Distibusi Binomial, Poisson, Distribusi Normal dan Aplikasinya

Disusun Oleh : Kelompok 4

Nama : Aisyah Turidho (06081281520073): Reno Sutriono (06081381520044): M. Rizky Tama Putra (06081381419045)

Mata Kuliah : Statistika DasarDosen : Prof. Dr. Ratu Ilma Indra Putri, M.Si

: Puji Astuti, S.Pd., M.Sc

Fakultas Keguruan dan Ilmu PendidikanProgram Studi Matematika

Universitas Sriwijaya Palembang2016

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI...............................................................................................................................i

DISTIBUSI BINOMIAL, POISSON, DISTRIBUSI NORMAL DAN APLIKASINYA.........1

A. Distribusi Binomial..................................................................................................................1

B. Distribusi Poisson....................................................................................................................2

C. Distribusi Normal....................................................................................................................4

LAMPIRAN 1

LAMPIRAN 2

DAFTAR PUSTAKA

DISTIBUSI BINOMIAL, POISSON, DISTRIBUSI NORMAL DAN APLIKASINYA

A. Distribusi BinomialDalam berbgai percobaan dimana variabel yang sedang diteliti adalah tingkat nominal maka hanya ada 2 kemungkinan nilai atau hasil dari variabel tersebut. Misalnya Salesmen pandai atau tidak pandai menjual barang dagangan, anak yang baru lahir kedua lelaki atau perempuan, dan petani berhasil atau gagal panen padi di tahun ini. Sampel yang melibatkan variabel yang dapat diwakili oleh probabilitas teoritisdistribusi disebut distribusi binomial, dikatakan binomial karena terdapat dua hasil yang mungkin.

Jika pada tiap percobaan dalam eksperimen, P ( A )=π harganya tetap maka percobaan yang berulang-ulang itu dinamakan percobaan Bernoulli. Jika dilakukan percobaan tersebut sebanyak N kali, X diantaranya menghasilkan peristiwa A dan sisanya ( N−X ) peristiwa A. P ( A )=π maka 1−π=P(A ), peluang terjadinya peristiwa A sebanyak X=x kali diantara N , dihitung dengan cara berikut:

p ( x )=P ( X=x )=(Nn )π x (1−π )N− x

Dimana n = banyaknya kejadian yang dikehendakai dan x = kejadian yang diharapkan

Dengan x=0,1,2,3 , …. , N ; 0<π<1 maka didapat cara mencari koefisien binom:

(Nx )= N !

x!(N−x )!

Distribusi binomial mempunyai parameter, diantaranya ialah rata-rata μ dan simpangan baku σ , rumusnya yaitu:

μ=Nπσ=√Nπ(1−π)

Contoh Soal:Misal dalam suatu rumah sakit terdapat 4 orang yang medonorkan darahnya, dalam populasi tersebut ada 2 kemungkinan yaitu orang yang bertipe darah O dan bukan darah O, dimana peluang orang bertipe darah O adalah 0,4 dan peluang yang bertipe darah bukan O adalah 0,6. Tentukan peluang 3 orang yang bertipe darah O dari 4 orang itu?

Penyelesaian:Hal pertama yang harus dilakukan yaitu dengan membuat kemungkinan tipe dara dari 4 pendonor itu, dilambangkan O yang bertipe darah O dan N yang bertipe darah bukan O.

Banyak Yang Bertipe Darah O

Hasil yang Mungkin

0 NNNN1 ONNN, NONN, NNON, NNNO2 OONN, ONON, ONNO, NOON, NONO, NNOO3 NOOO, ONOO, OONO, OOON4 OOOO

p (3 )=P ( NOOO∪ONOO∪OONO∪OOON )p (3 )=P ( NOOO )+P (ONOO )+P (OONO )+P (OOON )p (3 )=(0,6 ) (0,4 )3+(0,4 ) (0,6 ) (0,4 )2+(0,4 )2 (0,6 ) (0,4 )+(0,4 )3 (0,6 )p (3 )=4 (0,4 )3(0,6)p (3 )=0,1536

Atau bisa juga diselesaikan dengan menggunakan rumus distribusi binomial:

p ( x )=P ( X=x )=(Nn )π x(1−π)N− x

p (3 )=(43 )(0,4)3(0,6)

p (3 )=[ 4 !3 !(4−3)! ](0,4)3(0,6)

p (3 )=4(0,4)3(0,6)

B. Distribusi PoissonDistribusi poisson adalah kemungkinan model yang tepat untuk jenis percobaan tertentu. Variabel acak diskrit X dikatakan mempunyai distribusi poisson jika fungsi peluangnya berbentuk:

p ( x )=P ( X=x )= e− λ λx

x !

Dengan x=1,2,3 , …, sedangkan e=bilangan konstan=2,7183 dan λ (dibaca lamda )=bilangan tetap. Untuk harga e− λ dapat dicari dengan menggunakan kalkulator atau dengan melihat daftar harga e− λyang dapat anda lihat dari berbagai sumber di internet. Distribusi poisson mempunyai parameter:

μ= λ

σ=√ λ

Distribusi poisson sering digunakan untuk menentukan peluang sebuah peristiwa yang dalam area kesempatan tertentu diharapkan terjadinya sangat jarang. Contoh: dalam

tempo setiap 5 menit, operator telepon banyak menerima permintaan nomor untuk disambungkan, diharapkan jarang sekali terjadi salah sambung.

Distribusi poisson dapat pula dianggap sebagai pendekatan kepada distribusi binomial. Jika dalam distribusi binomial, N cukup besar sedangkan π = peluang terjadinya peristiwa A, sangat dekat kepada nol sedemikian λ=Np tetap maka distribusi binomial didekati oleh distribusi poisson. Untuk penggunaannya, sering dilakukan pendekatan ini jika N ≥50 sedangkan Np<5.

Contoh soal:

Dalam suatu Posyandu terdapat program suntik vaksin anti campak. Peluang seseorang akan mendapat reaksi buruk setelah disuntik besarnya 0,0005. Dari 4000 orang yang disuntik, tentukan peluang yang mendapat reaksi buruk:

a. Tidak adab. Ada 2 orangc. Lebih dari 2 orangd. Tentukan ada berapa orang diharapkan yang akan mendapat reaksi buruk

Penyelesaian:

a. Dengan menggunakan pendekatan distribusi poisson kepada distribusi binomial, maka λ=Np=4000× 0,0005=2. Jika X = banyak orang yang mendapat reaksi buruk akibat suntikan itu, maka:

p (0 )= e−2 20

0 !=0,1353

b. X = 2 sehingga:

p (2 )= e−222

2 !=0,2706

c. X = 3, 4, 5, ... Tetapi p (0 )+ p (1 )+ p (2 )+ p (3 )+…=1 , makap (3 )+ p (4 )+…=1−p (0 )−p (1 )−p(2)

p (1 )= e−221

1 !=0,2706

p (3 )+ p (4 )+…=1−0,1353−0,2706−0,2706=0,3235

d. λ=Np=4000× 0,0005=2

C. Distribusi Normal

Distribusi yang paling penting dan banyak digunakan semua distribusi kontinu adalah distribusi normal. Distribusi normal disebut juga distribusi gauss, distribusi normal berasal dari distribusi dengan peubah acak kontinu. Persamaan distribusi gauss adalah sebagai berikut:

f ( x )= 1σ √2 π

e−12 ( x−μ

σ )2

dimana π=konstanta yangnilainyasama dengan 3,1416e=konstanta yangnilainyasama dengan 2,7183μ=parameter yaitu nilai rata−rata dari distribusi populasiσ=parameter yangmerupakan simpangan baku distribusi populasix=peubah kontinu yangdaerah ( jangkauan ) nilainya−∞<x<∞

Sifat distribusi normal:a. Grafiknya selalu teletak diatas sumbu x selalu terletak diatas sumbu x b. Bentuk grafiknya simetris terhadap x=πc. Mean, median dan modus sama untuk sebuah kurva normal yaitu tercapai pada

μ=0,3989σ

d. Grafiknya asymtotis teradap sumbu xe. Luas daerah grafik sama dengan satu satuan persegi

Berikut contoh kasus untuk dua buah kurva normal:

Rata-ratanya sama sedangkan simpangan bakunya berbeda. Simpangan baku mempengaruhi bentuk kurva normal, semakin besar nilai simpangan baku maka kurvanya semakin rendah (platikurtik) dan sebaliknya semakin kecil nilai simpangan baku maka kurvanya semakin tinggi (leptokurtik)

Rata-ratanya berbeda, simpangan bakunya sama

Rata-rata dan simpangan bakunya berbeda

Untuk pemakaian yang lebih praktis telah dibuat daftar distribusi normal baku. Distribusi normal baku posisinya memiliki kaitan dengan rata-rata dan menggunakan simpangan baku sebagai unit pengukurannya. Distribusi normal memiliki nilai rata-rata μ=0 dan simpangan baku σ=1.

Persamaannya yaitu sebagai berikut:

f ( z )= 1√2 π

e−12 z2

dengan daerah interval z adalah −∞<z<∞

Untuk distribusi populasi,

z= x−μσ

Untuk distribusi sampel,

z= x−xSB

Contoh (1):Tabel dibawah ini menggambarkan bagaimana menggunakan tabel distribusi normal baku untuk menemukan daerah di bawah kurva normal baku antara z=0 dan z=1,65

σ=1

Kurva menunjukkan area yang sesuai sebagai berbayang wilayah di bawah kurva. Nilai 1,65 dapat ditulis sebagai 1,6 + 0,05, dan dengan menempatkan 1,6 di bawah kolom berlabel z dan kemudian bergerak ke kanan 1,6 sampai Anda datang di bawah 0,05 kolom Anda menemukan area 0,4505. Ini adalah daerah yang ditunjukkan pada kurva dibawah ini. Misal daerah ini dinyatakan sebagai P (0<z<1,65) = 0,4505.

Untuk daerah di bawah kurva normal baku antara z=−1,65 dan z=0direpresentasikan sebagai P(−1,65<z<0) dan ditunjukkan pada kurna dibawah ini. Oleh karena simetri maka P(−1,65<z<0) = P(0<z<1,65), kita tahu bahwa P(0<z<1,65) = 0,4505 dan oleh karena itu, P¿) =0,4505.

Contoh (2):Untuk daerah di bawah kurva normal normal antara z=−1,65 dan z=1,65 diwakili oleh P(−1,65<z<1,65) dan ditunjukkan pada kurva dibawah ini. Probabilitas P(−1,65<z<1,65) dinyatakan sebagai P(−1,65<z<1,65) = P(−1,65<z<0) + P(0<z<1,65). Dari contoh sebelumnya kita ketahui nilai P(−1,65<z<0) dan P(

0<z<1,65) dan jumlah kedua nilai P tersebut sama dengan 0,9010. Oleh karena itu, P(−1,65<z<1,65) = 0,9010.

Contoh (3):Probabilitas dari peristiwa z<1,96 diwakili oleh P(z<1,96) dan ditunjukkan pada kurva dibawah ini.

Daerah yang ditunjukkan pada kurva diatas, dibagi menjadi 2 bagian seperti yang ditunjukkan pada kurva dibawah ini, Daerah yang lebih gelap dari dua daerah itu sama dengan P(z<0) = 0,5 karena daerah itu merupakan setengah dari total luas daerah. Daerah yang lebih terang dari dua daerah itu dinyatakan dalam P(0<z<1,96 ¿ dan nilainya dapat dilihat pada daftar distribusi normal baku yang dapat anda cari di internet atau sumber manapun, nilainya yaitu 0,4750. Jumlah dari dua daerah tersebut adalah 0,5 + 0,4750 = 0,9750. Jadi, P(z<1,96¿ = P(z<0) + P(0<z<1,96 ¿ = 0,5 + 0,4750 = 0,9750.

Perhatikan kurva dibawah ini, daerah dibawah z dapat dinyatakan z>1,96 dan probabilitasnya dwakilkan P(z>1,96¿. Untuk mengitung nilai P maka gunakan konsep komplemen suatu kejadian. Komplemen dari P(z>1,96¿ adalah P(z<1,96¿. P(

z>1,96¿ + P(z<1,96¿ = 1, dari contoh diatas dapat dilihat bahwa P(z<1,96¿ = 0,9750. Jadi, P(z>1,96¿=1−P (z<1,96 )=1−0,9750=0,250

Contoh Soal:15% dari tamatan SMA merupakan hasil PMDK. Sampel acak yang berukuran 600 tamatan SMA telah digunakan. Tentukan nilai kemungkinan yang akan terdapat:a. Paling sedikit 70 orang dan paling banyak 80 sebagai basil PMDK.b. Lebih besar atau sama dengan 100 orang yang memperoleh PMDK.

Penyelesaian:

a. x terletak antara : (70−0,5 )<x< (80+0,5 ) atau 69,5<x<80,5μ=0,15× 600=90σ=√600 ×0,15 ×0,85=8,75

z1=69,5−90

8,75=−2,34 atau z2=

80,5−908,75

=−1,09

Untuk luas daerah maka lihat tabel F yang dapat Anda cari dari berbagai sumber, baik dari internet maupun buku. Luas daerah z−2,34=0,4904 dan luas daerah z−1,09=0,3621. Luas daerah antara z−2,34 dan z−1,09 ¿0,4904−0,3621=0,1283. Maka nilai kemungkinan terdapat paling sedikit 70 orang dan paling banyak 80 orang sebagai hasil PMDK ada 0,1283.

b. Lebih besar atau sama dengan 100 artinya x≥ 99,5

1,09

0,1379

z≥ 99,5−908,75

=1,09

Luas daerah z1,09=0,3621 maka banyak siswa yang termasuk PMDK lebih besar atau sama dengan 100 adalah 0,50−0,3621=0,1379

LAMPIRAN 1

LAMPIRAN 2

DAFTAR PUSTAKA

Coladarci, T.; Cobb, C. D.; Minium, E. W.; & Clarke, R. B. (2004). Fundamentals of Statistical Reasoning in Education. Edisi 3. United State of America: Library of Congress Cataloging-in-Publication Data. Hlm. 88 dan 90

Dowdy, S.; Weardon, S.; & Chilko, D. (2004). Statistics for Research. Edisi 3. Canada: Wiley Interscience.Hlm. 49-50 dan 81

Herrhyanto, N., & Hamid, H. A. (2007). Statistika Dasar. Jakarta: Universitas Terbuka. Hlm. 7.3-7.4 dan 7.13

Sthepens, L. J. (1998). Schaums's Outline of Theory and Problems of Beginning Statistics. United state of America: Library of Congress Cataloging-in-Publication Data.Hlm. 115-120

Sudjana. (2002). Metoda Statistika. Edisi 6. Bandung: Tarsito. Hlm. 130-136