xα)−mα�vα · �vα
�
α
d
dt(mα�vα) · �xα = −1
2
�
α,β �=α
Gmαmβ
|�xα − �xβ | +�
α
�Fαext · �xα
Il Teorema del Viriale
4
Sommando membro a membro e dividendo per 2:
Notando che
�
α
d
dt(mα�vα) · �xα =
12
d2I
dt2− 2Ksi ottiene
I =�
α
mα�xα · �xα Momento di inerzia del sistema
K =12
�
α
mαv2α Energia cinetica totale
�
α
d
dt(mα�vα) · �xα = −1
2
�
α,β �=α
Gmαmβ
|�xα − �xβ | +�
α
�Fαext · �xα
d
dt(mα�vα) · �xα =
12
d2
dt2(mα�xα · �xα)−mα�vα · �vα
I =�
α
mα�xα · �xα
K =12
�
α
mαv2α
�
α
d
dt(mα�vα) · �xα =
12
d2I
dt2− 2K
A. Marconi Astronomia Extragalattica (2010/2011)
12τ
�dI
dt(τ) − dI
dt(0)
�= 2�K� + �W � +
�
α
��Fαext · �xα�
Il Teorema del Viriale
5
W =12
�
Vρ(�x)φ(�x)d�x3 =
12
�
α
mαφ(�xα)Energia potenziale del sistema:
φ(�xα) = −�
β �=α
Gmβ
|�xα − �xβ | W = −12
�
α,β �=α
Gmαmβ
|�xα − �xβ |da cui
12
d2I
dt2− 2K = W +
�
α
�Fαext · �xαSi ottiene infine
Mediando membro a membro sul tempo τ, per τ→∞ si ottiene (dI/dτ è finito)
2�K� + �W � +�
α
��Fαext · �xα� = 0
W =12
�
Vρ(�x)φ(�x)d�x3 =
12
�
α
mαφ(�xα)
φ(�xα) = −�
β �=α
Gmβ
|�xα − �xβ | W = −12
�
α,β �=α
Gmαmβ
|�xα − �xβ |
12
d2I
dt2− 2K = W +
�
α
�Fαext · �xα
12τ
�dI
dt(τ) − dI
dt(0)
�= 2�K� + �W � +
�
α
��Fαext · �xα�
2�K� + �W � +�
α
��Fαext · �xα� = 0
A. Marconi Astronomia Extragalattica (2010/2011)
Il Teorema del Viriale
Consideriamo un sistema di particelle in interazione gravitazionale legato ed in equilibrio per cui si possono trascurare le forze esterne. Per esso vale il teorema del Viriale:
< W > + 2 < K >=0
< W > è l’energia gravitazionale media totale del sistema;
< K > è l’energia cinetica totale media.
< W > e < K > sono valori medi su tempi lunghi rispetto ai tempio scala del sistema. Indichiamoli per semplicità con W e K.
K>0 per definizione di energia cinetica (< K > = < Σi 1/2 mi vi2 >) da cui necessariamente risulta < W > < 0 (è un sistema legato ...).
Definendo l’energia totale del sistema E = W+K il teorema del viriale si può riscrivere come E = 1/2 W oppure E = -K
6
A. Marconi Astronomia Extragalattica (2010/2011)
Uno sferoide è caratterizzato da moti caotici per cui la curva di rotazione quando non è completamente piatta non dice molto sulla massa totale come per i dischi delle spirali.Consideriamo un sistema di N stelle, il teorema del viriale si può esprimere come:
consideriamo per semplicità un ammasso con N stelle di massa m per cui M = m N
ma
con l’assunzione di un sistema isotropo in cui, per l’equipartizione, la dispersione di velocità osservata lungo la linea di vista è σr = 1/√3 σ, ovvero più piccola di quella totale.
La Massa degli Sferoidi
7
−2
�N�
i=1
12miv
2i
�= W
−M
N
�N�
i=1
v2i
�= W
1N
�N�
i=1
v2i
�= �v2� = �v2
r� + �v2θ� + �v2
φ� � 3�v2r� = 3σ2
r
−2
�N�
i=1
12miv
2i
�= W
−M
N
�N�
i=1
v2i
�= W
1N
�N�
i=1
v2i
�= �v2� = �v2
r� + �v2θ� + �v2
φ� � 3�v2r� = 3σ2
r
A. Marconi Astronomia Extragalattica (2010/2011)
Consideriamo una sfera di densità uniforme, di massa M e raggio R, allora
applicando il teorema del viriale:
questa è la cosiddetta massa viriale.In generale:
Si può usare per calcolare il rapporto M/L del sistema. La figura mostra che Mvir è un’ottima approssimazione rispetto a misure di M da modelli dinamici completi → galassie non sono troppo complicate!
La Massa degli Sferoidi
8
Cappellari et al. 2006
best fitrel. 1:1
W = −12
� R
0ρ(r)φ(r)4πr2dr = −3
5GM2
R
Mvirial =5Rσ2
r
G−3Mσ2
r = −35
GM2
R
Mvirial = fRσ2
r
G
W = −12
� R
0ρ(r)φ(r)4πr2dr = −3
5GM2
R
−3Mσ2r = −3
5GM2
RMvirial =
5Rσ2r
G
Mvirial = fRσ2
r
G
A. Marconi Astronomia Extragalattica (2010/2011)
d
dt(mα�vα) = −
�
β �=α
Gmαmβ
|�xα − �xβ |3 (�xα − �xβ) + �Fαext = −mα∇φ(�xα)
d
dt(mα�vα) = −
�
β �=α
Gmαmβ
|�xα − �xβ |3 (�xα − �xβ) + �Fαext = −mα∇φ(�xα)
Kzz =12
�
α
mαvz2α Wzz = −1
2
�
α,β �=α
Gmαmβ
|�xα − �xβ |
3
(zα − zβ)2
Teorema del viriale tensorialeE se il sistema avesse una distribuzione di velocità anisotropa o semplicemente una componente di rotazione ordinata, buttiamo via tutto?Ovviamente no! Consideriamo l’equazione di partenza (F=ma per stella α, senza forze esterne):
9
12
d2Izz
dt2= 2Kzz + Wzz Izz =
�
α
mαz2αcon
12
d2Izz
dt2= 2Kzz + Wzz Izz =
�
α
mαz2α
Kzz =12
�
α
mαvz2α Wzz = −1
2
�
α,β �=α
Gmαmβ
|�xα − �xβ |
3
(zα − zβ)2
�xα = xα�i + yα
�j + zα�k�zα = zα
�kRipetiamo la dimostrazione del teorema del viriale facendo il prodotto scalare con invece che con ovvero considerando una sola direzione spaziale. Si ottiene:
A. Marconi Astronomia Extragalattica (2010/2011)
Teorema del viriale tensoriale
10
Teorema del Viriale Tensoriale: come il teorema del viriale ma per la sola componente z. Relazioni analoghe valgono per x e y.
Se una galassia è “schiacciata” in xy ed è assi-simmetrica rispetto a z allora
�Wzz� > �Wxx� = �Wyy� segno “>” perché W è negativa.
12σ2
z <12σ2
x =12σ2
yAllora la galassia deve essere “anisotropa”:
Se ho una componente di rotazione ordinata sul piano xy (la stessa in media lungo x e lungo y) allora posso considerare K = Krandom+Krotation e avere
12σ2
z <12σ2
x +12V 2 =
12σ2
y +12V 2
2�Kzz� + �Wzz� = 0ovvero, facendo la media sul tempo τ→∞ 2�Kzz� + �Wzz� = 0
�Wzz� > �Wxx� = �Wyy�12σ2
z <12σ2
x =12σ2
y
12σ2
z <12σ2
x +12V 2 =
12σ2
y +12V 2
nell’ipotesi semplificativa di poter considerare V costante su tutta la galassia.In questo caso posso mantenere l’isotropia e lo “schiacciamento” è supportato dalla rotazione ordinata.
σ2z = σ2
x = σ2yσ2
z = σ2x = σ2
y
dove V è il termine dovuto alla rotazione lungo la linea di vista.
A. Marconi Astronomia Extragalattica (2010/2011)
Teorema del viriale tensorialePossiamo scrivere
11
Wzz
Wxx=
Kzz
Kxx≈ σ2
z12V
2 + σ2x
a b=a
c
z
y
xSi può dimostrare che il rapporto tra le energie potenziali dipende principalmente dal rapporto assiale c/a o meglio dall’ellitticità ε = 1 -c/a (non da come è distribuita la massa in funzione del “raggio” m) e risulta
Wzz
Wxx≈
� c
a
�0.9= (1− ε)0.9
La vera velocità di rotazione Vmax è maggiore della componente osservata lungo la linea di vista poichè devo tener conto dei moti perpendicolari alla linea di vista; assumo Vmax ≈ π/4 V. Se i moti casuali sono isotropi allora σx = σz = σ ed ottengo
�Vmax
σ
�=
�V
σ
�
iso
=π
4
�2[(1− ε)−0.9 − 1] ≈
�ε/(1− ε)
Anche galassie abbastanza rotonde dovrebbero ruotare abbastanza velocemente (c/a = 0.7 → Vmax/σ ≈ 0.68).
A. Marconi Astronomia Extragalattica (2010/2011)
Teorema del viriale tensorialeNon è possibile misurare c/a per una galassia, però, se i è l’angolo di inclinazione tra asse z e linea di vista, dove B ed A sono i semiassi delle isofote ellittiche sul piano del cielo.Inoltre Voss ~ V sin i ~ 4/π sin i Vmax
12
sin2 i (1− c2/a2) = 1−B2/A2
Curva tratteggiata è la curva trovata prima. Molte galassie stanno sotto perchè l’ipotesi di isotropia σx = σz = σ non è soddisfatta; lo “schiacciamento” deve essere supportato dai moti casuali. Molte galassie sono anisotrope.(V/σ)* è il rapporto osservato rispetto a (V/σ)iso: ellittiche più luminose sono le più anisotrope.
A. Marconi Astronomia Extragalattica (2010/2011)
Si mettono in relazione i vari parametri strutturali ottenibili per una galassia per cercare di capire le proprietà fisiche.Attenzione però a non abusare delle correlazioni!
Leggi Scala delle Galassie
13
What we learn from scaling relations...
VenusYellowstone Park forest fire
Jeep Cherokee running in a garageburning cigar
observable universe
... is sometimes nothing!
Kennicutt, 1989
Kennicutt 1989
A. Marconi Astronomia Extragalattica (2010/2011)
Leggi Scala nelle Spirali
Le curve di rotazione delle galassie a spirale sono piatte a grandi raggi (misure HI) quindi VC è una caratteristica della galassia (si può usare la larghezza della riga HI indicata con W o ΔVC).
Vc correlata con la luminosità della galassia
Relazione Tully-Fisher: L ~ VCα
Qual’è il significato fisico?
Massa della galassia: M = VC2 R / G
Rapporto M/L: M = L (M/L) = L ΥBrillanza superficiale μ: L = μ πR2
Si può quindi scrivere: L ∝ VC4 / ( μ Υ2 )μ Υ2 ~ cost. → stretto legame tra stelle (L) e materia oscura (M).
14
Indicatore di Luminosità!
A. Marconi Astronomia Extragalattica (2010/2011)
Le ellittiche più luminose sono più grandi ed hanno una surface brightness minore ovvero la loro “densità di luminosità” sul piano del cielo è minore rispetto alle galassie meno luminose.Le galassie dE e dSph hanno un comportamento completamente diverso dalle Ellittiche e dai Bulge delle spirali!
Leggi Scala nelle Ellittiche
15
μB = αMB +β → Re ∝ LB(1-α)/2
log Re = γMB +δ → Re ∝ LB-2.5γ
µB = −2.5 log�
FB
πR2e
�+ ZPB MB = −2.5 log LB + MB⊙
Le due relazioni sono equivalenti!
µB = −2.5 log�
FB
πR2e
�+ ZPB MB = −2.5 log LB + MB⊙
A. Marconi Astronomia Extragalattica (2010/2011)
Leggi Scala nelle Ellittiche
16
Σ(R
e) [V
mag
arc
sec-2
]
log Re [kpc]
◆ Ellittiche ○ Bulges
◆ Ellittiche
“Kormendy relation”
log σe = αMB +β → σe ∝ LB-2.5α
LB ∝ σe4
“Faber-Jackson relation”
Queste relazioni hanno una dispersione più grande di quanto ci si aspetterebbe dagli errori di misura (χ2 >1).La dispersione intrinseca è la dispersione dei residui (σres) del fit dopo aver tolto gli errori Δ: σint2 = σres2-Δ2
A. Marconi Astronomia Extragalattica (2010/2011)
Il Piano Fondamentale
La dispersione delle correlazioni L-σ, L-R, μ-σ è grande e comunque queste relazioni sono legate tra loro. Consideriamo i 3 parametri indipendenti, μ, σ, R (oppure L, σ, R): esiste una relazione “fondamentale”?
La relazione fondamentale è un piano nello spazio dei tre parametri:
log Re = α log σe +β log μe
detto “piano fondamentale”. E’ equivalente a
Re ∝ σe1.4 μe-0.85
Le altre relazioni sono proiezioni del piano fondamentale e hanno quindi dispersione maggiore!
17
A. Marconi Astronomia Extragalattica (2010/2011)
Il Piano FondamentaleRe ∝ σe1.4 μe-0.85 Qual’è il suo significato fisico?
Supponiamo che le Ellittiche siano una famiglia omologa, cioè che abbiano le stesse proprietà di scala:Teorema del viriale: V2 = G M/Rg
Rapporto Massa/Luminosità: M/L = ΥLe quantità osservate sono:Re = kr Rg
σ2 = kv V2
µe = L/2 (π Re2)-1
sostituendo nel teorema del viriale V2, M e Rg con le quantità osservate si ottieneRe = (2π G krkv Υ )-1 σ2 µe-1
ovvero Re ∝ σe2 μe-1
diversa dalla relazione osservata: le Ellittiche non sono famiglia omologa!
18
A. Marconi Astronomia Extragalattica (2010/2011)
Il Piano Fondamentale
Re ∝ σe1.4 μe-0.85 Qual’è il suo significato fisico? Non è altro che una relazione tra rapporto M/L (caratteristico di una popolazione stellare, della sua storia di formazione ed evoluzione) e luminosità L della galassia.Teorema del Viriale: M = kr kv2 σe2 Re / GDefinizione di μ: L = 2μe π Re2
Re ∝ σeα μe-β → σeα Re2β-1 ∝ Lβ → σe1.4 Re0.7 ∝ L0.85
→ (σe2 Re)0.7 ∝ L0.85 → M0.7 ∝ L0.85 → M/L ∝ L0.2
ovvero M/L dipende (debolmente) dalla Luminosità.Le galassie più massicce sono quelle con M/L più elevato quindi hanno popolazioni stellari più vecchie.La dipendenza di M/L da L derivata dal piano fondamentale che implica una variazione di popolazioni stellari e struttura delle galassie è nota come TILT del piano fondamentale; il TILT si riferisce alla relazione che si avrebbe nel caso di famiglia omologa.
19
A. Marconi Astronomia Extragalattica (2010/2011)
La funzione di luminosità delle galassie ϕ(L) è definita da dN = ϕ(L) dLdN è il numero di galassie per unità di volume con luminosità tra L e L+dL.ϕ(L) si misura di solito in h-3 Mpc-3; h-3 serve per togliere la dipendenza dalla costante di Hubble H0 = 100 h km/s/Mpc (h=0.72).La forma funzionale che meglio descrive la funzione di luminosità è la cosiddetta funzione di Schechter:
ϕ✶ normalizzazione, α pendenza a basse L e L✶ luminosità caratteristica (L>0.1 L✶ “bright” galaxy).
La densità totale di galassie è:
La densità di luminosità totale è:
Funzione di Luminosità delle galassie
20
L ~ L-α
L ~ exp(-L/L✶)
log ϕ
(L) [
Mp
c-3]
log L [L☉]L✶
ϕ✶
Φ(L)dL
L�= Φ�
�L
L�
�−α
exp(−L/L�)dL
L�
nTot =�
Φ(L)dL = Φ�Γ(α + 1)
ρL =�
LΦ(L)dL = L�Φ�Γ(α + 2)
Φ(L)dL
L�= Φ�
�L
L�
�−α
exp(−L/L�)dL
L�
nTot =�
Φ(L)dL = Φ�Γ(α + 1)
ρL =�
LΦ(L)dL = L�Φ�Γ(α + 2)
A. Marconi Astronomia Extragalattica (2010/2011)
Funzione di Luminosità delle galassie
21
ρ(L) ~L ϕ(L)
ϕ(L)
ϕ(L) globale è caratterizzata da: L✶ ≈9×109 h-2 L☉ corrispondente a M(BJ)=-19.7+5 log hh=0.7 →L✶ ≈2×1010 L☉ (circa come Milky Way);ϕ✶ ≈0.02 h3 Mpc-3; α = 0.46.
ρL(BJ)≈2×108 h L☉ Mpc-3 e ρL(K)≈6×108 h L☉ Mpc-3
Recommended