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Sucesión de Numero RealLa palabra sucesión en términos matemáticos significa que una colección de eventos u objetos está ordenada de forma que tiene un primer miembro, un segundo miembro, un tercer miembro y así sucesivamente.
Matemáticamente una sucesión se define como una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos. Aunque una sucesión es una función, es común representar a las sucesiones empleando subíndices en lugar de escribirlas con la notación habitual de una función.
Por ejemplo:
Como podemos ver al 1 se le asigna a1, al 2 a2, y así sucesivamente.Los números a1, a2, a3 …. an son los términos de la sucesión.
El número an es el termino n-ésimo de la sucesión, y la sucesión completa se denota por {an}
.
Límite de una sucesión
Las sucesiones cuyos términos tienden a valores límite se denominan convergentes. Por ejemplo la sucesión {1/2n}.
Converge a 0, como se indica en la siguiente definición.
Gráficamente, esta definición dice que finalmente los términos de una sucesión que converge a L quedarán dentro de la franja entre las
rectas: como se muestra en la figura 9.1
Si una sucesión {an} coincide con una función en cada entero positivo, y si tiende a un límite L a medida que la sucesión debe converger al mismo límite L.
Se puede considerar una sucesión como una lista de números escritos en un orden definido:
a1, a2, a3, a4, . . . , an, . . .
El número a1 se denomina primer término, a2 es el segundo término, y en general an es eln-ésimo término. Trataremos exclusivamente con sucesiones infinitas y por tanto cada términoan tendrá un sucesor an+1.Nótese que para todo entero positivo n hay un correspondiente número an y entonces una sucesión se puede definir como una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos. Pero por lo general escribimos an en lugar de la notación de función f (n) para el valor de la función en el número n.
Notación: La sucesión { a1, a2, a3, . . . } también se denota con:
{an} o bien {an} ∞n=1
EJEMPLO 1
Descripción de sucesiones Algunas sucesiones se pueden definir al dar una fórmula para el n-ésimo término. En los ejemplos siguientes damos tres descripciones de la sucesión: una usando la notación precedente, otra usando la fórmula de definición y una tercera escribiendo los términos de la sucesión. Nótese que n no tiene que empezar en 1.
EJEMPLO 2
Encuentre una fórmula para el término general an de la sucesión
Suponiendo que continúe el patrón de los primeros pocos términos.
SOLUCIÓN Nos indican que
Nótese que los numeradores de estas fracciones empiezan con 3 y aumentan en 1 siempre que pasemos al siguiente término. El segundo término tiene numerador 4, el tercer término tiene numerador 5; en general, el n-ésimo término tendrá numerador n + 2. Los denominadores son las potencias de 5, de modo que an tiene denominador 5n. Los signos de los términos son alternativamente positivos y negativos, por lo cual necesitamos multiplicar por una potencia de -1. En el Ejemplo 1(b) el factor (-1)n significa que empezamos con un término negativo. Aquí deseamos empezar con un término positivo y por lo tanto usamos (-1)n-1 o (-1)n+1. En consecuencia
EJEMPLO 3
A continuación veamos algunas sucesiones que no tienen ecuaciones de definición sencillas.
(a) La sucesión {pn}, donde pn es la población mundial hasta el 1 de enero del año n.(b) Si hacemos que an sea el dígito en el n-ésimo lugar decimal del número e, entonces{an} es una sucesión bien definida cuyos primeros términos son
{7, 1, 8, 2, 8, 1, 8, 2, 8, 4, 5, . . .}
(c) La sucesión de Fibonacci {fn} está definida en forma recursiva por las condiciones
Cada término es la suma de los dos términos precedentes. Los primeros términos son
{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .}
Esta sucesión apareció cuando el matemático italiano del siglo XIII conocido como Fibonacciresolvió un problema relacionado con la cría de conejos.
Una sucesión como la del Ejemplo 1(a), an = n/(n+1), se puede ver ya sea localizando sus términos sobre una recta numérica, como en la Figura 1, o trazando su gráfica, como en la Figura 2. Nótese que, puesto que una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos, su gráfica está formada por puntos aislados con coordenadas
De la Figura 1 o la Figura 2 se ve que los términos de la sucesión an = n/(n+1) se aproximan a 1 cuando n se hace grande. De hecho, la diferencia
Se puede hacer tan pequeña como se desee al tomar n suficientemente grande. Indicamos esto al escribir
En general, la notación
significa que los términos de la sucesión {an} se aproximan a L a medida que n se hace grande. Nótese que la siguiente definición del límite de una sucesión es muy semejante a la definición de un límite de una función en el infinito.
Definición
Una sucesión {an} tiene el límite L y escribimos
si podemos hacer que los términos an sean tan cercanos a L como queramos tomando n suficientemente grande. Si limn→∞
an existe, decimos que la sucesión converge (o es convergente). De otro modo, decimos que la sucesión diverge (o es divergente).La Figura 3 ilustra la Definición 1 al mostrar las
gráficas de dos sucesiones que tienenel límite L.
Si se compara la Definición con la Definición de un limite de una función en el infinito se verá que la única diferencia entre limn→∞
an=L y limx→∞
f (x )=L es que se requiere que n sea un entero. Así, tenemos el siguiente teorema que está ilustrado por la Figura 4.
Teorema Si limx→∞
f (x )=L y f (n )=an cuando n es un entero, entonces limn→∞an=L En
particular, dado que sabemos que limx→∞
1xr
=0 cuando
r > 0, tenemos.
limn→∞
1nr
=0 si r > 0
Si an se hace grande cuando n se hace grande, usamos la notación
limn→∞
an=∞
En este caso la sucesión {an} es divergente, pero en una forma especial. Decimos que {an} diverge a ∞. .Las Leyes de Límites dadas en la Sección 2.3 también se cumplen para los límites de sucesiones y sus pruebas son semejantes.
Si {an} y {bn} son sucesiones convergentes y c es una constante, entonces
limn→∞
(an+bn¿)= limn→∞
an+ limn→∞
bn¿
limn→∞
(an−b n¿)=limn→∞
an− limn→∞
bn¿
limn→∞
can=c limn→∞
an limn→∞
c=c
limn→∞
(anbn¿)=limn→∞
an ∙ limn→∞
bn¿
limn→∞
anbn
=limn→∞
an
limn→∞
b n si limn→∞
bn ≠0
limn→∞
anp=[ limn→∞
an]p si p > 0 y an > 0
El Teorema de compresión también se puede adaptar para sucesiones como sigue (veaFigura 5).
Si an ≤ bn ≤ cn n≥ n0 y limn→∞an=lim
n→∞c=l entonces limn→∞
bn=L
Otro dato útil acerca de límites de sucesiones está dado por el siguiente teorema, que sesigue del Teorema de compresión porque - │ an │≤ an ≤│ an │.
Teorema
limn→∞
│an│=0 entonces limn→∞
an=0
EJEMPLO 4 Encuentre limn→∞
nn+1
SOLUCIÓN Dividir numerador y denominador entre la potencia de orden superior de n presente en el denominador y luego usar las Leyes de Límite.
EJEMPLO 5 Aplicación de la Regla de l’Hospital a una función relacionada Calcule
limn→∞
ln nn
SOLUCIÓN Nótese que numerador y denominador se aproximan al infinito cuando n→∞ No podemos aplicar la Regla de l’Hospital directamente porque no aplica a sucesiones sino a funciones de una variable real, pero podemos aplicar la Regla de l’Hospital a la función relacionada f ( x )=¿¿ y obtener
En consecuencia, por el Teorema 2, tenemos
EJEMPLO 6 Determine si la sucesiónan=(−1)n es convergente o divergente.
SOLUCIÓN Si escribimos los términos de la sucesión, obtenemos
{-1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, . . .}La gráfica de esta sucesión se muestra en la Figura 6. Como los términos oscilan entre 1 y -1 infinitamente, an no se aproxima a ningún número. Entonces lim
n→∞(−1)n
no existe; esto es, la sucesión { (−1 )n} es divergente.
EJEMPLO 7 Evalúe limn→∞
(−1 )n
n si existe.
SOLUCIÓN Primero calculamos el límite del valor absoluto:
Por tanto, por el Teorema 4,
El siguiente teorema dice que si aplicamos una función continua a los términos de la sucesión convergente, el resultado también es convergente. Teorema
Si limn→∞an=L y la función f es continua en L, entonces lim
n→∞f (an¿)=f (L)¿
EJEMPLO 8 Encuentre limn→∞
sin πn
SOLUCIÓN Como la función seno es continua en 0, el Teorema 5 hace posible que escribamos
EJEMPLO 9 Uso del Teorema de compresión Discuta la convergencia de la sucesión
SOLUCIÓN Tanto el numerador como el denominador se aproximan al infinito cuando n→∞ pero aquí no tenemos función correspondiente para usar con la Regla de l’Hospital (x! no está definida cuando x no es un entero). Escribamos unos pocos términos para tener idea de lo que ocurre a an cuando n se hace grande: Se ve de estas expresiones y la gráfica de la Figura 8 que los términos son decrecientes y quizá se aproximen a 0. Para confirmar esto, observemos de la Ecuación 6 que
Nótese que la expresión en paréntesis es a lo sumo 1 porque el numerador es menor (o igual) que el denominador. Por tanto,
Sabemos que 1/n → 0 cuando n →∞. Por tanto, an → 0 cuando n →∞ por el Teorema de compresión.
EJEMPLO 10 Límite de una sucesión geométrica ¿Para qué valores de r es convergente la sucesión {rn}?SOLUCIÓN Sabemos que lim
x→∞ax=∞ para a > 1 y lim
x→∞ax=0 para 0 < a < 1. Por
tanto, poniendo a = r y usando el Teorema 2, tenemos
Para los casos r = 1 y r = 0 tenemos
Si -1 < r < 0, entonces 0 < │r │< 1 y
y por tanto limn→∞
rn=0 por el Teorema 4. Si r ≤ -1 entonces {rn} diverge como en el Ejemplo 6. La Figura 9 muestra las gráficas para varios valores de r.
Los resultados del Ejemplo 10 se resumen para uso futuro como sigue.
La sucesión {rn} es convergente si -1 < r ≤ 1 y divergente para todos los otros valores de r.
limn→∞
rn={0 si−1<r<11 sir=0 }Definición Una sucesión {an} se denomina creciente si an < an+1 para toda n ≥ 1 es decir, a1 < a2 <a3 <.. Se denomina decreciente si an > an+1 para toda n ≥ 1. Una sucesión es monótona si es ya sea creciente o decreciente.
EJEMPLO 11 Demuestre que la sucesión an=n
n2+1 es decreciente
SOLUCIÓN 1 Debemos demostrar que a n +1 < an , es decir,
Esta desigualdad es equivalente a la que obtenemos por multiplicación cruzada:
Como n ≥ 1, sabemos que la desigualdad n2 + n > 1 es verdadera. Por tanto an+1< any entonces {an} es decreciente.
SOLUCIÓN 2 Considere la función f ( x )= xx2+1
.
Entonces f es decreciente en (1, ∞) y entonces f (n)>f (n+1). En consecuencia {an} es decreciente.
Definición Una sucesión {an} está acotada superiormente si hay un número M tal que
an≤M para todan≥1
Está acotada inferiormente si hay un número m tal que
m≤an para todan≥1
Si está acotada superior e inferiormente, entonces {an} es una sucesión acotada.
Por ejemplo, la sucesión an=n está acotada inferiormente (an> 0) pero no
superiormente. La sucesión an=n
(n+1) está acotada porque 0 < an< 1 para toda n.
Sabemos que no toda sucesión acotada es convergente y no toda sucesión monótona es convergente. Pero si una sucesión es acotada y además es monótona, entonces debe ser convergente. Este hecho se expresa sin prueba como Teorema 8, pero intuitivamente se puede entender por qué es verdadero al ver la Figura 10. Si {an} es creciente y an≤M para toda n, entonces los términos están forzados a agruparse y aproximarse a algún número L.
Teorema de sucesión monótona
Toda sucesión acotada, monotónica, es convergente.
SeriesUna aplicación importante de las sucesiones infinitas es la representación de “sumas infinitas”. Informalmente si { an } es una sucesión infinita. entonces.
Es una serie infinita (o simplemente una serie). Los números a1, a2, a3, son los términos de la serie. En algunas series es conveniente empezar con el índice n=0 ( algún otro entero). Como convenio de escritura, es común representar una serie infinita simplemente como Σ an. En tales casos, el valor inicial para el índice debe deducirse del contexto establecido.
Para encontrar la suma de una serie infinita, considere la siguiente sucesión de sumas parciales.
S1 = a1
S2 = a1+ a2
S3 = a1 + a2 + a3
…….
Si esta sucesión de sumas parciales converge, se dice que la serie converge y tiene la suma indicada en la definición siguiente.
SERIES INFINITAS
El estudio de las series infinitas fue considerado toda una novedad en el siglo XIV. El lógico Richard Suiseth, cuyo apodo era el Calculador, resolvió este problema.
Si durante la primera mitad de un intervalo de tiempo una variación tiene cierta intensidad, durante el siguiente cuarto la intensidad es el doble, en el siguiente octavo la intensidad en el triple, y así de forma infinita, entonces, la intensidad media durante todo el intervalo será la intensidad de la variación durante el segundo subintervalo.
Esto es lo mismo que decir que la suma de las series infinitas
½ + 2/4 + 3/8 + …. n/2^n +……. es 2.
Convergencia y divergencia:
Una serie se dice convergente si tiene un límite finito (su suma es finita)
Una serie se dice divergente si su límite es infinito.
Determinar el carácter de una serie es hallar si la serie es convergente o divergente. Una tercera posibilidad es que este límite no exista, como en el caso de las series oscilantes (formadas por términos positivos y negativos), como por ejemplo la serie:
3 – 3 + 3 – 3 + 3 - ....+ (-1)n . 3 +.....
En este caso todo depende de cómo agrupemos sus términos para que la suma nos de uno u otro valor, si por ejemplo los agrupamos de dos en dos:
(3 – 3) +( 3 – 3) + (3 – 3)+ ....+ (3 – 3).....
La suma sería claramente 0, pero sin embargo, podemos agruparlos de otras maneras, como ejemplo:
3 + (– 3+3) + (– 3+3) + ... + (– 3+3) + ....
Cuya suma sería claramente 3. Entonces la suma no tiene un valor único, para evitarnos estas paradojas nosotros sólo tratamos con series que sean o convergentes o divergentes.
Propiedades del carácter de una serie:
· El carácter de una serie no varía si se le suprime un número finito de términos.
· El carácter de una serie no varía si multiplicamos o dividimos a todos sus términos por cualquier número finito distinto de 0.
· La suma o resta de dos series convergentes es convergente.
· La suma de dos series divergentes de términos positivos es divergente. (No se puede asegurar nada acerca de la resta).
Series Geométricas
Se llama serie geométrica a aquella cuyos términos son los respectivas sumas parciales de una progresión geométrica, es decir, Sn tendrá la forma expresada arriba.
Para conocer el carácter de esta serie debemos analizar su límite:
Además, para el caso de r = 1 tenemos la serie formada por la suma:
a + a + a + a + a +......
Que es divergente. Mientras que para el caso de r = -1 tenemos la serie:
a - a + a - a + a -.....
Que es una serie oscilante. En definitiva, la serie geométrica es convergente sólo para |r|<1 (o sea, -1<r<+1).
Condición necesaria para la convergencia de una serie.
Sea una serie de término general:
ara que esta serie sea convergente es condición necesaria que:
(Observe que la condición no es suficiente para la convergencia).
Esta condición es muy evidente, puesto que toda sucesión convergente cumple:
SERIES DE POTENCIASUna serie de potencia tiene la forma
∑n=0
x
❑Cn Xn=C0+C1 X+C2X
2+C3 X3+….
Donde x es una variable y las Cn son constantes llamadas coeficientes de la serie. Para calcular x fija, la serie es una serie de constantes que podemos probar para ver si es convergenteo divergente. Una serie de potencias puede convergir para ciertos valores de x y divergir ante otros. La suma de la serie es una función
f ( x )=C0+C1 X+C2X2+…+Cn X
n+…
Cuyo dominio es el conjunto de todas las x para las que converge la serie. Observe que f se parece a un polinomio. La única diferencia es que f tiene una cantidad infinita de términos. Por ejemplo, con Cn=1 para toda n, la serie de potencias se transforma en la serie geométrica
∑n=0
x
❑xn=1+x+x2+…+…xn+…= 11−x
Que converge cuando -1<x<1 y diverge cuando |x|≥1. De una manera mas general, una serie de la forma
∑n=0
x
❑Cn (x−a )n=C0+C1 ( x−a )+C2 ( x−a )2+…
Se llama serie de potencias en (x-a), serie de potencias centrada en a, o serie de potencias sobre a. Note que al escribir el termino correspondiente a n=0 en las ecuaciones 1 y 2 , se adopta la convención que (x−a)0=1, aunque x=a. Note también que cuando x=a, todos los términos son 0 cuando n≥1, y asi la serie de potencias 2 siempre converge cuando x=a.
EJ. 1
¿Para que valores de x converge la serie
∑n=0
∞
n! xn?
Para su solución se aplica la prueba de la razón. Si an representa, como de costumbre, el enésimo termino de la serie, entonces an=n ! xn, Si x≠0,
limn→∞
¿an+1an
∨¿ limn→∞
¿(n+1)! xn+1
n ! xn∨¿ lim
n→∞(n+1¿)|x|=∞ ¿
De acuerdo con la prueba de la razón, la serie diverge cuando x≠0
Por lo que la serie original converge en x=0.
EJ. 2
¿Para que valores de x converge la serie
∑n=0
∞ ( x−3)n
n?
Sea an=(x−3)n/¿ n, entonces
|an+1an |=|(x−3)nn+1. n(x−3)n|= 1
1+ 1n
|x−3|→|x−3|conformen→∞
De acuerdo con la prueba de la razón, la serie original es absolutamente convergente, por lo tanto, converge cuando |x−3|<1 y diverge cuando |x−3|>1
TEOREMA
Parauna serie dada∑n=0
∞
Cn (x−a )n , solo ha y1de3 posibilidades
1 (La serie soloconverge cuandox=a
2 (Laserie converge para toda x
3 (Hay unnumero positivo ,R , tal que la serie converge si||x−a||<R y diverge si|x−a|>R
REPRESENTACION DE FUNCIONES COMO SERIE DE POTENCIAS
El expresar una función conocida como una suma infinita de términos es una estrategia útil en la integración de funciones que no tienen antiderivadas elementales, para resolver ecuaciones diferenciales y aproximar funciones mediante polinomios.
11−x
=1+ x+x2+x3+…=∑n=0
x
xn|x|<1……1
Como ya se trabajo anteriormente con esta ecuación. Se obtuvo que es una serie geométrica con a=1 y r=x. Pero en esta ocasión el punto de vista es distinto, ya que se considera que la ecuación expresa la función f ( x )=1 ∕ (1−x ) en forma de una suma de una serie de potencias.
EJ. 1 Exprese 1 ∕ (1+ x2 ) como la suma de una serie de potencias y determine el intervalo de convergencia.
Solución. Si reemplaza x con −x2 en la ecuación 1 obtendrá que
11+ x2
= 11−(−x2 )
=∑n=o
x
(−x¿¿2)n=∑n=o
x
¿¿¿¿
Ya que es una serie geométrica, converge cuando |−x2|<1, esto es, x2<1, o|x|<1. Asi pues, el intervalo de convergencia es (−1,1 )
DIFERENCIACION E INTEGRACION DE LA SERIE DE POTENCIAS
La suma de una serie de potencias es una función f ( x )=∑n=o
∞
cn (x−a )n , cuyo dominio
es el intervalo de convergencia de la serie. El siguiente teorema diferenciar o integrar cada término de la serie, del mismo modo que se haría con un polinomio. A esto se le llama diferenciación e integración termino a término.
TEOREMA
Si la serie de potencias ∑ cn ( x−a )n tiene el radio de convergencia R>0, entonces la función f definida por
f ( x )=c0+c1 ( x−a )+c2 ( x−a )2+…=∑n=o
∞
cn (x−a )n
Es diferenciable en el intervalo (a−R ,a+R ), y
a ) f ' ( x )=c1+2c2 (x−a )+3c3 (x−a )2+…=∑n=o
∞
ncn ( x−a )n−1
b )∫ f ( x )dx=C+c0 ( x−a )+c1( x−a )2
2+c2
( x−a )3
3+…=C+∑
n=o
∞
cn( x−a )n+1
n+1
Los radios de convergencia de las series de potencias en la ecuaciones a y b son R
SERIES DE MACLAURIN Y DE TAYLOR
Se empieza suponiendo que f es cualquier función representable mediante una serie de potencias
f ( x )=c0+c1 ( x−a )+c2 ( x−a )2+c3 ( x−a )3+c4 ( x−a )4+…|x-a|<R
Y se tratara de hallar cuales deben ser los coeficientes cn en términos de f . Para empezar observe que si x=a en la ecuación 1, todos los términos después del primero son 0, y se obtiene que
f (a )=c0
Si se aplica el teorema f ' ( x )=c1+2c2 (x−a )+3c3 (x−a )2+4 c4 ( x−a )3+…|x−a|<R
Y se sustituye x=a en la ecuación anterior se tiene que
f ' (a )=c1
Ahora se diferencian ambos lados de la ecuación y se obtiene
f ' ' (x )=2c2+2 .3 c3 ( x−a )+3. 4c4 ( x−a )2+…∨x−a∨¿R
Otra vez se iguala x=a en la ecuación anterior.
f ' ' (a )=2 c2
Se aplica una vez mas el procedimiento. Con esto la diferenciación de la ecuación da
f ' ' ' (x )=2.3c3+2 .3 .4 c4 ( x−a )+3 .4 .5c5 ( x−a )2+…∨x−a∨¿ R
Y al sustituir x=a en la ecuación anterior se tiene que
f ' ' ' (a )=2 .3 c3=3 !c3
A estas alturas se puede observar el comportamiento. Si se continua diferenciando y se sustituye x=a, se llega a
f n (a )=2 .3 .4……ncn=n! cn
Al despejar el enésimo coeficiente cn de esta ecuación, el resultado es
cn=f n (a )n!
Esta fórmula es válida aun para n=0, si se adopta la conversión de que 0!=1 y de que f (0 )=f
De esta manera se demuestra el teorema que dice que si f tiene una representación en forma de potencia en a, esto es, si
f ' ( x )=∑n=0
x
cn ( x−a )n∨x−a∨¿R
Entonces los coeficientes están expresados por la formula
cn=f n (a )n !
Al sustituir esta formula para cn de nuevo en la serie, se observa que si f tiene un desarrollo de serie de potencias en a, ha de ser de la forma
f ( x )=∑n=0
x f (n ) (a )n!
( x−a )n
¿ f (a )+ f ' (a )1!
(x−a )+ f ' ' (a )2 !
( x−a )2+ f ' ' ' (a )3 !
( x−a )3+…
La serie anterior se llama serie de Taylor de la función f ena. En el caso especial
de que a=0, la serie se convierte en f ( x )=∑n=0
x f (n ) (0 )n!
xn=f (0 )+ f '(0 )1!
x+¿f ' ' (0 )2!
x2+…¿
En este caso se da con tanta frecuencia que amerita un nombre especial. SERIE DE MACLAURIN.
BIBLIOGRAFÍAS
Calculo con Geometría Analítica de Ron Larson y Robert P. Hostetler 8cta edición pagina 594 -595
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/series.htm
Calculo Octava edición, Larson McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A. DE C.V.
Translated from the eight english edition for calculus with analytic geometry by ron larson, Robert, P. Hostetler and Bruce H. Edwards Paginas [593,692]
