Zanimljivosti Iz Geometrije

7/22/2019 Zanimljivosti Iz Geometrije

http://slidepdf.com/reader/full/zanimljivosti-iz-geometrije 1/35

Zanimljivosti iz

geometrije

7/22/2019 Zanimljivosti Iz Geometrije

http://slidepdf.com/reader/full/zanimljivosti-iz-geometrije 2/35

Euklid

Euklid, matematičar iz Atene, je napisao prviudžbenik geometrije pod nazivom “Elementi”.

Nakon Biblije to je najprevoĎenija knjiga.Geometrija koju danas učimo je Euklidova. 

7/22/2019 Zanimljivosti Iz Geometrije

http://slidepdf.com/reader/full/zanimljivosti-iz-geometrije 3/35

Pitagora

Često nazivan kao “prvi” matematičar. Ništa od njegovih dijela nije sačuvano. Svima poznat po poučku za pravokutni

trokut po kojemu je a2

+b2

=c2

7/22/2019 Zanimljivosti Iz Geometrije

http://slidepdf.com/reader/full/zanimljivosti-iz-geometrije 4/35

Dokaz Pitagorinovog poučkaprema Euklidu

Prvo ćemo nad stranicama nacrtat kvadrate. Trebamo dokazati da je zbroj površina kvadrata nad 

katetama jednak površini kvadrata nad hipotenuzom. 

7/22/2019 Zanimljivosti Iz Geometrije

http://slidepdf.com/reader/full/zanimljivosti-iz-geometrije 5/35

Umjesto da dokazujemo da su površine manjih kvadrata jednake površini velikog, pokazat ćemoda je zbroj polovina površina manjih kvadrata

 jednak polovini površine velikog kvadrata. 

7/22/2019 Zanimljivosti Iz Geometrije

http://slidepdf.com/reader/full/zanimljivosti-iz-geometrije 6/35

Crveno podebljanu stranicu uzimamo kao bazu trokuta, a

suprotni vrh translatiramo po pravcu paralelnom bazi.

Dobivamo izgledom drugačiji trokut, meĎutim oba trokuta 

imaju jednaku površinu jer su im baze i visine jednake(Cavalierijev princip).

7/22/2019 Zanimljivosti Iz Geometrije

http://slidepdf.com/reader/full/zanimljivosti-iz-geometrije 7/35

Nakon toga trokut rotiramo oko točke što 

takoĎer ne utječe na njegovu površinu. 

7/22/2019 Zanimljivosti Iz Geometrije

http://slidepdf.com/reader/full/zanimljivosti-iz-geometrije 8/35

Ponovo ćemo translatirati vrh trokuta po 

dužini paralelnoj osnovici trokuta (crvenalinija).

7/22/2019 Zanimljivosti Iz Geometrije

http://slidepdf.com/reader/full/zanimljivosti-iz-geometrije 9/35

Dobili smo trokut kao na slici

7/22/2019 Zanimljivosti Iz Geometrije

http://slidepdf.com/reader/full/zanimljivosti-iz-geometrije 10/35

Sada i zelenom trokutu translatiramo vrhpo pravcu paralelnom bazi što ne utječe na 

njegovu površinu. 

7/22/2019 Zanimljivosti Iz Geometrije

http://slidepdf.com/reader/full/zanimljivosti-iz-geometrije 11/35

Nakon toga ga rotiramo oko točke. 

7/22/2019 Zanimljivosti Iz Geometrije

http://slidepdf.com/reader/full/zanimljivosti-iz-geometrije 12/35

I opet translatiramo vrh trokuta. Vidimo da svaki

trokut čini polovicu površine unutar velikogkvadrata te možemo zaključiti da je zbroj plave izelene površine jednak polovini površinekvadrata. Time je Pitagorin poučak dokazan.

(QED)

7/22/2019 Zanimljivosti Iz Geometrije

http://slidepdf.com/reader/full/zanimljivosti-iz-geometrije 13/35

Zlatni rez

Euklid je u svojim Elementima pokazao ivelik interes za jedan neobičan iracionalanbroj koji je kasnije poznat kao “zlatni rez” a

označava se slovom φ(Φ) u čast grčkomkiparu Fidiji.

Euklid je bio prvi koji ga je definirao:

Dužina se podijeli na dva nejednaka dijelapri čemu je omjer dužine i većeg dijela jednak omjeru većeg dijela i manjeg. 

7/22/2019 Zanimljivosti Iz Geometrije

http://slidepdf.com/reader/full/zanimljivosti-iz-geometrije 14/35

7/22/2019 Zanimljivosti Iz Geometrije

http://slidepdf.com/reader/full/zanimljivosti-iz-geometrije 15/35

ako želite preciznije .... 

7/22/2019 Zanimljivosti Iz Geometrije

http://slidepdf.com/reader/full/zanimljivosti-iz-geometrije 16/35

Teorija zlatnog reza počela  je još u antici, a

svoj procvat imala je u renesansi, kada su

umjetnici i matematičari (ali i fizičari iastrolozi) tražili savršenstvo ukompozicijama poznatih struktura.

Nakon mnogo stoljeća teorije smatra se da je zlatni rez najsavršeniji omjer u prirodi,

potpuno savršen ljudskom oku, te da su

nam, podsvjesno, privlačniji objekti kojiimaju te proporcije.

7/22/2019 Zanimljivosti Iz Geometrije

http://slidepdf.com/reader/full/zanimljivosti-iz-geometrije 17/35

Broj φ se često pojavljuje u geometriji. 

Kod pravilnih peterokuta vrijedi pravilo da je

duljina dijagonale jednaka umnošku brojaφ i duljine stranice.

7/22/2019 Zanimljivosti Iz Geometrije

http://slidepdf.com/reader/full/zanimljivosti-iz-geometrije 18/35

Prvi crtež čovjeka u pentagramu iz 16.stoljeća i kasnije poznatiji Leonardov

Vitruvijski čovjek ukazuju na povezanostčovjeka i zlatnog reza. 

7/22/2019 Zanimljivosti Iz Geometrije

http://slidepdf.com/reader/full/zanimljivosti-iz-geometrije 19/35

Podijeli li se visina čovjeka prema zlatnom rezudobije se pupak

U zlatnim proporcijama su i : Udaljenost izmeĎu vrha prsta i lakta / udaljenost

izmeĎu ručnog zgloba i lakta

Udaljenost izmeĎu linije ramena i vrha glave /

dužina glave

Udaljenost izmeĎu pupka i vrha glave /

udaljenost izmeĎu linije ramena i vrha glave

Udaljenost izmeĎu pupka i koljena / udaljenostizmeĎu koljena i kraja stopala

7/22/2019 Zanimljivosti Iz Geometrije

http://slidepdf.com/reader/full/zanimljivosti-iz-geometrije 20/35

7/22/2019 Zanimljivosti Iz Geometrije

http://slidepdf.com/reader/full/zanimljivosti-iz-geometrije 21/35

Cijela ljudska ruka je u zlatnim proporcijama

7/22/2019 Zanimljivosti Iz Geometrije

http://slidepdf.com/reader/full/zanimljivosti-iz-geometrije 22/35

TakoĎer, u ljudskim plućima postoji zlatna

proporcija.

Traheja (dušnik) se dijeli na dva glavna

bronha, duži i kraći. Ova asimetrična 

podjela se nastavlja u sljedećim odjeljcima

bronha. U svim ovim podjelama odnoskraćeg bronha prema dužem je uvijek

1/1.618

7/22/2019 Zanimljivosti Iz Geometrije

http://slidepdf.com/reader/full/zanimljivosti-iz-geometrije 23/35

7/22/2019 Zanimljivosti Iz Geometrije

http://slidepdf.com/reader/full/zanimljivosti-iz-geometrije 24/35

Fibonaccijev niz i zlatni rez

U matematici je poznat niz za koji vrijedipravilo da je svaki njegov element jednak

zbroju prethodna dva elementa:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Pokazalo se da je omjer susjednih (osim

prvih nekoliko) elemenata približno jednak

upravo broju 1.6 (φ ).

7/22/2019 Zanimljivosti Iz Geometrije

http://slidepdf.com/reader/full/zanimljivosti-iz-geometrije 25/35

 Ako pravokutniku (plavom) čija je kraćastranica b, a duža a dodamo kvadrat

stranica a dobit ćemo pravokutnik za kojivrijedi da je omjer stranica a:b = (a+b):a

zlatni pravokutnik

7/22/2019 Zanimljivosti Iz Geometrije

http://slidepdf.com/reader/full/zanimljivosti-iz-geometrije 26/35

 Ako ih nacrtamo više i povučemo luk kojispaja dva suprotna vrha svakog

pravokutnika dobije se Fibonaccijevaspirala koja se gotovo preklapa sa zlatnom

spiralom

7/22/2019 Zanimljivosti Iz Geometrije

http://slidepdf.com/reader/full/zanimljivosti-iz-geometrije 27/35

Ovaj oblik može se često naći u prirodi: 

školjka puža Nautilus  šiška 

7/22/2019 Zanimljivosti Iz Geometrije

http://slidepdf.com/reader/full/zanimljivosti-iz-geometrije 28/35

7/22/2019 Zanimljivosti Iz Geometrije

http://slidepdf.com/reader/full/zanimljivosti-iz-geometrije 29/35

Listovi na grani rastu na meĎusobnim 

udaljenostima, koje odgovaraju

Fibonaccijevom nizu. Cvjetovi najčešće imaju 3,5,8,13,21,34,55

ili 89 latica.

Sjemenke u glavi suncokreta razmeštenesu u dva niza spirala: jedne u pravcu

kretanja kazaljke na satu i druge u

suprotnom. U košnici je uvijek manji broj mužjaka

nego ženki pčela. Kada bismo podijelili

njihov broj dobili bismo φ.

7/22/2019 Zanimljivosti Iz Geometrije

http://slidepdf.com/reader/full/zanimljivosti-iz-geometrije 30/35

Zlatni rez u umjetnosti i arhitekturi

7/22/2019 Zanimljivosti Iz Geometrije

http://slidepdf.com/reader/full/zanimljivosti-iz-geometrije 31/35

7/22/2019 Zanimljivosti Iz Geometrije

http://slidepdf.com/reader/full/zanimljivosti-iz-geometrije 32/35

7/22/2019 Zanimljivosti Iz Geometrije

http://slidepdf.com/reader/full/zanimljivosti-iz-geometrije 33/35

7/22/2019 Zanimljivosti Iz Geometrije

http://slidepdf.com/reader/full/zanimljivosti-iz-geometrije 34/35

I fotografija je ugodnija oku ako se koristi

pravilo zlatnog reza

7/22/2019 Zanimljivosti Iz Geometrije

http://slidepdf.com/reader/full/zanimljivosti-iz-geometrije 35/35

kraj