МИНИСТЕРСТВО ВЫСПIЕГО И СРЕ.IJНЕГО СПЕUИдЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР

ЛЕНИНГРАдСКИй ТЕХНОЛОГИЧЕСКИй ИНСТИТУТ ИМЕНИ JШ-IСОВЕТА

У.Ж 530. 145

КЬнАРатьев А.С., Люблинская И.Е., УэАин В.М.

О ТЕХНИКЕ КЕЛдЫ1ПА И КАIJАНОВА-БЕйМА ПРИ ОПИСАНИИ НЕРАВНОВЕСНЫХ

.ЯВЛЕНИй

ЛенингрSА 1990

2

Среди подходов, использУемых в настоящее время при

теоретическом описании свойств прQизвольных неравновесных систем,

следУет выделить теорию линейной реакции КУбо [1J, диаграммнУю

техникУ Келдыша [2] и метод неравновесных гриновских фУНкций

Ка.данова и Бейма [ ЗJ . Формализм НУбо обычно применяется при расчетах кинетических -

коэффициентов, например, проводимости систем в линеаризованном по

слабоМУ внешнеМУ полю приближении [4-7]. В слУчае произвольно

меняющегося в пространстве и во времени внешнего возМУЩения

наиболее перспективным представляется метод квантовых фУНкций

Грина, особо Удачными вариантами которого являются подходы,

развитые Келдышем и Ка.дановым и Беймом. Эти подходы позволяют в

общем виде полУЧать уравнения, описывающие явления переноса при

произвольнам отклонении системы от равновесия, что определяет

эффективность их использования при исследовании конкретных

ФИзических процессов [8-15]. В связи с этим представляет интерес

вопрос о соотношении междУ техникой Келдыша . и Ка.данова-Бейма.

Ряд авторов делают УТверждения о частичной или полной

эквивалентности этих методов. Так, в работе [13] без каких-либо

доказательств высказывается мысль о полной эквивалентности этих

подходов. В то же , время в работе [ 11 J УТверждается , что

УКазанные методы эквивалентны с точностью до квадратичных по

возМУЩению членов. Выяснению некоторых, связанных с этой

проблемой вопросов, посвящена работа [15]. Некоторые авторы

считают необходимым привести доказательство справедливости

полУЧенных резУльтатов в рамках обоих подходов [9-12], что,

несомненно, свидетельствУет о том, что обсУждаемые методы не

рассматриваются ими как совпадающие.

В настоящей работе проведен подробнЫй анализ этого вопроса и

строго показана полная эквивалентность диаграммной техники

Келдыша и метода Ка.данова и Бейма для произвольных неравновесных

систем. ; Приведем основные положения диаграммного метода Келдыша

16]. ДЛя определенности рассмотрим ферми-системы.

Теория основана на использовании четырех фУНкйий Грина

© BИHifTif~ 1990 r~

з

-~ +-G t G t G t для которых полУЧаются Уравнения в граФическом

виде:

( 1}

где обозначенные греческими бvквами индексы принимают значения + или - ; жирными линиями обозначаются точные фУНкции Гринаt

тонкими линиями - фУНкции Грина для идеального газа; крУЖКами

собственно-энергетические фУНКЦИИ L++t L--t r+-t r-+. ФУнкции Грина G~ для ферми-систем определяются равенствами

[16];

G--( 1 t 1') = - i < т w< 1 > чr < 1 • > >· t

G++( 1 t 1') ......

w< 1 > чr < 1· > = - i < т >· t

G+-( 1 t 1') = - i < \lf( 1) чt< 1') >· t

G-+( 1 t 1') = i < \lf( 1) чt< 1') >. ( 2)

Здесь нарядУ с обычным оператором УПорядочения по времени т ......

ФИГУрИрУет трансnонированнЫй к неМУ оператор тt означающий

УПорядочение операторов ферми-поля в обратном хронологическом

порядке.

ФУнкции ( 2> не являются независимыми t они связаны междУ

собой линейным соотношением;

G-- G++ G-+ G+-+ = + • ( 3)

На языке техники К'.а.данова -Бейма фУНкции G-- t G+- и G-+ можно

> выразить через гриновскУЮ и корреляционнУЮ фУнкции ~t ~< [1]:

-- > +- < -+ ~ = G ; ~ = G ; ~ = G . ( 4)

( 3) ~ +

ч ++ ~ -етвертУЮ фУнкцию G обозначим через ~. Теперь равенство

принимает вид: - > < ~ = ~ + ~. Отметимt что нетрУдно установить связь этих

( 5)

фУНКЦИЙ С

4

. запаздывающими и опережающими ФУНкциями Грина cr,a., определяемыми

обычным образом.

(б)

Приведеиные выше соотношения позволяют записать основные

положения диаграммного подхода келдыша на языке фУнкций Грина,

ФИГУРИРУЮЩИХ в методе каданова-Бейма.

ПолУЧение диаграммной техники для фУНкций Грина основано на

использовании теоремы Вика: записывая фУНкции G в представлении

взаимодействия и проводя разложение по степеням оператора

взаимодействия, полУЧаем СУММУ различных членов, в каждом из

которых проводится Усреднение . и каждоМУ способУ попарных сверток

операторов ферми-поля сопоставляется определенная диаграмма.

В технике келдыша диаграммы рассматриваются в координатном

представлении, посколькУ для пространственно-неоднородных

неравновесных систем, когда фУНкция Грина зависит от переменных 1 и 1', а не только от их разности, переход к импУльсноМУ

представлению неУдобен.

Характерной особенностью данной диаграммной техники является

наличие индексов + или - на концах линий, это приводит к

дополнительноМУ сУММИрованию во всех вершинных частях [16]. ПоэтоМУ все диаграммы полУЧаются из диаграмм обычной техники

приписыванием в их вершинах и свободных концах всеми возможными

способами индексов + или - . как и обычная фейнмановекая техника

для гриновских фУНкций, она позволяет проводить сУММИрование

диаграмм блоками, в качестве которых выстУПают массовые

операторы. В соответствие с тем, что в излагаемой технике каждой

вершине диаграммы приписывается индекс + или , сУЩествУЮТ

четыре собственно-энергетические~ ФУНкции согласно знакам их

ВХОДНОЙ и ВЫХОДНОЙ вершин: r--' L++' L-+ и L+-. > Связь междУ массовыми операторами [~ в технике Н8лдыша и о,

О< В методе КQданова -Бейма УСТанавливаеТСЯ ПУТеМ сравнеНИЯ диаграммных разложении для [~ [16] с интегро-фУНкциональным

5

уРавнением для о [3]. Эта связь имеет видt

соотношениям (4):

о , -- > ,+- о< = - ,-+. =t.. ;о=-'-; '-

Величины r~ связаны линейным равенством: r++ + r-- = - < r-+ + r+- > •

аналогичнЫй

( 7)

( 8)

дЛя записи этого соотношения в терминах

собственно-энергетических фУНкций о необходимо ввести обозначение

о= r++. В резУльтате (8) переписывается следУЮщим образом: - > < 0+0=0 +О. ( 9)

ПРиведеиные соотношения междУ фУНкциями ГРина G и ~ и

массовыми операторами r и о позволяют записать основные положения диаграммного подхода на языке фУНкций ~ и ot использУемых в

методе Каданова и Бейма. В частностиt диаграммное уРавнение (1) АЛЯ фУНкции в-- записывается следУЮЩИМ образом:

~<1t1') = ~0(1t1') + J d2 dЗ [ ~o<1t2> o<2t3> ~(3t1') + ~~(1,2)х

( 10>

Аналогично записываются и три остальных уРавнения для ++ -+ +-

фУНКЦИЙ G t G и G t например:

~<<1t1') = ~~<1~1·> + J d2 dЗ [ ~0(1t2> o<2t3> ~<(3,1') - ~0(1,2)х

дЛя дальнейшего Удобно определит'Ь фУНкции or,o.:

Or HF < - HF > =о-о -о =-о-о +о;

б а. HF > - HF <

о =о-о -о =-о-о +о;

ГАе онF_ массовЫй оператор в приближении Хартри-Фока. Ддя компактной записи уРавнения (10) для фУНкций G или

можно, как и в [16], ввести матрицы:

( 12)

; = [ ~> ~< ) ; о = [ 0

> - ~< ) • < 13> ~ ~ -о о

В резУльтате приходим к матричноМУ уРавнению:

"' "' "' "' "' 1<1,1') = ~0(1,1') + f d2 d3 ~0(1,2> о<2,3> ~<3,1'). <14>

JеиствУя оператором~~·, и сопряженным к неМУ, на уРавнение

( 14> , полУЧаем два уРавнения :

( i ~ - h( r t) - U( 1) ] ;( 1, 1' ) = Oz S( 1-1' ) + t

"' "' + Oz f d2 О( 1 ,2) ~( 2,1'); ( 15)

( - i gt, - h( r~) - U( 1') ] ;( 1,1') = Oz S( 1 ~1') + t

"' "' + oz f d2 ~(1,2) 0(2,1'); ( 16)

ГАе oz - обычная матрица ПаУли:

о = ( 1 о). z о -1

ФигуРИРУЮшУЮ в диаграммном подходе Келдыша "лишнюю" фУНкцию · uо.но исключить линейным УНитарным преобразованием матриц:

"'• R-t "' ~ = ~ R,

ГАе

R:-· -1-ГТ

( 1 1 ) . R-t = _1 ( 1 -1 ) -1 1 , rт 1 1 ·

"' "'' Гlреобразованные матрицы ~· и о' имеют вид:

;. = [ 0 ~а. ] ; 0' = [ Q Or + OHF ]

~r F оа. + OHF о ' ( 17)

7 где введены обозначения:

F = С + ~; Q = 0 + О.

Матричное уРавнение (14) nосле УКазанного nреобразования

эквивалентно трем уРавнениям для фУНкций cr,a. и F: r,a. r ,а. r ,а. ( 0иF +

0r,a. ) _r,a.:

с = со + со о , ( 18)

( 19) где естественно nоДразУМевантся интегрирование no nромеЖУТочным

nространствеиным и временным nеременным . .llействУЯ оnератором c~t на уРавнение ( 19) nриходим к

соотношению: . [ i gt - h(I't) - U(1) ] F = ( OHF + Or) F + Q Са., (20)

t

которое nредставляет собой уРавнение для фУНкции F, не содержашее

фУНкции fРина F0

для идеального газа.

Уравнения (18), (20) образ~ nолнУЮ систеМУ, оnисываюЩУЮ

nоведение неравновесных ферми-систем. Эта система уРавнений

эквивалентна системе уРавнений <III.49). (!!!.50) из [17]. Чтобы

по казать зто. заnишем уРавнения ( 15) и ( 16) в виде обычных

интегро-ФУНкциональных уРавнений для сnУНкuий с~: [ i gt - h(!'t) - u(1) ] с<(1,1•) = f d2 [ о(1,2) с<(2,1•) -

t

- о<( 1 t 2) ~( 2, 1• ) ] ; ( 21)

[ i gt - h(1'1

) - U(1)] с>(1,1•) = f d2 [ о><1.2> с(2,1•) -t

- о< 1:, 2> с> ( 2, 1·) ] ; ( 22>

и соnряженные к ним уРавнения:

[ - i gt. - h( !'~) - U( 1•) ] с<( 1 t 1•) = f d2 [ с<( 1 t 2) О( 2. 1•) -t

8

- 8( 1 ~ 2) о< ( 2 ~ 1 ' ) J; ( 23}

[ - i gt, - h( r~) - U( 1') ) 8) ( 1,1') = f d2 [ i( 1 ~ 2) 0) ( 2,1') -t

- 8) ( 1, 2) О( 2,1') ) • ( 24)

Перейдем к смешанноМУ nредставлению в уравнениях ( 21) -( 24) •

восnользовавшись фОрМУлой [18]:

f d(1~1') ехр [ i (А) (t- t') - i po(r- r') ) f d2 А(1-2 1+2) х t t t t t 2

где фУрье-образы фУНкций А и в оnреДелены как:

+<D

A(p,(A);R,T) = f dt dr ехр ( i (А) t - i por ) A(r,t;R,T) • -(1)

а Фиг.урные скобки в nравой части (25) означают:

{ ( . >} [ i (д д . д д А( p~(A);R,T) • В P,(A);R,T . = ехр z (J(A) ~ - ~ОТ: -

( 25)

( 26) УЧИТЫВаЯ СВЯЗЬ междУ фУНКЦИЯМИ 8 t 8 ~ О, О И 8r,a., Or,a. ~

определяеМУЮ соотношениями (6)~ (12), окончательно находим:

{(А)- h(p) - U(R,T) - OHF(p;R,T)~ 8~(p~(A);R,T)} =

= { Or(p~(A);R,T), B~(p,(A);R,T}} + { O~(p,(A);R,T}, ва.(р,(А);R,Т) };

( 27)

{ ~~(Р,ы;R,Т), Ы- h(p) - U(R,T) - 08F( ;R,T)} =

9

= { ~r(P,~;R,T), O((p,~;R,T)} + { ~((P,~;R,T), OQ(p,~;R,T) };

(-28) Эти УРавнения эквивалетны Уравнениям ( III. 49> , ( III. 50> из

[17]. Таким образом, в УКазанных подходах оказываются одинаковыми точные УРавнения для гриновских фУНкций, nри выводе которых не -делалось никаких . nредположений о скорости изменения внешнего

возМУЩения в nространстве и во времени, а так же о величине

межчастичного взаимодействия.

Отметим, что в рамках метода каданова-Бейма имеются

возможности как к обобщению резУльтатов на более сложные слУЧаи,

так и к строгой оценке Условий сnраведливости использУемого

nриближения, в то время как диаграммная техника КВлдыmа, как

nравило, боле·е Удобна для выполнения конкретных расчетов в

оnределенных nриближениях.

10

ЛИТЕРАТУРА

1. СuЬо R. /1 J • Phys. Soc • Jap. 1957. V.12. Р. 570. 2. НВлдыm Л.В./1 IУрн. экспер. и теор. Физ. 1964. Т.47. С.1515.

3. КВданов Л. , Бейм Г. КВантовая статистическая механика. М. : Мир. 1964.

4. AЬrahams Е., Anderson P.W., Liccardello D.C., Ramakrishnan T.V. // Phys. Rev. Lett. 1979. V. 42. Р. 673.

5. Altshuler B.L., Кhmel'nitskii D.E., Larkin A.I., Lee Р.А.

// Phys. Rev. В. 1980. V. 25. Р. 5142. б. Нikami S., Larkin A.I., Nagaoka У.// Procr. Theor. Phys. 1980.

V. 63. Р. 707. 7. Бобров В. Б., Товстопян-Нелип И.И., Тригер С.А.// Препринт ИВТАН

ff I -259. М. 1989. 8. КОндратьев А.С., Уздин В.М. Электронная жидкость

магнитоУПорядоченных металлов. Л.: Изд-во Ленингр. УН-та. 1988. 9. Altshuler B.L., Aronov А.С. Кhmel'nitskii D.E.// J. Phys. с .

1982. V.15. Р.7367.

10.Hanch W., Мahan G.D.// Phys . Rev. в. 1983. V.28. Р.1886 11.Jauho А.Р., Wilkins J.W.// Phys. Rev. в. 1984. V.29. Р.1919.

12.Hershfield S., AmЬegaokar V.// Phys. Rev. в. 1986. V.34. Р. 2147.

13.Lipavsky Р., Spicka V., Velicky В.// Phys. Reu. в. 1986. V.34. Р. 6933.

14.Мейланов Р.П.// Изв. ВУзов. Физика. 1989. ff 5. С.14.

15.Langreth D.C.// Proc. Aduansed Study Inst. оп Linear and

Nonlinear Electron Transport in Solids. 1975. V. В17. Р. 3. 16.ЛандаУ Л. Д., ЛиФmтц Е. М. Теоретическая Физика. Т.Х: Физическая

кинетика. М.: НаУКа. 1979. "' 17.КЬндратьев А.С., КУчма А.Е. Электронная жидкость нормальных

метллов. Л.: Изд-во Ленингр. УН-та. 1980. 18.КЬндратьев А.С., КУчма А.Е.// Теор. и мат. Физ. 1975. Т.24.

с. 278.