Distribusi Bernouli dan Poisson

OLEH :1. DANIA YULIANI (06081181419001)2. LIA DESTIANI (06081181419076)3. SILVIA KUSWANTI (06081181419017)

Fakultas Keguruan dan Ilmu PendidikanUniversitas Sriwijaya

2015

STATISTIKA DASAR

BAB VIDISTRIBUSI BINOMIAL DAN POISSON

Distribusi Binomial/Bernoulli

Probabilitas timbulnya gejala yang diharap-kan disebut probabilitas “sukses” dan diberi simbol P, probabilitas timbulnya gejala yang tidak kita harapkan disebut probabilitas “gagal” diberi simbol 1-P, maka probabilitas timbulnya gejala yang kita harapkan sebanyak x kali dalam n kejadian (artinya x kali akan sukses dan n – x kali akan gagal).

Ciri-ciri percobaan Bernoulli1. Tiap percobaan hanya memiliki dua kemungkinan hasil

saja, yaitu “sukses” dan “gagal”.2. Probabilitas “sukses” selalu sama pada tiap percobaan,

akan tetapi probabilitas “sukses” tidak harus sama dengan probabilitas “gagal”.

3. Setiap percobaan bersifat independen.4. Jumlah percobaan yang merupakan komponen

rangkaian binomial adalah tertentu, dinyatakan dengan n

xnx

xn

CxP

1)(

xn

Cdisebut binomial coefficiens, menun-jukkan x kali sukses dari kejadian. (dapat dicari dalam tabel)

Jika x adalah variabel random binomial, maka probabilitas fungsi dari x kali akan sukses dan n-x kali gagal, maka probabilitas timbulnya gejala yang kita harapkan sebanyak x kali dalam n kejadian dapat dinyatakan dalam rumus sebagai berikut :

Jika nilai rata-rata harapan (E = expected value) dan varian dari fungsi distribusi binomial adalah :

)1()()(

nxVnxE

n = jumlah percobaan= jumlah timbulnya gejala “sukses”= probabilitas timbulnya gejala “sukses”

x

CONTOH

diujikan soal matematika TIMSS pada siswa kelas 4 SD suka jaya, siswa tersebut dapat menjawab dengan benar semua pertanyaan dengan probabilitas 0.75. Hitung probabilitas bahwa tepat 2 dari 4 siswa yang menjawab benar.Jawab:Misal tiap pengujian saling bebas

22

23 3 3 271 44 4 4 2 2 1284

42 4

2!

! !b( ; , ) ( ) ( )

CONTOHMisalkan sebuah uang logam bermuka G dan K dilambungkan 3 kali. Bila X

menyatakan banyaknya G muncul, maka X dikatakan berdistribusi binomial

atau p(x) nya adalah fungsi probabilita binomial.

X = banyaknya G ‑> X =0,1,2,3. Berapa P(X=2) ?

X = 2 dapat diperoleh (terjadi) dari 3 susunan : GGK, GKG, KGG

Karena setiap pelambungan saling bebas maka peluang GGK

P(GGK) = P(G) x P(G) x P(K) = (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/8.

P(X=2) = P(GGK) + P(GKG) + P(KGG) = 1/8 + 1/8 + 1/8

= 3.(1/8) = 3/8.

Dengan rumus binomial (n = 3, p = 1/2), lebih mudah dihitung sebagai berikut:

P(X=2) = 3C2.(1/2)2.(1/2)(3‑2) = 3/8

Distribusi Poisson

Distribusi poisson juga untuk menghitung probabilitas timbulnya gejala yang diharapkan (gejala “sukses”) dari sejumlah n kejadian atau sampel, tetapi untuk kasus yang n-nya besar dan -nya sangat kecil.Karena distribusi Poisson biasanya melibatkan n besar, dengan p kecil, distribusi ini biasanya digunakan untuk menghitung nilai probabilitas suatu kejadian dalam suatu selang waktu dan daerah tertentu. Misalnya banyak dering telpon dalam satu jam disuatu kantor,banyaknya kesalahan ketik dalam satu halaman laporan dan sebagainya.

• Jika x adalah sebuah sebuah variabel random poisson, maka probabilitas fungsi masal dari x adalah :

,......2,1,0,!

);(

xx

expx

 Contoh soal :    Dua ratus penumpang telah memesan tiket untuk sebuah penerbangan luar negeri. Jika probabilitas penumpang yang telah mempunyai tiket tidak akan datang adalah 0.01 maka berapakah peluang ada 3 orang yang tidak datang.    Rata – rata seorang sekretaris baru melakukan lima kesalahan mengetik per halaman. Berapakah peluang bahwa pada halaman berikut ia :Tidak ada kesalahan ( x = 0 )Tidak lebih dari tiga kesalahan ( x ≤ 3) atau ( 0,1,2,3 )Lebih dari tiga kesalahan ( x > 3 ) atau ( 4,…,15) Jawab :

Dik :  = 5 a. x = 0 P( x ;  ) = P( 0 ;  ) = = 0.0067

b. x ≤ 3 ; P( x ;  ) = P (x ≤ 3 , 5) = P( x 1, μ ) +….+p(x3, μ)= P( 0, 5 ) + P (1, 5 ) + P ( 2, 5 ) + P ( 3, 5 )= 0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404= 0.2650 atau 26.5 % c. X > 3 ; P( x ;  ) = P (X > 3 , 5) = P( X 4, μ ) +….+p(X 15, μ)= P( 4, 5 ) + P (5, 5 ) + …… + P ( 15, 5 ) atau P (X > 3 , 5) = 1 – [P ( X ≤ 3 , 5 ) ]= 1 – [ P ( X 0, μ ) +….+ p (X 3, μ) ]= 1 – [ P ( 0, 5 ) +….+p ( 3, 5 ) ]= 1 – [ 0.2650 ]= 73.5 %

Terima kasih