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2. FUNCIONES SINGULARES En el tratamiento de la asignatura Análisis de Señales se trabajará con las funciones escalón e impulso o delta dirac. 2.1 LA FUNCIÓN ESCALÓN. Desde el punto de vista físico, esta función representa una señal constante, como por ejemplo un voltaje o una corriente, que existe a partir de un determinado instante to. Matemáticamente la función escalón se expresa como sigue:
1)( t para t0
0)( t para t<0
Corresponde a lo que denominaremos escalón unitario. Entonces se podrán considerar escalones no unitarios y definidos a partir de to. Ejemplos: 1. f(t) = 2 )2( t
f(t) 2
t -2
)(t
1
t
2
2. f(t) = 5 )6( t
3. f(t) = -3 )2( t
o 4. f(t) = )4(2)4(2 tt
Se observa que a partir de t=4, los escalones se anulan, por lo tanto la señal f(t) queda como sigue:
t 4
f(t
)
2
-4
2
-2
t
4
f(t)
2
-4
2
-3
t
2
f(t
)
f(t)
5
t 6
3
Producto de una función f(t) por un escalón. Sea g(t) = f(t) )(t entonces g(t) = f(t) 0 t <
Sea g(t) = f(t) )( 0tt entonces g(t) = f(t) t0 t <
Las expresiones anteriores permiten representar funciones empleando el escalón. De acuerdo a lo anterior, podemos considerar lo siguiente:
0
)()()( dttfdttft
0
)()()( 0t
dttfdttftt
Si a<b:
b
a
b
adttfdttftt )()()( 0 para t0a
= b
tdttf
0
)( para t0 >a
= 0 para t0 b
4
2.2 LA FUNCIÓN IMPULSO Desde el punto de vista físico, esta función no es representable, no obstante su significado corresponde a una señal idealmente infinita y definida en el instante t0.
Lo más similar desde el punto de vista físico y que puede ser interpretado como un impulso corresponden a aquellas señales de duración infinitesimal y de gran amplitud. Matemáticamente la función impulso o delta dirac se expresa como sigue:
)(t para t=0
0)( t para 0 <t<0
Corresponde a lo que denominaremos impulso unitario. El concepto de unitario o también denominado peso unitario encierra el concepto del área del impulso, por lo tanto se puede expresar que:
La derivada del escalón es la función impulso: )()( ttdt
d
También, se podrán considerar impulsos no unitarios y definidos en to. Ejemplos: 1. f(t) = )3(2 t
)(t
1
t
0
1)( dtt
5
2. f(t) = )2(4 t
3. f(t) = )5(10 t
4. f(t) = )3(2)2(2)1(2)1(2)2(2)3(2 tttttt
De la ecuación anterior, se desprende que:
EJERCICIOS: 1.- Graficar las siguientes funciones:
a) f(t) =
t -3
2 f(t)
-
2 -1 -
2
1
2
3
f(t)
-10
t
5
)(tf
4
t 2
)(tf
2
t
1)( 0 dttt
)()()( 00 tfdttftt
)1()2(2)3(3)1()2(2)3(3 tttttt
6
b) )9(10)7(10)5(10)3(10)1(10
)1(10)3(10)5(10)7(10)9(10)(
ttttt
ttttttf
c) )1()()(3)(0
ntntntnttfn
2. Exprese la función f(t) empleando la función escalón.
a) f(t) = t+3 2;2 b) f(t) = 3t-10 0;1 c) f(t) = t2 3;3
d) f(t) = (t-1)2 1;1 e) f(t) = e-2t 1;1
3. Se tiene la siguiente señal f(t): Expresar la señal f(t) en un modelo matemático empleando escalones. 4. Sea
dtetetetetetC
tjtjjttj
tj22 )2()1()()1()2(
Determine el valor de C. 2.3 Función escalón no ideal
A
-1 1 t
f(t)
7
Sea )(ta un voltaje no ideal.
1)( a
tta
adt
td a 1)(
Lo que gráficamente podemos representarlo como sigue:
Si a varia, la forma del pulso varia, pero su area se mantiene cte.
En el limite cuando 0a , la altura del pulso y su duración 0 , pero su área se mantiene en 1. Luego podemos expresar que:
dt
tdt a
a
)(lim)( 0
)()(1
lim)( 0 atta
t a
8
Entonces:
00)(1)( tparatdtt
Se observa que )(t no es una función verdadera matemáticamente.
Otras formas de expresar )(t :
1. Pulso de Gauss:
2
2
1lim)( 0
t
et
2. Pulso triangular:
>t para0
)(
<11
lim 0
t
tparat
3. Pulso exponencial.
t
et
2
1lim)( 0
4. Función de muestro.
1)(
dtktSk
a
9
)(lim)( ktSk
t ak
5. Función de muestreo cuadrática.
)(lim)( 2 ktSk
t ak
2.4 Espacio Ortogonal de Señales.(leer) En el análisis de señales es muy útil la representación de señales en términos de componentes ortogonales. Es muy conveniente representar cualquier señal arbitraria como una suma ponderada de señales ortogonales, ya que los cálculos que involucran señales se simplifican.
Un conjunto de señales )(tgi donde Zi
Forman un conjunto ortogonal sobre un intervalo 21,tt si:
2
1
0)()(
t
t
kj
k
kjdttgtg
kjE
)(tgk
es la compleja conjugada y kE es constante real.
Ejercicio:
Verifique que el conjunto de señales
Zm
ortogonaleservaloelenmtsentgm
.),(int)()(
2.4.1 Aproximación de una función mediante un grupo de funciones ortogonales entre
si.
10
Consideremos que una función f(t) se aproxima en el intervalo 21,tt por una
combinación lineal de n funciones ortogonales.
Entonces:
)(................)()()()( 332211 tgCtgCtgCtgCtf nn
)1()()(1
n
r
rr tgCtf
)2()()()(1
n
r
rr tgCtftf
)3()()(1
2
112
2
1
dttgCtftt
t
t
n
r
rr
Se requiere que , que corresponde al error cuadrático medio de )(tf sea mínimo.
)4(
)(
)()(
2
1
2
1
2 dttg
dttgtf
Ct
t
t
t
r
r
r
)1.4(
)()(2
1
r
t
t
r
rk
dttgtf
C
2.4.2. Determinación del error cuadrático medio.
)3()()(1
2
112
2
1
dttgCtftt
t
t
n
r
rr
11
)5()()(2)()(1
2
11 1
222
12
dttgtfCtgCtftt
t
t
n
r
n
r
rrrr
)6()()(2)()(1
1 1
222
12
2
1
2
1
2
1
n
r
n
r
t
t
rr
t
t
r
t
t
dttgtfCdttgCdttftt r
De 4 y 4.1.
2
1
2
1
)()()( 2
t
t
rrrr
t
t
r dttgCkCdttgtf
Luego:
n
r
n
r
rrrr
t
t
kCCkCdttftt r
1 1
22
12
2)(1
2
1
Z
n
r
r
t
t
kCdttftt r
1
22
12
2
1
)(1
Ejercicio:
Se tiene la siguiente señal f(t)
a) Aproxime f(t) mediante una serie de funciones cosenoidales. b) Determine el error cuadratico medio.
c) Determine 7,5,3,1rparar
12
d) Grafique f(t) aproximada para 7,5,3,1r
3.- ANÁLISIS DE SEÑALES
3.1 Representacion de una señal en el intervalo Ttt 0,0 mediante la Serie
de Fourier.
Se representara una función f(t) por un conjunto de funciones senoidales y
cosenoidales, que forman un conjunto ortogonal completo.
La representación es como sigue:
)(..........)3()2()(
)cos(......)3cos()2cos()cos()(
0030201
00302010
tnwsenbtwsenbtwsenbtwsenb
tnwatwatwatwaatf
n
n
Para Tttt 00
Tw
20
1
000 )()cos()(n
nn tnwsenbtnwaatf
Tt
t
Tt
t
n
dttnw
dttnwtf
a0
0
0
0
)(cos
)cos()(
0
2
0
Tt
t
Tt
t
n
dttnwsen
dttnwsentf
b0
0
0
0
)(
)()(
0
2
0
13
Haciendo n=0 para na
Tt
t
dttfT
a0
0
)(1
0
Igualmente:
2)()(cos
0
0
0
0
0
2
0
2 Tdttnwsendttnw
Tt
t
Tt
t
Entonces:
Tt
t
dttfT
a0
0
)(1
0
Tt
t
n dttnwtfT
a0
0
)cos()(2
0
Tt
t
n dttnwsentfT
b0
0
)()(2
0
La representación compacta de la serie trigonométrica de Fourier es la siguiente:
1
00 )cos()(n
nn tnwCctf
Donde:
22
nnn baC
n
nn
a
btg 1
14
3.2 Serie exponencial de Fourier. Representación de una función f(t) cualquiera en el intervalo
Ttt 0,0 mediante una combinación lineal de funciones exponenciales.
..............
..............)(
000
000
2
21
2
210
tjnw
n
twjtjw
tjnw
n
twjtjw
eFeFeF
eFeFeFFtf
n
tjnw
neFtf 0)(
Donde
Tt
t
tjnwtjnw
Tt
t
tjnw
n
dtee
dtetfF
0
0
00
0
0
0)(
Tt
t
tjnwtjnw
Tt
t
tjnw
n
dtee
dtetfF
0
0
00
0
0
0)(
T
dtetfF
Tt
t
tjnw
n
0
0
0)(
Las series exponencial y trigonométrica de Fourier no son 2 tipos diferentes de series, sino dos formas diferentes de expresar la misma serie. Relaciones:
15
00 Fa
nnn FFa
)( nnn FFjb
)(2
1nnn jbaF
Ejercicio:
Desarrollar la función f(t) en serie trigonométrica de Fourier en el intervalo
(0,1).
3.3 REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA MEDIANTE LA
SERIE DE FOURIER EN TODO EL INTERVALO )( t
Anteriormente vimos la representación de una función f(t) como serie de
Fourier en el intervalo ),( 00 Ttt .
Fuera de este intervalo , f(t) y su representación por serie de Fourier no son necesariamente iguales. No obstante, si f(t) es una función periódica, entonces se puede demostrar que su representación en serie de Fourier es aplicable a todo
el intervalo )( t .
Tomemos la serie exponencial de Fourier:
16
n
tjnw
neFtf 0)( ),( 00 Ttt
tjnwtjnwtjnwTtjnw
tjnwTjnwtjnwTtjnwtjnw
eenjsennee
Tw
TnwjsenTnweeeee
0000
00000
01)2()2cos(
2
)()cos(
)(
0
00
)(
Por lo tanto si f(t) es periódica, con periodo T, entonces la serie de
Fourier es válida en todo el intervalo )( t .
Entonces, para una f(t) periódica:
n
tjnw
neFtf 0)( )( t
Donde:
T
dtetfF
Tt
t
tjnw
n
0
0
0)(
Ejercicio: Para una f(t) onda seno rectificado, de amplitud A y periodo T=1, determine la serie exponencial de Fourier.
3.4 EL ESPECTRO COMPLEJO DE FOURIER
Tal como se ha visto, el desarrollo en serie de Fourier de una función periodica, equivale realmente a la representación de la función en termino de sus componentes de distintas frecuencias. Una función f(t) con periodo T tiene componentes de frecuencias
angulares ......,,.........3,2, 0000 nwwww , con T
w2
0 .
Si tenemos f(t) entonces podemos determinar su espectro.
17
Igualmente o inversamente, si tenemos el espectro de una señal, podemos encontrar su f(t). De lo anterior se deduce que: Tenemos 2 maneras de expresar una función: En el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia. Notar que el espectro no es una señal continua, sino que es discreta, dando origen a lo que llamaremos espectro discreto. Dada una función periódica de periodo T, la serie exponencial esta dada por:
n
tjnw
neFtf 0)(
..........
............)(
0000
0000
3
3
2
21
3
3
2
210
tjnw
n
twjtwjtjw
tjnw
n
twjtwjtjw
eFeFeFeF
eFeFeFeFFtf
Se observan las siguientes frecuencias:
......,,.........3,2,,0 0000 nwwww y sus amplitudes son
............, 3210 nFFFFF
Cuando las amplitudes corresponden a complejos, se les describe por su magnitud y fase. Ejercicio: Grafique el espectro para una f(t) onda seno rectificado, de amplitud A y periodo T=1.
Ejercicio: Demuestre que el espectro de magnitud de cualquier función periódica es simétrico con respecto al eje vertical que pasa por el origen.
18
Ejercicio: Desarrolle una función f(t) rectangular periódica como serie exponencial
de Fourier y dibuje su espectro de frecuencia para 4
1
20
1 Ty
Considere el periodo de la señal igual a T, el ancho de los pulsos y la amplitud A. 3.5 REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN CUALQUIERA EN TODO
EL INTERVALO ),( : LA TRANSFORMADA DE FOURIER.
- Primero vimos como se representa cualquier función en serie de
Fourier en un intervalo finito.
- Después expandimos a todo el intervalo ),( pero para una
función periódica.
En realidad lo más conveniente es representar cualquier señal, periódica o no en todo el intervalo.
19
Consideremos la siguiente señal f(t):
Lo que se quiere: representar f(t) como suma de funciones
exponenciales en todo el intervalo ),(
Se define una nueva función periódica )(( tfT con periodo T
En el limite, con )( T
, entonces los pulsos de la función periodica se repiten después de un intervalo infinito.
Por lo tanto, en el limite )( T
las señales )(tfT y f(t) son
idénticas.
)()(lim tftfTT
De este modo, la serie de Fourier que representa a )(tfT en todo el
intervalo, tambien representa a f(t) en todo el intervalo si hacemos
)( T.
20
Se puede expresar la serie exponencial de Fourier de )(tfT como:
n
tjnw
nT eFtf 0)(
Tw
20
Y
T
dtetf
F
T
T
tjnw
T
n
2
2
0)(
nF corresponde a la amplitud de las componentes de frecuencia 0nw .
Suponemos que T aumenta.
Entonces 0w disminuye y el espectro se pone mas denso.
Tambien se observa que nF disminuye.
La forma del espectro no cambia.
En el limite, cuando )( T
, la magnitud de cada componente se vuelve muy pequeña y existe un numero infinito de componentes espectrales, es decir el espectro existe para cualquier w, entonces ya no es discreto sino que continuo.
Sea nwnw 0
Entonces nn wdefuncionesF
21
Es decir
)( nn wF
Sea
)()( nnn wFwTF
como
n
tjnw
nT eFtf 0)(
Entonces
n
tjw
nTnewF
Ttf )(
1)(
Como:
0
2
wT
Entonces
0)(2
1)( wewFtf
n
tjw
nTn
(1)
y
2
2
)()(T
T
tjw
Tnn dtetfTFwF n
(2)
La aproximación de )()( tfytfT se mejora cuando disminuye el
valor de 0w .
22
En el limite cuando )( T
, 0w se vuelve infinitisimalmente
pequeña de modo que se puede expresar por dw .
La suma discreta de )(tfT se puede expresar como una integral y
representa el area bajo la curva.
La curva es una funcion continua de w y esta dada por tjw
ewF )( .
Por lo tanto, cuando )( T
sucede que )()( tftfT , entonces
las ecuaciones 1 y 2 quedan como sigue:
dwewFtftjw
)(2
1)(
Transformada inversa de
Fourier de F(w). Y
dtetfwF jwt)()( Transformada directa de Fourier de f(t)
De este modo tenemos una funcion f(t) no periodica representada en
todo el intervalo ),( .
dtetftfF jwt)()(
dwewFwFF jwt)(2
1)(1
3.6 REPRESENTACION DE UNA SEÑAL EN EL DOMINIO DEL TIEMPO Y EN EL DE LA FRECUENCIA. F(w) es la representacion de f(t) en el dominio de la frecuencia. En general, la función F (w) es compleja y se necesitan dos diagramas para su representacion grafica completa:
23
)()()( wjewFwF
F(w) se puede representar por el diagrama de magnitud )(wF y por el
diagrama de fase )(w .
En los casos que F(w) sea real o imaginaria, solo se requiere un diagrama. 3.7 EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER. Se definio que la Td F esta dada por :
dtetfwF jwt)()(
Si
dtetf jwt)( es finita, entonces existe la T d F.
Como la magnitud de 1 jwte Entonces:
dttf )( debe ser finita.
La integrabilidad absoluta de f(t) es condición suficiente pero no necesaria para la existencia de la Td F de f(t).
Existen funciones como ,),(),cos(),( 00 etcttwtwsen que no
satisfacen la condición anterior y en el sentido estricto no poseen T d F, sin embargo, en el limite si la tienen. 3.8 TRANSFORMA DE FOURIER DE ALGUNAS FUNCIONES UTILES. 3.8.1 Señal exponencial unilateral.
)()( tuetf at
3.8.2 Señal exponencial bilateral.
)()( tuetfta
3.8.3 La funcion pulso rectangular.
24
Se define la función pulso rectangular:
3.8.4 Transformada de Fourier que contienen funcion impulso. 3.8.4.1 Transformada de Fourier de la funcion impulso.
)()( ttf
3.8.4.2 Transformada de Fourier de una constante.
Atf )(
3.8.4.3 Transformada de )sgn(t
Se define la función signum como:
3.8.4.4 Transformada de la funcion escalon unitario )(t
25
3.8.4.5 Transformada de la funcion )cos( 0tw
3.8.4.6 Transformada de la funcion )( 0twsen
3.8.4.7 Transformada de una exponencial perpetua tjw
e 0
3.8.4.8 Transformada de Fourier de una función periodica En estricto rigor, la T d F de una funcion periodica no existe, debido a que esta no satisface la condicion de integrabilidad absoluta. Para cualquier funcion periodica f(t):
dttf )(
No obstante, la transformada existe en el limite. Se puede expresar la funcion periodica mediante la serie de Fourier:
TweFtf
n
tjnw
n
2)( 0
0
Tomando la transformada de Fourier de ambos miembros:
n
tjnw
neFFtfF 0)(
n
tjnw
n eFFtfF 0)(
n
n nwwFtfF )(2)( 0
n
n nwwFwF )(2)( 0
26
Ejercicio:
Determinar la Td F de un tren de impulsos equidistantes de intensidad unitaria a
intervalos T segundos.
3.9 Propiedades de la Transformada de Fourier.
3.9.1 Simetría.
)(2)(
)()(
wftF
entonces
wFtfSi
Ejercicio: Determina la transformada inversa de )(wGW
3.9.2 Linealidad.
)()()()(
tan
)()()()(
22112211
21
2211
wFawFatfatfa
ayateconscualquierpara
entonces
wFtfywFtfSi
3.9.3 Escalar.
)(1
)(
tan
)()(
a
wF
aatf
Rayteconsaparaentonces
wFtfSi
Ejercicio: Determinar la T d F de f(-t)
Ejercicio: Determinar la T inversa d F de )sgn(w
Ejercicio: Determinar la T inversa d F de )(w
3.9.4 Desplazamiento en la frecuencia.
27
)()(
)()(
00 wwFetf
entonces
wFtfSi
tjw
Ejercicio: Determinar la T d F de
)()(
)cos()( 00 twsenj
tGtwtG
3.9.5 Desplazamiento en el tiempo.
00 )()(
)()(
0
jwttjwewFettf
entonces
wFtfSi
Ejercicio: Determinar la T d F de
)3(cos 0 tw
Ejercicio: Determinar la T d F de
)10( t
3.9.6 Diferenciación en la frecuencia.
n
nn
dw
Fdtfjt
dw
dFtjtf
entonces
wFtfSi
)(
)(
)()(
3.9.7 Diferenciación en el tiempo.
)(
)(
)()(
wFjwdt
fd
wjwFdt
df
entonces
wFtfSi
n
n
n
28
3.9.8 Teorema de la modulación.
Sabemos que:
)()(
)()(
00 wwFetf
entonces
wFtfSi
tjw
Si tenemos:
tjwtjw
tjwtjw
etfetftwtf
eetftwtf
00
00
)()(2
1)cos()(
2)()cos()(
0
0
)(2
1)(
2
1)cos()(
)(2
1)(
2
1)cos()(
000
000
wwFwwFtwtfF
etfFetfFtwtfFtjwtjw
Igualmente tenemos que:
)(2
)(2
)()( 000 wwFj
wwFj
twsentfF
Ejercicio: Se tiene una señal f(t) con el siguiente espectro:
Graficar en el dominio de la frecuencia la señal )cos()( 0twtf para mww 0
29
Ejercicio: El producto )cos()( 0twtf corresponde al siguiente espectro:
Ejercicio:
Determinar la transformada de Fourier de la siguiente señal:
Emplearemos la propiedad de diferenciación en el tiempo.
3.10 EL TEOREMA DE LA CONVOLUCIÓN.
Dadas dos funciones )()( 21 tfytf ,
Se puede formar la siguiente integral:
dtfftf )()()( 21
Esta integral se denomina INTEGRAL DE CONVOLUCIÓN y define la
convolucion de las funciones )()( 21 tfytf , que simbólicamente se puede
expresar como :
)(*)()( 21 tftftf
3.10.1 Teorema de la Convolución en el tiempo.
30
)()()(*)(
)()()()(
)()(
)()(
2121
2121
2
1
wFwFtftf
decires
wFwFdtff
entonces
wFtf
ywFtfSi
3.10.2 Teorema de la Convolución en la frecuencia.
)(*)(2
1)()(
)()(2
1)()(
)()(
)()(
2121
2121
2
1
wFwFtftf
decires
duuwFuFtftf
entonces
wFtf
ywFtfSi
3.10.3 Relaciones de la Convolucion
3.10.3.1 Ley Conmutativa.
)(*)()(*)( 1221 tftftftf
3.10.3.2 Ley Distributiva.
)(*)()(*)()()(*)( 3121321 tftftftftftftf
3.10.3.3 Ley Asociativa.
)(*)(*)()(*)(*)( 321321 tftftftftftf
3.10.4 Convolución de una función con la función impulso unitario
)()()()(*)( tfdtfttf
Tenemos que si
31
)()(*)(
sec
)()(*)(
:tan
1)()()(
tfttf
uenciaconEn
wFttf
toloPor
tywFtf
Por lo tanto:
)()(*)(
)()(*)(
)()(*)(
2121
2121
ttttttt
tttfttttf
TtfTttf
