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Parece mentira, mas temos problemas com medidas

Leandro Fiorini Aurichi

ICMC-USP

Leandro Fiorini Aurichi (ICMC-USP) Parece mentira, mas temos problemas com medidas 1 / 30

Primeira ideia

Voce vai no supermercado comprar um intervalo.

Tem uma promocao que diz quequalquer intervalo esta custando R$1, 00. Qual destes voce leva?

[0, 1[

[0, 1]

[0, 2]

[0, 10]

[0,+∞[

(mas voce percebe que a quantidade de pontos nao muda, certo?)

Primeira ideia

Voce vai no supermercado comprar um intervalo. Tem uma promocao que diz quequalquer intervalo esta custando R$1, 00.

Qual destes voce leva?

[0, 1[

[0, 1]

[0, 2]

[0, 10]

[0,+∞[

Primeira ideia

Voce vai no supermercado comprar um intervalo. Tem uma promocao que diz quequalquer intervalo esta custando R$1, 00. Qual destes voce leva?

[0, 1[

[0, 1]

[0, 2]

[0, 10]

[0,+∞[

Primeira ideia

[0, 1[

[0, 1]

[0, 2]

[0, 10]

[0,+∞[

Primeira ideia

[0, 1[

[0, 1]

[0, 2]

[0, 10]

[0,+∞[

Primeira ideia

[0, 1[

[0, 1]

[0, 2]

[0, 10]

[0,+∞[

Primeira ideia

[0, 1[

[0, 1]

[0, 2]

[0, 10]

[0,+∞[

Primeira ideia

[0, 1[

[0, 1]

[0, 2]

[0, 10]

[0,+∞[

Primeira ideia

[0, 1[

[0, 1]

[0, 2]

[0, 10]

[0,+∞[

Medidas sobre [0, 1]

Uma medida sobre [0, 1] e uma funcao m : ℘([0, 1]) −→ [0, 1] tal que

1 m(∅) = 0

2 m([0, 1]) = 1

3 se Aj ∩ Ak = ∅ para todo j 6= k, entao m(⋃

n∈N An) =∑

n∈N An.

1 m(∅) = 0

2 m([0, 1]) = 1

n∈N An) =∑

n∈N An.

1 m(∅) = 0

2 m([0, 1]) = 1

n∈N An) =∑

n∈N An.

1 m(∅) = 0

2 m([0, 1]) = 1

n∈N An) =∑

n∈N An.

1 m(∅) = 0

2 m([0, 1]) = 1

3 se Aj ∩ Ak = ∅ para todo j 6= k , entao m(⋃

n∈N An) =∑

n∈N An.

Exemplo

Um jeito de criar uma medida assim e o seguinte. Dizemos que m(A) = 1 se0 ∈ A e m(A) = 0 caso contrario.

Funciona, mas nao e la muito interessante. Vamos chamar medidas “parecidas”com essas de medidas triviais (essas tais que m({a}) = 1 para algum a ∈ [0, 1]).

Exemplo

Um jeito de criar uma medida assim e o seguinte. Dizemos que m(A) = 1 se0 ∈ A e m(A) = 0 caso contrario.Funciona, mas nao e la muito interessante.

Vamos chamar medidas “parecidas”com essas de medidas triviais (essas tais que m({a}) = 1 para algum a ∈ [0, 1]).

Exemplo

Um jeito de criar uma medida assim e o seguinte. Dizemos que m(A) = 1 se0 ∈ A e m(A) = 0 caso contrario.Funciona, mas nao e la muito interessante. Vamos chamar medidas “parecidas”com essas de medidas triviais (essas tais que m({a}) = 1 para algum a ∈ [0, 1]).

Lebesgue

Podemos, alem das propriedades impostas anteriormente, pedir quem([a, b]) = b − a.

Assim nos livramos das medidas triviais e ainda obtemos algoque parece interessante.Podemos ser ainda mais gananciosos e pedir que m(A) = m(B) se a unicadiferenca entre A e B e uma translacao.

Lebesgue

Podemos, alem das propriedades impostas anteriormente, pedir quem([a, b]) = b − a. Assim nos livramos das medidas triviais e ainda obtemos algoque parece interessante.

Podemos ser ainda mais gananciosos e pedir que m(A) = m(B) se a unicadiferenca entre A e B e uma translacao.

Lebesgue

Podemos, alem das propriedades impostas anteriormente, pedir quem([a, b]) = b − a. Assim nos livramos das medidas triviais e ainda obtemos algoque parece interessante.Podemos ser ainda mais gananciosos e pedir que m(A) = m(B) se a unicadiferenca entre A e B e uma translacao.

Vitali

Mas Giuseppe Vitali construiu um conjunto V ⊂ [0, 1] de maneira que, dadoqualquer r ∈ [0, 1], existe um unico v ∈ V tal que v − r e racional.

(Se quisertentar em casa: Considere a relacao de equivalencia a ≡ b se, e somente se,a− b ∈ Q e tome um representante de cada classe).Considere {qn : n ∈ N} = Q ∩ [0, 1]. Vamos chamar de Vn = {v + qn : v ∈ V }.Note que Vj ∩ Vk = ∅ se j 6= k. Temos

[0, 1] ⊂⋃n∈N

Vn ⊂ [0, 2]

Com isso, da para mostrar que 1 ≤ m(Vn) ≤ 2 para cada n.Por outro lado, cada m(Vn) = m(V ). Entao∑

n∈Nm(Vn) =

∑n∈N

Desta forma, ou m(V ) = 0 ou m(V ) =∞. De qualquer forma, nao esta entre 1 e2.

Vitali

Mas Giuseppe Vitali construiu um conjunto V ⊂ [0, 1] de maneira que, dadoqualquer r ∈ [0, 1], existe um unico v ∈ V tal que v − r e racional. (Se quisertentar em casa: Considere a relacao de equivalencia a ≡ b se, e somente se,a− b ∈ Q e tome um representante de cada classe).

Considere {qn : n ∈ N} = Q ∩ [0, 1]. Vamos chamar de Vn = {v + qn : v ∈ V }.Note que Vj ∩ Vk = ∅ se j 6= k. Temos

[0, 1] ⊂⋃n∈N

Vn ⊂ [0, 2]

n∈Nm(Vn) =

∑n∈N

Vitali

Mas Giuseppe Vitali construiu um conjunto V ⊂ [0, 1] de maneira que, dadoqualquer r ∈ [0, 1], existe um unico v ∈ V tal que v − r e racional. (Se quisertentar em casa: Considere a relacao de equivalencia a ≡ b se, e somente se,a− b ∈ Q e tome um representante de cada classe).Considere {qn : n ∈ N} = Q ∩ [0, 1]. Vamos chamar de Vn = {v + qn : v ∈ V }.

Note que Vj ∩ Vk = ∅ se j 6= k. Temos

[0, 1] ⊂⋃n∈N

Vn ⊂ [0, 2]

n∈Nm(Vn) =

∑n∈N

Vitali

Mas Giuseppe Vitali construiu um conjunto V ⊂ [0, 1] de maneira que, dadoqualquer r ∈ [0, 1], existe um unico v ∈ V tal que v − r e racional. (Se quisertentar em casa: Considere a relacao de equivalencia a ≡ b se, e somente se,a− b ∈ Q e tome um representante de cada classe).Considere {qn : n ∈ N} = Q ∩ [0, 1]. Vamos chamar de Vn = {v + qn : v ∈ V }.Note que Vj ∩ Vk = ∅ se j 6= k . Temos

[0, 1] ⊂⋃n∈N

Vn ⊂ [0, 2]

n∈Nm(Vn) =

∑n∈N

Vitali

[0, 1] ⊂⋃n∈N

Vn ⊂ [0, 2]

n∈Nm(Vn) =

∑n∈N

Vitali

[0, 1] ⊂⋃n∈N

Vn ⊂ [0, 2]

Com isso, da para mostrar que 1 ≤ m(Vn) ≤ 2 para cada n.

Por outro lado, cada m(Vn) = m(V ). Entao∑n∈N

m(Vn) =∑n∈N

Vitali

[0, 1] ⊂⋃n∈N

Vn ⊂ [0, 2]

Com isso, da para mostrar que 1 ≤ m(Vn) ≤ 2 para cada n.Por outro lado, cada m(Vn) = m(V ).

Entao∑n∈N

m(Vn) =∑n∈N

Vitali

[0, 1] ⊂⋃n∈N

Vn ⊂ [0, 2]

n∈Nm(Vn) =

∑n∈N

Vitali

[0, 1] ⊂⋃n∈N

Vn ⊂ [0, 2]

n∈Nm(Vn) =

∑n∈N

Vamos abrir mao de algo

Ja que a ideia anterior nao funcionou, vamos abrir mao de algumas dasimposicoes.

Como a invariancia por translacoes foi a ultima a aparecer, vamosabdicar dela primeiro.

Vamos abrir mao de algo

Ja que a ideia anterior nao funcionou, vamos abrir mao de algumas dasimposicoes. Como a invariancia por translacoes foi a ultima a aparecer, vamosabdicar dela primeiro.

Digressao

Um jeito de medir tamanhos de conjuntos e simplesmente contar quantoselementos eles tem.

E logico que quando trabalhamos com conjuntos infinitos,temos alguns problemas. Em geral, simplesmente trabalhamos com existencia (ounao) de funcoes bijetoras. Por exemplo, |N| < |R|, enquanto |N| = |Z| = |Q|.Temos o problema que esse tipo de “medida” nao satisfaz o que a gente queria nocomeco (para comecar, o valor da medida tinha que ser um valor real).

Digressao

Um jeito de medir tamanhos de conjuntos e simplesmente contar quantoselementos eles tem. E logico que quando trabalhamos com conjuntos infinitos,temos alguns problemas.

Em geral, simplesmente trabalhamos com existencia (ounao) de funcoes bijetoras. Por exemplo, |N| < |R|, enquanto |N| = |Z| = |Q|.Temos o problema que esse tipo de “medida” nao satisfaz o que a gente queria nocomeco (para comecar, o valor da medida tinha que ser um valor real).

Digressao

Um jeito de medir tamanhos de conjuntos e simplesmente contar quantoselementos eles tem. E logico que quando trabalhamos com conjuntos infinitos,temos alguns problemas. Em geral, simplesmente trabalhamos com existencia (ounao) de funcoes bijetoras.

Por exemplo, |N| < |R|, enquanto |N| = |Z| = |Q|.Temos o problema que esse tipo de “medida” nao satisfaz o que a gente queria nocomeco (para comecar, o valor da medida tinha que ser um valor real).

Digressao

Um jeito de medir tamanhos de conjuntos e simplesmente contar quantoselementos eles tem. E logico que quando trabalhamos com conjuntos infinitos,temos alguns problemas. Em geral, simplesmente trabalhamos com existencia (ounao) de funcoes bijetoras. Por exemplo, |N| < |R|, enquanto |N| = |Z| = |Q|.

Temos o problema que esse tipo de “medida” nao satisfaz o que a gente queria nocomeco (para comecar, o valor da medida tinha que ser um valor real).

Digressao

Um jeito de medir tamanhos de conjuntos e simplesmente contar quantoselementos eles tem. E logico que quando trabalhamos com conjuntos infinitos,temos alguns problemas. Em geral, simplesmente trabalhamos com existencia (ounao) de funcoes bijetoras. Por exemplo, |N| < |R|, enquanto |N| = |Z| = |Q|.Temos o problema que esse tipo de “medida” nao satisfaz o que a gente queria nocomeco (para comecar, o valor da medida tinha que ser um valor real).

Digressao da digressao

Mas, ainda assim, vale pergunta:

Sera que existe um conjunto X tal que |N| < |X | < |R|?A resposta curta para isso e “Bem...”

Mas, ainda assim, vale pergunta:Sera que existe um conjunto X tal que |N| < |X | < |R|?

A resposta curta para isso e “Bem...”

Mas, ainda assim, vale pergunta:Sera que existe um conjunto X tal que |N| < |X | < |R|?A resposta curta para isso e

“Bem...”

Mas, ainda assim, vale pergunta:Sera que existe um conjunto X tal que |N| < |X | < |R|?A resposta curta para isso e “Bem...”

Digredir e progredir

Esse problema e conhecido como a Hipotese do Contınuo. Mais formalmente, aHipotese do Contınuo afirma que nao existe X tal que |N| < |X | < |R|.

Foi provado por Godel e Cohen que nem essa afirmacao, nem sua negacao, levama contradicoes (supondo que ja nao tinha contradicoes antes).Isso implica que, informalmente, com o que se supoe normalmente comoverdadeiro em matematica, nao da para provar nem a Hipotese do Contınuo, nema sua negacao.

Esse problema e conhecido como a Hipotese do Contınuo. Mais formalmente, aHipotese do Contınuo afirma que nao existe X tal que |N| < |X | < |R|.Foi provado por Godel e Cohen que nem essa afirmacao, nem sua negacao, levama contradicoes

(supondo que ja nao tinha contradicoes antes).Isso implica que, informalmente, com o que se supoe normalmente comoverdadeiro em matematica, nao da para provar nem a Hipotese do Contınuo, nema sua negacao.

Esse problema e conhecido como a Hipotese do Contınuo. Mais formalmente, aHipotese do Contınuo afirma que nao existe X tal que |N| < |X | < |R|.Foi provado por Godel e Cohen que nem essa afirmacao, nem sua negacao, levama contradicoes (supondo que ja nao tinha contradicoes antes).

Isso implica que, informalmente, com o que se supoe normalmente comoverdadeiro em matematica, nao da para provar nem a Hipotese do Contınuo, nema sua negacao.

Esse problema e conhecido como a Hipotese do Contınuo. Mais formalmente, aHipotese do Contınuo afirma que nao existe X tal que |N| < |X | < |R|.Foi provado por Godel e Cohen que nem essa afirmacao, nem sua negacao, levama contradicoes (supondo que ja nao tinha contradicoes antes).Isso implica que, informalmente, com o que se supoe normalmente comoverdadeiro em matematica, nao da para provar nem a Hipotese do Contınuo, nema sua negacao.

Chega de digredir

Pode-se mostrar o seguinte resultado:

Proposicao

Se existe uma medida m : ℘([0, 1]) −→ [0, 1] tal que m([a, b]) = b − a, entao naovale a Hipotese do Contınuo.

(so lembrando que aqui a gente abriu mao da invariancia por translacoes)

Chega de digredir

Proposicao

Se existe uma medida m : ℘([0, 1]) −→ [0, 1] tal que m([a, b]) = b − a, entao

naovale a Hipotese do Contınuo.

Chega de digredir

Proposicao

Chega de digredir

Proposicao

Vamos ser mais humildes

Vamos tentar algo mais simples. Vamos tentar trabalhar so com conjuntosgrandes (1) e pequenos (0).

Definicao

Dado X um conjunto, uma medida “grande-pequeno” sobre X e uma funcaom : ℘(X ) −→ {0, 1} tal que:

1 m(∅) = 0

2 m(X ) = 1

3 m({x}) = 0 para cada x ∈ X .

4 se Aj ∩ Ak = ∅ para todo j 6= k e |F| < |X |, entao m(⋃

j∈F Aj) =∑

j∈F Aj .

Definicao

1 m(∅) = 0

2 m(X ) = 1

j∈F Aj) =∑

j∈F Aj .

Definicao

1 m(∅) = 0

2 m(X ) = 1

j∈F Aj) =∑

j∈F Aj .

Definicao

1 m(∅) = 0

2 m(X ) = 1

j∈F Aj) =∑

j∈F Aj .

Definicao

1 m(∅) = 0

2 m(X ) = 1

j∈F Aj) =∑

j∈F Aj .

Definicao

1 m(∅) = 0

2 m(X ) = 1

j∈F Aj) =∑

j∈F Aj .

Em N, tudo bem

Nos naturais da para fazer isso.

Considere F uma famılia que contenha todos ossubconjuntos cofinitos e que seja maximal com a segunte propriedade: dadosA,B ∈ F , A ∩ B 6= ∅.Daı basta dizer que m(A) = 1 se A ∈ F e m(A) = 0 caso contrario.Com um pouco de conta, da para provar que tudo funciona. Se quiser tentar emcasa, algumas coisas que ajudam a provar sao, dados A,B ⊂ N:

Se A,B ∈ F , entao A ∩ B ∈ F .

Vale uma, e so uma, das seguintes: A ∈ F ou Nr A ∈ F .

Se A /∈ F , existe C ∈ F tal que A ∩ C = ∅.Tambem ajuda procurar a palavra “ultrafiltro” na internet.

Em N, tudo bem

Nos naturais da para fazer isso. Considere F uma famılia que contenha todos ossubconjuntos cofinitos e que seja maximal com a segunte propriedade: dadosA,B ∈ F , A ∩ B 6= ∅.

Daı basta dizer que m(A) = 1 se A ∈ F e m(A) = 0 caso contrario.Com um pouco de conta, da para provar que tudo funciona. Se quiser tentar emcasa, algumas coisas que ajudam a provar sao, dados A,B ⊂ N:

Em N, tudo bem

Nos naturais da para fazer isso. Considere F uma famılia que contenha todos ossubconjuntos cofinitos e que seja maximal com a segunte propriedade: dadosA,B ∈ F , A ∩ B 6= ∅.Daı basta dizer que m(A) = 1 se A ∈ F e m(A) = 0 caso contrario.

Com um pouco de conta, da para provar que tudo funciona. Se quiser tentar emcasa, algumas coisas que ajudam a provar sao, dados A,B ⊂ N:

Em N, tudo bem

Nos naturais da para fazer isso. Considere F uma famılia que contenha todos ossubconjuntos cofinitos e que seja maximal com a segunte propriedade: dadosA,B ∈ F , A ∩ B 6= ∅.Daı basta dizer que m(A) = 1 se A ∈ F e m(A) = 0 caso contrario.Com um pouco de conta, da para provar que tudo funciona.

Se quiser tentar emcasa, algumas coisas que ajudam a provar sao, dados A,B ⊂ N:

Em N, tudo bem

Nos naturais da para fazer isso. Considere F uma famılia que contenha todos ossubconjuntos cofinitos e que seja maximal com a segunte propriedade: dadosA,B ∈ F , A ∩ B 6= ∅.Daı basta dizer que m(A) = 1 se A ∈ F e m(A) = 0 caso contrario.Com um pouco de conta, da para provar que tudo funciona. Se quiser tentar emcasa, algumas coisas que ajudam a provar sao, dados A,B ⊂ N:

Em N, tudo bem

Se A /∈ F , existe C ∈ F tal que A ∩ C = ∅.

Tambem ajuda procurar a palavra “ultrafiltro” na internet.

Em N, tudo bem

Ai caramba

Proposicao

Se existe algum X nao enumeravel tal que existe m medida “grande-pequeno”sobre X , entao |X | e um cardinal grande.

Um cardinal nao enumeravel κ e dito grande se κ e regular e, para todo α < κ,2α < κ.

Ai caramba

Proposicao

Um cardinal nao enumeravel κ e dito grande se κ e regular

e, para todo α < κ,2α < κ.

Ai caramba

Proposicao

Um cardinal nao enumeravel κ e dito grande se κ e regular e, para todo α < κ,2α < κ.

Mas e grande mesmo?

Vamos tentar dar a ideia de como isso e grande. Dado um cardinal α, 2α

representa o tamanho do conjunto ℘(X ), onde |X | = α.

Se comecamos com um conjunto finito, digamos de tamanho n, e um exercıciomostrar que ℘(X ) tem 2n elementos (daı a notacao).

Mas e grande mesmo?

Vamos tentar dar a ideia de como isso e grande. Dado um cardinal α, 2α

representa o tamanho do conjunto ℘(X ), onde |X | = α.Se comecamos com um conjunto finito, digamos de tamanho n, e um exercıciomostrar que ℘(X ) tem 2n elementos (daı a notacao).

E grande

Entao a definicao de cardinal grande implica que, para qualquer conjunto X detamanho menor que κ, ℘(X ) tambem tem tamanho menor que X .

Repare que o tamanho dos reais nao satisfaz isso, ja que o tamanho de N e menorque o tamanho dos reais enquanto que o tamanho de ℘(N) e igual ao de R.Mas o tamanho de N satisfaz, ja que qualquer coisa menor que isso e finita e,portanto, a quantidade de subconjuntos tambem vai ser finita.Mas na definicao de cardinal grande, pedimos que ele fosse nao enumeravel.Ou seja, em algum sentido, estamos pedindo que o salto que existe entre finito einfinito aconteca de novo.

E grande

Entao a definicao de cardinal grande implica que, para qualquer conjunto X detamanho menor que κ, ℘(X ) tambem tem tamanho menor que X .Repare que o tamanho dos reais nao satisfaz isso, ja que o tamanho de N e menorque o tamanho dos reais enquanto que o tamanho de ℘(N) e igual ao de R.

Mas o tamanho de N satisfaz, ja que qualquer coisa menor que isso e finita e,portanto, a quantidade de subconjuntos tambem vai ser finita.Mas na definicao de cardinal grande, pedimos que ele fosse nao enumeravel.Ou seja, em algum sentido, estamos pedindo que o salto que existe entre finito einfinito aconteca de novo.

E grande

Entao a definicao de cardinal grande implica que, para qualquer conjunto X detamanho menor que κ, ℘(X ) tambem tem tamanho menor que X .Repare que o tamanho dos reais nao satisfaz isso, ja que o tamanho de N e menorque o tamanho dos reais enquanto que o tamanho de ℘(N) e igual ao de R.Mas o tamanho de N satisfaz, ja que qualquer coisa menor que isso e finita e,portanto, a quantidade de subconjuntos tambem vai ser finita.

Mas na definicao de cardinal grande, pedimos que ele fosse nao enumeravel.Ou seja, em algum sentido, estamos pedindo que o salto que existe entre finito einfinito aconteca de novo.

E grande

Entao a definicao de cardinal grande implica que, para qualquer conjunto X detamanho menor que κ, ℘(X ) tambem tem tamanho menor que X .Repare que o tamanho dos reais nao satisfaz isso, ja que o tamanho de N e menorque o tamanho dos reais enquanto que o tamanho de ℘(N) e igual ao de R.Mas o tamanho de N satisfaz, ja que qualquer coisa menor que isso e finita e,portanto, a quantidade de subconjuntos tambem vai ser finita.Mas na definicao de cardinal grande, pedimos que ele fosse nao enumeravel.

Ou seja, em algum sentido, estamos pedindo que o salto que existe entre finito einfinito aconteca de novo.

E grande

Entao a definicao de cardinal grande implica que, para qualquer conjunto X detamanho menor que κ, ℘(X ) tambem tem tamanho menor que X .Repare que o tamanho dos reais nao satisfaz isso, ja que o tamanho de N e menorque o tamanho dos reais enquanto que o tamanho de ℘(N) e igual ao de R.Mas o tamanho de N satisfaz, ja que qualquer coisa menor que isso e finita e,portanto, a quantidade de subconjuntos tambem vai ser finita.Mas na definicao de cardinal grande, pedimos que ele fosse nao enumeravel.Ou seja, em algum sentido, estamos pedindo que o salto que existe entre finito einfinito aconteca de novo.

Resumindo numa figura

Melhor voltar a digredir

O primeiro teorema da incompletude de Godel basicamente diz que existemafirmacoes que nao podem ser provadas nem refutadas.

Um exemplo famoso e aHipotese do Contınuo.Mas o segundo teorema da incompletude de Godel diz algo ainda mais“enrolado”. Entre outras coisas, ele afirma que e impossıvel provar que ZFC naoderiva contradicoes (a menos que ZFC de fato derive contradicoes).

O primeiro teorema da incompletude de Godel basicamente diz que existemafirmacoes que nao podem ser provadas nem refutadas. Um exemplo famoso e aHipotese do Contınuo.

Mas o segundo teorema da incompletude de Godel diz algo ainda mais“enrolado”. Entre outras coisas, ele afirma que e impossıvel provar que ZFC naoderiva contradicoes (a menos que ZFC de fato derive contradicoes).

O primeiro teorema da incompletude de Godel basicamente diz que existemafirmacoes que nao podem ser provadas nem refutadas. Um exemplo famoso e aHipotese do Contınuo.Mas o segundo teorema da incompletude de Godel diz algo ainda mais“enrolado”.

Entre outras coisas, ele afirma que e impossıvel provar que ZFC naoderiva contradicoes (a menos que ZFC de fato derive contradicoes).

O primeiro teorema da incompletude de Godel basicamente diz que existemafirmacoes que nao podem ser provadas nem refutadas. Um exemplo famoso e aHipotese do Contınuo.Mas o segundo teorema da incompletude de Godel diz algo ainda mais“enrolado”. Entre outras coisas, ele afirma que e impossıvel provar que ZFC naoderiva contradicoes

(a menos que ZFC de fato derive contradicoes).

O primeiro teorema da incompletude de Godel basicamente diz que existemafirmacoes que nao podem ser provadas nem refutadas. Um exemplo famoso e aHipotese do Contınuo.Mas o segundo teorema da incompletude de Godel diz algo ainda mais“enrolado”. Entre outras coisas, ele afirma que e impossıvel provar que ZFC naoderiva contradicoes (a menos que ZFC de fato derive contradicoes).

A gente prova qualquer coisa

(ϕ ∧ ¬ϕ)

⇒ ψ

A gente prova qualquer coisa

(ϕ ∧ ¬ϕ) ⇒ ψ

E la vamos nos

Teorema

Se existe um cardinal grande, entao ZFC e consistente

(isto e, nao derivacontradicoes).

Ou seja, a existencia de um cardinal grande implica em algo que e impossıvel dese mostrar. Assim, e impossıvel provar que existe um cardinal grande (e nadaimpede que nao existam). Pior ainda, e impossıvel provar que supor a existenciade cardinais grandes nao implica em contradicoes.

E la vamos nos

Teorema

Se existe um cardinal grande, entao ZFC e consistente (isto e, nao derivacontradicoes).

E la vamos nos

Teorema

Ou seja, a existencia de um cardinal grande implica em algo que e impossıvel dese mostrar.

Assim, e impossıvel provar que existe um cardinal grande (e nadaimpede que nao existam). Pior ainda, e impossıvel provar que supor a existenciade cardinais grandes nao implica em contradicoes.

E la vamos nos

Teorema

Ou seja, a existencia de um cardinal grande implica em algo que e impossıvel dese mostrar. Assim, e impossıvel provar que existe um cardinal grande

(e nadaimpede que nao existam). Pior ainda, e impossıvel provar que supor a existenciade cardinais grandes nao implica em contradicoes.

E la vamos nos

Teorema

Ou seja, a existencia de um cardinal grande implica em algo que e impossıvel dese mostrar. Assim, e impossıvel provar que existe um cardinal grande (e nadaimpede que nao existam).

Pior ainda, e impossıvel provar que supor a existenciade cardinais grandes nao implica em contradicoes.

E la vamos nos

Teorema

Pode parecer mentira

Resultados que implicam na existencia de cardinais grandes nao sao tao rarosassim.

Diversos matematicos trabalham com teorias do tipo “se existe um cardinalgrande desse jeito, entao...”. Apesar de ser impossıvel mostrar que “tudo bem”.Em alguns casos que o pessoal “foi longe demais”, ja se mostrou que, de fato,chegam a contradicoes.

Resultados que implicam na existencia de cardinais grandes nao sao tao rarosassim. Diversos matematicos trabalham com teorias do tipo “se existe um cardinalgrande desse jeito, entao...”.

Apesar de ser impossıvel mostrar que “tudo bem”.Em alguns casos que o pessoal “foi longe demais”, ja se mostrou que, de fato,chegam a contradicoes.

Resultados que implicam na existencia de cardinais grandes nao sao tao rarosassim. Diversos matematicos trabalham com teorias do tipo “se existe um cardinalgrande desse jeito, entao...”. Apesar de ser impossıvel mostrar que “tudo bem”.

Em alguns casos que o pessoal “foi longe demais”, ja se mostrou que, de fato,chegam a contradicoes.

Resultados que implicam na existencia de cardinais grandes nao sao tao rarosassim. Diversos matematicos trabalham com teorias do tipo “se existe um cardinalgrande desse jeito, entao...”. Apesar de ser impossıvel mostrar que “tudo bem”.Em alguns casos que o pessoal “foi longe demais”, ja se mostrou que, de fato,chegam a contradicoes.

Expressao

Cutucar onca com vara curta.

Expressao

Cutucar onca com vara curta.

Bibliografia

Just, W.; Weese, M.; Discovering Modern Set Theory (I & II)

Leandro Fiorini Aurichi - USPlegal.icmc.usp.br/lib/exe/fetch.php?media=slides:mentira.pdf ·...

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