Ukuran Pemusatan - himasta.unimus.ac.id

Indah Manfaati Nur

Ukuran Pemusatan (Central Tendency)

Central Tendency

In statistics, a central tendency is a central value or a typical value for a probability distribution. It is occasionally called an average or just the center of the distribution

Salah satu aspek yang paling penting untuk menggambarkan distribusi data adalah nilai pusat data pengamatan (Central Tendency). Setiap pengukuran aritmatika yang ditujukan untuk menggambarkan suatu nilai yang mewakili nilai pusat atau nilai sentral dari suatu gugus data (himpunan pengamatan) dikenal sebagai ukuran pemusatan data (tendensi sentral)

Rata-rata hitung (mean), median dan modus disebut dengan ukuran kecenderungan terpusat (measure of central tendency). Sebab kecenderungan dari nilai-nilai tersebut memusat pada bagian tengah suatu perangkat data.

Pada analisis data biasanya fokus perhatian tidak terletak pada keseluruhan data, tetapi terletak hanya dimana data tersebut memusat. Oleh karena itulah nilai-nilai rata-rata, median dan modus sering digunakan untuk mewakili seperangkat data dalam analisis statistik

Contoh

Misalkan kumpulan data berikut adalah nilai uji kompetensi dasar dari 20 mahasiswa semester 1

8 10 6 7 5 5 9 8 9 7

7 9 6 5 8 7 6 8 8 6

Dari kumpulan data di atas , kita belum mempunyai gambaran atau kesimpulan apa-apa tentang nilai-nilai yang terdapat dalam kumpulan data tersebut.

A. Mean (Rata-rata)

Rata-rata (mean/average) adalah nilai yang mewakili himpunan atau sekelompok data.

Rata-rata :

1. Rata-rata hitung (arithmetic mean atau mean)

2. Rata-rata ukur (geometric mean)

3. Rata-rata harmonis (harmonic mean)

Mean (Rata-rata)

Nilai rata-rata merupakan nilai yang dianggap paling mendekati nilai yang paling tepat dari hasil pengukuran.

Nilai ini berfungsi sebagai “wakil” dari nilai-nilai hasil pengukuran sekelompok data.

Nilai rata-rata yang diperoleh dari suatu

sampel disebut statistik ( ) dan nilai

rata-rata dari populasi disebut parameter ( )

Ingat kembali bahwa...

1. Rata-Rata Hitung (Arithmetic) Rata-rata ini hanya bisa dihitung untuk data

dengan skala pengukuran minimal interval. Jika ada n data maka rata-rata hitung didefinisikan sebagai berikut:

Rata-rata Data Tunggal

Contoh:

Nilai rata-rata dari 25, 23, 26, dan 30, dapat kita tulis

= 25, = 23, = 26, dan = 30

Sehingga :

Rata-rata Data Berkelompok

Penghitungan rata-rata dengan menggunakan titik tengah

dengan menggunakan tabel penolong di bawah ini :

Tinggi Badan Titik Tengah

(xi)

Frekuensi

(fi)

fi⋅xi

151 - 155 153 3 459

156 - 160 158 4 632

161 - 165 163 4 652

166 - 170 168 5 840

171 - 175 173 3 519

176 - 180 178 2 356

Jumlah 21 3458

Dari tabel di atas diperoleh :

Sehingga rata-rata data berkelompok dapat dihitung sebagai

berikut.

Rata-Rata Terboboti (Tertimbang) Rata-rata terboboti digunakan bila data mempunyai bobot yang berlainan. Rumus yang digunakan adalah:

Contoh: Calon mahasiswa baru diwajibkan mengkuti tes kemampuan 3 mata pelajaran, yaitu matematika, bahasa inggris dan pengetahuan umum. Untuk memberikan penilaian yang lebih baik, perguruan tinggi tersebut membobot setiap mata pelajaran yang diujiankan. Matematika diberi bobot 70, bahasa

Inggris 30 dan pengetahuan umum 20.

Contoh: Setelah ujian dilaksanakan, seorang calon mahasiswa baru mendapatkan nilai sebagai berikut. Matematika 65, bahasa inggris 70 dan pengetahuan umum 80. Berapakah nilai

rata-rata calon mahasiswa tersebut? (Diketahui bahwa penilaian bersifat terbobot, oleh karena itu penghitungan nilai mahasiswa tersebut menggunakan rumus rata-rata tertimbang)

Contoh: Dengan menggunakan rumus rata-rata tertimbang maka

penghitungan nilai mahasiswa tersebut adalah sebagai

berikut.

Jadi, nilai rata-rata calon mahasiswa baru tersebut adalah

69,5.

2. Rata-rata Ukur (Geometris) Jika perbedaan tiap dua data berurutan tetap atau

hampir tetap maka rata-rata ukur lebih baik digunakan

daripada rata-rata hitung. Rumus yang digunakan :

Jika nilai datanya besar, maka digunakan rumus :

Contoh :

Diketahui data sebagai berikut :

Berapakah rata-rata ukur dari data tersebut?

Kelas interval fi xi log xi fi log xi

3 – 5 2 4 0,60206 1,20412

6 – 8 2 7 0,84510 1,69019

9 – 11 3 10 1 3

12 – 14 3 13 1,11394 3,34182

10 - - Σ = 9,23615

Contoh :

Diketahui data dalam bentuk distribusi frekuensi

sebagai berikut :

Rata-rata ukur :

3. Rata-rata harmonis (Harmonic)

Rata-rata harmonik ini sering disebut juga dengan kebalikan

dari rata-rata hitung (aritmatik).

Rata-rata harmonis untuk data

sebuah sampel berukuran n dihitung dengan

rumus :

Contoh :

Diketahui suatu data 7, 6, 8, 10, 8, 8, 9, 12, 9, 11 Berapakah rata-rata harmonis nya? .

B. Modus (Mode)

Modus adalah data yang paling sering muncul.

Statistik ini bisa digunakan untuk semua skala

pengukuran, baik nominal, ordinal, interval, dan ratio.

Untuk skala nominal, modus adalah ukuran

pemusatan satu-satunya.

Contoh:

Data dengan frekuensi tertinggi adalah 25,

Maka dikatakan modus data tsb = 25

xi fi

20 11

22 5

25 20

29 8

30 13

Selanjutnya jika data disusun secara terkelompok karena data yang dimiliki cukup besar maka Modus dapat dicari dengan rumus :

= Batas bawah kelas interval yang mengandung modus

(kelas interval yang mempunyai frekuensi tertinggi)

= Selisih frekuensi yang mengandung modus dengan

frekuensi sebelumnya

= Selisih frekuensi yang mengandung modus dengan

frekuensi sesudahnya

p = Panjang kelas interval

Kelas Interval f

15 – 17 20

18 – 20 26

21 – 23 10

24 – 26 4

Jumlah 60

Contoh :

Mo terletak pada kelas interval ke-2, maka dari kelas interval yang bersangkutan didapat Bb = 17,5

b1 = selisih f2 – f1 = 26 – 20 = 6 b2 = selisih f2 – f3 = 26 – 10 = 16 p = panjang kelas = 3

C. Median

Median adalah data yang terletak ditengah setelah data diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar.

Median untuk jumlah data (n) ganjil

Median untuk jumlah data (n) genap

Median Data Tunggal

Median untuk n ganjil Misal sederet data terurut adalah 2, 5, 7, 8,10 maka :

Median ini bisa digunakan minimal untuk skala ordinal dan tidak sensitif terhadap adanya data ekstrim

Dari rumus matematis di atas, diperoleh bahwa median adalah pada x3, sehingga nilai Median = 7

Median untuk n genap

Diketahui data tinggi badan mahasiswa yang nilainya

telah diurutkan sbb:

160, 165, 167, 169, 170, 171, 172, 173, 175,

180

Maka :

Median Data Berkelompok Kelas Interval f Fk

15-17 20 20

18-20 26 46

21-23 10 56

24-26 4 60

Jumlah 60

Me = 17,5 + 3 (30-20) = 17,5 + 1,1538

26

Me = 18,65

½ jumlah data = ½.60 =30

Panjang kelas = 3

Hubungan Antara Rata-rata Hitung (Mean), Median dan Modus

Pada suatu distribusi frekuensi, hubungan antara rata-rata, median dan

modus adalah sebagai berikut.

1. Jika rata-rata, median dan modus memiliki nilai yang sama,

maka nilai rata-rata, median dan modus akan terletak pada satu titik

dalam kurva distribusi frekuensi. Kurva distribusi frekuensi tersebut

akan terbentuk simetris.

2. Jika rata-rata lebih besar dari median, dan median

lebih besar dari modus, maka pada kurva distribusi

frekuensi, nilai rata-rata akan terletak di sebelah kanan,

sedangkan median terletak di tengahnya dan modus di

sebelah kiri. Kurva distribusi frekuensi akan terbentuk

menceng ke kiri.

3. Jika rata-rata lebih kecil dari median, dan median lebih

kecil dari modus, maka pada kurva distribusi frekuensi, nilai

rata-rata akan terletak di sebelah kiri, sedangkan median

terletak di tengahnya dan modus di sebelah kanan. Kurva

distribusi frekuensi akan terbentuk menceng ke kanan.