چاپ و فروش کتاب حساب انتگرال

مثال و تمرین حل شده در زمینه: 0111نسدیک به گیری های انتگرال مفهوم و تکنیک

های تمرینات مهم برترین کتاب Calculus

ها انتگرالمربوط به مسائل المپیادها و مسابقات دانشجویی

کاربردهای انتگرال در زندگی واقعی

و

تمرین حل نشده 0011بیش از

201 ای گسینه 0و 4 تست

نمونه سواالتMIT Integration Bee

:قابل استفاده برای دانشجویان

پایه، فنی مهندسی علوم

آزمون کارشناسی ارشد را دارنددانشجویانی که قصد شرکت در و

مقدمه

دهید تا میکاري را با قلبتان انجام وقتی شما در زندگی داشتن چیزهاي بسیار خوب، بسیار آسان است. حل کنند. آنها زیبایی بعضی از مردم دوست دارند مسائل ریاضی را صرفاً به عشق ریاضید. مان آخر به یادتان می

خودي خود ه را در ریاضیات یافتند. براي آنها، ریاضیات فقط براي استفاده در فیزیک و مهندسی نیست، بلکه ببخش است. امیدوارم بتوانم بخشی از این لذت را به زیبا، ناب و عالی است. براي من، تدریس ریاضی همیشه لذت

شما تقدیم کنم.

هاي فنی مهندسی تبلیغات زیاد رشته والزم بخاطر عدم توجه ویژه ریاضیات در ایرانه پایه ب هاي علوم رشته پرداخته آنبا هاي دیگر رشته ارتباطاهمیت و ریاضی ماندند و به ندرت به کاربرد باقی در حد تئوري و پزشکی

کتابخانه خوب نقش مهمی دارد، همیشه به هاي علمی، با توجه به اینکه در ریاضیات، بیش از سایر رشته شود. میانگیزه نوشتن این کتاب، .دنچند کتاب مرجع و معتبر داشته باش کنم باید براي هر درس تأکید می یاندانشجو

: العاده از کتاب فوقویژه ه بسازي براي شرکت در کنکور ارشد آماده زمانها قبل سالمسائل و تمریناتی بود که و گیري عامل اصلی در یادبه نظرم .حل کرده بودم نات آنالیز ریاضی، ب. پ. دمیدویچ،تمریمجموعه سواالت و

هاي حل براي من بیشتر اوقات روشها قلب ریاضیات هستند. عبارتی مسئلهه ریاضیات، حل مسئله است، بفهم ، مسلماً جواب نهایی یک هاي شیمی یا مهندسی رشتهدانشجویان براي تر از جواب آخر بودند اما مسئله مهم

مسئله اهمیت حیاتی دارد.

ه ب ها رشته اکثر براي دانشگاهی ریاضیات وکاربردي اصلی هاي بخش از یکی انتگرال دانید همانطور که می یکی از اجزاء گیري انتگرالعنوان این کتاب تاریخ طوالنی دارد. .باشد می مهندسی فنی و پایه علوم خصوص

و 6وینر، 5، استیلجس4، لبگ3، ریمان2، الیبنیتز1هاي مشهوري مانند نیوتن اصلی ریاضیات مدرن است که به نام گیري به معنی عکس بطور کلی، براي یک فیزیکدان یا مهندس، انتگرالبسیاري دیگر پیوند خورده است.

.تر از آن است تر و گسترده پذیر اي انعطاف مالحظهاما انتگرال بطور قابل گیري یا سطح زیر منحنی است، مشتقاست به این زودي کاربردي نباشند. اند که ممکن تري از انتگرال را توسعه داده ریاضیدانان امروزي مفاهیم پیچیده

کند. در ي بیان میگیر ها را بصورت عکس عمل مشتق قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال، محاسبه انتگرال گیري نیازمند مهارت و خالقیت است. انتگرالگیري کاري کامال عادي و تکراري است، حالیکه مشتق

1 Newton 2 Leibnitz 3 Riemann 4 Lebesgue 5 Stieltjes 6 Wiener

: شده استتقسیم بصورت زیر فصل 7این کتاب به

معمولی است.و تغییر متغیر ها و مسائل مقدماتی انتگرال قضیهشامل 1 فصل

توابع روش جزء به جزء، روش تجزیه کسرها، انتگرال: گیرد را در بر میگیري هاي متداول انتگرال روش 2فصل ي گیري از کسرها انتگرال، هاي کاهش توان فرمول، اي دیفرانسیلی انتگرال دوجمله، هاي اویلر) اصم (تغییر متغیر

.هاي مثلثاتی و هذلولوي متغیر تغییرگویاي مثلثاتی (روش وایرشتراس)، انواع

و حد مجموع محاسبۀ، ، طول خم و حجم اجسام دوارمحاسبه سطح :به کاربردهاي وسیع انتگرال 3فصل و گیري عددي انتگرال، ها، معادالت و نامعادالت انتگرالی همگرایی و واگرایی انتگرالبررسی ، ها مجموع سري

اختصاص دارد. ،واقعی زندگی در انتگرال کاربردهايهمچنین

گیرند. مورد بررسی قرار می گاما و بتاویژه ه توابع خاص ببرخی در آن که 4فصل

.باشند فصل میاین موضوع هاي نقض در انتگرال مثال 5فصل

تر و حل مسائل هندسی به کمک انتگرال هاي پیچیده انتگرال مربوط بهکه تاس قلب این کتاب 6 فصلو انگیز اختصاص دارد هاي جالب و چالش انتگرالاست که به حل مسأله 197 فصل شاملاین . باشد می

ضمن فصلدر این گیرد. هاي کتاب، تعداد قابل توجهی تمرینات حل نشده را در بر می همچنین، مانند بقیه فصلاستفاده از یعنی هاي دوگانه مانند تغییر متغیر، تبدیل به انتگرال یي خاصها روش هاي مهم، معرفی انتگرال

، تبدیل الپالس معادالت دیفرانسیل مرتبه اول و دوم، استفاده از تابع گاما و بتا، ،زیر عالمت انتگرالگیري انتگراللمپیادها و مسائل ا شامل فصلاین ارائه شده است. ها انتگرالمحاسبه کردن تر براي ساده... و ها روش سري

. شده استارائه هاي حل متعددي روشآنها بیشتربراي کهاست نیز دانشجوییبین المللی مسابقات ه ابتدا یک گاهی اوقات براي حل یه مسأل مسلط باشد. ي کتاب ها بنابراین الزم است دانشجو روي بقیه بخش

تبدیالت یا دارد، فرم خاصیتابع زیر عالمت انتگرال وقتی ،تر آن حل شده است. بطور خالصه کلی همسألگیري گرچه تمرکز این کتاب بر روي انتگرالکنند. تر می را ساده شوند که محاسبه انتگرال معرفی میهایی روش

دانشجویاناست. نیز گنجانده شده دوگانههاي چند مثال زیبا از انتگرال، 6فصل در از توابع یک متغیره است اما که و قضایاي انتگرال فوریه ) و ... ها یه مانده(مانند قضهاي مربوط به توابع مختلط از روشتوانند میعالقمند

.استفاده کنندهم موضوع این کتاب نیستند

اي اختصاص دارد که گزینه 5و اي گزینه 4 تست 280به تمرینات حل نشده شامل مسائل تکمیلی و که 7فصل همچنین در انتهاي بخش مسائل هاي گذشته و منابع خارجی انتخاب شده است. ارشد سال از کنکور غالباً

مطالعه دقیق متن دانشجو با آمده است. MIT دانشگاه Integration Bee""نمونه سواالت مسابقات ،تکمیلی ود.گویی به اکثر این تمرینات خواهد به راحتی قادر به پاسخکتاب ب

توان ریاضیات را : میآورده است ٨زانگیز آنالی و شگفت شناسى ییزیباهاي در شروع کتاب جنبه 7پل لویا سادگی ه توانید دو کار انجام دهید: اول، ب انگیز، اکشن، ... تصور کرد. شما می هاي هیجان بصورت فیلمی با صحنه

دهی به فیلم داشته باشید. یک توانید نقش فعالی در شکل شما می لم بدهید و فیلم را تا آخر تماشا کنید. دوم،کنم در فیلم دهد، اما بیشتر بازیگر است تا بیننده. پیشنهاد می هر دو کار را انجام می ها ریاضیدان بعضی وقت

ها کنم این کتاب را با یک قلم و کاغذ در دست مطالعه کنید، تعریف بزرگ ریاضیات یک بازیگر باشید. توصیه می تمرینات را حل کنید. هاي حل شده را فرا گرفته و حتماً و مثال

ایشان کمال قدردانی و همکاران محترم قنواتیبهتاپژوهش جناب آقاي انتشارات محترم از مدیریتدر اینجا

کتاب را مطالعه نموده مایلم پیشاپیش از اساتید گرانقدر و دانشجویان عزیز که ، . همچنیندارمتشکر را واستقبال ،اي خاص هاي دیگر حل مسئله روش ویژهه ب ،يصمیمانه تشکر کنم. از هر انتقاد یا پیشنهاد مفید

هاي ، در چاپیهاي چاپی گرفته تا اشتباه محاسبات از غلط ،هایی وجود دارد کاستیاگر گمان بیخواهم کرد. اصالح خواهد شد. بعدي

رکالئیگپور آهن ولیسعدي

93شهریور

E-Mail: [email protected]

7 Paul Loya 8 Amazing and Aesthetic Aspects of Analysis.

:توجه

logمنظور از در این کتاب، )1 푥 همانln 푥 ها (یعنی مبناي همه لگاریتم است푒 .(است 2( exp(푋) = 푒 .

3( 푢 = 푢(푥) عی از ابت푥 و푢 )푓 همچنین، است. 푥نسبت به 푢مشتق = )(푥) = است. 푥نسبت به 푓 ام 푛مشتق مرتبه

است و بصورت زیر !푛، تعمیم فاکتوریل معمولی 푛فاکتوریل مضاعف (یا دوگانه) عدد صحیح و مثبت )4 شود تعریف می

푛‼ ≡

⎩⎪⎨

⎪⎧푛 푛 − 2 ⋯ 5× 3× 푛فرد1푛 푛 − 2 ⋯ 6 × 4× 푛زوج21푛 = 0

از اینکه براي مثال، )5

−cos 1 푥 =1

1− 푥2= sin 1 푥

sin که توان نتیجه گرفت نمی 1 푥 = − cos 1 푥 بلکه .sin 1 푥 و cos 1 푥 دازه یک مقدار به ان ،در واقع ثابت اختالف دارند.

sin 1 푥 + cos 1 푥 =휋2

دانیم که ، چون میآگاهانه حذف شد) 푐(گیري ثابت انتگرال این کتاب هاي حل شده مثالدر بیشتر )6به این معنی است که توابع طرف چپ و راست این نماد به اندازه یک مقدار ثابت با هم )=(تساوي ،براي مثال. دارند اختالف

푑푥

1+ 푥2 = tan 1 푥 = − cot 1 푥

، در واقعاما

tan 1 푥 = − cot 1 푥 +휋2

،همچنین

푑푥

1− 푥2= sin 1 푥 = − cos 1 푥

براي .م قدر مطلق تابعی باشدگیریم، ممکن است جواب شامل لگاریت میوقتی از تابع خاصی انتگرال )7 ،مثال

푑푥

1+ 푥2= ln 푥 + 1+ 푥2

|گاهی اوقات، براي سادگی در نوشتن، نماد شود. حذف می |

فهرست

صفحه

1-103 انتگرال مقدماتی مسائلها و قضیه :1فصل

1 .............................................................................................................. ا)ه هیها و قض مفهوم انتگرال (تعریف: 1-1

41................... ............................................................................... (معمولی)تغییر متغیر و : مسائل مقدماتی1-2

92 ..................... ............................................................................................................................. دهتمرینات حل نش

104-321 گیري هاي انتگرال روش: 2فصل

104 ...................................................................... هاي قدرمطلق یا جزء صحیح هاي شامل عبارت انتگرال: 2-1

114...... ................................................................................................................................. جزء به جزءروش : 2-2

143................. .................................................................................................................... تجزیه کسرهاروش : 2-3

170.......................... ................................................................................................................ اصم توابع انتگرال: 2-4

186..................... ............................................................................................ اي دیفرانسیلی دوجمله انتگرال: 2-5

188 ......................................................................و هذلولوي ........................................ انتگرال توابع مثلثاتی: 2-6

288.................................................................... ........................................................... هاي کاهش توان : فرمول2-7

299 ................................................................................................................................................. تمرینات حل نشده

322-575 کاربردهاي انتگرال :3فصل

322........................................................................... حجم اجسام دوار، طول خم و محاسبه سطح محصور :3-1

386........... ........................................................................................... ها واگرایی انتگرال وبررسی همگرایی : 3-2

422.................................. ........................................................ انتگرال معین کمک به مجموع حد محاسبه :3-3

437.................. ................................................................................ یانتگرالعبارت شامل هايحد محاسبه: 3-4

457.................................................. ................................................................. انتگرالی و نامعادالتمعادالت :3-5

482 ..................................................................................................................................... گیري عددي انتگرال :3-6

503 ..............................................................................................ها به کمک انتگرال محاسبه مجموع سري: 3-7

519 ........................................................................................................ واقعی زندگی در انتگرال کاربردهاي :3-8

542.............. ................................................................................................................................... تمرینات حل نشده

576- 617 توابع خاص: 4فصل

576....... ................................................................................................................... تابع چگالی احتمال نرمال :4-1

578................. ........................................................................................................................... ي اویلرگاما تابع: 4-2

592........................... .................................................................................................................... ي اویلربتا تابع: 4-3

607................... ....................................................................................................................... فرمول استرلینگ: 4-4

608..................................... ................................................................. بسل تابعو هاي لژاندر اي چند جمله: 4-5

612.................................. ............................................................................................................... تمرینات حل نشده

618- 628 هاي نقض در انتگرال مثال: 5فصل

629- 896 کلشهاي م محاسبه انتگرال :6فصل

867.................. ............................................................................................................................... تمرینات حل نشده

897-992 دهشحل ن مسائل :7فصل

897 .............................................................................................................................................. مسائل تکمیلی :7-1

937................ ............................................................................................................................... سواالت تستی :7-2

993- 1014..................................................................................................................................................................ها پیوست

1015-1017 بع فهرست منا

ها و مسائل مقدماتی انتگرال هی: قض1فصل

)ها یهها و قض مفهوم انتگرال (تعریف: 1-1

حسابمبحث گیري داریم؟ گیري و انتگرال سوال این است که چرا نیاز به مطالعه و یادگیري مشتق کند آهنگ ا کمک میگیري (یا مشتقات)، که به م داراي دو شاخه اصلی است. اول مشتق دیفرانسیل و انتگرال

و موضوع این کتابگیري گیري، که عکس مشتق تغییر یک کمیت را در مقایسه با دیگري پیدا کنیم. دوم انتگراله . ممکن است آهنگ تغییرات را به ما داده باشند، براي یافتن رابطه (یا معادله) اصلی بین دو کمیت باید باست

دانیم، اما نیاز داریم رابطه ناشی از آهنگ تغییرات دو متغیر را می طور برعکس عمل کنیم. بعبارت دیگر، اغلبدانیم، اما رابطه مستقیم دو متغیر را نیز بدانیم. براي مثال، فرض کنید سرعت یک شیء را در زمان خاصی میستفاده از ممکن است بخواهیم موقعیت شیء را نیز در آن زمان بدانیم. براي یافتن این رابطه مستقیم، نیاز به ا

شود. اولیه) نامیده می گیري (پادمشتق یا تابع د انتگرالینآگیري است. این فر یندي داریم که عکس عمل مشتقآفر یانرا بحساب دیفرانسیل و حساب انتگرال قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال ارتباط بین همچنین،

در دهند مسائل بسیاري به ما اجازه میانتگرال حساب انتگرال و قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و. کند میهاي ریاضی یعنی محاسبه مساحت ناحیه ترین مسأله شامل یکی از قدیمی(هندسه و اقتصاد، فیزیک، مهندسی

را حل کنیم. ها) مرز منحنیمحصور به

سطح زیر منحنی استفاده و همچنین بعنوان عنوان تابع اولیهه ب اگر چه اکنون از نماد واحدي براي انتگرال مطرح ام وم تابع اولیه تا اواخر قرن هفدهمفهاي دارند. واضح است که هاي جداگانه شود، این مفاهیم تاریخچه می

ها بر وم سطح زیر منحنی به یونانیمفه ند. تا اینکه نیوتن و الیبنیتز حساب دیفرانسیل را خلق کرد نبود،

2/ سائل مقدماتی انتگرالها و م قضیه: 1فصل

2500 حدودارشمیدس گیري بسیار نزدیک است. وم انتگرالبه مفه 1میدسوش اشباع (مساحت) ارشگردد. ر می .گیري را با استفاده از روش اشباع حل کرد سال پیش اولین مسئله انتگرال

푥براي هر است، اگر푓تابع براي(یا یک پاد مشتق) یک تابع اولیه 퐹 تابعتعریف: ∈ 퐷، 퐹 (푥) = 푓(푥).

شماري دارد. بی هاي اولیه ک تابع فقط یک مشتق دارد، اما تابعکه یدر حالی نکته:

1 :1مثال − cos푥 99و − cos 푥 هایی براي هر دو تابع اولیهsin 푥 باشند، زیرا می

1− cos 푥 = sin 푥 = 99 − cos푥

푐در واقع، هر تابع − cos 푥 به ازاي هر ،푐 يثابت، یک تابع اولیه براsin 푥 است. در حالت کلی، اگر퐹 یک퐹آنگاه باشد،푓تابع اولیه براي + 푐 به ازاي هر ،푐 ،یک تابع اولیه براينیز ثابت푓 است، زیرا

(퐹 + 푐) = 퐹 + 푐 = 퐹 + 0 = 푓

وجود دارد 푐د ثابت باشند، آنگاه عد 퐼روي فاصله 푓(푥)دو تابع اولیه براي تابع 퐺(푥)و 퐹(푥)اگر :1قضیه : 퐼در 푥که براي هر

퐹(푥) = 퐺(푥) + 푐

퐹(푥) :2مثال = 푥4 ،퐺(푥) = 푥4 − 퐻(푥) و 5 = 푥4 + هستند، زیرا 4푥3براي هایی اولیه تابع 0/3

푥4به فرم 4푥3هاي اولیه است. تمام تابع 4푥3مشتق هر یک برابر + 푐 باشند. می

푑푑푥 푥4 = 푥4 = 4푥3 ⟹ 4푥3푑푥 = 푥4 + 푐

هر یک به اندازه یک ثابت با از توابع است، يا گیري تعیین یک تابع نیست، بلکه خانواده فرآیند پادمشتقبنابراین، د. ندار اختالفبقیه

푦فرض کنید تابع نامنفی : مجموع ریمان و انتگرال معین = 푓(푥) روي بازه[푎, 푏] پیوسته باشد. بازه[푎, 푏] را به푛 طول به مساوي بازه زیر ∆푥 = (푏 − 푎) 푛⁄ .ها عبارتند از بازه نقاط انتهایی سمت راست زیر

푥 ،… ،푥 ،… ،푥3،푥2،푥1 که در آن ،

1 Archimedes

ها حساب انتگرال، مفاهیم و کاربرد/ 3

푥 = 푎 + 푖∆푥 ⟶

⎩⎪⎨

⎪⎧푥1 = 푎 + ∆푥

푥2 = 푎 + 2∆푥⋮

푥 = 푏

푥∆با قاعده ام 푖کنیم. بنابراین مساحت مستطیل طبق شکل زیر یک مستطیل رسم می براي هر زیر بازه =

푥 − 푥 푓(푥و ارتفاع 1 푆برابر است با ( = 푓(푥 )∆푥. تمام مجموع푛 مستطیل، مجموع ریمان نامیدهتقریب بهتري به دست 푛است. مقدار بزرگتر 푏تا 푎از 푓نمودار شود که تقریبی از مساحت دقیق ناحیه زیر می است. 푏تا 푎از 푓نمودار مجموع ریمان برابر مساحت دقیق ناحیه زیر نهایت شود که حد در بی دهد. ثابت می می

∫انتگرال معین این حد اسم و نماد خاصی دارد: 풇(풙)풅풙풃풂 .

푆 = 푆1

= lim→

푓(푥 )1

∆푥 = lim→

푏 − 푎푛 푓 푎 + 푖

푏 − 푎푛

1

= 푓(푥)푑푥

∫ نماد توجه: دو معنی متمایز دارد: گیري انتگرال

∫انتگرال معین )1 푓(푥)푑푥 یک عدد است .

,푎]در 푥اگر به ازاي هر 푏] ،푓(푥) ≥ ∫آنگاه ،0 푓(푥)푑푥 زیر نمودارناحیه مساحت 푓 بازه بااليو [푎, 푏] در شکل زیر). تیرهاست (ناحیه


∫ ،در شکل زیر 푓(푥)푑푥 مساحت بین푥 = 푎 و푥 = 푏 یعنی باالي محور ،푥 ها و زیر نمودار푓 منهاي ، است: 푓ها و باالي نمودار 푥مساحت زیر محور

푓(푥)푑푥 = 푥ها رمحو مساحتباالي − مساحتپایینمحور푥ها

باشند، در اینصورت 푓(푥)دو تابع اولیه براي 퐺(푥)و 퐹(푥)در حالت انتگرال معین، فرض کنید نکته:퐺(푥) = 퐹(푥) + 퐶 و

푓(푥)푑푥 = 퐹(푏) − 퐹(푎) = (퐹(푏) + 퐶) − (퐹(푏) + 퐶) = 퐺(푏) − 퐺(푎)

∫ معین در حالیکه، انتگرال نا )2 푓(푥)푑푥 .یک تابع است نه عدد

푓(푥)푑푥 = 푓(푡)푑푡 + 푐

اگر حد وجود داشته باشد، یعنی .گوییمحد باالي انتگرال را 푏حد پایین انتگرال و را 푎)، 1توجه: در (

∫ 푓(푥)푑푥 گوییم شده یا معین باشد، آنگاه می تعریف푓 روي[푎, 푏] تابع زیر همچنین،ست. پذیر ا انتگرالمعین کامال تابع اولیه و انتگرال ناپاد مشتق، هاي: شود. عبارت نامیده می ده باال، انتگرالانتگرال در هر دو حالت

اند. به یک معنی


در حدود آن ي محاسبهگیري نامعین به همراه انتگرال است با یک معین معادل گیري توجه: انتگرال푓(푥)گیري معین تابع انتگرال ي مثال،. براگیري انتگرال = 2푥 :در نمودار زیر نشان داده شد

lim: حد 3مثال →1∑ 푓1 بنویسید. معین را بصورت یک انتگرال

푎 = 0, 푏 = 1 ⟶ lim→

1푛 푓

푖푛

1

= 푓(푥)푑푥1

0

∫نتگرال معین استفاده از تعریف ا اب :4 مثال 2푥2 + 3 푑푥4

را حساب کنید. 0

푥∆به طول مساوي زیر بازه 푛را به [0,4]بازه =4 0

= بنابراینکنیم. تقسیم می 4

푥 = 0+ 푖4푛 =

4푖푛 , 푓(푥 ) = 2

4푖푛

2

+ 3 =32푖2

푛2 + 3

⟶ 푓(푥 )∆푥 =32푖2

푛2 + 34푛 =

128푖2

푛3 +12푛

푓(푥 )1

∆푥 =128푖2

푛3 +12푛

1

=128푛3 푖2

1

+12푛 1

1

=128푛3 ∙

푛 푛 + 1 2푛 + 16

+12푛 ∙ 푛

=1286

푛푛

푛 + 1푛

2푛 + 1푛 + 12


=643

1+1푛 2+

1푛 + 12

2푥2 + 3 푑푥4

0= lim

→푓(푥 )

1

∆푥

= lim→

643

1+1푛 2+

1푛 + 12

=643(1)(2) + 12 =

1643

∫استفاده از تعریف انتگرال معین ا: ب5 مثال 8푥 − 푥2 푑푥5

را حساب کنید. 2

푥∆زیر بازه مساوي به طول 푛را به [2,5]بازه =5 2

= کنیم. بنابراین تقسیم می 3

푥 = 2+ 푖3푛 = 2+

3푖푛 , 푓(푥 ) = 8 2+

3푖푛 − 2+

3푖푛

2

= −9푖2

푛2 +12푖푛 + 12

⟶ 푓(푥 )∆푥 = −9푖2

푛2 +12푖푛 + 12

3푛 = −

27푖2

푛3 +36푖푛2 +

36푛

푓(푥 )1

∆푥 = −27푖2

푛3 +36푖푛2 +

36푛

1

= −27푛3 푖2

1

+36푛2 푖

1

+36푛 1

1

= −27푛3 ∙

푛 푛 + 1 2푛 + 16

+36푛2 ∙

푛 푛 + 12

+36푛 ∙ 푛

= −92

1+1푛 2+

1푛 + 18 1+

1푛 + 36


2푥2 + 3 푑푥4

0= lim

→−

92

1+1푛 2+

1푛 + 18 1+

1푛 + 36

= −92(1)(2) + 18(1) + 36 = 45

∫استفاده از تعریف انتگرال معین ا: ب6مثال 푥3푑푥2 را حساب کنید. 1

푥∆زیر بازه مساوي به طول 푛را به [1,2−]بازه = کنیم. بنابراین تقسیم می 3

푥 =3푖푛 − 1, 푓(푥 ) =

3푖푛 − 1

3

=27푖3

푛3 −27푖2

푛2 +9푖푛 − 1

⟶ 푓(푥 )∆푥 =27푖3

푛3 −27푖2

푛2 +9푖푛 − 1

3푛 =

81푖3

푛4 −81푖2

푛3 +27푖푛2 −

3푛

푓(푥 )1

∆푥 =81푖3

푛4 −81푖2

푛3 +27푖푛2 −

3푛

1

=81푛4 푖3

1

−81푛3 푖2

1

+27푛2 푖

1

−3푛 1

1

=81푛4 ∙

푛2 푛 + 12

4−

81푛3 ∙

푛 푛 + 1 2푛 + 16

+27푛2 ∙

푛 푛 + 12

−3푛 ∙ 푛

=814

1+1푛

2

−272

1+1푛 2 +

1푛 +

272

1+1푛 − 3

푥3푑푥2

1= lim

→

814

1+1푛

2

−272

1+1푛 2+

1푛 +

272

1+1푛 − 3


=814(1)2 −

272(1)(2) +

272(1) − 3 =

154

,푎]بر 푓فرض کنید تابع: 2قضیه 푏] پیوسته باشد. در اینصورت تابع

퐹(푥) = 푓(푡)푑푡, 푎 ≤ 푥 ≤ 푏

,푎]بر 푏] پیوسته و بر(푎, 푏) پذیر است و مشتق퐹 (푥) = 푓(푥) .

,푎]بر 푓فرض کنید تابع : 3قضیه 푏] پیوسته و معین و퐹 باشد. در اینصورتآن تابع اولیهیک

푓(푥)푑푥 =퐹(푥)|푏푎 = 퐹(푏) − 퐹(푎)

به و شوند نامیده می مین قضیه اساسی حساب دیفرانسل و انتگرالواولین و دبه ترتیب، 3و 2قضیه . الیبنیتز مشهورند -دستور نیوتن

کنیم ) استفاده می6- 3بخش گیري عددي ( المناسبی را پیدا کنیم، از انتگر 퐹(푥)اگر نتوانیم نکته:

∫ عملگر مشتق باشد. 퐷 فرض کنید نکته: ∫퐷( عکس یکدیگرند 퐷و = 퐷∫ولی 1 ≠ ، به علت ثابت 1 .گیري) انتگرال

: 7مثال

4푥3푑푥1

0= 푥4 + 푐

푥 = 1푥 = 0

= 14+ 푐 − 04

+ 푐 = 1

푓(푥)یعنی مساحت زیر نمودار = 4푥3 از푥 = 푥تا 0 = است. 1برابر 1

:8مثال

푓: 푥2 푦 1

↕ ↕퐹: 푥3 3+ 푐 ln 푦 + 푐

sin 푢 2 sin 푡 cos 푡 2↕ ↕ ↕

− cos푢 + 푐 sin2 푡 + 푐 2 ln 2+ 푐


:9مثال

푑푑푥 عددثابت = 0 푑

푑푥(푥) = 1 푑

푑푥푥 1

푛 + 1= 푥

↕ ↕ ↕

0푑푥 = 푐 1푑푥 = 푥 + 푐 푥 푑푥 =푥 1

푛 + 1+ 푐

푦فرض کنید نمودار :10 مثال = 푓(푥) .بصورت زیر باشد

مقادیر زیر را روي شکل نشان دهید:

푓(푏)دهنده طولی که نشان )1 − 푓(푎) .است

) که معرفشیب (ضریب زاویه) )2 ) ( است. (

퐹(푏)اي که بیانگر ناحیه )3 − 퐹(푎) که ،퐹 = 푓 .است

)طول تقریبی )4 ) ( 퐹که ( = 푓.

∫برابر است با در شکل سمت راست شده مشخصناحیه ،)3جواب: براي ( 푓(푥)푑푥 = 퐹(푏) − 퐹(푎) .

∫توابع کدامبراي :11مثال 푓(푥)푑푥 ≠ ∫ 푓(푡)푑푡0؟

Documents

چاپ و فروش کتاب حساب انتگرال