View
58
Download
2
Category
Preview:
DESCRIPTION
statika.
Citation preview
ZadatakZa nosač na skici odrediti dijagram momenata, komponentalna pomjeranja svih čvorova i obrtanja tetiva svih štapova usljed zadatih spoljašnjih uticaja.E=30000000kN /m2 , b /h=20 /40cm
Napomena: Prilikom redukovanja prepusta obratiti pažnju gdje djeluje koncentrisani momenat
- sila djeluje u čvoru a momenat na kraju štapa
- sila i momenat djeluju u čvoru
Redukovanje prepusta, oznake čvorovaPrvo numerišemo grupe krutih uglova čija su nam obrtanja nepoznata (φ1, φ2…φm).
Određivanje stepena deformacijske neodređenosti
- nepoznata obrtanja grupa krutih uglova: φ1i φ2 m=2
Statika konstrukcija 2 PMD Primjer n=4 1
Rešetka sistema
- nezavisni parametari pomjeranja rešetke sistema: Δ1i Δ2n=2K−N ( zo+zš )=2 ·8−(7+7)=2
Ukupna deformacijska neodređenost:n¿=m+n=4
Redukovane dužine i krutost štapova
- usvajamo: C=2 EI c=2 EI=2 ·32000
lik' =lik
I cI ik
lik' - redukovana dužina
k ik=1
lik' k ik – redukovana krutost štapa
Određivanje krutosti štapa promjenljivog poprečnog presjeka
C=2 EI
d ig=1α ig
α ig¿ =α 54
¿ =2 EI α 54=2∫s
❑
M 2d s '
α 54¿ =2[ 33 (12+1 ·0.4+0.42 )+ 4
3·0.42]
α 54¿ =3.547
Zamjenjujuća krutost: d ig=1α ig
¿ => d54=1
3.547=0.282
d ig=1.5k ig => k 54=d541.5
=0.188
Shema redukovanih dužina i krutosti
Statika konstrukcija 2 PMD Primjer n=4 2
Usvajanje nezavisnih parametara pomjeranja rešetke sistema (Δ1 i Δ2) i definisanje kinematike rešetke pri jedničnim stanjima usvojenih parametara
Stanje Δ1=1
ψ12,1=1 ψ28,1=−0.4 , ostali štapovi se ne obrću
Stanje Δ2=1
Statika konstrukcija 2 PMD Primjer n=4 3
ψ28,2=1, ψ12,2=−1.5, ψ17,2=1.0, ψ13,2=−13
, ψ54,2=0.6, ψ43,2=0
Matrični oblik uslovnih jednačina PMD
Elementi matrice krutosti
A11=a12+a17+d13=2· (0.177+0.139 )+1.5·0.167=0.8825A12=A21=b12=0.177A22=a21+d28=2·0.177+1.5 ·0.150=0.5790B11=−c12ψ12,1=−3 ·0.177·1=−0.5310B12=−[c12ψ12,2+c17ψ17,2+d13ψ13,2 ]=−¿B21=−[c12ψ12,1+d28ψ28,1 ]=− [3·0.177 ·1.0+1.5 ·0.150 ·(−0.4)]=−0.441B22=−[d28ψ28,2+c12ψ12,2]=−[1.5 ·0.150·1.0+3 ·0.177 ·(−1.50)]=0.5715C11=2c12ψ12,1
2 +d28ψ28,12 =2·3 ·0.177 ·12+1.5·0.150 ·0.42=1.098
C12=C21=2c12ψ12,1ψ12,2+d28ψ28,1ψ28,2=2 ·3 ·0.177 ·1 · (−1.50 )+1.5 ·0.150· (−0.4 ) ·1=−1.683C22=2c12ψ12,2
2 +d28ψ28,22 +2c17ψ17,2
2 +d13ψ13,22 +d54ψ54,2
2 =2 ·3 ·0.177 ·1.502+1.5·0.150 ·12+2 ·3 ·0.139 ·1.02+1.5·0.167 ·(1 /3)2+1.5 ·0.188 ·0.62=3.5778
Elementi vektora opterećenja
A10=M 12+M 13+M 17+M 1
A20=M 21+M 28
C10=−[ (M 12+M21 )ψ12,1+M 28ψ28,1+ p12 l12 ·1 ·2+ p28 l28 ·0.4 ·5−80·0.4 ]C20=−¿
Gotski momenti
Statika konstrukcija 2 PMD Primjer n=4 4
1. Opterećenje
M 12o =−M 21
o =−p l2
12=−10 ·42
12=−13.333 kNm
M 28p =−p l2
8=−10·102
8=−125.0kNm
M 28M=−M
2 (3 b2l2−1)=M2
=802
=40kNm
M 28o =M 28
p +M28M=−125.0+40=−85.0kNm
X1 · δ11¿ +δ10
¿ =0δ 11
¿ =α54¿ =3.547
δ 10¿ =2 EI∫
s
❑ M 1M 0
EIds=2∫
s
❑
M 1M 0ds
δ 10¿ =2[−3
6·240 (2 ·0.4+1 )−4
3·240 ·0.4]
δ 10¿ =−688
X1=M54P =
−δ10¿
δ11¿ =194.016kNm
2. Temperaturna promjena u osi štapa 1-3, t°=20°C
Da bi sračunali ovaj uticaj, potrebno je odrediti obrtanja tetiva svih štapova na stabilnoj rešetki sistema usljed zadate temperaturne promjene. Ova obrtanja određujemo pomoću Williot-ovog plana pomjeranja.
Δl12=l12 ∙ α t ∙t°=12 ∙10−5 ∙20=2.4 ∙10−3m
Williot-ov plan pomjeranja
tgα=32
=> x=2.4tgα
=1.60mm=1.6 ·10−3m
ψ13 ,t=−1.6·10−3
12=−0.4
3·10−3 rad
ψ17 ,t=1.6·10−3
4=2.4 ·10
−3
6=2.884 ·10
−3
√62+42=0.4 ·10−3 rad
ψ12 ,t=−2.4 ·10−3
4=−0.6 ·10−3 rad
ψ28 ,t=4 ·10−3
10=0.4 ·10−3rad
Pomjeranja dobijena na stabilnoj rešetki sistema usljed temperaturne promjene
Statika konstrukcija 2 PMD Primjer n=4 5
M 12t =M 21
t =−c12ψ12 ,tC=−3 ·0.177· (−0.6·10−3 )·2 ·32000=19.238kNm
M 13t =−d13ψ13 , tC=−1.5·0.167 ·(−0.43 ·10−3)·2·32000=1.603kNm
M 17t =M 71
t =−c17ψ17 , tC=−3·0.139 ·0.4 ·10−3·2 ·32000=−10.675kNmM 28
t =−d28ψ28, tC=−1.5 ·0.150 ·0.4 ·10−3 ·2 ·32000=−5.760kNm
3. Temperaturna razlika na štapu 2-8, Δt=20°C
M 28Δt=−3
2E I 28α t
Δth
=−32
·1.5 ·32000 ·10−5 ·200.4
=−36.0kNm
4. Obrtanje uklještenja u čvoru 5, CU=2'
1°= π180
=¿1'= π180 ·60
2'=2 · π180 ·60
=0.000582 rad
M 54cu=d54 cuC=1.5 ·0.188 · (−0.000582 ) ·2 ·32000=−10.504kNm
5. Pomjeranje oslonca u čvoru 7, CO=3mm
Da bi sračunali ovaj uticaj, potrebno je odrediti obrtanja tetiva svih štapova na stabilnoj rešetki sistema usljed zadatog pomjeranja oslonca. Dakle, prvo ustabilimo rešetku a potom oslobodimo pomjeranje u zadanom pravcu.
Pomjeranja dobijena na stabilnoj rešetki sistema usljed pomjeranja oslonca
Statika konstrukcija 2 PMD Primjer n=4 6
ψ17 ,co=3 ·10
−3
6=0.5 ·10−3rad
ψ13 ,co=−0.5 ·10−3 ·4
12=−0.5
3·10−3rad
ψ28 ,co=0.5 ·10
−3 ·410
=0.2 ·10−3 rad
M 13co=−d13ψ13 , coC=−1.5 ·0.167 ·(−0.53 ·10−3)·2 ·32000=2.672kNm
M 17co=M 71
co=−c17ψ17 , coC=−3 ·0.139·0.5 ·10−3 ·2 ·32000=−13.344 kNmM 28
co=−d28ψ28, coC=−1.5 ·0.150 ·0.2 ·10−3 ·2 ·32000=−2.880kNm
Konačne vrijednosti gotskih momenata
M 12=−13.333+19.238=5.905 M 21=13.333+19.238=32.571 M 28=−85−5.760−2.880−36=−129.640 M 13=1.603+2.672=4.275 M 17=M 71=−10.675−13.344=−24.019 M 54=194.016−10.504=183.512
Konačne vrijednosti elemenata vektora opterećenja
A10=5.905+4.275−24.019−80=−93.839kNmA20=32.571−129.640=−97.069kNmC10=−[ (5.905+32.571 ) ·1−129.640· (−0.4 )+10 ·4 ·1 ·2+10·10 ·0.4 ·5−80 ·0.4 ]=−338.332kNmC20=−[ (5.905+32.571 ) · (−1.5 )−129.640 ·1+4.275 · (−1/3 )−2·24.019 ·1+183.512 ·0.6−10·4 ·1.5 ·4.67−10 ·10 ·1·5+80 ·1−20 ·1.5 ·2.67−120·6−100 ·0.6 ·6 ]=1987.010kNm
Određivanje osnovnih nepoznatih veličina
Dobijene vrijednosti obrtanja čvorova i parametara pomjeranja su pomnožene sa konstantom redukcije C.S obzirom na to da su konstante krutosti podijeljene sa C, slijedi da će se prilikom množenja ovih veličina C poništiti te ćemo dobiti tačne vrijednosti momenta savijanja.
M ik=aik · φ i+bik · φk−c ik ·∑j
n
ψ ik , j · Δ j+M ik=k ik (2· φ i+φk )−3· k ik ·∑j
n
ψ ik , j · Δ j+M ik
M ig=d ig · φ i−d ig ·∑j
n
ψ ik , j · Δ j+Mig
M 12=a12 ·φ1+b12 · φ2−c12 (ψ12,1 Δ1+ψ12,2Δ2 )+M 12=2·0.177 · (−499.196 )+0.177 ·109.601−3 ·0.177 · (1 · (−2395.57 )−1.5 ·(−1635.13))+5.905=−181.747kNmM 13=d13 · φ1−d13ψ13,2 Δ2+M 13=1.5 ·0.167· (−499.196 )−1.5 ·0.167 · (−1/3 ) · (−1635.13 )+4.275=−257.307 kNm
Statika konstrukcija 2 PMD Primjer n=4 7
M 17=a17 · φ1−c17ψ17,2Δ2+M 17=2·0.139 · (−499.196 )−3 ·0.139 ·1· (−1635.13 )−24.019=519.054 kNmM 71=b17 · φ1−c17ψ17,2 Δ2+M 71=0.139 · (−499.196 )−3 ·0.139·1 · (−1635.13 )−24.019=588.442kNmM 21=a12 ·φ2+b12 · φ1−c12 (ψ12,1 Δ1+ψ12,2Δ2 )+M 21=2·0.177 ·109.601+0.177 · (−499.196 )−3 ·0.177 ·¿M 28=d28 · φ2−d28 (ψ28,1Δ1+ψ 28,2Δ2 )+M 28=1.5·0.150 ·109.601−1.5 ·0.150·¿M 54=−d54ψ54,2 Δ2+M 54=−1.5 ·0.188 ·0.6 · (−1635.13 )+183.512=460.176kNm
Dijagram momenata savijanja
Vrijednosti momenata savijanja su dobijene pod pretpostavkom da pozitivan momenat na kraju štapa ima smjer kazaljke na satu te o tome moramo voditi računa prilikom crtanja dijagrama
Komponentalna pomjeranja i obrtanja tetiva štapova
Pomjeranja i obrtanja određujemo linarnom superpozicijom stanja Δ1 i Δ2 te dodavanjem eventualnog uticaja pomjeranja oslonaca ili temperaturne promjene.Pomjeranja ćemo izraziti preko horizontalne i vertikalne komponente (u i v). Pretpostavićemo da je horizontalno pomjeranje pozitivno u desno a vertikalno na dolje.
Komponentalna pomjeranja čvorova
u1=13·18 ·
Δ2C
+u1 , t=13·18 ·
−1635.132 ·32000
+0.0024=−0.1509m
v1=−13
·12 ·Δ2C
+v1, c+v1 ,t=−13
·12 ·−1635.132·32000
−0.002−0.0016=0.0986m
u2=1 ·4 ·Δ1C
=1 ·4 ·−2395.572·32000
=−0.1497m
v2=1·4 ·Δ1C
−1.5 ·6.67 ·Δ2C
+v2 ,c+v2 ,t=1 ·4 ·−2395.572·32000
−1.5·6.67 ·−1635.132·32000
−0.002−0.004=0.0997m
u3=13·18 ·
Δ2C
=13·18 ·
−1635.132·32000
=−0.1533m
v3=0
u4=0.6 ·10 ·Δ2C
=0.6 ·10 ·−1635.132 ·32000
=−0.1533m
v4=0
u5=v5=u6=v6=v7=0
Statika konstrukcija 2 PMD Primjer n=4 8
u7=u7 ,c=−0.003
u8=0.4 ·10·Δ1C
=0.4 ·10 ·−2395.572·32000
=−0.1497m
v8=0
Obrtanja tetiva štapova
ψ12=ψ12,1·Δ1C
+ψ12,2 ·Δ2C
+ψ12 ,t=0.00029 rad
ψ28=ψ28,1 ·Δ1C
+ψ28,2 ·Δ2C
+ψ12, t+ψ12 ,c=−0.00998 rad
ψ17=ψ17,2·Δ2C
+ψ17 ,t+ψ17 , c=−0.02465 rad
ψ13=ψ13,2 ·Δ2C
+ψ13, t+ψ13 ,c=0.00822rad
ψ36=ψ36,2·Δ2C
=−0.02555 rad
ψ34=0
ψ45=ψ 45,2 ·Δ2C
=−0.01533 rad
Statika konstrukcija 2 PMD Primjer n=4 9
Recommended