Tema 6 ud3

TEMA 6

Variables aleatorias discretas

Probabilidades y Estadística I

Esquema inicial

1 I t d ió1. Introducción

2. Proceso de Bernoulli

3. Distribución Binomial

4. Distribución Geométrica

5. Distribución Binomial Negativa.

6. Distribución de Poisson6. Distribución de Poisson

1. Introducción (1/4)

Ej. Tema 4

Experimento aleatorio:Ai = “se avería" p(Ai) = 0,01

pver si la componente i

se avería antes de 100 h Ai = "no se avería" p(Ai) = 0,99

Si realizamos n = 50 pruebas (observamos 50 componentes), la probabilidad de obtener

r = 1 éxito (falla sólo una componente) es:r 1 éxito (falla sólo una componente) es:

B = A1 A2 ……….. A49 A501 49( ) 0,01 0,99P B B A1 A2 ……….. A49 A50

( ) 0,01 0,99P B

50 Formas de obtener 1 éxito: =

50( ) 0,01 0,99

Si realizamos n = 50 pruebas (observamos 50 componentes), la probabilidad de obtener

r = 2 éxitos (falla sólo una componente) es:r 2 éxitos (falla sólo una componente) es:

B = A1 A2 A3…… A49 A502 48( ) 0,01 0,99P B

50 2 4850

( ) 0 01 0 99P B Formas de obtener 2 éxitos: =

2 482( ) 0,01 0,99

X “nº de componentes que se averían de las 50” Rg X = {0, 1, 2,…50}

1 4950( 1) 0,01 0,99

2 4850( 2) 0,01 0,99

Si realizamos n pruebas (observamos n componentes), la probabilidad de obtener

r = k éxitos (fallan sólo una componente) es:

X “nº de componentes que se averían de las n” Rg X = {0, 1, 2,…n}

( ) (1 )k n knP X k p p

Esquema inicial

1 I t d ió1 I t d ió1. Introducción1. Introducción

3. Distribución 3. Distribución BinomialBinomial

4. Distribución Geométrica4. Distribución Geométrica

5. Distribución 5. Distribución BinomialBinomial Negativa.Negativa.

6. Distribución de6. Distribución de PoissonPoisson6. Distribución de 6. Distribución de PoissonPoisson

DEFINICIÓN

El experimento aleatorio más sencillo (binario). Sólo tiene dos resultados:

1 i A1 si ocurre 0 si ocurre

1 0 1P X p P X q p

Variable aleatoria asociada Función de probabilidad

Esquema inicial

2. Proceso de 2. Proceso de BernoulliBernoulli

3. Distribución Binomial

3. Distribución Binomial (1/6)

¿Cuántas caras se obtienen en 50 lanzamientos?¿Cuántas caras se obtienen en 50 lanzamientos?

GÉNESIS

Proceso generador (experimento aleatorio)

Realizar n pruebas de Bernoulli independientes.

Variable aleatoria

X “nº de veces que aparece A en las n pruebas” Rango de X ={0,1,2….,n}.

GÉNESIS

Espacio probabilístico asociado Espacio probabilístico asociado

1 1 2 1 1 1[ ] [( ) ( ) ][ ] [ ]

x x x n x x x nP X x P A A A A A A A A A AP A A A A A P A A A A A A

1 2 1 1 1 1 2

[ ] [ ]

k x n x x x x n

x n x x n x x n x

x n xx n x

P A A A A A P A A A A A A

npp p qq q p p qp q q p q p q p qx

FICHA TÉCNICA ( , )X n p

0,1,2, ,( )

x n xnp q x n

) F ió d b bilid d ( )

0 en el restop x x

a) Función de probabilidad

b) Función de distribución

( ) 1 ( 0,..., 1)k

F x p q k x k k ni

c) Esperanza E X n p d) Varianza Var X n p q

GRÁFICAS

p(x) p(x)

X Xn=10 p=0.1 n=10 p=0.5

p(x) p(x)

n=50 p=0 1 X Xn=50 p=0 5Probabilidades y Estadística I

n=50 p=0.1 X Xn=50 p=0.5

EJEMPLO

Un club automovilístico comienza una campaña telefónica con el propósito de aumentar elnúmero de socios adscritos al club. En base a la experiencia previa, se sabe que una de cada20 personas que recibe la llamada se suma al club En un día cualquiera de trabajo se realizan20 personas que recibe la llamada se suma al club. En un día cualquiera de trabajo se realizan25 llamadas de forma independiente. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se una ese día dos personas al club? b)Determinar el número de persona que se espera que se sumen al club un día cualquiera.

Esquema inicial

4. Distribución Geométrica

4. Distribución Geométrica (1/5)

¿Cuántas veces hay que lanzar la moneda hasta obtener 1 cara?

GÉNESIS

Realizar pruebas de Bernoulli independientes hasta que aparezca A

Variable aleatoria Variable aleatoria

X “nº de pruebas hasta que aparezca A” Rango de X ={1,2,3….}. Espacio probabilístico asociado

11 2 1[ ] [ ] x

xP X x P A A A A q p

FICHA TÉCNICA ( )X Ge p

a) Función de probabilidad1 1,2,

( )xpq x

) p ( )0 en el resto

b) Función de distribución0 1

( )1 1 ( 1,2,....)j

si xF x

q si j x j j

1 1 ( 1,2,....)q si j x j j

c) Esperanza d) Varianza 1E Xp

qVar Xp

GRÁFICAS

p(x) p(x)p(x) p(x)

X Xp=0.1 p=0.5

EJEMPLO

Un club automovilístico comienza una campaña telefónica con el propósito de aumentar elnúmero de socios adscritos al club. En base a la experiencia previa, se sabe que una de cada20 personas que recibe la llamada se suma al club En un día cualquiera de trabajo se realizan20 personas que recibe la llamada se suma al club. En un día cualquiera de trabajo se realizan25 llamadas de forma independiente. c) ¿Cuántas llamadas hay que realizar hasta captar el primer socio?

Esquema inicial

5. Distribución Binomial Negativa.

5. Distribución Binomial Negativa (1/5)

¿Cuántas cruces saldrán hasta obtener 6 caras?

¿Cuántas veces hay que lanzar la moneda hasta obtener 6 caras?

GÉNESIS

Realizar pruebas de Bernoulli independientes hasta que aparezca n veces A

Variable aleatoria

X “nº de veces que aparece A hasta que aparezca n veces A” RgX = {0, 1, 2,….}.

X’ “nº de pruebas hasta que aparezca n veces A” Rg X’ = {n, n+1, n+2,…}

GÉNESIS

Espacio probabilístico asociado

, 11 2 1 2 1... .. .............

x n n xx x x x n n x

reordenaciones

P X x P A A A A A A PR p q

n x n xn x n xp q p q

, 11 2 1 1 1 1' ... .. .............

x n n n x nn n n x x x

reordenaciones

P X x P A A A A A A A PR p q

FICHA TÉCNICA ( , )X N n p

a) Función de probabilidad

10,1,2,

( )n xn x

p q xp x x

a) Función de probabilidad ( )

0 en el restop x x

b) Función de distribución0 0

( ) 11 ( 0 1 )

xF x n i

p q k x k k

01 ( 0,1,...)

ip q k x k k

c) Esperanza d) Varianza nqE Xp

nqVar Xp

EJEMPLO

Un club automovilístico comienza una campaña telefónica con el propósito de aumentar elnúmero de socios adscritos al club. En base a la experiencia previa, se sabe que una de cada20 personas que recibe la llamada se suma al club En un día cualquiera de trabajo se realizan20 personas que recibe la llamada se suma al club. En un día cualquiera de trabajo se realizan25 llamadas de forma independiente. d) ¿Cuántas personas se van a negar hasta recibir la primera respuesta afirmativa? e) ¿Cuántas llamadas se deben realizar para captar cuatro socios?

Esquema inicial

6. Distribución de Poisson6. Distribución de Poisson

(1/5)Esquema inicial

C á t i t i 1 h ?¿Cuántos aviones aterrizan en 1 hora?

¿Cuántos errores en la superficie de un DVD?

6. Distribución de Poisson (2/5)

GÉNESIS

Comportamiento asintótico de una Binomial: n, p0

Variable aleatoria

X “nº de veces que aparece A en la unidad u” RgX = {0, 1, 2,….}.

GÉNESIS

Espacio probabilístico asociado

! ( 1)....( 1)1

x n x xx n xn n n n n x nP X x lim p q lim lim

1!( )! !

1xxn n n

p 0 p 0 p 0

P X x lim p q lim limx x n x n n x n

lim ex n x

FICHA TÉCNICA ( )X P

0 1 2x

e x a) Función de probabilidad 0,1,2,( ) !

0 en el resto

e xp x x

b) Función de distribución

0 0( )

1 ( 0 1 )ik

b) u c ó de d s buc ó

( )1 ( 0,1,...)

!ie k x k k

c) Esperanza d) Varianza E X Var X

EJEMPLO

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