Matematica general

29

Matemática General 5º

NUMERACIÓN

NUMERACIÓNEs la parte de la aritmética que estudia la formación, escritura y la lectura de

los números.La numeración puede ser:

Escritura o simbólicaEs aquella que emplea símbolos llamados cifras, guarismo o caracteres.

Oral o HabladaEs aquella que emplea VOCABLOS o PALABRAS

SISTEMA DE NUMERACIÓNEs el conjunto de reglas y principios que rigen la formación, escritura y

lectura de los números, mediante la adecuada combinación de un grupo reducido de símbolos y palabras.

Base de un Sistema de NumeraciónEs aquel número que nos indica la cantidad de unidades de un orden

cualquiera que se quieren para formar una unidad de orden superior.

Ejemplos:1. Sistema de Base 10:

Diez unidades 1 decena (unidad de segundo orden)Diez decenas forman 1 centena (unidad de tercer orden), etc

2. Sistema de Base 4:Cuatro unidades de primer orden forman 1 unidad de segundo orden.Cuatro unidades de segundo orden forman 1 unidad de tercer ordenCuatro unidades de tercer orden forman 1 unidad de cuatro orden, etc.

3. Contar en Base 4:

Base 10: 14 Base 4: 324 “Se lee: tres dos en base 4”

1


Características de un Sistema de Numeracióna) En cualquier Sistema de Numeración existen tantas cifras como el valor de

base y con las combinaciones de ellas pueden formar todos los números posibles de dicho sistema.

b) El Mínimo valor que puede tomar una cifra en cualquier sistema es el cero y el máximo es una unidad menos que el valor de la base.

c) La base de un Sistema de Numeración es un número entero positivo mayor que 1.

d) La base de un Sistema de Numeración siempre es mayor que cualquiera de las cifras que se usan en dicho sistema.

Ejemplo:4271(5): numeral mal escrito314(7) : numeral bien escrito1358(6): numeral mal escrito64103(8) : numeral bien escrito

Nomenclatura de los Sistema d Numeración

Base Nombre del Sistema Cifras utilizadas

234567891011

BinarioTernario

CuaternarioQuinarioSenario

HeptaniarioOctanario y octalNonario o nonal

DecimalUndecimal

0,10,1,2

0,1,2,30,1,2,3,4

0,1,2,3,4,50,1,2,3,4,5,6

0,1,2,3,4,5,6,70,1,2,3,4,5,6,7,8

0,1,2,3,4,5,6,7,8,90,1,2,3,4,5,6,7,8,9,

NOTA:PARA BASES MAYORES QUE DIEZ MAYORES SE USAN LOS SÍMBOLOS , , , ETC. QUE REPRESENTAN LAS CIFRAS DIEZ, ONCE, DOCE, ETC, RESPECTIVAMENTE, TAMBIÉN SE PUEDEN LAS LETRAS DEL ABECEDARIOCIFRAS DIEZ : = a = ACIFRAS ONCE : = b = BCIFRAS DOCE : = c = CCIFRAS TRECE : = d = DEJEMPLOS: 34A5(DOCE) “SE LEE: TRES CUATRO A CINCO EN BASE DOCE” 62B7C(QUINCE) “SE LEE: SEIS DOS B SIETE C EN BASE QUINCE”

2

31


VALORES DE UNA CIFRA:Valor Relativo o Posicional: (V. R)

Es el valor que representa la cifra por la posición que ocupa dentro del número.

Valor Absoluto o por su Forma (V.A)Es el valor que representa la cifra por la forma que tiene.

Ejemplo:

Descomposición PolinómicaEn todo sistema de Numeración, cualquier número se puede escribir como la

suma los valores relativos a sus cifras.632 = 600 + 30 + 2 [BASE 10] 5479 = 5 . 103 + 4 . 102 + 7 . 10 + 9 [BASE 10]235(7) = 2 . 72 3 .7 + 5 [BASE 7]4523(8) = 4 . 83 + 5 . 82 + 2 . 8 + 3 [BASE 8]

Orden de una CifraEs un lugar que ocupará una cifra empezando de derecha a izquierda.Ejemplo:

3


En cualquier Sistema de Numeración, la cifra de primer orden, es la de las unidades.

Representación Literal de un NúmeroCada cifra de un número puede ser representado por una letra del abecedario

y todas ellas cubiertas por una barra horizontal, para distinguirlos de las expresiones algebraicas.ab

(n) : Representa cualquier número de dos cifras de la base n.abc : Representa cualquier número de tres cifras de la base 10, puede ser:

{100, 101, 102, 103, ........, 998, 999}ab 37 : Representa cualquier número de cuatro cifras de la base 10, que termina

en 37, puede ser:{1037; 1137; 1237; .......; 9837; 9937}

a (2a )b(5): Representa cualquier número de 3 cifras de la base cinco, donde la cifra

de segundo orden es el doble de la cifra de tercer orden puede ser:{120(5); 121(5); 122(5); ..........; 244(5)}

Conversión de un Número de una Base a otraSe representa tres casos Caso I: De base “n” a base 10:

En este caso se calcula el número de unidades que posee dicho número, para esto es suficiente aplicar la “descomposición polinómica” del número y efectuar las operaciones indicadas.

Ejemplo:Convertir 324(7) a la base 10324(7) = 3 . 72+ 2 . 7 + 4 = 165 324(7) = 165

Caso II: De base 10 a base “n”Se efectúa empleando el método de “divisiones sucesivas”, para lo cual se divide el número dado “n” (base del sistema al cual se desea pasar). Si el cociente es igual o mayor que “n” se divide este nuevamente entre “n” y así sucesivamente hasta obtener un cociente menor que “n”. El nuevo número estará formado por el último cociente y todos los residuos obtenidos de derecha a izquierda.

Ejemplo: Convertir 328 a la base 64

34

35


328 = 1304(6)

Caso III.: De base “n” a base “m”(n, m 10)En este caso primero se convierte el número de base “n” a la base 10 y el resultado se convierta a la base “m”

Ejemplo: Convertir 413(8) a la base 5Primero: 413(8) a la base 10413(8) = 4 . 82 + 1 . 8 + 3 = 267Luego: 267 a la base 5

413(8) = 2032(5)

Propiedad:Si un numero es expresado en dos sistemas de numeración se cumple que: “a mayor representación aparente le corresponde menor base y viceversa”Ejemplo:

i. Si: UNMSM(x) = UNFV

Como: UNMSM > UNFVSe cumple: x < y

ii. Sea:(k−1 )(k−1 ). . .. .. . .. .. .(k−1)(k−1)⏟

n cifras (k) = kn – 1

iii.

“k” veces = n + a . k

5


PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Hallar el valor de “n”: si401(n) = 203(n + 2)

Rpta. 5

2. Hallar el valor de “n”, si:102(n) = 234(7)

Rpta. 11

3. Hallar el valor de “a + b”, si abb(9)=bba(6)

Rpta. 7

4. Si: “a” es menor que 3, cómo se

expresa a 33(9) en el sistema de base 3.

Dar como respuesta la suma de sus cifrasRpta. a + 2

5. Hallar: “a + x + y”; si: aaaa(5)=xy 8Rpta. 13

6. Hallar “m + n” sabiendo que es lo menor posible y que: 66(m) = 88(n)

Rpta. 26

7. Hallar: “a + b” si: ab(8) +ba(9)=1ba(7)

Rpta. 7

8. Calcular: “x + y” si; xy(9 )=xy(7)

Rpta. 7 9. Calcular: “a + n”; si

aaa(12)=(n2 )n 10(a )

10. Escribir el sistema de base 9 el

número: x ( x−3( x+2)(6)

Rpta. 135(9)

11. Sabiendo que los numerales: 10 m(4 ); 2 np(m ) y nn( p)Están bien escritos. Hallar “m+n+p”Rpta. 6

12. Si: abbb(6)−5ba(8) .Hallar (a + b)

Rpta. 4

13. Un numeral de dos dígitos es “n” veces la suma de sus cifras. El numeral que se obtiene al intercambiar los dígitos resulta la suma de sus cifras multiplicando por: Rpta. 11 – n

6


Rpta. 8Para la Casa

1. Expresar aaaa2 en base 10:

A) 16a B) 31a C) 15D) 16 E) 30

2. Si: 1122(3) = abcdef(x)

Hallar: a + b + c + d + e + f + x

A) 3 B) 2 C) 5 D) 6 E) 4

3. Determinar: (a + b + c) en:abab5 =

bcb

A) 12 B) 13 C) 14D) 18 E) 16

4. Hallar E = aab - 110a – b

A) a B) b C) 10aD) 0 E) 1

5. Hallar “a”, si 25 a=a 75(8 )

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

6. Si: 62 n(x )=47 m(8 ) . Hallar: “n - m”

A) -6 B) 6 C) 7D) –7 E) 4

7. Calcular “a + b”; si: aaa 0(9)=ab 0 ab(5 )

A) 4 B) 5 C) 6D) 3 E) 8

8. Si: abab(n) = 221. Hallar el valor de: (3a + b + 2n)

A) 17 B) 13 C) 18D) 15 E) 21

9. Hallar “n”, si: 1331(n) = 260(9)

A) 4 B) 5 C) 8D) 9 E) 10

10. Dar “n” en:

(n−1)(n−1)(n−1)n = 511

A) 6 B) 5 C) 8D) 7 E) 9

7


CUATRO OPERACIONES

ADICIÓNOperación binaria, cuyo objeto es reunir varias cantidades homogéneas (de una misma

especie), en una sola llamada suma total.

Adición en Otros Sistemas de NumeraciónEjemplo:Calcular:

123(5) + 244(5) + 104(5) + 131(5)

Resolución:

Colocando verticalmente los sumandos, considerando el orden(como el sistema decimal eran las unidades, decenas, ........... etc)

123(5) + 244(5) + 104(5) + 131(5)= 1212(5)

Otro Ejemplo: 4 7 (9) + 1ra columna 8 0 (9) 7 + 1 = 8

8


1 0 (9) 2da. Columna 5 1 (9) 4 + 8 + 1 + 5 = 18 = 2(9) + 0 2 0 8 (9) Se lleva

Queda

Ejemplo:Calcular: “n” ; en:

a 325(8)+432 n(8 )=7650(8 )

Resolucióncolocando verticalmente

n 3 2 5(8) +4 3 2 n(8)

7 6 5 0(8)

De la 1era Columna, se tendrá que:5 (8) + n (8) = 10 (8)

Llevando a base decimal, se tiene:5 + n = 8 n = 3

SUSTRACCIÓNOperación inversa a la adición, consiste en que dada 2 cantidades llamadas minuendo y

sustraendo, hallar una cantidad llamada sustraendo.Ejemplo:

Sustracción en Otras BasesEjemplo ilustraciones:Calcular: 432(5) – 143 (5)

ResoluciónRecordando que en base 5, “1” unidades de orden cualquiera es 5 unidades del orden del orden inmediato inferior.

Explicación 1ra Columna:

9

43


Como a “2” no se lee puede ser restar 3, entonces lo que se hace es prestar una base a “2”, es decir:

5 + 2 = 7 7 – 3 = 4

queda.

2da Columna:Como se presto una base del 3, ahora será: luego le prestaremos al 2 una base, es decir:

5 + 2 = 7 7 – 4 = 3

Queda.

3ra Columna:Como se prestó una base de 4, entonces ahora será: 4 – 3 , y a este “3” si le puede restar 1, con lo que necesario prestarle una base.

3 – 1 = 2 Queda.

432(5) – 143(5) = 234(5)

Otros Ejemplos:5 1 3 (8) - 6 2 3 1 (7) – 3 1 5 (8) 3 6 5 4 (7)

1 7 6 2 2 4 4 (7)

Propiedades:I) Dado:

a b c(c )−

c b a(n )

x y z(n){Si a > c , entonces ¿ {1) y=n−1¿ ¿¿¿

II) En Base 10:a b c−c b ax y z

{ Si a > c , entonces ¿ {1) y=9 ¿ ¿¿¿Ejemplo:

Si: a b c−c b a=m n 7Calcular: m2 + n2

Resolución:10


Aplicando directamente la propiedad, se tendrá que:I) n = 9II) m + 7 = 9 m = 2

Piden 22 + 92 = 85

Complemento Aritmético CA(N)Es lo que falta a u número “N”, para ser igual a la unidad de orden inmediato superior,

es decir lo que le falta para ser igual a un número formado por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene “N”Ejemplo: CA (7) = 101 – 7 = 10 - 7 = 3 CA (341) = 103 – 341 = 1000 – 341 = 659

En general:Sea “N” número de “k” cifras, luego:C A (N) = 10K – N

Forma Práctica:A la primera cifra (diferente de cero) o menor orden se le resta de 10 y a todas las

restantes se restan de 9. si hay ceros en las menores ordenes estos permanecen en el complemento, es decir:

C A = (abcd )=(9−a )(9−b)(9−c )(10−d )

Ejemplos:

Complementos Aritméticos en Otras Bases C A(34(7)) = 72 – 34(7)

C A (429(11)) = 113 – 429(11)

C A (7251(8)) = 84 – 7251(8)

Método Práctico:

En General:11

46


C A (N(B)) = 10(B )K −N (B )

K: números de cifras de “N”

Forma Practica para Calcular el CA en Otras BasesA partir del menor orden se observa la primera cifra significativa, la cuál va a

disminuir a la base y las demás cifras disminuyen a la base menos 1.

Ejemplos:

MULTIPLICACIÓNEs una operación binaria, donde dados dos elementos M y m llamados multiplicando y

multiplicador se le hace corresponder un tercer elemento P llamado producto.Origen:

M+M+M+. . .. .. . ..+M⏟m veces

=P

. M . m = P .Donde:

M : multiplicando ¿ }¿¿ factor ¿ P: producto

01. Si se multiplica:2 43 x 65 1215 1er producto parcial

1458 2do producto parcial 15795 Producto Total

02. Si: abc . 7 = .......... 6 c = 8 3

03. Si: abc . 4 = .......... 2 c = 804. Se cumple:

(# impar) (.... 5) = ..... 5(# par) (... 5) = .......0

12

47


05. Se cumple: ........ 0

n(n + 1) = ....... 2 ........ 6

DIVISIÓNEs una operación binaria que consiste en que dados dos enteros, el primero llamado

dividendo y el segundo llamado divisor, encontrar un tercero llamado cociente.

. D d = q . D = d . qD : dividendod : divisor; d 0q : cociente

División Entera:Es un caso particular de la división en la que el dividendo, divisor y cociente son número enteros; en este caso se recurre a un cuarto términos llamado residuo.

D d r : residuor q

1. Dar (a – b + c), si:ab+bc= 89 (a + b + c)2 = 144Rpta. 2

2. Dar (a + b) en:a 3 b+a 4 b+a 5 b+. .. .. . .. .+a 9 b=aabbRpta. 6

3. Dar (a + b + c) en:

3246 + 3546 + 5356 = abcd6

Rpta. 3

4. La suma de los 3 términos de una sustracción es 1440. hallar el sustraendo si es 1/3 del minuendo.Rpta. 240

6. Sabiendo que:

CA [CAaabc = 174] = 25.Hallar a + b + cRpta. 16

7. Hallar la suma de cifras del

producto: P = 2003

(99 .. . .. .. 99 )⏟70 cifras

Rpta. 630

8. Hallar la suma de cifras del

producto abc . 27, sabiendo que los productos parciales suman 2862.Rpta. 27

9. En una multiplicación la suma de sus 3 términos es 149, si al

13


5. Si: abc−2nm=cba . Calcular (a – c + n + m)

Rpta. 19

multiplicando se le multiplica por 3. La suma de sus 3 nuevos términos es 429. hallar el multiplicador Rpta. 9

11. En una división entera, la suma del dividendo, divisor y cociente es 984. Hallar el cociente si el residuo por defecto es 31 y el residuo por exceso es 21.Rpta. 17

12. ¿Cuántos numerales de la forma 5ab 5 son tales que al ser dividido entre otro entero positivo, se obtiene otro cociente 17 y por residuo el máximo posible?Rpta. 11

13. Al dividir abc entre bc se obtuvo 11 de cociente y 80 de residuo.

Hallar abcRpta. 982

14. Hallar “E” si E = 3 + 33 + 333 + 3333 +...... +33 .. . .. .3⏟n`` ital cifras

Rpta.

10n+1−9 n−1027

15. Hallar “E” si :

E = 3 + 33 + 333 +...+33 .. . 3⏟n cifras

Rpta.

10n+1−9 n−1027

16. Si: 43. N = (a+2 )72 b6 ;

28 . N = a 72(b+2)6Calcular la suma de cifras de “N”Rpta. 12

PARA LA CASA

1. Si: abc . cb 3 = .... 262. Hallar “a”

A) 1 B) 2 C) 4D) 6 E) 9

2. El dividendo es 5 veces el divisor en una división exacta. Si la suma

5. Hallar la suma de las cifras del producto:

P = 438 . 9999 . .. . .. .. 99⏟

40 CIFRAS

A) 360 B) 270 C) 180D) 90 E) 450

14


de sus términos es 185. el dividendo es: A) 150 B) 200 C) 180D) 120 E) 140

3. Hallar el número a (a−1 ) si si CA

es (5−b)(b+3)

A) 43 B) 54 C) 65D) 76 E) 87

4. Hallar: A + B + C + D si

ABCD . 7=JCDDD

A) 20 B) 23 C) 15D) 16 E) 14

6. Si: a + b + c = 14. hallar: abc+bca+cab

A) 1554 B) 1545 C) 1525D) 1555 E) N.A

7. Hallar: cdu ; si c + d + u = 13 y cd +du = 97

A) 436 B) 634 C) 546D) 543 E) 765

8. Si: abc−cba=xy 2 . Hallar: x2

+ y2

A) 110 B) 120 C) 130D) 140 E) 150

9. El producto de 2 números es 588 y el cociente entre ellos es 4 dando como residuo 1. ¿cuál es el menor número?

A) 14 B) 21 C) 28D) 12 E) 7

10. Si: aa . bb = 3388. Hallar “ a + b”

A) 9 B) 10 C) 11D) 13 E) 13

15


TEORÍA DE EXPONENTES

CONCEPTOEstudia todas las clases de exponentes y las diferentes relaciones que existen

entre ellos, mediante leyes.La operación que da origen al exponente es la potenciación.

POTENCIACIÓN Es la operación que consiste en repetir un número denominado base, tantas

veces como factor, como lo indica otro número que es el exponente, el resultado de esto se le denomina potencia.

Representación:

. An↑

Base

=A x A x A x . . . . . . . x A⏟n veces .

Ejemplos:

1.

34=3 x 3 x 3 x 3⏟4 veces

=81

2.

26=2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2⏟6 veces

=64

3.nn=n x n x n x n . . . . . . . x n⏟

n veces

16


4.

( 12 )

5

=( 12 ) x ( 1

2 ) x ( 12 ) x ( 1

2 ) x (12 )⏟

5 veces

5.

(√3 )7=√3 x √3 x √3 x √3 x √3 x √3 x √3⏟7 veces

LEYES FUNDAMENTALES1. Producto de Potencias de

Igual Base

. xa . xb = xa+b .Ejemplos:1. 23 . 24 = 23+4 = 27

2. 2–5 . 2-4 . 27 = 2–5–4+7 = 3–2

2. Cociente de Potencias de Igual Base

.

xa

xb=xa−b

. x 0

Ejemplos:

1.

28

24 = 28–4 = 24

2.

2−6

2−5 = 2–6–(–5) = 2–1

3. Producto de Potencias de Diferente Base

. xa . ya = (x . y)a .

Ejemplos:1. 23 . 43 = (2 . 4)3

2. 3 . 6 = (3 . 5)4. Cociente de Potencias de Bases

Diferentes

.

xa

ya=( xy )

a

. y 0

Ejemplos:

1.

43

23 =( 43 )

3

2.

83

23=( 82 )

3

17


5. Potencia de Potencia

. ( (xa)b)c=xa . b . c .

OBSERVACIÓN:(XA)B = (XB)A = XA . B

6. Exponente Negativo

. x−a= 1

xa . .

( xy )

−a

=( yx )

a

. x 0y 0

Ejemplos:

1.2−1=1

2

2.( 2

3 )−2=(3

2 )2=32

22

7. Exponente Nulo o Cero

. x0 = 1 . x 0

Ejemplos:

1. [3 xy ]0=1

2.[2x+( 3 y

5 )]0

=1

8. Exponente Fraccionario

. xab=

b√ xa . b

0

Ejemplos:

1. x23=

3√ x2

2. x53=

3√ x5

9. Producto de Radicales Homogéneos

. a√ x . a√ y=a√x . y .

Ejemplos:

1.3√4 . 3√5=3√4 . 5=3√20

2.

5√ 12

. 5√ 53=5√ 1

2. 5

3=5√ 5

610. Potencia de un Radical

. [ a√ xb ]c=a√xb . c .

11. Raíz de Raíz

. a√b√ c√x=a . b . c√ x .

OBSERVACIÓN:a√b√x=

b√a√x

Ejemplos:

18

11


1.3√√4√x=24√x 2.

4√3√10=3√4√10=12√10

12. Casos Especiales

1. .

n√Am n√Am n√Am . . . . . . ∞ rad .=n−1√AM.

2. .

n√B÷n√B÷n√B÷ . . . . . . ∞ rad=n+1√B .

3. .

a√aa√a

¿

=a .

4. √n (n+1 )+√n (n+1 )+√n (n+1 ) . . . . . . ∞ rad .=n+1

5. √n (n+1 )−√n (n+1 )−√n (n+1 )− . . . . . . ∞ rad=n

6. xx ¿

=n x=n√n

7.

a√bb√a

¿

=b

19

12


8. √ x√ x√ x . . . . . . √ x=2n

√x2n−1

ECUACIONES EXPONENCIALESDefinición

Son aquellas ecuaciones donde la incógnita se encuentra en el exponente. Se estudiarán aquellos casos que son factibles de resolverlos utilizando los conceptos anteriores.

1. Bases IgualesSi: Nx = Ny x = y

OBSERVACIÓN:.N > 0. .N 1.

Ejemplo:Resolver: 9x – 1 = 27x – 2

Buscamos bases iguales: 32x – 2 = 3x – 6

Luego: 2x – 2 = 3x – 6 4 = x2. Formas Análogas

Si: .MM = MN. .M = N.

OBSERVACIÓN:

20


M≠12

M≠14

Ejemplo:

1. Resolver: x5 x5

=363

ResoluciónBuscando formas análogas:

(x5)x5=(62)3

(x5)x5=66

x5=6

x=5√6

Nota: Si: a1(x) = b1(x) f(x) = 0

2. Resolver: 3x–7 = 5x–7

Resoluciónx – 7 = 0 x = 7

EJERCICIOS PARA CLASE

1. Reducir:

(aaaa . . . . . . . a⏟b factores √bbbb . . . . . . .b⏟

a factores )ab

2. Calcular el valor de:E=1210 185

85 546 ( 10,5 )

−4

3. Simplificar:m−2n√152n . 3m . 4√3mn+2

32 m+1 . 5m .4√3mn−2

4. Simplificar:

7. Simplificar:

M=a2√ 9a2+2+32 a2+2

90a2+1

8. Simplificar:

E=32 x

x− y+6 . 32 y

x− y

x−y√3x+ y

9. Si: (a )12

=3 ; a = R+, reducir:

5 . 3a+7 . a1a+(3a )2

42+10 . 3a+2 a2

10. Si: xx = 2; hallar el valor de:

A=x2 x¿

21


[ (−27 )− 2

3 +(−27 )−5

3+ 281 ]

−0,2

[( 12 )( 1

4 )−(1

2 )−1

+( 1125 )

−3−1

+( 181

−16−

12 )]−

12

5. Hallar el valor de:(−81−2−1)−1(−243−0,2)−1

(1616¿

)(−( 127 )

−3−1)6. Si: x, y Z+, tal que: y- x 2; hallar el

valor más simple de:y−x√ xx+ y . y y+ yx+ y . x x

x2 y . y x + y2 x . x y

11. Si: 5x = 0,125; calcular::x√64

EJERCICIOS PARA LA CASA01. Simplificar:

“2n veces” “2n veces”

R =

( x . x . x . .. . .. x )( y . y . y . .. .. y )x (x .. . .( x( xy ) y ). .. y ) y

“n” paréntesis

a) (xy)n b) xyn c) (xy)2n

d) (xy)n/2 e) (xy)4n

02. De las siguientes expresiones:

I. (-2)0 = 1

II. (222)2−2= 2

III.−2√22 = 1/2

IV. 1−480= 1

V. -50 = 1Son falsas:

a) sólo III b) sólo V c) III y V

d) IV y V e) II, III y V

03. Efectuar :

{( 13 )

−3+( 2

5 )−2+( 4

23 )−1+10}

12

a) 2 b) 3 c) 5

d) 6 e) 7

04. Simplificar :

22


[ (−32 )−2

5+(−32 )− 3

5 ]−3−1

a) 4 b) 5 c) 1/2

d) -2 e) 2

05. Si x = 15(104)(65)962 .154

entonces es verdad que:

a) x < 2 b) x N c) 3 x Z

d) 2 < x < 2,5 e) 2 x Z

06. Reducir:

P = 23m+4 . 3m−23 m+2 . 3m+1

23m+1 . 3m+2−23 m+3 . 3m+1

a) -2/3 b) 2/3 c) 3

d) 2 e) 1

07. Efectuar:

x+1√27x+ 1

3

3x+1 . 3x−1

a) 3x b) 9 c) 3d)

x+1√3 e) 3-1

08. Simplificar:

a−b√ aa−b+ba−b

ab−a+bb−a

a) a b) b c) ab

d) a/be) N.A.

09. Reducir :

L =

32 x

x− y+6.32 y

x− y

x− y√3x+ y

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

10. Reducir :

818−9−2−1

a) 7 b) 8 c) 9

d) 2 e) N.A.

REPASO

1. Simplificar:

N=(12 )

−(12 )

−1

+ ( 13 )

−( 13 )

−1

+ ( 14 )

−( 14 )

−1

a) 287 b) 281 c) 235

d) 123 e) 435

2. Halle el exponente final de “x”.

( xa )bc . ( xbc )a . xac . xac . .. .. . xac⏞b veces

( ( x3 a )b )c

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

23

M=3√ 4√√7−22 . 24√73 24√7−2 + 3

24√73 72√73

8√7


3. Si: xx x=2

Calcular: P=x x x+x x

a) 2 b) 1/2 c) 4

d) √2 e) 4√2

5. Si: ba=5 ∧ a−b=1

2

Calcular: R=aba+ 1

a) 30 b) 32 c) 34d) 35 e) 33

6. Reducir: N=3√a2 .

4√a3 . √a5

a) 12√a47

b) a46/12 c) a3 12√a11

d) a11 e) a47

7. Reducir:

a) 0 b) 1 c) 2d) 4 e) N.A.

8. Reducir: R=a√ 1+2a

1+2−a

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4. Calcular:

E=72 . 750 . 49+42 (760

77 )a) 650 b) 754 c) 755

d) 741 e) 1

9. Si: 2n = 3m; reducir:

L=52 . 2n+2n+1−32 . 2n

3m+3−22 . 3m+1

a) 3/4 b) 4/3 c) 6/5d) 2/9 e) 7/5

POLINOMIOS

NOTACIÓN FUNCIONALSe utiliza para indicar las variables en una expresión algebraica. Par ello

emplearemos letras como P, F, G, ..., etc.

Ejemplo:P(x) se lee P de x: x variableF(x;y) se lee F de xy: x, y variablex, y, z variables

24


a, b, c constantes

OBSERVACIÓN:- SE DENOMINAN VARIABLES A LOS SÍMBOLOS QUE REPRESENTAN

CANTIDADES DE VALOR FIJO. PARA ELLO SE UTILIZAN LAS ÚLTIMAS LETRAS DEL ALFABETO (Z, Y, X, ..., ETC.).

- SE DENOMINAN CONSTANTES A LO SÍMBOLOS QUE REPRESENTAN CANTIDADES DE VALOR FIJO. PARA ELLO SE UTILIZA GENERALMENTE EL NUMERAL. TAMBIÉN SE UTILIZAN FRASES DENOMINADAS PARÁMETROS, EN ESTE CASO EMPLEAREMOS LAS PRIMERAS LETRAS DEL ALFABETO (a, b, c, ..., etc.).

VALOR NUMÉRICOEs el número que se obtiene al reemplazar las letras de una expresión por

valores determinados.

Ejemplos:1. Hallar el V.N. de: E = x2 + y3 +

3zPara x = 3; y = 2; z = 5

Resolución:V.N. “E” = (3)2 + (2)3 + 3(5) = 32

2. Hallar P(3,2), si P(x,y) = x2 + 5y + 20

Resolución:P(3,2) es el V.N. de P(x,y)

Para x = 3; y = 2P(3,2) = 32 + 5(2) + 20 = 39

GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICASEl grado es una característica de las expresiones algebraicas, relacionado con

los exponentes, que en una ecuación indica el número de valores que debe tener la incógnita.

El grado es absoluto si se refiere a todas las variables y relativo si se refiere a una de las variables.

Grado en un Monomio1. Grado Absoluto (G.A.)

Se obtiene al sumar los exponentes de las variables.

25

21


2. Grado Relativo (G.R.)El grado relativo a una variable es el exponente de dicha variable.

Ejemplo: F(x,y) = a4x5y8

G.R.(x) = 5 G.R.(y) = 8G.A.(F) = 8 + 5 = 13

Grado en un Polinomio1. Grado Absoluto

Está dado por el mayor grado de sus términos.

2. Grado RelativoEl grado relativo de una variable es el mayor exponente de dicha variable.Ejemplo: P(x,y) = 6x8y – 3x7y3 + 2xy5

G.R.(x) = 7 G.R.(y) = 5G.A.(P) = 10

3. Cálculo de Grados en Operaciones1. En la adición o sustracción se conserva el grado del mayor.

Ejemplo: Si P(x) es de grado: aSi Q(x) es de grado: btal que: a > b

Grado [P(x) Q(x)] = a

2. En la multiplicación los grados se sumanEjemplo: (x4 + x5y + 7) (x7y + x4y5 + 2)Resolución: Grado: 6 + 9 = 15

3. En la división los grados se restan

Ejemplo:

xy8−x3 y3+x 7x4 z− y3+x3 y3

Resolución: Grado: 9 – 6 = 3

4. En la potenciación el grado queda multiplicado por el exponenteEjemplo: (x3y – x2y6 + z9)10

26

22

23


Resolución: Grado: 9 . 10 = 90

5. En la radicación el grado queda dividido por el índice del radical.

Ejemplo:3√ xy7+2 x3 y6−7 x12

Resolución.

Grado

123=4

POLINOMIOS ESPECIALES1. Polinomios Homogéneos

Son aquellos en los que todos los términos tienen igual grado.Ejemplo: x3y2 – x5 + x2yz2

Es un homogéneo de grado 5.

2. Polinomios OrdenadosUn polinomio será ordenado con respecto a una de sus variables, si los exponentes de dicha variable están aumentando o disminuyendo según sea el orden ascendente o descendente.Ejemplo: x4y7 – x8y10 + x5y24

Está ordenado ascendentemente con respecto a y.

3. Polinomios CompletosUn polinomio será completo con respecto a una de sus variables si contiene todos los elementos de dicha variable desde el mayor hasta el cero inclusive.Ejemplo: xy8 – y8 + x3y7 + x2y8

Es completo con respecto a x.

Propiedad:En todo polinomio completo y de una sola variable, el número de términos es equivalente al grado aumentado en uno. Es decir:Número de términos = Grado + 1Ejemplo:P(x) = x3 – x4 + 2x – 7x2 + 11x5 + 2

Como es completo:27


Número de términos = 6

4. Polinomios IdénticosDos polinomios son idénticos si tienen el mismo valor numérico para cualquier valor asignado a sus variables. En dos polinomios idénticos los coeficientes y sus términos semejantes son iguales.

Ejemplo: ax + by + cz = 8z + 2x – 5y a = 8; b = –5, c = 2

5. Polinomios Idénticamente NulosSon aquellas expresiones que son equivalentes a cero. Estando reducidas se cumple que cada coeficiente es igual a cero.

Ejemplo: ax + by + cz = 0a = 0; b = 0; c = 0

6. Polinomios MónicoEs aquel cuyo coeficiente principal es 1

Ejemplo: P(x) = x2 + 3x + 1Es mónico porque el coeficiente de x2 es igual a 1


1. La siguiente expresión se puede reducir a un monomio, proporcionar su valor reducido

M=( a−b )a+b√x 4+(b2+a ) a−b√x2−ab 3√x2. Clasificar la siguiente

expresión:

7. Dado el monomio:

H ( x , y )=2m3nn√ xm−1 y20

xySi: G.R.x(H) = 2 y G.R. y(H) = 4; hallar el grado de:F(x,y,z) = mnxn + mxym + zn–4

28

25


x√[ (a2 b )x

(ab2)x ]x+1

[ (ab2)x

(a2 b )x ]x−1

3. Calcular la suma de los valores enteros distintos de “n” que convierten a la siguiente expresión en racional entera.(x8 – n + xn – 3)2 + xn

4. Que valor como mínimo debe tener “n” para que la expresión sea fraccionaria

x √x−1√ x−1 √x−1√ x−n

5. Hallar el valor numérico (V.N.) de:

6√ x2√ yy2

Para: x = 0,125; Y = 0,0001

6. Si el grado de P es “m” y el grado de Q es “n” (m>n). Hallar el grado de:

R=( P+√PQ )

2Q

8. Si la diferencia entre los grados relativos de “x” e “y” es 5, además el menor exponente de “x” es 3. hallar el grado absoluto del polinomio:

P ( x,y )=4 xm+n−2 ym−3+7m+n+5 ym−4++√2 xm+n−6 ym+2

9. Siendo:P(x) = 45x5 – 2xp + 1 – xq–2 + 3x2 + x + 1Un polinomio ordenado y completo, hallar el número de términos del polinomio:S(x) = xp+q–1 + 2xp+q–2 + ... + 3x + 2Si este es completo y ordenado.

10. Siendo:P(x) = 45x5 – 2xp + 1 – xq–2 + 3x2 + x + 1Un polinomio ordenado y completo, hallar el número de términos del polinomio:S(x) = xp+q–1 + 2xp+q–2 + ... + 3x + 2

Si este es completo y ordenado

11. Reducir: P(x) si se sabe que es homogéneoP(x)= [(ab)2x2]ab + + bxa+b(x-b + 2ab–1xb–a) + xabc

12. Calcular el valor de (B – A) para que los siguientes polinomios sean equivalentes:

14. Si: P(x) = x – 1; Q(x) = 2x – 4Calcular:R = P[Q(x)] – Q[P(x)]

15. Dados los polinomios:P(x–1) = x2 + x + 1Q(x+1) = x2 – 2x + 2

29


P = A(x+1)2 + B(x–2) + 2Q = (x–2)(x+1) + (x+3)(x+2)

13. Si el polinomio:(x2+x+1) (a–b) + (x2+x+2) (b–c) ++ (x2+x+3) (c–a)Es nulo, Hallar

E=b+ca

Además: H(x) = P(x+1) + Q(x–1)Calcular: H(3)

PROBLEMAS PARA LA CASA

1. De un juego de naipes de 52 cartas, se sacan “x” y 3 más, luego el doble de lo anterior y 4 más y finalmente la tercera parte de las restantes ¿Cuántas quedan al final?

A) 3x-2 B) 39-3x C) 45-x

4. Hallar el valor numérico de:

R=4− xy2

abc ; si se cumple:xa+ b

y= y

b+ c

z=1

30


D) 26-2x E) 26+x

2. Reducir la siguiente expresión si se sabe que los términos son semejantes

b a√ x√ xa+1+ab 3√x+ab+1√ x b√ x

A) −11 3√ x B) Cero C) 24x1/3

D) −33 3√ x E)3√ x

3. Reducir la siguiente expresión algebraica si se sabe que es racional entera

(√m+1√x+1+√m−1x+1 )

2

− (n+1 )√x+1

A) 2x–1 B) x+2 C) 2x–2D) 2x+2 E) 2x+1

A) 2 B) 0 C) 4D) 5 E) 1

5. Hallar el valor de “n” si el grado de P y Q es igual a 3 y 4 respectivamente, y se conoce que el grado de la expresión:(P7+Q5)2n

(P5+Q4)n+3; es igual a 4.

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

6. Indicar el coeficiente del monomio:

M (x )=2n x5 7√ (3 x )2 n 3√ (nx )nSi el grado del mismo es “2n” (n Z+)

A) 3 B) 8 C) 12D) 24 E) 32

31


7. Si {a, b, c, d} N y además:

P ( x )=xba+cc−3 b+xab+2 a+ x2 a+31++x6d−2+. . .+abcdEs un polinomio completo y ordenado (b>1), señale su término independiente

A) 36 B) 56 C) 30D) 60 E) 120

8. Calcular el grado de Q si se sabe que P es homogéneo y de 5to. grado.P = xm+1 (yn–1 + zm–n)Q = xm+1 (yn+1 + zm+n)

A) 5 B) 6 C) 4D) 7 E) 8

9. Calcular el valor de E, si A y B son polinomios equivalentes:A = (x2–a)2 + b(x–a) + cB = (x2+b)2 + c(x+b) + d

E=( a+b )2+ (c+d )2

(ab−cd )

A) 1 B) –1 C) 2D) –2 E) 0

10. Si el polinomio:L(x) = (ab–ac+d2)x4 ++ (bc–ba+4d)x2 + (ca–cb+3)Es idénticamente nulo, donde d –3, calcular el valor de:

f=1a−4

b+ 3

c

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

1. D

2. D

3. D

4. D

5. B

6. D

7. D

8. D

9. D

10. A

32

32


PRODUCTOS NOTABLES

CONCEPTOSon los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen en

forma directa.

PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES

1. Binomio Suma o Diferencia al Cuadrado (T.C.P.)

. (a b)2 = a2 2ab + b2 .

Identidades de Legendre (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) (a + b)2 – (a – b) = 4ab (a + b)4 – (a – b)4 = 8ab (a2 + b2)

Ejemplos:

(√3+√2 )2=(√3 )2+2√3√2+(√2 )2=3+2√6+2=5+2√6 (a + 5)2 – (a – 5)2 = 4a . 5 = 20a

(√5+√2 )4−(√5−√2 )4=8 . √5 . √2 [ (√52+(√2 )2 )]=8√10 . 7=56 √102. Diferencia de Cuadrados

. a2 – b2 = (a + b) (a – b) .

Ejemplos: (x + 2) (x – 2) = x2 – 4

(√2+1 ) (√2−1 )=2−1=1

(√5+√2 ) (√5−√2 )=5−2=33. Binomio al Cubo

.

(a+b )3=a3+3a2 b+3 ab2+b3

(a+b )3=a3+b3+3ab (a+b ) .

33

33


.

(a−b )3=a3−3 a2 b+3 ab2−b3

(a−b )3=a3−b3−3 ab ( a−b ) .

Ejemplo: (2 + 3)3 = 23 + 3 . 22 . 3 + 3 . 2 . 32 + 33

(2 + 3)3 = 8 + 36 + 54 + 27(2 + 3)3 = 125

4. Producto de Binomios con Término Común

. (x + a)(x+ b) = x2 + (a + b)x + ab .

5. Producto de Tres Binomios con Término Común

. (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ac) x + abc .

. (x – a)(x – b)(x – c) = x3 – (a + b + c)x2 + (ab + bc + ac) x – abc .

6. Trinomio al Cuadrado

. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) .

. (a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab – ac – bc) .

7. Trinomio al Cubo

. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b) (b + c) (c + a) .

. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + (a + b + c) (ab + bc + ca) – 3abc .

. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2( b + c) + 3b2(a + c) + 3c2(a + b) + 6abc .

34

34


8. Suma y Diferencia de Cubos

. a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) .

. a3 – b3 = (a – b) (a2 – ab + b2) .

9. Identidades de Argan’d

. (x2 + x + 1) (x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1 .

. (x2 + xy + y2) (x2 – xy + y2) = x4 + x2y2 + y4 .

En general

. (x2m + xmyn + y2n) (x2m – xmyn + y2n) = x4m + x2my2n + y4n .

10. Identidades de Gauss

. a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) .

. (a + b) (b + c) (c + a) + abc = (a + b + c) (ab + bc + ac) .11. Identidades Condicionales

Si . a + b + c = 0 . Se verifican:

. a2 + b2 + c2 = –2(ab + bc + ac) .

. (ab + bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2 .

. a3 + b3 + c3 = 3abc .

35

35

36



1. Efectuar:E = (x–y)2 – (y–z)2 + (z–w)2 –– (w–x)2 + 2(x–z)(y–w)

2. Efectuar:E = (a+b)2(a2+2ab-b2) – – (a–b)2(a2–2ab–b2)

3. Efectuar:E = 2(a+b)[(a+b)2 – 2ab + (a-b)2] ++ (a–b) [(a+b)2 + 4(a2+b2)–(a–b)2]

4. Efectuar:

M=(1+√5+√6+√30 ) (√30−√6−√5+1 ).

5. Calcular el valor de E para

x=√2E = [(x+1)2(x2+2x–1) –– (x–1)2(x2–2x–1)]2/3

6. Calcular el valor numérico de:E = (a2+b2)3 + (a2–b2)3 – 6b4(a2–b2)Para a3 =2, b3 = 3

7. Simplificar:

E=2 y2+2 xy+√ (x2+ y2)2− (2 xy )2

x+ y8. Calcular

3√1+2√73√3

+ 3√1−2√73√3

9. Reducir:E=√ (x+ y+z ) ( x+ y−z ) ( x− y+z ) ( x− y−z )+4 x2 y2+x2

10. Si: a = 15 b = 12; calcularM=

16√3 (a+b ) (a2+b2) (a4+b4 ) (a8+b8)+b16

11. Hallar el valor de:

R=16√(3 ) (5 ) (24+1 ) (28+1 ) (216+1 )+1

12. Si se tiene en cuenta que:a2 + b2 + c2 = 300a + b + c = 20Calcular:E = (a+b)2 + (a+c)2 + (b+c)2

.

13. Si: x(x+3) = √2 : calcular:

E=√x ( x+1 ) ( x+2 ) (x+3 )+1

14. Siendo:

√ x+abc+√x−abc=abcCalcular:

√ x+abc−√ x−abc

15. Si se acepta que:

√ x+ 1√ x

=4

¿Cuál es la suma de las cifras de: x3 + x–3?

36

37


.PROBLEMAS PARA LA CASA

1. Simplificar:E = (x–y)(x+y–z) + (y–z)(y+z–x) ++ (z–x)(z+x–y)

A) 0 B) x+y+z C) x–y+zD) x+y–z E) y+z–x

2. Simplificar:Q=

( x+1 ) ( x−1 ) (x4+x2+x1) (x6−x3−x1 ) (x6+x3+1 )x9+1

A) x18+1 B) x9–1 C) x9+1D) 1 E) –1

3. Simplificar:

E=√ (√4 ab+a+b )1/2 (√a−√b )+2√b (√a+√b )A) √a B) √bC) √a−√b D) 2√aE) √a+√b

4. Determinar el valor numérico de:(a+b+3c)(a–b+3c)–(a–3c+b)(a–3c–b)

a=√√2+1 ; b=√2 ;

c=√√2−1

A) 9 B) 10 C) 11D) 12 E) 13

5. Si:

x=3√1972+√11 ;

y=√1969+√11Hallar el valor de:x9 – 9x3y3 – y9

A) 27 B) 72 C) 30D) 20 E) 25

6. Simplificar:E = (x–1)(x+4)(x+2)(x–3) ++ (x–2)(x+5)(x+3)(x–4) ––2(x2+x–10)2 + 56

A) 5x–20 B) x2+3x–84C) 3(x–10) D) CeroE) Uno

7. Si: a . b–1 + a–1b = 3; hallar el valor de:

E=( a2

b2+1)3

+( b2

a2+1)3

A) 27 B) 81 C) 189D) 243 E) 486

8. Si:8√ x+abc+ 8√x−abc=a

10. Sabiendo que: a + a–1 = 3; determinar el valor de:

37

39


8√ x+abc−8√ x−abc=b4√ x+abc+ 4√x−abc=cHallar:R=√x+abc+√ x−abc

A) ab B) bc C) 2D) 2abc E) a2

9. Si: E=3√2+√3+ 3√2−√3

Hallar el valor numérico de:

P=3√E3−3E+23

A) 1 B) 2 C) 3

D)3√2 E)

3√3

M=[aa+(a−1)a−1 ] [aa−1

+(a−1)a ]A) 20 B) 30 C) 40D) 50 E) 60

CLAVES

1. A

2. B

3. E

4. D

5. A

6. D

7. E

8. C

9. C

10. A

38


COCIENTES NOTABLES

CONCEPTOSon aquellos cocientes que se pueden obtener en forma directa sin necesidad de

efectuar la operación de división.

Condiciones que debe cumplir:

xm± ym

x± yDonde x; a bases igualesm Z+; m 2

CASOS

1. Si: R = 0

xm± yn

x± y=q ( x )

cociente entero o exacto (C.N.)

2. Si: R = 0

xm± yn

x± y=q ( x )+ R ( x )

x± y cociente completo

También según la combinación de signos se puede analizar 4 casos.DEDUCCIÓN DE LOS COCIENTES

DIVISIÓN INDICADA SEGÚN SU FORMA

COCIENTESn Z+

xn− y n

x− y=xn-1+xn-2y+xn-3y2+...+yn-1+; n (C.N.)

xn+ yn

x− y =xn-1+xn-2y+xn-3y2+...+yn-1+

2 yn

x− y ; n (cociente completo)

xn+ yn

x+ y =¿ {xn−1−xn−2 y+xn−3 y2−. ..+ y n−1 ; ∀ n impar (C .N . ) ¿ ¿¿¿xn− y n

x+ y =¿ {xn−1−xn−2 y+xn−3 y2−. .. nyn−1; ∀ n par (C . N . ) ¿ ¿¿¿39

51


CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA OBTENER UN C.N.

De:

xm± yn

x p± yq se debe cumplir:

mp=n

q=r

; r Z+

FORMULA DEL TÉRMINO GENERAL DE UN C.N.Es una fórmula que nos permite encontrar un término cualquiera en el desarrollo de los C.N., sin necesidad de conocer los demás.

De la división:

xn± y n

x± y

a) Si d(x) = x – y:. tk = xn–kyk–1 .

b) Si d(x) = x+y:. tk = (–1)k–1xn–kyk–1 .

Donde:tk término del lugar kx 1er. término del divisor.y 2do. término del divisor.n número de términos de q(x)

Ejemplos:

x5+ y5

x− y=x4+x3 y+x2 y2+xy 3+ y 4

(C.N.)

x4+ y 4

x+ y=x3−x2 y+xy2− y3+ 2 y 4

x+ y (Cociente Completo)

x12− y12

x3− y3 =x6+x6 y3+x3 y6+ y8

(C.N.)

40

52

53



1. Efectuar:x7+1x+1

+ x7−1x−1

−2 x6−2 x4−2 x2

2. Reducir aplicando cocientes notables, indicando el número de términos del cociente.x70+x68+x66+.. .+x2+1x32+x28+ x24+. . .+ x4+1

3. Hallar el valor de “n” si el cociente es notable

x5 n+3− y5 (n+6 )

xn−1− yn+2

4. Hallar el valor numérico del término de lugar 29 del C.N.( x+3 )36−x36

2 x+3 , para x = –1

5. Hallar el valor de (m + n), si el t60 del desarrollo de:

x148 m− y296n

x2m− y4 n

es x140y1416, si es cociente notable

6. Sabiendo que: n2 – 31n + 234 = 0; hallar el número de términos de la siguiente división exacta.

xn−1 y− yn

xy+ y2

7. Que relación debe existir entre “a” y “b” para que el cociente mostrado sea notable:

a (xa)4 n−b (xb)4 n

ax2−b .

8. Hallar el número de términos en el desarrollo de:

xnp− y p

xn− ySi los grados absolutos de todos los términos van disminuyendo de 3 en 3 y si además el t40 de su desarrollo tiene G.A. = 87

9. Calcular: E = a + b + c; si el término central del desarrollo

xa+ yb

x2− y5; es xcy120

11. Calcular: (n–m), si el décimo séptimo término de:xm− yn

x5− y7; es x115y112

12. Hallar el término idéntico en el desarrollo del C.N.:x75− y100

x3− y4 y

x102− y68

x3− y2

13. Si el tercer término del desarrollo del C.N.

12 [ ( x+2 )n−xn

x+1 ]para x = 2; toma el V.N. de 1024,

41

55


10. Hallar (m . n) si el cociente:

xm+n ymn− ym3+n3+mn

( xy )mn− ym2+n2

; es notable:

calcular n2

14. Obtener el valor numérico del tercer término del desarrollo de:xa+1− y20 b

x2− yb

para: x = 0,5; y = 2; b = 17.

15. Indicar cuantos términos tiene el siguiente desarrollo:x4 n− y5 n

x4− y5

Sabiendo que el término de quinto lugar tiene como grado absoluto 32.

.

PROBLEMAS PARA LA CASA

1. Hallar el quinto término del desarrollo:3√ x+7√ y

15√ x+ 35√ y

A)35√ y B)

35√ y5C)

15√ y 4

D)35√ y5

E)15√x4

2. El término independiente del desarrollo:x6

64− 1

x6

x2− 1

x ; es:

A) 1 B) No existe C) 3D) 4 E) 2

4. Obtener el 20avo. término del desarrollo del cociente notable.x2−3 x+210√ x−1−1

A) x–1 B) 2 C) 3D) 1 E) 4

5. Que lugar ocupa dentro del desarrollo del cociente notable:x436− y1090

x2− y5

El término que contiene a “x” e “y” con exponentes iguales.

A) 67 B) 66 C) 65D) 64 E) 63

6. Si la división siguiente:

42

56


3. Simplificar:

M=( x44+x33+. . .+x11+1

x4+x3+. ..+x+1 )( x50+x45+ .. .+x5+1

x10+ x9+x8+. ..+x+1 )A) 2 B) 3 C) 1D) 4 E) 5

x6 n+3+a6 n−22

xn−6

2 +an−8

2

Es un cociente notable, hallar el número de términos de su desarrollo

A) 25 B) 24 C) 26D) 27 E) 28

7. Se sabe que el resto de la división:xm−zm

xn−zn

Es cero, según esto ¿Cuántos términos tiene el cociente?

A) mn B) mn–1 C) m–1n

D)

mn E)

nm

8. Reconocer el 5to. término del siguiente cociente notable, si se sabe que al 3ero. es x36y2

xm− yn

x2− y

A) x30y6 B) x36y4 C) x32y4

D) x32y6 E) x34y2

9. Efectuar y simplificar:

x3n

xn−1− x2n

xn+1− 1

xn−1+ 1

xn+1

A) xn+1 B) x2n–1 C) xn–1D) x2n+2 E) x2n+1

10. Hallar “n” si l décimo término del desarrollo:

x3 n− y15 n

x− y5; tiene grado absoluto:

185

A) 40 B) 27 C) 45D) 60 E) 50

CLAVES

1. A2. B3. C4. D5. E

6. A7. B8. C9. D10. E

43

Documents

Matematica general