INTEGRAL LIPAT DUA DAN PENERAPAN FISISNYA

PADA PERHITUNGAN MOMEN INERSIA

Rachmawati1)

1) Mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika

Fakultas Matematika dan IPA

Universitas Negeri Gorontalo

ABSTRAK

In this papers, generally of speaking will discussion aboutdefinition of double integrals and form the application asused in of the physical property in case of moment ofinertia and as well as the some examples.. This papers willdiscussion and showing how to make arrangements forintegrals in calculation the moment of inertia, inparticular of double integrals.

Keyword : integral, integral lipat dua, moment of inertia.

1. PENDAHULUAN

Usaha pemecahan tentang luas telah menuju ke pendefinisianintegral tentu. Dalam berbagai cara yang sama, sekarang kitamencoba mencari volume benda pejal dan dalam prosesnya kitasampai pada definisi integral lipat dua.

Telaah kembali tentang materi dasar yang berkenaan denganintegral tentu dari fungsi peubah tunggal. Jika f(x)didefinisikan sebagai a ≤x≤b, artinya kita membagi selang[a,b ] menjadi menjadi n selang bagian [xi−1x1 ] berlebar sama ∆x= (b - a)/n dan kita pilih titik-titik sampel x, dalam selangbagian ini. Kemudian kita bentuk jumlah Riemann:

∑i=1

nf(x1

¿ )∆x

Dan mengambil limit jumlah tersebut seraya n→ ∞ untukmendapatkan integral tentu f dari a ke b :

Dalam kasus khusus dengan f(x)≥ 0, jumlah Riemann dapatditafsirkan sebagai jumlah luas segiempat penghampir dalam

gambar di bawah dan ∫a

b

f(x)dx menyatakan luas daerah di bawah

kurva y = f(x) dari a ke b.

2. INTEGRAL LIPAT DUA

Dalam cara yang serupa, kita tinjau fungsi dua peubah f yangdidefinisikan pada segiempat tertutup. Untuk integral lipatdua dari fungsi dengan dua peubah pembatasannya adalah bahwafungsi dua peubah tersebut terdefinisi pada suatu daerahtertutup di R2. Yang dimaksud daerah tertutup disini adalahdaerah beserta dengan batas-batasnya. Apabila dikatakandaerah, maka yang dimaksud adalah daerah tertutup.

Kita tinjau fungsi dua peubah f yang didefinisikan padasegiempat tertutup. Misalkan fungsi z = f(x,y) didefinisikanpada suatu daerah tertutup R di bidang xoy.

∫a

b

f(x)dx=∑i=1

nf(x1¿ )∆x

R=[a,b ]x [c,d ]={(x,y )∈R2|a≤x≤b,c≤y≤d }Dan mula-mula kita misalkan f(x, y) ≥ 0. Grafik f adalahpermukaan dengan persamaan z=f(x,y). Misalkan S adalah

benda pejal yang terletak di atas R dan di bawah grafik f,yakni:

S={(x,y,z)∈R3|0≤z≤f (x,y ), (x,y )∈R }

(Lihat gambar di samping) tujuan kita adalah mencari volume S.Langkah pertama adalah membagi segiempat R menjadi beberapabagian. Kita lakukan ini dengan membagi selang[a,b ] menjadi m

selang bagian [xi−1xi ] berlebar sama ∆x=b−am dan dengan membagi

[c,d ] menjadi n selang bagian [yi−1yi ] berlebar sama ∆y=d−cn .

Dengan menarik garis-garis sejajar terhadap sumbu koordinatmelalui titik ujung selang bagian dalam bentuk segiempatbagian.

R=[xi−1xi ]x [yi−1yi ] = {(x,y)|xi−1≤x≤xiyi−1≤yi}

masing- masing dengan luas ∆ A=∆x∆y

Jika kita pilih salah satu titik sampel (xij¿ yij

¿ ) dalam masing-masing Rij, maka kita dapat menghampiri bagian S yang terletak diatas masing- masing Rij menggunakan kotak segiempat tipis (ataukolom) dengan alas Rijdan tinggi f (xij

¿ yij¿ ).Maka voleme kotak adalah

tinggi kotak kali luas segiempatalas :

f (xij¿ yij

¿ )x ∆ A = f (xij¿ yij

¿ )x ∆x∆y

Dapat dilihat maka untuksemua segiempat jikaditambahkan volume kotakyang berkaitan , maka

volume total S hampir diperoleh.

Intuisi kita memberitahu bahwa hampiranyang diberikan menjadi lebih baikbegitu m dan n menjadi lebihbesar, sehingga diharapkan menjadi:

Jika f (x,y )dA≥0 maka volume V daribenda pejal yang terletak di atas segiempat R dan di bawahpermukaan z=f (x,y ) adalah

V=limm,n→∞

∑i=1

m

∑j=1

nf(xij

¿ yij¿ )∆A

V≈∑i=1

m

∑j=1

nf(xij

¿ yij¿ )∆A

Untuk menghitung integral lipat dua dapat digunakan integralberulang yang ditulis dalam bentuk :

a.

∬Rf(x,y)dA=∬

Rf(x,y)dxdy =∫

a

b { ∫y=f1(y)

y=f2(y )

f(x,y)dx}dydimana integral yang ada dalam kurung harus dihitungterlebih dahulu dengan menganggap variable y konstanta,kemudian hasilnya diintegral kembali terhadap y.

b.∬Rf(x,y)dA=∬

Rf(x,y)dydx =∫

a

b { ∫y=f1(y)

y=f2(y )

f(x,y)dy}dxdimana integral yang ada dalam kurung harus dihitungterlebih dahulu dengan menganggap variable x konstanta,kemudian hasilnya diintegral kembali terhadap x.Jika integral lipat dua di atas ada, maka (a) dan (b) secaraumum akan memberikan hasil yang sama.

Contoh :

∬R

❑

f(x,y)dA

Sifat-sifat Integral Lipat Dua :1.∬

R[f(x,y)+g(x,y)]dA=∬

Rf(x,y)dA+∬

Rg(x,y)dA

2.∬Rcf (x,y )dA=c∬

Rf(x,y)dA , dengan c konstanta.

3. Jika f(x,y)≥g(x,y) untuk ∀(x,y)∈R, maka ∬

Rf(x,y)dA≥∬

Rg(x,y)dA

1. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh x + y = 2 dan 2y =x + yPenyelesaian :

A=∬RdA=∫

0

2

∫2y-4

2-ydxdy=∫

0

2x ∫2y-4

2-ydt

=∫0

2(2−y−2y−4)dy=∫

0

2(6−3y )dy

=(6y-32y2)∫

0

2=(12−6)=6

2. Tentukan volume V suatu benda padat di bawah permukaanz=4−x2−y dan di atas persegi panjang{R=(x,y):0≤x≤1,0≤y≤2 } Penyelesaian :

V=∬R

❑

(4−x2−y)dA=∫0

2

∫0

1

(4−x2−y)dxdy

¿∫0

2 [4x–x3

3+yx]0

1

=∫0

2 [4–13+y ]dy¿ [4y–13 y−

12y2]0

2

=8−23

−2=163

3. Carilah volume benda pejal yang terletak di bawahparaboloid z=x2+y2 dan di atas daerah D di bidang –xy yangdibatasi oleh garis y = 2x serta parabola y = x2. Penyelesaian :

D={(x,y)|0≤x≤2,x2≤y≤2x }

Karena itu, volume di bawah z=x2+y2 dan di atas D adalah

V=∬D

❑

(x2+y2)dA=∫0

2

∫x2

2x

(x2+y2)dxdy

V=¿

¿∫0

2 [x2y+y33 ]y=2x

y=x2dx=∫

0

2 [x2(2x)+(2x)3

3−x2x2 (x2)3

3 ]dx¿∫0

2

(−x6

3−x4+14x

3

3 )dx=¿[−x7

21−x5

5+7x4

6 ]02

=21635

¿

4. PENERAPAN INTEGRAL LIPAT DUA PADA MOMEN INERSIA

Pada saat mempelajari hukum Newton, diketahui bahwa ukurankelembaban benda pada gerak translasi adalah massa.Perhatikan pergerakan planet pada porosnya. Planet-planetterus berputar pada sumbunya tanpa berhenti akan selalumempertahankan keadaan untuk terus berotasi. Dengandemikian, pada gerak rotasi dikenal istilah kelembaban.

Besaran pada gerak rotasi yang analog dengan massa padagerak translasi dikenal dengan momen inersia(I). Perbedaannilai antara massa dan momen inersia adalah besar massasuatu benda hanya bergantung pada kandungan zat dalam bendatersebut, sedangkan besar momen inersia tidak hanyabergantung pada jumlah zat tetapi juga dipengaruhi olehbagaimana zat tersebut terdistribusi pada benda tersebut.Materi tentang energi kinetik (kinetic energy), dari sebuahpartikel dengan massa m dan kecepatan v yang bergerak dalamsebuah garis lurus dirumuskan dengan :

Ek=12mv2

Jika sebagai pengganti bergerak sepanjang suatu garislurus,partikel berputar terhadap suatu sumbu dengan suatukecepatan sudut (angular velocity) sebesar ω, maka kecepatanliniernya adalah v = rω, dengan r merupakan radius lintasanyang berbentuk lingkaran. Ketika disubtitusikan ke persamaanenergi kinetik, maka:

Ix=limm,n→∞

∑i=1

m

∑j=1

n(yij

¿ )2ρ (xij¿ yij

¿ )∆A=∬D

❑

y2ρ(x,y)dA

Iy=limm,n→∞

∑i=1

m

∑j=1

n(xij

¿ )2ρ (xij¿ yij

¿ )∆A=∬D

❑

x2ρ(x,y)dA

Ek=12

(r2m)ω2

Maka, dari sebuah pertikel yang berputar dapat dituliskan:

Ek=12Iω2

Momen inersia (moment of inertia) dari partikel bermassa mterhadap sumbu didefinisikan sebagai mr2 , dengan r adalahjarak deri partikel ke sumbu. Dari persamaan tersebut dapatdisimpulkan bahwa momen inersia dari benda dalam gerakberputar memiliki peranan yang serupa dengan massa bendadalam gerak linear.

Kita perluas konsep ini terhadap lamina dengan fungsikerapatan ρ(x,y) dan menempati daerah D denagn caramelanjutkan prosesnya seperti yang kita lakukan pada mmomenbiasa. Kita membagi D menjadi segiempat-segiempat kecil,menghampiri momen inersia masing-masing segiempat bagianterhadap sumbu –x dan mengambil limit jumlah pada saatbanyaknya segiempat bagian menjadi besar. Hasilnya adalahmomen inersia lamina terhadap sumbu –x :

Secara serupa, momen inersia terhadap sumbu –y adalah

Untuk suatu sistem n partikel padasuatu bidang yangbermassa m1, m2,

…..,mn dan yang berjarak r1, r2,….,rn

dari garis L, makamomen inersiasistem itu terhadap L didefinisikansebagai:

I=m1r12+m2r1

2+…+mnrn2=∑

k=1

nmkrk

2

Dengan kata lain kita tambahkan momen – momen inersia darisetiap partikel. Sekarang kita perhatikan lamina dengankerapatan δ(x,y) yang mencakup suatu daerah S dari bidangxy. Jika kita partisikan S, aproksimasi momen inersia tiapkeping Rk, tambahkan dan ambil limit maka rumus momeninersia lamina terhadap sumbu – sumbu x,y dan z dinyatakandengan:

Perhatikan masalah penggantian suatu sistem massa umum yangmassa totalnya m oleh sebuah titik tunggal bermassa m

Ix=∬S

❑

y2δ (x,y )dA

Iy=∬S

❑

x2δ(x,y)dA

Iz=∬S

❑

(x2+y2)δ(x,y)dA=Ix+Iy

dengan momen inersia I yang sama terhadap suatu garis L,sehingga didapat rumus sebagai berikut :

r=√ImSebuah jari-jari perputaran (radius of gyration) dari suatusistem. Jadi energi kinetik dari sistem yang berputarmengelilingi L dengan kecepatan sudut ωadalah :

Ek=12mr2ω2

Contoh :

1. Tentukan momen inersia terhadap sumbu x, y dan z untuklamina dengan kerapatan δ (x,y )=xy yang dibatasi olehsumbu x, garis x = 8 dan kurva y=x2/3

Penyelesaian

Material tak homogen

Penyelesaian :

Ix=∬S

❑

xy3dA=∫0

8

∫0

x2/3

xy3dxdy=14∫0

8

x11 /3dx=61447

=877,71

S

Iy=∬S

❑

x3ydA=∫0

8

∫0

x2 /3

x3ydxdy=12∫0

8

x13/3dx=6144

Iz=Ix+Iy=49,152

7=7021,71

2. Diketahui kurva y=x2 dari x = 0 sampai x = 1, hitunglah momeninersia terhadap sumbu x, y dan z dengan kerapatan ρ = xy. Penyelesaian :

Kita peroleh dM = xy dydx. Jarak dari dM ke sumbu x adalah y(Lihat gambar). Demikian pula, jarak dM ke sumbu y adalahx. Jarak dM ke sumbu -z (sumbu z tegak lurus kertas padagambar) adalah √x2+y2

Elemen dari suatu luasan, seperti metode integral lipat dA = dydx. Karena kerapatan ρ= xy, massa elemen adalah dM = xy dy dx.Maka ketiga momen inersia terhadap ketiga sumbu koordinat :

Ix=∫x=0

1

∫y=0

x2

y2xydydx=∫0

1 x94dx= 1

40

Iy=∫x=0

1

∫y=0

x2

y2xydydx=∫0

1

x7/4dx= 116

Iz=∫x=0

1

∫y=0

x2

(x2+y2)xydydx=Ix+Iy=780

5. KESIMPULAN

Integral lipat dua merupakan integral dari fungsi dengan duapeubah , dengan batasan bahwa fungsi dua peubah tersebutterdefinisi pada suatu daerah tertutup di R2.

Untuk menghitung integral lipat dua dapat digunakan integralberulang yang ditulis dalam bentuk :

∬Rf(x,y)dA=∬

Rf(x,y)dxdy =∫

a

b { ∫y=f1(y)

y=f2(y )

f(x,y)dx}dy∬Rf(x,y)dA=∬

Rf(x,y)dydx =∫

a

b { ∫y=f1(y)

y=f2(y )

f(x,y)dy}dx Besaran pada gerak rotasi yang analog dengan massa pada

gerak translasi dikenal dengan momen inersia(I). Momeninersia (moment of inertia) dari partikel bermassa m terhadapsumbu yang diberikan didefinisikan sebagai mr2 , dengan radalah jarak deri partikel ke sumbu.

I=mr2 Rumus momen inersia lamina terhadap sumbu – sumbu x, y dan z

dinyatakan dengan:

Ix=∬S

❑

y2δ (x,y )dA

Iy=∬S

❑

x2δ(x,y)dA

Iz=∬S

❑

(x2+y2)δ(x,y)dA=Ix+Iy

6. DAFTAR PUSTAKA

http://ocw.mit.edu/terms. MIT18_02SC notes_23. Diaksestanggal

01/29/2011 : 03.37 pm

http://id.wikipedia.wiki/org/integral-lipat-dua Diaksestanggal 01/29/2011

Purcell, Verberg, Rigdon. 2004. Kalkulus Edisi KedelapanJilid 2.

Jakarta : Erlangga

Stewart, James. 2003. Kalkulus Edisi Keempat Jilid 2.Jakarta : Erlangga

Umar, Efrizon. 2007. Fisika dan Kecakapan Hidup. Jakarta :Ganeca