matematiksel iktisat ders notları (üstel ve logaritmik fonksiyonlar)

ÜÜSTEL VE STEL VE

LOGARLOGARİİTMTMİİK K

FONKSFONKSİİYONLARYONLAR

22ŞŞekil 5.1a ekil 5.1a ÜÜstel Fonksiyonlarstel Fonksiyonlar

-3 -2 -1 1 2 3

2

4

6

8

10( ) , 1ty f t b b= = >

y

t•

33ŞŞekil 5.1b ekil 5.1b ÜÜstel Fonksiyonlarstel Fonksiyonlar

-2 -1 1 2 3 4

10

20

30

40

50

( ) 2ty f t= =

y

t

( ) 22 ty f t= =

44ŞŞekil 5.1c ekil 5.1c ÜÜstel Fonksiyonlarstel Fonksiyonlar

-2 -1 1 2

2

4

6

8y

( ) ( )2 2ty f t= =

( ) 2ty f t= =

t

55

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

, 1

0 ,

ln ln ln ln

ln

ln 0 ,

t

t

t

y f t b b

y f t b t

dy b t y bdt

dy yb

dt

dy f t b b tdt

= = >

= = > −∞ < < ∞

= → =

=

′= = > −∞ < < ∞

66

( ) ( )

( ) ( )

22

2 ln 0 ,

lim , lim 0

t

t t

t t

d y f t b b tdt

b b→∞ →−∞

′′= = > −∞ < < ∞

= ∞ =

77

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

, 1

ln

0 , 0 0

0 , 0 0

0 , 0 0

0 , 0 0

ct

ct

y f t ab b

f t ac b b

a c f t

a c f t

a c f t

a c f t

= = >

′ =

′> > → >

′> < → <

′< > → <

′< < → >

88

( ) ( )

( )

( )

22 ln

0 0

0 0

ctf t ac b b

a f t

a f t

′′ =

′′> → >

′′< → <

99ŞŞekil 5.2a ekil 5.2a ÜÜstel Fonksiyonlarstel Fonksiyonlar

y

t0

y

t0

( )0 , 0

cty f t aba c= =

> <( )

0 , 0

cty f t aba c= =

> >

1010ŞŞekil 5.2b ekil 5.2b ÜÜstel Fonksiyonlarstel Fonksiyonlar

y y0 0t t

( )0 , 0

cty f t aba c= =

< >( )

0 , 0

cty f t aba c= =

< <

1111e Tabane Tabanıı ya da Doya da Doğğal al ÜÜstel Fonksiyonlarstel Fonksiyonlar

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 2 2 2 2 1 2

f t f t

t t

rt rt

t t t t

dyy e f t edt

dyy f t e edt

dyy f t Ae Aredt

dyy f t te e t te e tdt

′= → =

= = → =

= = → =

= = → = + = +

1212ŞŞekil 5.3. ekil 5.3. ÜÜstel Fonksiyonlarstel Fonksiyonlar

-3 -2 -1 1 2 3

5

10

15

20

25

30ty e=

1313DoDoğğal al ÜÜstel Fonksiyonlar ve Bstel Fonksiyonlar ve Büüyyüümeme

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

1 21 11 2

3 41 13 4

1001100

11

1 1 2 , 2 1 2.25

3 1 2.37037 , 4 1 2.44141 .....

100 1 2.70481 .....

1lim lim 1 2.71828

m

m

m m

f mm

f f

f f

f

e f mm→∞ →∞

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

= + = = + =

= + = = + =

= + =

⎛ ⎞= = +⎜ ⎟⎝ ⎠

fonksiyonunun Maclaurin serisini bulalım. Bu açılım, esayısının asimptotik değerini verecektir.

xy e=1414

( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 1

0 1

0 1............. ...........

0 1

x

x

x

x

n nx

y f x e

f x e f

f x e f

f x e f

f x e f

= =

′ ′= → =

′′ ′′= → =

′′′ ′′′= → =

= → =

1515

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3

2 2 2 2

0 0 0 0 0.....

0! 1! 2! 3! !

1 1 1 11 .....2 6 24 120

1 için;

1 1 1 11 1 .....2 6 24 120

2.7182819

nn

x

f f f f ff x x x x x

n

e x x x x x

x

e

e

′ ′′ ′′′= + + + + +

= + + + + + +

=

= + + + + + +

1616

Kesikli BKesikli Büüyyüümeden Smeden Süürekli Brekli Büüyyüümeye Gemeye Geççiişş

Süreksiz bir büyüme süreci şöyledir:

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

1 0 0 0

22 1 1 0 0 0

33 2 2 0

1 1 0

1.Yıl : 1

2.Yıl : 1 1 1

3.Yıl : 1

....................................................

t.Yıl : 1 tt t t

A A rA A r

A A rA A r rA r A r

A A rA A r

A A rA A r− −

= + = +

= + = + + + = +

= + = +

= + = +

1717Yıldan yıla gelişen bu kesikli faiz sürecini, bir yılın altındaki

zaman dilimlerini de (günlük, aylık, üç aylık gibi) kapsayacak

şekilde genelleştirelim. Bir yılda tekrarlanan vade sayısına mdiyelim.

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

1 0 0 0

22 1 1 0 0 0

33 2 2 0

1 1 0

1.Dönem: 1

2.Dönem: 1 1 1

3.Dönem: 1

....................................................

m.Dönem: 1

r rm m

r r r rm m m m

r rm m

mr rm m mm m

A A A A

A A A A rA A

A A A A

A A A A− −

= + = +

= + = + + + = +

= + = +

= + = +

1818Bir yılda tekrarlanan vade ve yıllık birikimi birlikte yazalım:

( )0 1mtr

mA A= +

Bu ifade, bir yıl içerisinde m kadar tekrarlanan ve t yıl süren bir

bileşik faiz sürecinin sonunda birikecek olan toplam geliri

göstermektedir. Süreç zaman dilimleri arasında sıçramalarla

ilerlediğinden, kesiklidir. Ancak iktisat biliminde bu kesikli

süreçlerin yanında, birikimin (büyümenin) sürekli biçimde

gerçekleştiği durumlar da vardır. Bu nedenle, yukarıdaki kesikli

bileşik birikim sürecini, sürekli biçime dönüştürelim.

1919

( )

( )

( )

( )

11 1

11

1lim lim 1

mr

rtmt

rtw

rtwrt

w w

rt

rV m A Am m r

mw V m Ar w

V m A Aew

V m Ae

→∞ →∞

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎢ ⎥= + = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= → = +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= + =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

=

2020Kesikli ve SKesikli ve Süürekli Brekli Büüyyüümede Bugmede Bugüünknküü DeDeğğerer

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

0 0

0 0

0 0

1 1

( ) 1 1

( )

t t

mt mt

rt rt

V t A r A V t r

r rV m A A V tm m

V m A e A V t e

−

−

−

= + → = +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + → = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= → =

2121ee saysayııssıı ve Anlve Anlıık Bk Büüyyüüme Hme Hıızzıı

0

0

ln 1

rtt

rttt

t t t t t

t t

V A e

dVrA e rV

dt

d V dV V dV Vr

dt dt dt V V

=

= =

= = = =

2222

LogaritmaLogaritma

Üstel ve logaritmik fonksiyonlar monotonik olduklarından tersi

alınabilir ve birbirlerinin tersi olan fonksiyonlardır.

log

log ln

tb

te

y b t y

y e t y y

= ⇔ =

= ⇔ = =

2323ŞŞekil 5.4. Doekil 5.4. Doğğal al ÜÜstel ve Dostel ve Doğğal al

Logaritmik FonksiyonlarLogaritmik Fonksiyonlar

••

1

1

y t

t

y e=

lnt y=

0

2424Temel Logaritma KurallarTemel Logaritma Kurallarıı

1. Bir 1. Bir ÇÇarparpıımmıın Logaritmasn Logaritmasıı::

( )ln ln ln , , 0uv u v u v= + >

İspat:

( )

( )

ln

* ln * ln

* * ln ln ln ln * *

,

ln ln ln

uv

u v

u v u v

uv e

u e v e

u v e e e u v u v+

=

= =

= = → = +

25252. Bir B2. Bir Bööllüümmüün Logaritmasn Logaritmasıı::

ln* ln * ln

* ln *ln ln

* ln *

ln ln ln , , 0

, ,

ln ln ln

uu vv

uu v

v

u u v u vv

u e u e v ev

u e ue u vv e v

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

−

⎛ ⎞ = − >⎜ ⎟⎝ ⎠

= = =

⎛ ⎞= = → = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

İspat:

26263. Bir Kuvvetin Logaritmas3. Bir Kuvvetin Logaritmasıı::

( )ln ln

ln ln , 0

ln ln

a

aa u a u a

u a u u

u e e u a u

= >

= = → =

İspat:

27274. Logaritma Taban4. Logaritma Tabanıınnıın Den Değğiişştirilmesitirilmesi

( ) ( )log log log

log

log log log log log

b b e

pe

pb b b e b

u e u

u e p u

u e p e u e

=

= → =

= = =

İspat:

28285. Logaritma Taban5. Logaritma Tabanıınnıın Tersin Tersi

( ) ( )

( ) ( )

1 1

1loglog

log log log

11 log log loglog

be

b b e

b e be

eb

u b b e b

e b eb

=

= → =

= → =

İspat:

29291. Logaritmik Fonksiyon T1. Logaritmik Fonksiyon Tüürev Kuralrev Kuralıı

( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )

( )( )

1ln ln

ln ,

ln 1ln ln

dy dy t tdt dt t

duy f t u f t f tdt

d u f tdy d du duy u f tdt dt du dt u dt f t

f tdydt f t

= → = =

′= = → =

′= → = = = =

′=

30302. Do2. Doğğal al ÜÜstel Fonksiyon Tstel Fonksiyon Tüürev Kuralrev Kuralıı

( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

,

t t t

f t

uf t f tu u

f t

dy dy e e edt dt

duy e u f t f tdt

d edy d duy e e e f t f t edt dt du dt

dy f t edt

= → = =

′= = → =

′ ′= → = = = =

′=

3131ÖÖrnek 1:rnek 1:

rt rtdyy e redt

= → =

ÖÖrnek 2:rnek 2:

t tdyy e edt

− −= → = −

ÖÖrnek 3:rnek 3:

( ) 1ln dy ay atdt at t

= → = =

3232ÖÖrnek 4:rnek 4:

1ln dyy a t adt t

= → =

ÖÖrnek 5:rnek 5:

( )3 2 2 2 3 2 21ln 3 ln 2 3ln 2dyy t t t t t t tdt t

= → = + = +

ÖÖrnek 6:rnek 6:

ln 1 1logln lnb

t dyy t yb dt b t

= → = → =

3333

ÖÖrnek 7:rnek 7:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

lnln ln ln

ln ln ln

f t

f t

d yy b y f t b f t bdt

dy y dyf t b yf t b b f t bdt dt

′= → = → =

′ ′ ′= → = =

ÖÖrnek 8:rnek 8:

( ) ( ) ( )( )

ln 1logln lnb

f t f tdyy f t yb dt b f t

′= → = → =

3434

ÖÖrnek 9:rnek 9:

( )1

1

ln12 ln 1 ln12 ln12

ln12 12 ln12

t

t

d yy y tdt

dy y dydt dt

−

−

= → = − → =

= → =

ÖÖrnek 10:rnek 10:

( )( )

( )( )

2

2

2

22

2

ln1

log1 ln

1 ln ln 1ln

1 1 2 1ln ln 1ln ln 1

1 ln 2ln 1 1

b

ttty t y t

t b

y t t tb

dy tt t tdt b b tt

dy t tdt b t t

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎛ ⎞ ⎝ ⎠= → =⎜ ⎟+⎝ ⎠

= − +

⎛ ⎞= − + + −⎜ ⎟+⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞= − +⎢ ⎥⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎣ ⎦

3535

3636ÖÖrnek 11:rnek 11:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2

2

2

2

3 2 1

ln ln ln 3 ln 2 1

ln 2 1 23 2 1

2 1 23 2 1 3 2 1

xyx x

y x x x

d y xdt x xx

dy x xdt x x x xx

=+ +

= − + − +

= − −+ +

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠

Optimal Zamanlama: Optimal Zamanlama: ŞŞarap Depolama Problemiarap Depolama Problemi

Şarabın değeri verilmiş olsun:

Şarap üreticisi t=0 anında şarabı satarsa (yani depolama

yapmadan doğruca üretimden satışa giderse), şarabın değeri:

3737

ttV Ke=

00 00t V Ke V K= → = → =

Yani K, şarabın üretildiği andaki değeridir. Üretici, kârını

maksimize edebilmek için şarabı ne kadar süre depolamalıdır?

Bir başka ifadeyle, optimal şarap depolama süresi nedir

(depolamanın maliyetsiz olduğunu varsayıyoruz)?

3838Şarabın, mahzende depolandıktan sonra satılması halinde

kazanılacak gelirin bugünkü değerini, piyasada geçerli olan faiz

oranından indirgeme yaparak belirleriz:

rtt tA V e−=

Buna göre, V ’nin bugünkü değeri:

rt t rtt t

t rtt

A V e Ke e

A Ke

− −

−

= =

=

3939

Amaç, V ’nin bugünkü değerini (At) maksimize etmektir. Bunun

için optimizasyonda gerekli ve yeterli olan birinci ve ikinci sıra

koşullardan yararlanırız.

Birinci Sıra Koşul:

İkinci Sıra Koşul:

0dAdt

=

2

2 0d Adt

<

4040

( )

12

12

1 12 2

12

*2

ln 1ln ln2

1 1 02 2

1 1042

t rtt

t rt

A Ke

d AA K t rt rdt t

dA A dAr Ke rdt dtt t

r trt

−

−

=

= + − → = −

⎛ ⎞= − → = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

− = → =Optimal Depolama Süresi

4141

Görüldüğü gibi, bekleme (depolama) süresi (t) ile piyasa faiz

oranı (r) arasında ters yönlü bir ilişki vardır. Piyasa faiz oranı

artarsa, şarabın değerlenme süresi de giderek kısalır:

*2 3

1 1 04 2

dttr dr r

= → = − <

4242Şimdi ikinci sıra koşulu inceleyelim:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 12 2

12

12

12

32

21 12 22

12 2122

0

12 2142 3

04

t rtd A d dKe t r A t rdt dt dt

d t rd A dAA t rdt dt dt

d t rd A AA A tdt dt t

− −−

−

−

−

−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤−⎣ ⎦= + −

⎡ ⎤−⎣ ⎦= = − = − <

GSMH GSMH ’’de Bde Büüyyüümenin Belirlenmesimenin Belirlenmesi

Türkiye GSMH ’si belirli bir dönem için yıllık ve üçer aylık

olarak aşağıda verilmiştir. Her iki zaman dilimindeki ardışık ve

ortalama büyüme oranlarını bulalım.

4343

YıllarGSMH (1987=100)

(Milyar TL)

1950 10827

1951 12205

1952 13667

1953 15214

4444Genel olarak (yıllık) büyüme oranının belirlenmesi:

1

1 1

t t tt

t t

Y Y Yg

Y Y−

− −

∆ −= =

Örneğin 1951 yılındaki büyüme oranını bulalım:

1951 1951 19501951

1950 1950

1951

12205 1082710827

0.1129 %11.29

Y Y Yg

Y Y

g

∆ − −= = =

= =

4545Belirli bir dönemdeki ortalama büyüme hızının belirlenmesi:

0 0

0

ln ln

ln ln

gtt t

t

Y Y e Y Y gt

Y Yg

t

= → = +

−=

Y0 ’dan Yt ’ye geçen süre 1 yıl ise (∆t=1) büyüme oranı:

1ln lnt tg Y Y −= −

4646

Diğer yıllara ilişkin büyüme oranları da aşağıdaki tabloda

hesaplanmıştır:

YıllarGSMH (1987=100)

(Milyar TL)Büyüme

Oranları (%)Ortalama Büyüme

Oranları (%)

11.98

11.31

10.72

11.29

10.70

10.17

1950 10827

1951 12205

1952 13667

1953 15214

4747ŞŞekil 5.5. Tekil 5.5. Tüürkiyerkiye’’nin GSMH Gelinin GSMH Gelişşimiimi

y = 41.013e0.0434x

R2 = 0.9856

0.0

200.0

400.0

600.0

800.0

1000.0

1200.0

1400.0

1923

1926

1929

1932

1935

1938

1941

1944

1947

1950

1953

1956

1959

1962

1965

1968

1971

1974

1977

1980

1983

1986

1989

1992

1995

1998

2001

4848Tablo 5.2. TTablo 5.2. Tüürkiyerkiye’’nin nin ÜçÜçer Ayler Aylıık GSMH Gelik GSMH Gelişşimiimi

Üçer Aylık DönemlerGSMH (1987=100)

(Milyar TL)

1980.1 9060548

1980.2 10804801

1980.3 17808035

1980.4 12622606

1981.1 9687466

1981.2 11563892

1981.3 18249736

1981.4 13227577

4949Genel olarak (üçer aylık) büyüme oranının belirlenmesi:

. . 1..

1. 1.

, 1, 2, 3,4t i t i t it i

t i t i

Y Y Yg i

Y Y−

− −

∆ −= = =

Örneğin 1981 yılının ikinci üç aylık dönemindeki büyüme

oranını bulalım:

1981.2 1981.2 1980.21981.2

1980.2 1980.2

1981.2

11563892 1080480110804801

0.0703 %7.03

Y Y Yg

Y Y

g

∆ − −= = =

= =

Diğer dönemlere ilişkin büyüme oranları da aşağıdaki tabloda

hesaplanmıştır:

5050

Üçer Aylık DönemlerGSMH (1987=100)

(Milyar TL)Büyüme Oranları

(%)

1980.1 9060548

6.69

7.03

2.48

4.79

1980.2 10804801

1980.3 17808035

1980.4 12622606

1981.1 9687466

1981.2 11563892

1981.3 18249736

1981.4 13227577

5151ŞŞekil 5.5. Tekil 5.5. Tüürkiyerkiye’’nin GSMH Gelinin GSMH Gelişşimiimi

(1987.1(1987.1--2002.4)2002.4)

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

1987

Q1

1987

Q4

1988

Q3

1989

Q2

1990

Q1

1990

Q4

1991

Q3

1992

Q2

1993

Q1

1993

Q4

1994

Q3

1995

Q2

1996

Q1

1996

Q4

1997

Q3

1998

Q2

1999

Q1

1999

Q4

2000

Q3

2001

Q2

2002

Q1

2002

Q4

Mevsimsellik içeren GSYİH serisi

X-12 yöntemiyle mevsimsellikten arındırılmış GSYİH serisi

5252FonksiyonlarFonksiyonlarıın Bilen Bileşşimlerinin Bimlerinin Büüyyüüme Hme Hıızzıı

1.1.ÇÇarparpıım Bim Biççimindeki Fonksiyonlardaimindeki Fonksiyonlarda

( ) ( )

( )

, ,

ln ln ln ln ln

ln ln ln

y u v

y uv u f t v g t

y uv y u v

d y d u d v dy y du u dv vdt dt dt dt dt dt

y u v r r ry u v

= = =

= → = +

= + → = +

= + → = +

53532.B2.Bööllüüm Bim Biççimindeki Fonksiyonlardaimindeki Fonksiyonlarda

( ) ( ), ,

ln ln ln ln ln

ln ln ln

y u v

uy u f t v g tv

uy y u vv

d y d u d v dy y du u dv vdt dt dt dt dt dt

y u v r r ry u v

= = =

⎛ ⎞= → = −⎜ ⎟⎝ ⎠

= − → = −

= − → = −

54543.Toplam ya da Fark Bi3.Toplam ya da Fark Biççimindeki Fonksiyonlardaimindeki Fonksiyonlarda

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

, ,

lnlnln ln

1

y

y

y

y u v u f t v g t

d u vd yy u vdt dt

d u v u vr

dt

d f t g t f t g tr

dt

r f t g tf t g t

= + = =

+= + → =

+ +=

+ +=

′ ′⎡ ⎤= +⎣ ⎦+

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

1

u u

v v

y u v

y u v

f tr f t f t r

f t

g tr g t g t r

g t

r f t r g t rf t g t

f t g tr r r

f t g t f t g t

′′= → =

′′= → =

⎡ ⎤= +⎣ ⎦+

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5555

ÖÖrnek 12:rnek 12:

Bir ekonominin mal ihracatı artış hızı rG=t/3; hizmet ihracatı artış

hızı rS=t/5 olarak kaydedilmiştir. Buna göre, bu ekonominin

toplam ihracatının artış hızı nedir?

5656

( ) ( ) ( )

5 33 5 15x G S x

X t G t S t

G S G t S t G Sr r r r tX X X X X

= +

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + → = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ÖÖrnek 13:rnek 13:

Bir ekonominin GSYİH büyüme oranı %2.5; nüfus artış hızı da

%1.4 ise, kişi başına GSYİH artış hızı nedir?

5757

ln ln ln

ln ln ln

0.025 0.014 0.011

Yy y Y NN

d y d Y d Ndt dt dt

yy

= → = −

= −

= − =

ÖÖrnek 14:rnek 14:

Bir firmanın sattığı malın fiyatı 2003 yılı içinde %5

değerlenmiş ve satış miktarı da %3 artmıştır. Buna göre,

firmanın toplam hasılat artışı nedir?

5858

ln ln ln

ln ln ln

0.05 0.03 0.08 %8

R PQ R P Q

d R d P d Qdt dt dt

R P QR P Q

= → = +

= +

= + = + = =

5959ÖÖrnek 15:rnek 15:

Bankaya iki yıllık süre için yılda %10 bileşik faizle yatırılmış

olan 1000 TL’nin sağlayacağı toplam getiri nedir?

( ) ( )

0

20

1000 , %10 0.1 , 2

1 1000 1 .

1

0

210

1t

A TL r t

V A

V

r V

= = = =

=

=

+ → = +

6060ÖÖrnek 16:rnek 16:

Örnek 15’teki vade süresi 6 ay olsa toplam getiri ne olurdu?

( )

( )( )

0

2 2

0

1000 , %10 0.1 , 2 , 2 6

0.1

1215.

1 1000 12

5

mt

A TL r t m ay vade

V

rV A Vm

= = = = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + → = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠

=

⎝ ⎠ ⎝

6161ÖÖrnek 17:rnek 17:

Örnek 15’teki vade süresi sıfıra yaklaşırsa, yani bir yıl içindeki

vade tekrarı sonsuza giderse toplam getiri ne olurdu?

( )( )

0

0.1 20

1000 , %10 0.1 , 2 ,

1221.4

rtt

A TL r t m

V A e V e

V

= = = = →

=

∞

= → =

ÖÖrnek 18:rnek 18:

Örnek 15, 16 ve 17’de değişik vadelere bağlı olarak birikimli

faiz işleme sürecini inceledik. Faiz sürecinin sonunda elde

edilen toplam getiri, vadeye bağlı olarak değişmektedir. Buna

göre, yıllık efektif faiz oranı nedir?

Efektif faiz oranEfektif faiz oranıı, tüm uygulamalardaki toplam getirileri

eşitleyen faiz oranıdır.

6262

( )0 01 1mt

te

rA r Am

⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

6363

( )0 0

2

0.1

1 1

1

%10.25

%

1 1

lim lim 1 1 1

0.11 1 1 1 0.10252

1 1 0.10 10.55 22

mtt

e

mi

em m

m

m

e

ie

e e

ie e

rrm

r e

rA r Am

rr em

rr rm

r e r e

→∞ →∞

⎛ ⎞+ = + →⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞= + − = − →⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − → = + − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − → = − =

⎛ ⎞= +⎠

=

−⎜ ⎟⎝

= −

ÖÖrnek 19:rnek 19:

5 yıllık (vadeli) bir bononun yıllık %9 faizden sağlayacağı

toplam gelir 1000 TL’dir. Bu bononun bugünkü değeri nedir?

6464

0

0

0

5

0

1 1

1000 , %9 0.09 , 5 , 1

0.091000 649.931 .1

mt mtr rV A A Vm m

V r t m

A A TL

−

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + → = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= = = = =

⎛ ⎞= + →⎟⎠

=⎜⎝

Bir Bir AnuiteninAnuitenin ŞŞimdiki Deimdiki Değğerieri

AnuiteAnuite, veri bir zaman diliminde, her bir dönem için yapılan

ödemeler dizisine denir.

Aşağıdaki şekilde, n dönem boyunca her dönem R liralık

ödemenin, bugünkü değerleri dönem dönem gösterilmiştir. Her

bir dönem için yapılan ödemelerin bugünkü değerlerinin

toplamını yazalım.

6565

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 11 1 ..... 1 1n nA R r R r R r R r− − − − −= + + + + + + + +

6666

0 1 2 3 1n − nR R R R R

( ) 11R r −+

( ) 21R r −+

( ) ( )11 nR r − −+

( )1 nR r −+

6767

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 11 1 ..... 1 1n nA R r R r R r R r− − − − −= + + + + + + + +

Bu, bir geometrik seridir. Terim sayısı n, ilk terimi R(1+r)-1 ve

ortak çarpanı (1+r)-1 ‘dir. Bu toplamı şöyle bulabiliriz:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

1 2 1

1 2 3 1

1 1 1

1 1 ..... 1 1

1 1 1 ..... 1 1

1 1 1 1 1

n n

n n

n

A R r R r R r R r

r A R r R r R r R r

A r R r r r

− − − − −

− − − − − −

− − − −

= + + + + + + + +

− + = − + − + − − + − +

⎡ ⎤⎡ ⎤− + = + − + +⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

+

6868

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

( )( )( ) ( )

( )( )

( )

1 1

1

1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 11 1

n

n n

n n

A r R r r

r r rA R R

r r r

r rA R A R

r r

− − −

− − −

− −

− −

⎡ ⎤⎡ ⎤− + = + − +⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤+ − + − +⎢ ⎥⎣ ⎦= =⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎛ ⎞− + − +⎜ ⎟= → =⎜ ⎟+ − ⎝ ⎠

ÖÖrnek 20:rnek 20:

Aylık 1000 TL. kazandıran, %6 bileşik faizdeki, 3.5 yıllık bir

anuitenin bugünkü değeri nedir?

6969

( ) ( )

( )

( ) 42

0.061000 . , 0.005 , 3.5 12 4212

1

37798.3

1

1 1 0.0051000 .

0.005

n

R TL r n

rA R

r

A TL

−

−

= = = = =

⎛ ⎞− +⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞− +⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎝ ⎠

7070Bir Bir AnuiteninAnuitenin Gelecekteki DeGelecekteki Değğerieri

Bir anuitenin gelecekteki değeri (miktarı), tüm dönemler

sonunda yapılmış olan ödemelerin toplam değeridir.

Aşağıdaki şekilde Aşağıdaki şekilde, n dönem boyunca her

dönem R liralık ödemenin, gelecekteki değerleri dönem dönem

gösterilmiştir. Her bir dönem için yapılan ödemelerin bugünkü

değerlerinin toplamını yazalım.

( ) ( ) ( ) ( )2 3 11 1 1 ..... 1 nV R R r R r R r R r −= + + + + + + + +

7171

0 1 2 3 1n − n

R R R R R

( )1R r+

( )21R r+

( ) 11 nR r −+

2n −R

7272

( ) ( ) ( ) ( )2 3 11 1 1 ..... 1 nV R R r R r R r R r −= + + + + + + + +

Bu, bir geometrik seridir. Terim sayısı n, ilk terimi R ve ortak

çarpanı (1+r) ‘dir. Bu toplamı şöyle bulabiliriz:

+

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 3 1

2 1

1 1 1 ..... 1

1 1 1 ..... 1 1

1 11 1 1 1

n

n n

nn

V R R r R r R r R r

r V R r R r R r R r

rV r R r V R

r

−

−

= + + + + + + + + +

− + = − + − + − − + − +

⎛ ⎞+ −⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎡ ⎤− + = − + → =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎝ ⎠

ÖÖrnek 21:rnek 21:

%6 bileşik faiz üzerinden 3 yıl boyunca ve her 3 ayda bir

yapılan 50 TL’lik ödemelere sahip bir anuitenin gelecekteki

değeri nedir?

7373

( ) ( )

( ) ( )12

0.0650 . , 0.015 , 4 3 124

1 1 1 0.015652.06

150 .

0.015

n

R TL r n

rV R V L

rT

= = = = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟= → = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7474

YatYatıırrıım Fonum Fonu

Yatırım fonu, gelecekteki bir zorunluluktan ötürü, ödemelerin

periyodik biçimde önceden yapılmasıdır. Örneğin 7000 TL’lik

bir makine satın aldığımızı ve 8 yıllık kullanım ömrü olduğunu

varsayalım. 8. yılın sonunda yenisini alabilmek için her dönem

bir kenara ayırmak ayırmamız gereken para, yatırım fonudur.

7575ÖÖrnek 22:rnek 22:

Kendisine 6 yıl boyunca her yıl 1000 TL. kazandıracağını

tahmin ettiği bir makineyi satın almak isteyen bir firma,

yatırım fonuna yıllık ödeme yapmaktadır ve bileşik faiz oranı

da yıllık %5’tir. Firmanın bu makine yatırımından %7

kazanmak istemesi halinde, makineye yapması gereken ödeme

miktarı ne olur?

7676

Makinenin satın alınma fiyatına X diyelim. Dolayısıyla bu

makine her yıl firmaya ( 0.07X ) kadar kazandıracaktır.

Makinenin yıllık getirisi 1000 TL. olduğundan, geri kalan

yıllarda firma yatırım fonuna her yıl için (R=1000-0.07X) kadar

ödeme yapacaktır. Bu ödemelerin toplamı, X ’e eşittir.

( ) ( )61 0.05

4607.92

11000 0.07

0.05

.X TL

X X+ −

=

= −

Bir Borcun Bir Borcun ÖÖdeme Ddeme Döönem Saynem Sayııssıınnıın (n (nn) Belirlenmesi) Belirlenmesi

Anuite bugünkü değerinin belirlenmesi hesabından hareket

ederek, ödeme dönem dayısını (n) belirleyebiliriz:

7777

( ) ( )

( ) ( )

( )

1 11 1

1 ln 1 l

ln

ln

n

1

nn

n

r ArA R rr R

R Ar R Arr

RR Arn

n rR R

r

−−

−

⎛ ⎞− +⎜ ⎟= → = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

− −⎛ ⎞+ = →

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

− + = ⎜ ⎟⎝ ⎠

=+

ÖÖrnek 23:rnek 23:

Bir müzik marketten 1500 TL.değerinde bir müzik seti satın

aldınız? Her ay 75 TL. ödeme yapacaksınız. Market bu vadeli

alış verişe yıllık %12 bileşik faiz işletiyorsa, borcunuzun

tamamını kaç ödemede kapatabilirsiniz?

7878

( )

( ) ( )( )

ln0.12, 1500 . , 75 . , 0.01

ln 1 12

75ln75 0.01 1500

ln 1 0.0122.4

RR Arn A TL R TL r

r

n ayn

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠= = = = =

≅

+

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠= →

+

ÖÖrnek 24:rnek 24:

Bir A ekonomisinin gelecek yıllarda, yıllık ortalama %5, B

ekonomisinin de %2 büyüyeceğini varsayalım. B ekonomisi, A

ekonomisinden iki kat daha zengin ise, kaç yıl sonra A

ekonomisi B kadar zenginlik düzeyine ulaşır?

A ve B ekonomilerinin t yıl sonraki GSMH’leri:

7979

0 0,A Bg t g tAt A Bt BY Y e Y Y e= =

8080

t yıl sonra her iki ekonomi aynı zenginlik düzeyinde

olacağından, t yıl sonraki GSMH ’leri eşitleyelim:

( ) ( )

0 0

0.05 0.02 0.05 0.020 0 0 0

0.05 0. 2

*

0

0

2 2 2

ln ln 2 ln 0.0

.693 23.10.03

5 0.693 0.02

A Bg t g tAt Bt A B

t t t tA B A A

t t

Y Y Y e Y

t

e

Y Y Y e Y e e e

e t

y

t

l

e

ı

= → =

= → = → =

=

= ≅

+ → = +

ÖÖrnek 25:rnek 25:

Eksik istihdamdaki bir ekonominin kişi başına GSMH’sinin yıllık

ortalama %1 hızla büyüyeceğini varsayalım. Bu ekonomi kaç

yılda şu anki kişi başına GSMH’sinin iki katına ulaşır?

8181

( )

0

0.010 0 0

0.

*

01

2 , %1 0.01

2

ln 2 ln 0.69

0.693 69.3 700.01

3 0.01

t

gt tt

t

y y g

y y e y

t l

e

t

y

y

e

ı

= = =

= → =

= → =

= = ≈

ÖÖrnek 26:rnek 26:

Yaşam maliyet endeksi, baz yılı olan 1983’ten beri her yıl

%12.5 artmıştır. Buna göre, 1990’daki yaşam maliyeti endeks

değeri nedir?

8282

( ) ( )

83

790 83 90

90

100

1 100 1 0.125

228.07

t

C

C C i

C

C

=

= + → =

=

+

ÖÖrnek 27:rnek 27:

Bir firmanın satışlarının bugünkü değeri 150 TL.’dir. Bu firma

satışlarını her yıl %8 artıracak olursa, 6 yıl sonraki satışlarının

değeri ne olur?

8383

( ) ( )

0

0

6

6

60 6

150 , %8 0.08 , ?

1 1

238

.0

03

0 8

.

tt

S i S

S S i S S

S

= = = =

=

= + → = +

8484ÖÖrnek 28:rnek 28:

Bugün 1 ABD Dolarının 1,400,000 TL olduğunu varsayalım.

Dolar, TL karşısında yılda %2.6 oranında değer yitirirse, 25 yıl

sonra 1TL kaç Dolara eşit olur?

( ) ( )

2

0 25

250 25 0

5

1,400,000 , %2.6 0.026 , ?

1 1 0.026

724,606 .

tt

D TL i D

D D

D TL

i D D

= = = =

= − → −

≈

=

ÖÖrnek 29:rnek 29:

Gelişmekte olan bir ülke tasarruflarını 5.6 milyar $ ’dan, 12

milyar $ ’a yükseltmek istiyor. Her yıl tasarruflarını %15

oranında artırırsa, kaç yılda bu hedefine ulaşabilir?

8585

( ) ( )

( ) ( )

0

0 0

0

5.6 , %15 0.15 , 12 , ?

1 ln ln ln 1

ln ln ln12 5ln 5.6ln 1 0.

.5l

51

41n

S t

tt S t S

t

S

S g S t

S S g S S t g

S St t

gt yıl

= = = = =

= + → = + +

− −= → = → =

++

8686ÖÖrnek 30:rnek 30:

fonksiyonunun uçdeğerini araştıralım.34 xy x e=

( ) ( )

( ) ( )

3 3 3

23 3 3

2

2

2

4 3 4 4 3 1 0

13 1 03

12 3 1 12 12 3 2

1 ' 4.4 03

1Buna göre, 'te bir minimum vardır.3

x x x

x x x

dy x e e e xdx

x x

d y e x e e xdx

d yx tedx

x

= + = + =

+ = → = −

= + + = +

= − → = >

= −

8787ŞŞekil 5.6. ekil 5.6.

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.634 xy x e=

8888Veri NVeri Nüüfus Sayfus Sayıımlarmlarıınnıı Dikkate Alarak Ara YDikkate Alarak Ara Yııl ve Gelecekte l ve Gelecekte

NNüüfus Tahminleri:fus Tahminleri:

YıllarNüfus Sayımları

(Bin Kişi)Nüfus ArtışHızları (%)

1975 40078

2.07

2.48

2.18

1.90

1980 44438

1985 50306

1990 56098

2000 67845

8989

( )0

00

0ln ln l

ln ln

n

ln ln

nt ntt t

tt

N N e N N e

nN

N N nt

tN

= → = +

= −−

=→

YYııllllıık Ortalama k Ortalama NNüüfus Artfus Artışış HHıızzıı

9090

1975-1980 arasındaki yıllık ortalama nüfus artış hızını

hesaplayalım:

0 75 80

0 80 75

40078 , 44438 , 5

ln ln ln ln ln 44438

0.0207 %

ln 4007

2

85 5

.07

t

t

N N N N t

N N N Nn

t

n

= = = = =

− − −= = =

= =

Nüfus sayımı yapılmayan bir ara yılın, örneğin 1976 yılının

nüfusunu, yukarıda bulduğumuz 1975-1980 arasındaki yıllık

ortalama nüfus artış hızı değerini kullanarak tahmin edelim:

9191

0 75

76

7

2 0

6

. 70 76

40078 , 1 , 2.07

?

400

1

8

4

7

409

t

ntt

N N t n

N N

N N

N

e N e

= = = =

= =

=

≈

→ =

9292

Şimdi de 2010 yılı nüfusunu, ilk olarak %1.8, ikinci olarak

%1.5 nüfus artış hızlarına göre tahmin edelim.

}

( )

( )

0.018

0.

0 2000

2010

100 2010

100 2010

2010

012010

5

0.01867845 , 10 , 0.015

?

67845 8122

6

5

78845 2578

t

ntt

ntt

N N t n

N N

N N e N e

N

N

NN e N e

≈

= = = =

= =

=

= → ≈

→ = →

= →

9393BBüüyyüüme Muhasebesime Muhasebesi

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

, ln ln ,

ln ln ln

YK YL

Y F K L Y F K L

Y Y Y Yd Y Y dK Y dL Y K Ldt K dt L dt Y K L

Y Y Y YY K L Y Y K K Y L LK LY K K L L Y K Y K

Y K L

L

Y L

L

K

Y

= → =

∂ ∂∂ ∂= + → = +

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + → = +

=

⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂

+

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ε ε