HUBUNGAN FUNGSI NON-LINEAR DALAM PENERAPAN EKONOMI

Disusun Guna Memenuhi Tugas

Matematika Ekonomi

Dosen Pengampu : Wardono

Rombel 1

Oleh:

1. Farah Anisah Zahra 4101413064

2. Rizky Rahman 4101413066

3. Hana Mufti Aulia 4101413086

4. Jihan Dzulfikar 4101413164

5. Nur Said 4101413186

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2015

FUNGSI NON LINIER

Pendahuluan

Fungsi non linier merupakan model yang tidak kalah pentingnya dibandingkan

dengan fungsi linier dalam penerapan ekonomi, karena sebagian dari model ekonomi linier

yang ada, sesungguhnya merupakan linierisasi dari model non linier.

Ada 4 macam bentuk fungsi non linier yang paling sering dijumpai dalam analisis

ekonomi, yaitu : - Fungsi Kuadrat

- Fungsi Kubik

- Fungsi Eksponensial

- Fungsi Logaritma

Diantara ke empat fungsi nonlinier tersebut yang paling sering digunakan adalah fungsi

kuadrat.

FUNGSI KUADRAT

Fungsi Kuadrat adalah fungsi yang mempunyai pangkat tertinggi dari variabelnya

adalah pangkat dua.

Gambar fungsi kuadrat bisa berupa :

a. Lingkaran

b. Ellips

c. Hiperbola

d. Parabola

Tetapi dalam penerapan ekonomi, yang paling sering digunakan adalah fungsi kuadrat

yang berbentuk Parabola.

Bentuk yang lebih umum dari fungsi kuadrat :

a X 2 + b Y 2 + c X + d Y + p X Y + e = 0

dimana a atau b ≠ 0

sebuah fungsi kuadrat jika mempunyai ciri-ciri berikut ini maka :

Jika p = 0 dan a = b ≠ 0 ⇒

bentuk kurvanya Lingkaran

p 2 – 4 a b < 0 ; a ≠ b dan tanda sama ⇒

bentuk kurvanya Elips

p 2 – 4 a b > 0 ; a & b tanda berlawanan⇒

bentuk kurvanya Hiperbola

p 2 – 4 a b = 0 ⇒

bentuk kurvanya Parabola

berati jika salah satu saja yaitu jika a = 0 atau b = 0 tetapi tidak keduanya, maka kurvanya

akan berbentuk Parabola

A. LINGKARAN

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak tetap terhadap sebuah titik

tertentu yang disebut pusat.

Bentuk umum persamaan lingkaran :

a X 2 + b Y 2 + c X + d Y + e = 0

Lalu ubah bentuk persamaan menjadi ( X – i ) 2 + ( Y – j ) 2 = r 2

Dimana : i = a

c

2− ; j =

a

d

2− dan r =

−+

a

eji

22

Maka i = jarak pusat lingkaran terhadap sumbu Y

j = jarak pusat lingkaran terhadap sumbu X

r = jari-jari lingkaran

Lingkaran bisa digambarkan jika nilai r 2 > 0

Titik potong lingkaran pada sumbu koordinat dapat dicari dengan memisalkan masing-

masing X = 0 dan Y = 0 secara bergantian.

Jika i > r lingkaran tidak memotong sumbu Y

j > r lingkaran tidak memotong sumbu X

Contoh :

3 X 2 + 3 Y 2 – 24 X – 18 Y = 33 : 3

X 2 + Y 2 – 8 X – 6 Y = 11

i = a

c

2− =

( )12

8

−−

= 4 j = a

d

2−=

( )12

6

−−

= 3

dan r =

−+

a

eji 22

=

−

−+1

1134 22

=

36

= 6

jadi lingkaran tersebut mempunyai titik pusat pada sumbu koordinat

( 4 ; 3 ) dengan jari-jari lingkaran = 6

A. ELLIPS

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua fokusElips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua fokus

selalu konstan. Elips mempunyai dua sumbu simetri yang saling tegak lurus. Sumbu yangselalu konstan. Elips mempunyai dua sumbu simetri yang saling tegak lurus. Sumbu yang

panjang disebut Sumbu Mayor. Dan yang pendek disebut Sumbu Minor. Titik potong antarapanjang disebut Sumbu Mayor. Dan yang pendek disebut Sumbu Minor. Titik potong antara

kedua sumbu elips tersebut merupakan pusat elips ybs.kedua sumbu elips tersebut merupakan pusat elips ybs.

Bentuk Umum Persamaan Elips : Bentuk Umum Persamaan Elips :

a X a X 22 + b Y + b Y 22 + c X + d Y + e = 0 + c X + d Y + e = 0

dimana : a tandanya sama dengan b tetapi nilai a dimana : a tandanya sama dengan b tetapi nilai a ≠

b b

Pusat dan jari-jari elips dirumuskan sebagai berikut :Pusat dan jari-jari elips dirumuskan sebagai berikut :

1)()(

2

2

2

2

1

2

=−

+−

r

jY

r

iX

jika r

1= r

2 maka akan menjadi

lingkaran

Contoh :

Tentukan pusat , jari-jari dan perpotongan kurva elips dengan masing-masing sumbu

koordinatnya ( sumbu X dan Y ) dari persamaan elips berikut :

8 X 2 + 2 Y 2 - 32 X - 12 Y + 18 = 0 : 2

4 X 2 + Y 2 - 16 X - 6 Y = - 9

Y

2 27,47

r =6

(4,3)

i=4

j=3

-1,47

X-1,19 0 9,19

4 X 2 - 16 X + Y 2 - 6 Y = - 9

4 X 2 - 16 X + k1

+ Y 2 - 6 Y + k2

= - 9 + k1

+ k2

(4 X 2 - 16 X + 16) + (Y 2 - 6 Y + 9) = - 9 + 16 + 9

4 (X – 2) 2 + (Y – 3) 2 = 16 : 16

4

)2( 2−X

+ 16

)3( 2−Y

= 1

2

2

2

)2( −X

+

2

2

4

)3( −Y

= 1

Dengan demikian : i = 2 dan j = 3 r1

= 2 dan r2

= 4

Berarti : pusat elips ada pada titik ( 2 ; 3 )

Karena r1

< r2

maka sumbu mayor elips // sumbu vertikal Y

r1

adalah jari-jari pendek dan r2

adalah jari-jari panjang

Hitunglah : pada titik koordinat berapakah terjadi perpotongan kurva elips dengan sumbu X

dan sumbu Y.

B. HIPERBOLA

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang perbedaan jaraknya terhadap duaHiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang perbedaan jaraknya terhadap dua

fokus selalu konstan. Hiperbola mempunyai dua sumbu simetri yang saling tegak lurus danfokus selalu konstan. Hiperbola mempunyai dua sumbu simetri yang saling tegak lurus dan

sepasang asimtot. Perpotongan antara sumbu-sumbu simetri (antara asimtot-asimtot)sepasang asimtot. Perpotongan antara sumbu-sumbu simetri (antara asimtot-asimtot)

merupakan pusat hiperbola.merupakan pusat hiperbola.

Bentuk umum persamaan hiperbola :Bentuk umum persamaan hiperbola :

a X a X 22 + b Y + b Y 22 + c X + d Y + e = 0 ; dimana a dan b berlawanan tanda + c X + d Y + e = 0 ; dimana a dan b berlawanan tanda

y

7

8x2+2y2+32x-12y+18=0

2,3

3

x

-1 3,32

Pusat hiperbola dapat dicari dengan cara :Pusat hiperbola dapat dicari dengan cara :

1)()(

2

2

2

2

=−

−−

n

jY

m

iX

dimana sumbu lintang // sumbu Xdimana sumbu lintang // sumbu X

atau atau

1)()(

2

2

2

2

=−

−−

m

jY

n

iX

dimana sumbu lintang // sumbu Ydimana sumbu lintang // sumbu Y

dimana ( i , j ) adalah koordinat titik pusat hiperboladimana ( i , j ) adalah koordinat titik pusat hiperbola

Jika nilai m = n maka asimtotnya akan saling tegak lurus, dan sumbu lintangnya tidak lagiJika nilai m = n maka asimtotnya akan saling tegak lurus, dan sumbu lintangnya tidak lagi

sejajar salah satu sumbu koordinat, dan hiperbolanya disebut hiperbola sama sisisejajar salah satu sumbu koordinat, dan hiperbolanya disebut hiperbola sama sisi

..

C. PARABOLA

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titikParabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik

fokus dan sebuah garis lurus yang disebut direktriks. Setiap parabola mempunyai sebuahfokus dan sebuah garis lurus yang disebut direktriks. Setiap parabola mempunyai sebuah

sumbu simetri dan sebuah titik ekstrim.sumbu simetri dan sebuah titik ekstrim.

Persamaan parabola :Persamaan parabola :

y = a X y = a X 22 + b X + c jika sumbu simetri // sumbu vertikal (sumbu y) + b X + c jika sumbu simetri // sumbu vertikal (sumbu y)

X = a Y X = a Y 22 + b Y + c jika sumbu simetri // sumbu horisontal (sumbu x) + b Y + c jika sumbu simetri // sumbu horisontal (sumbu x)

X X Y Y

Titik Ekstrim :Titik Ekstrim :

−−−a

acb

a

b

4

4;

2

2

Jarak titik ekstrim Jarak titik ekstrim ↓

↓

Jarak titik ekstrim Jarak titik ekstrim

Pada sumbu YPada sumbu Y pada sumbu X pada sumbu X

yyy y

xxxx

a > 0a < 0a > 0a < 0

Contoh : Tentukan titik ekstrim dan perpotongannya dengan sumbu-sumbu koordinat (sumbu

x dan y) dari parabola berikut :

Y = - X 2 + 6 X – 2

Sumbu simetri sejajar sumbu Y

Karena nilai a = - 1 < 0 ; maka parabolanya menghadap ke bawah.

Titik ekstrimnya terletak di atas atau titik maksimum, dengan titik

koordinat :

−−−a

acb

a

b

4

4;

2

2

=

−−

−−−−−

)1(4

)2)(1(46;

)1(2

6 2

=

−−−

4

836;

2

6

= ( 3 , 7 )

Perpotongan dengan sumbu Y terjadi pada saat X = 0 Y = - 2

Perpotongan dengan sumbu X terjadi pada saat Y = 0

0 = - X 2 + 6 X – 2

Dengan menggunakan rumus a b c diperoleh

X1

= 5,65 dan X2

= 0,35

y (3,7)

7

y = -x2 + 6x - 22

x = 3 sumbu simetri

x

0 0,35 3 5,65

-2

FUNGSI KUBIK

Fungsi kubik atau fungsi berderajat tiga ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari

variabelnya adalah pangkat tiga. Setiap fungsi kubik setidak - tidaknya mempunyai sebuah

titik belok (inflextion point), yaitu titik peralihan bentuk kurva dari cekung menjadi cembung

atau cembung menjadi cekung. Selain titik belok, sebuah fungsi kubik mungkin pula

mempunyai satu titik ekstrim (maksimum atau minimum) atau titik dua ekstrim (maksimum

atau minimum). Ada tidaknya titik ekstrim dalam suatu fungsi kubik tergantung pada

besarnya nilai-nilai b, c, dan d di dalam persamaannya. Dengan demikian terdapat beberapa

kemungkinan mengenai bentuk kurva suatu fungsi kubik. Fungsi-fungsi kubik hanya

mempunyai titik belok, tanpa titik ekstrim.

Persamaan parabola :

y = a X 3 + b X 2 + c X + d

Fungsi Kubik

Mencari :

1. Titik Ekstrims

2. Titik Belok

HUBUNGAN NON LINEAR

1. Permintaan, Penawaran, dan Keseimbangan Pasar

Selain berbentuk fungsi linier, permintaan dan penawaran dapat pula berbentuk

fungsi non linier. Fungsi permintaan dan fungsi penawaran yang kuadratik dapat berupa

potongan lingkaran, potongan elips, potongan hiperbola maupun potongan parabola. Cara

menganalisis keseimbangan pasar untuk permintaan dan penawaran yang non linier sama

seperti halnya dalam kasus yang linier. Keseimbangan pasar ditunjukkan oleh kesamaan

Qd=Qs , pada perpotongan kurva permintaan dan kurva penawaran.

Keseimbangan Pasar :

Qd=Qs

Qd=¿ jumlah permintaan

Qs=¿ jumlah penawaran

E=¿ titik keseimbangan

Pe=¿ harga keseimbangan

Qe=¿ jumlah keseimbangan

Analisis pengaruh pajak dan subsidi terhadap keseimbangan pasar juga sama

seperti pada kondisi linier. Pajak atau subsidi menyebabkan harga jual yang ditawarkan

oleh produsen berubah, tercermin oleh berubahnya persamaan penawaran, sehingga harga

keseimbangan dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasarpun berubah. Pajak

menyebabkan harga keseimbangan menjadi lebih tinggi dan jumlah keseimbangan

menjadi lebih sedikit. Sebaliknya subsidi menyebabkan harga keseimbangan menjadi

lebih rendah dan jumlah keseimbangan menjadi lebih banyak.

Contoh Soal

Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukan oleh persamaan Qd = 19 – P2 ,

sedangkan fungsi penawarannya adalah Qs = –8 + 2P2 . Berapakah harga dan jumlah

keseimbangan yang tercipta di pasar ?

Penyelesaian

Keseimbangan PasarQd=Qs

↔19 – P2=–8+2P

2

↔27=3 P2

↔P2=9

↔P=3

Q=19 – P2

¿19−(3 )2

¿19−9

¿10

Jadi, Pe=3

dan Qe=10

Harga dan jumlah keseimbangan pasar adalah E=(3,10)

Jika misalnya terhadap barang yang bersangkutan dikenakan pajak spesifik sebesar 1

(rupiah) per unit, maka persamaan penawaran sesudah pengenaan pajak menjadi :

Q's=–8+2(P – 1)2=– 8+2(P2

–2 P+1)=–6 – 4 P+2 P2

Keseimbangan pasar yang baru :Qd=Q ' s

19– P2=– 6 – 4 P+2P

2

3P2– 4P –25=0

Selanjutnya dengan rumus abc diperoleh P

1=3,63

dan P

2=– 2,30

. P2 tidak dipakai

karena harga negative adalah irrasional.

Dengan memasukkan P=3,63 ke dalam persamaan Qd atau Q' s diperoleh

Q=5,82.

Jadi, dengan adanya pajak : P' e=3,63

atau Q' e=5,82

.

Selanjutnya dapat dihitung beban pajak yang menjadi tanggungan konsumen dan

produsen per unit barang, serta jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah, masing-

masing adalah sebagai berikut.t k=P 'e−P=3,63– 3=0,63

t p=t – t k=1 –0,63=0,37

T=Q' e×t=5,82×1=5,82

2. Fungsi Biaya

Selain pengertian biaya tetap, biaya variabel dan biaya total, dalam konsep biaya

dikenal pula pengertian biaya rata-rata (average cost) dan biaya marjinal (marginal cost).

Biaya rata-rata adalah biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan tiap unit produk atau

keluaran, merupakan hasil bagi biaya total terhadap jumlah keluaran yang dihasilkan.

Adapun biaya marjinal ialah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghsilkan satu

unit tambahan produk.

Biaya tetap : FC=k

(k: konstanta)

Biaya variabel : VC=J (Q)

Biaya total : C=FC+VC=k+ f (Q )=c (Q)

Biaya tetap rata-rata : AFC=

FC

Q