INTRODUCCION

EN EL SIGUIENTE TRABAJO SE PRETENDE DESARROLLAR EL CONCEPTO

DE HIPÓTESIS ESTADÍSTICA, DE FORMA TEORICA Y NUMERICA ASÍ COMO

PLANTEAR E IDENTIFICAR TANTO LA HIPÓTESIS DE INVESTIGACIÓN O

ALTERNATIVA COMO LA HIPÓTESIS NULA. ADEMÁS, SE EXPONEN LOS

TIPOS DE ERRORES QUE SE PUEDEN COMETER AL TOMAR UNA DECISIÓN

EN FAVOR DE UNA DE LAS DOS HIPÓTESIS MENCIONADAS. PARA LLEGAR

A ESTO, EL TRABAJO SE INICIA TRATANDO DE RESALTAR LAS

CARACTERISTICAS DE UNA HIPOTESIS Y TRATAR DE COMPRENDER

ALGUNOS TEMAS NUEVOS.

5.-CONTRASTE DE HIPÓTESIS

DENTRO DE LA INFERENCIA ESTADÍSTICA, UN CONTRASTE DE HIPÓTESIS (TAMBIÉN DENOMINADO TEST DE HIPÓTESIS O PRUEBA DE SIGNIFICACIÓN) ES UN PROCEDIMIENTO PARA JUZGAR SI UNA PROPIEDAD QUE SE SUPONE EN UNA POBLACIÓN ESTADÍSTICA ES COMPATIBLE CON LO OBSERVADO EN UNA MUESTRA DE DICHA POBLACIÓN. FUE INICIADA POR RONALD FISHER Y FUNDAMENTADA POSTERIORMENTE POR JERZY NEYMAN Y KARL PEARSON.

MEDIANTE ESTA TEORÍA, SE ABORDA EL PROBLEMA ESTADÍSTICO CONSIDERANDO UNA HIPÓTESIS DETERMINADA   Y UNA HIPÓTESIS ALTERNATIVA  , Y SE INTENTA DIRIMIR CUÁL DE LAS DOS ES LA HIPÓTESIS VERDADERA, TRAS APLICAR EL PROBLEMA ESTADÍSTICO A UN CIERTO NÚMERO DE EXPERIMENTOS.

ESTÁ FUERTEMENTE ASOCIADA AL CONCEPTO ESTADÍSTICO DE POTENCIA Y A LOS CONCEPTOS DE ERRORES DE TIPO I Y II, QUE DEFINEN RESPECTIVAMENTE, LA POSIBILIDAD DE TOMAR UN SUCESO FALSO COMO VERDADERO, O UNO VERDADERO COMO FALSO.

LOS TIPOS MÁS IMPORTANTES SON LOS TEST CENTRADOS, DE HIPÓTESIS Y ALTERNATIVA SIMPLE, ALEATORIZADOS, ETC. DENTRO DE LOS TESTS NO PARAMÉTRICOS, EL MÁS EXTENDIDO ES PROBABLEMENTE ELTEST DE LA U DE MANN-WHITNEY.

INTRODUCCIÓN

SI SOSPECHAMOS QUE UNA MONEDA HA SIDO TRUCADA PARA QUE SE PRODUZCAN MÁS CARAS QUE CRUCES AL LANZARLA AL AIRE, PODRÍAMOS REALIZAR 30 LANZAMIENTOS, TOMANDO NOTA DEL NÚMERO DE CARAS OBTENIDAS. SI OBTENEMOS UN VALOR DEMASIADO ALTO, POR EJEMPLO 25 O MÁS, CONSIDERARÍAMOS QUE EL RESULTADO ES POCO COMPATIBLE CON LA HIPÓTESIS DE QUE LA MONEDA NO ESTÁ TRUCADA, Y CONCLUIRÍAMOS QUE LAS OBSERVACIONES CONTRADICEN DICHA HIPÓTESIS.

LA APLICACIÓN DE CÁLCULOS PROBABILÍSTICOS PERMITE DETERMINAR A PARTIR DE QUÉ VALOR DEBEMOS RECHAZAR LA HIPÓTESIS GARANTIZANDO QUE LA PROBABILIDAD DE COMETER UN ERROR ES UN VALOR CONOCIDO A PRIORI. LAS HIPÓTESIS PUEDEN CLASIFICARSE EN DOS GRUPOS, SEGÚN:

1. ESPECIFIQUEN UN VALOR CONCRETO O UN INTERVALO PARA LOS PARÁMETROS DEL MODELO.

2. DETERMINEN EL TIPO DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD QUE HA GENERADO LOS DATOS.

UN EJEMPLO DEL PRIMER GRUPO ES LA HIPÓTESIS DE QUE LA MEDIA DE UNA VARIABLE ES 10, Y DEL SEGUNDO QUE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ES LA DISTRIBUCIÓN NORMAL.

AUNQUE LA METODOLOGÍA PARA REALIZAR EL CONTRASTE DE HIPÓTESIS ES ANÁLOGA EN AMBOS CASOS, DISTINGUIR AMBOS TIPOS DE HIPÓTESIS ES IMPORTANTE PUESTO QUE MUCHOS PROBLEMAS DE CONTRASTE DE HIPÓTESIS RESPECTO A UN PARÁMETRO SON, EN REALIDAD, PROBLEMAS DE ESTIMACIÓN, QUE TIENEN UNA RESPUESTA COMPLEMENTARIA DANDO UN INTERVALO DE CONFIANZA (O CONJUNTO DE INTERVALOS DE CONFIANZA) PARA DICHO PARÁMETRO. SIN EMBARGO, LAS HIPÓTESIS RESPECTO A LA FORMA DE LA DISTRIBUCIÓN SE SUELEN UTILIZAR PARA VALIDAR UN MODELO ESTADÍSTICO PARA UN FENÓMENO ALEATORIO QUE SE ESTÁ ESTUDIANDO.

PLANTEAMIENTO CLÁSICO DEL CONTRASTE DE HIPÓTESIS

SE DENOMINA HIPÓTESIS NULA   A LA HIPÓTESIS QUE SE DESEA CONTRASTAR. EL NOMBRE DE "NULA" SIGNIFICA “SIN VALOR, EFECTO O CONSECUENCIA”, LO CUAL SUGIERE QUE   DEBE IDENTIFICARSE CON LA HIPÓTESIS DE NO CAMBIO (A PARTIR DE LA OPINIÓN ACTUAL); NO DIFERENCIA, NO MEJORA, ETC.   REPRESENTA LA HIPÓTESIS QUE MANTENDREMOS A NO SER QUE LOS DATOS INDIQUEN SU FALSEDAD, Y PUEDE ENTENDERSE, POR TANTO, EN EL SENTIDO DE “NEUTRA”. LA HIPÓTESIS   NUNCA SE CONSIDERA PROBADA, AUNQUE PUEDE SER RECHAZADA POR LOS DATOS. POR EJEMPLO, LA HIPÓTESIS DE QUE DOS POBLACIONES TIENEN LA MISMA MEDIA PUEDE SER RECHAZADA FÁCILMENTE CUANDO AMBAS DIFIEREN MUCHO, ANALIZANDO MUESTRAS SUFICIENTEMENTE GRANDES DE AMBAS POBLACIONES, PERO NO PUEDE SER "DEMOSTRADA" MEDIANTE MUESTREO, PUESTO QUE SIEMPRE CABE LA POSIBILIDAD DE QUE LAS MEDIAS DIFIERAN EN UNA CANTIDAD   LO SUFICIENTEMENTE PEQUEÑA PARA QUE NO PUEDA SER DETECTADA, AUNQUE LA MUESTRA SEA MUY GRANDE.

PROCEDIMIENTOS DE PRUEBA

UN PROCEDIMIENTO DE PRUEBA ES UNA REGLA CON BASE EN DATOS MUESTRALES, PARA DETERMINAR SI SE RECHAZA  .

EJEMPLO

UNA PRUEBA DE  : P = 0.10 CONTRA  : P < 0.10, PODRÍA ESTAR BASADA EN EL EXAMEN DE UNA MUESTRA ALEATORIA DE N = 200 OBJETOS. REPRESENTAMOS CON X EL NÚMERO DE OBJETOS DEFECTUOSOS DE LA MUESTRA, UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL; X REPRESENTA EL VALOR OBSERVADO DE X. SI   ES VERDADERA, E(X) = NP = 200*(0.10) = 20, MIENTRAS, PODEMOS ESPERAR MENOS DE 20 OBJETOS DEFECTUOSOS SI   ES VERDADERA. UN VALOR DE X LIGERAMENTE DEBAJO DE 20 NO CONTRADICE DE MANERA CONTUNDENTE A   ASÍ QUE ES RAZONABLE RECHAZAR   SOLO SI X ES CONSIDERABLEMENTE MENOR QUE 20. UN PROCEDIMIENTO DE PRUEBA ES RECHAZAR   SI X≤15 Y NO RECHAZAR   DE OTRA FORMA. EN ESTE CASO, LA REGIÓN DE RECHAZO ESTÁ FORMADA POR X = 0, 1, 2, …, Y 15.   NO SERÁ RECHAZADA SI X= 16, 17,…, 199 O 200.

UN PROCEDIMIENTO DE PRUEBA SE ESPECIFICA POR LO SIGUIENTE:

1. UN ESTADÍSTICO DE PRUEBA: UNA FUNCIÓN DE LOS DATOS MUESTRALES EN LOS CUALES SE BASA LA DECISIÓN DE RECHAZAR   O NO RECHAZAR  .

2. UNA REGIÓN DE RECHAZO, EL CONJUNTO DE TODOS LOS VALORES DEL ESTADÍSTICO DE PRUEBA PARA LOS CUALES   SERÁ RECHAZADA.

ENTONCES, LA HIPÓTESIS NULA SERÁ RECHAZADA SI Y SOLO SI EL VALOR OBSERVADO O CALCULADO DEL ESTADÍSTICO DE PRUEBA SE UBICA EN LA REGIÓN DE RECHAZO

EN EL MEJOR DE LOS CASOS PODRÍAN DESARROLLARSE PROCEDIMIENTOS DE PRUEBA PARA LOS CUALES NINGÚN TIPO DE ERROR ES POSIBLE. PERO ESTO PUEDE ALCANZARSE SOLO SI UNA DECISIÓN SE BASA EN UN EXAMEN DE TODA LA POBLACIÓN, LO QUE CASI NUNCA ES PRÁCTICO

ENFOQUE ACTUAL DE LOS CONTRASTES DE HIPÓTESIS

EL ENFOQUE ACTUAL CONSIDERA SIEMPRE UNA HIPÓTESIS ALTERNATIVA A LA HIPÓTESIS NULA. DE MANERA EXPLÍCITA O IMPLÍCITA, LA HIPÓTESIS NULA, A LA QUE SE DENOTA HABITUALMENTE POR  , SE ENFRENTA A OTRA HIPÓTESIS QUE DENOMINAREMOS HIPÓTESIS ALTERNATIVA Y QUE SE DENOTA  . EN LOS CASOS EN LOS QUE NO SE ESPECIFICA   DE MANERA EXPLÍCITA, PODEMOS CONSIDERAR QUE HA QUEDADO DEFINIDA IMPLÍCITAMENTE COMO “  ES FALSA”.

SI POR EJEMPLO DESEAMOS COMPROBAR LA HIPÓTESIS DE QUE DOS DISTRIBUCIONES TIENEN LA MISMA MEDIA, ESTAMOS IMPLÍCITAMENTE CONSIDERANDO COMO HIPÓTESIS ALTERNATIVA “AMBAS POBLACIONES TIENEN DISTINTA MEDIA”. PODEMOS, SIN EMBARGO CONSIDERAR CASOS EN LOS QUE   NO ES LA SIMPLE NEGACIÓN DE  . SUPONGAMOS POR EJEMPLO QUE SOSPECHAMOS QUE EN UN JUEGO DE AZAR CON UN DADO, ESTE ESTÁ TRUCADO PARA OBTENER 6. NUESTRA HIPÓTESIS NULA PODRÍA SER “EL DADO NO ESTÁ TRUCADO” QUE INTENTAREMOS CONTRASTAR, A PARTIR DE UNA MUESTRA DE LANZAMIENTOS REALIZADOS, CONTRA LA HIPÓTESIS ALTERNATIVA “EL DADO HA SIDO TRUCADO A FAVOR DEL 6”. CABRÍA REALIZAR

OTRAS HIPÓTESIS, PERO, A LOS EFECTOS DEL ESTUDIO QUE SE PRETENDE REALIZAR, NO SE CONSIDERAN RELEVANTES.

UN TEST DE HIPÓTESIS SE ENTIENDE, EN EL ENFOQUE MODERNO, COMO UNA FUNCIÓN DE LA MUESTRA, CORRIENTEMENTE BASADA EN UN ESTADÍSTICO.

SUPONGAMOS QUE SE TIENE UNA MUESTRA   DE UNA POBLACIÓN EN ESTUDIO Y QUE SE HAN FORMULADO HIPÓTESIS SOBRE UN PARÁMETRO   RELACIONADO CON LA DISTRIBUCIÓN ESTADÍSTICA DE LA

POBLACIÓN. SUPONGAMOS QUE SE DISPONE DE UN ESTADÍSTICO   CUYA

DISTRIBUCIÓN CON RESPECTO A  ,   SE CONOCE. SUPONGAMOS, TAMBIÉN, QUE LAS HIPÓTESIS NULA Y ALTERNATIVA TIENEN LA FORMULACIÓN SIGUIENTE:

UN CONTRASTE, PRUEBA O TEST PARA DICHAS HIPÓTESIS SERÍA UNA FUNCIÓN DE LA MUESTRA DE LA SIGUIENTE FORMA:

DONDE   SIGNIFICA QUE DEBEMOS RECHAZAR LA HIPÓTESIS

NULA,   (ACEPTAR ) Y  , QUE DEBEMOS ACEPTAR   (O QUE NO HAY EVIDENCIA ESTADÍSTICA CONTRA  ). A   SE LA DENOMINA REGIÓN DE RECHAZO. EN ESENCIA, PARA CONSTRUIR EL TEST DESEADO, BASTA CON

ESCOGER EL ESTADÍSTICO DEL CONTRASTE   Y LA REGIÓN DE RECHAZO.

SE ESCOGE   DE TAL MANERA QUE LA PROBABILIDAD DE QUE T(X) CAIGA EN SU INTERIOR SEA BAJA CUANDO SE DA  .

ERRORES EN EL CONTRASTE

ERRORES DE TIPO I Y DE TIPO II

UNA VEZ REALIZADO EL CONTRASTE DE HIPÓTESIS, SE HABRÁ OPTADO POR UNA DE LAS DOS HIPÓTESIS, H_0\, O H_1\,, Y LA DECISIÓN ESCOGIDA COINCIDIRÁ O NO CON LA QUE EN REALIDAD ES CIERTA. SE PUEDEN DAR LOS CUATRO CASOS QUE SE EXPONEN EN EL SIGUIENTE CUADRO:

SI LA PROBABILIDAD DE COMETER UN ERROR DE TIPO I ESTÁ UNÍVOCAMENTE DETERMINADA, SU VALOR SE SUELE DENOTAR POR LA LETRA GRIEGA Α, Y EN LAS MISMAS CONDICIONES, SE DENOTA POR Β LA PROBABILIDAD DE COMETER EL ERROR DE TIPO II, ESTO ES:

EN ESTE CASO, SE DENOMINA POTENCIA DEL CONTRASTE AL VALOR 1-Β, ESTO ES, A LA PROBABILIDAD DE ESCOGER   CUANDO ÉSTA ES CIERTA

.

CUANDO ES NECESARIO DISEÑAR UN CONTRASTE DE HIPÓTESIS, SERÍA DESEABLE HACERLO DE TAL MANERA QUE LAS PROBABILIDADES DE AMBOS TIPOS DE ERROR FUERAN TAN PEQUEÑAS COMO FUERA POSIBLE. SIN EMBARGO, CON UNA MUESTRA DE TAMAÑO PREFIJADO, DISMINUIR LA PROBABILIDAD DEL ERROR DE TIPO I, Α, CONDUCE A INCREMENTAR LA PROBABILIDAD DEL ERROR DE TIPO II, Β.

USUALMENTE, SE DISEÑAN LOS CONTRASTES DE TAL MANERA QUE LA PROBABILIDAD Α SEA EL 5% (0,05), AUNQUE A VECES SE USAN EL 10% (0,1) O 1% (0,01) PARA ADOPTAR CONDICIONES MÁS RELAJADAS O MÁS ESTRICTAS. EL RECURSO PARA AUMENTAR LA POTENCIA DEL CONTRASTE, ESTO ES, DISMINUIR Β, PROBABILIDAD DE ERROR DE TIPO II, ES AUMENTAR EL TAMAÑO MUESTRAL, LO QUE EN LA PRÁCTICA CONLLEVA UN INCREMENTO DE LOS COSTES DEL ESTUDIO QUE SE QUIERE REALIZAR.

Test estadísticos

Nombre Fórmula Notas

Test-z para una muestra

(Población distribuida normal o n > 30) y σ conocida.

(z es la distancia desde la media en relación con la desviación estándar de la media). Para distribuciones no normales es posible calcular una proporción mínima de una población que cae dentro de k desviaciones estándar para cualquier k.

Test-z para dos muestras

Población normal y observaciones independientes con σ1 y σ2 conocidas

Una muestra t-test

(Población normal o n > 30) y   desconocida

t-test parejado

(Población normal de diferencias o n > 30) y   desconocida o pequeña muestra de tamaño n < 30

Dos muestras combinadas t-test, varianzas

(Poblaciones normales o n1 + n2 > 40) y observaciones independientes y σ1 = σ2desconocido

iguales

1

Dos muestras no combinadas t-test, varianzas desiguales

1

(Poblaciones normales o n1 + n2 > 40) y observaciones independientes y σ1 ≠ σ2 ambas desconocidas

Una proporción z-test

n .p0 > 10 and n (1 − p0) > 10 y es una muestra aleatoria simple, véase distribución binomial.

Dos proporciones z-test, combinadas por 

n1 p1 > 5 y n1(1 − p1) > 5 y n2 p2 > 5 y n2(1 − p2) > 5 y observaciones independientes, véase la aproximación normal de la distribución binomial.

Dos proporciones z-test, descombinadas por 

n1 p1 > 5 y n1(1 − p1) > 5 y n2 p2 > 5 y n2(1 − p2) > 5 y observaciones independientes, véase la aproximación normal de la distribución binomial.

Test de la chi cuadrado para la varianza

Población normal

Test de la chi cuadrado para la bondad de

df = k - 1 - # parámetros estimados, y uno de ellos debe

ajuste tenerse.

Test de la F de Snedecor para dos muestras para la igualdad de varianzas

Poblaciones normales

Cumpla que   y rechace H0 para 

2

Test de la regresión t-test

de 

*Restar 1 por variable dependiente; k es el número de variables independientes.Reject H0 for 

3

5.1 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA MEDIAS

EN VEZ DE ESTIMAR EL VALOR DE UN PARÁMETRO, A VECES SE DEBE DECIDIR SI UNA AFIRMACIÓN RELATIVA A UN PARÁMETRO ES VERDADERA O FALSA. ES DECIR, PROBAR UNA HIPÓTESIS RELATIVA A UN PARÁMETRO. SE REALIZA UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS CUANDO SE DESEA PROBAR UNA AFIRMACIÓN REALIZADA ACERCA DE UN PARÁMETRO O PARÁMETROS DE UNA POBLACIÓN.UNA HIPÓTESIS ES UN ENUNCIADO ACERCA DEL VALOR DE UN PARÁMETRO (MEDIA, PROPORCIÓN, ETC.).

PRUEBA DE HIPÓTESIS ES UN PROCEDIMIENTO BASADO EN EVIDENCIA MUESTRAL (ESTADÍSTICO) Y EN LA TEORÍA DE PROBABILIDAD (DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DEL ESTADÍSTICO) PARA DETERMINAR SI UNA HIPÓTESIS ES RAZONABLE Y NO DEBE RECHAZARSE, O SI ES IRRAZONABLE Y DEBE SER RECHAZADA.LA HIPÓTESIS DE QUE EL PARÁMETRO DE LA POBLACIÓN ES IGUAL A UN VALOR DETERMINADO SE CONOCE COMO HIPÓTESIS NULA. UNA HIPÓTESIS NULA ES SIEMPRE UNA DE STATUS QUO O DE NO DIFERENCIA.

EN TODA PRUEBA DE HIPÓTESIS SE PRESENTAN 3 CASOS DE ZONAS CRÍTICAS O LLAMADAS TAMBIÉN ZONAS DE RECHAZO DE LA HIPÓTESIS NULA, ESTOS CASOS SON LOS SIGUIENTES:

EN TODA PRUEBA DE HIPÓTESIS SE PUEDEN COMETER 2 TIPOS DE ERRORES:

Prueba medias de una muestraSE UTILIZA UNA PRUEBA DE UNA MUESTRA PARA PROBAR UNA AFIRMACIÓN CON RESPECTO A UNA MEDIA DE UNA POBLACIÓN ÚNICA.

NOTA: SE CONSIDERA PRÁCTICO UTILIZAR LA DISTRIBUCIÓN T SOLAMENTE CUANDO SE REQUIERA QUE EL TAMAÑO DE LA MUESTRA SEA MENOR DE 30, YA QUE PARA MUESTRAS MÁS GRANDES LOS VALORES T Y Z SON APROXIMADAMENTE IGUALES, Y ES POSIBLE EMPLEAR LA DISTRIBUCIÓN NORMAL EN LUGAR DE LA DISTRIBUCIÓN T.

5.2 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA VARIANZA

ES FRECUENTE QUE SE DESEE COMPROBAR SI LA VARIACIÓN O DISPERSIÓN DE UNA VARIABLE HA TENIDO ALGUNA MODIFICACIÓN, LO CUAL SE HACE CON LA PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA VARIANZA.

HIPÓTESIS

SE PUEDE PLANTEAR UNO DE LOS SIGUIENTES TRES TIPOS DE HIPÓTESIS:

EN ESTE CASO SE TIENEN DOS SITUACIONES, DEPENDIENDO DE SI SE UTILIZA LA VARIANZA MUESTRAL SIN CORREGIR O CORREGIDA.

• SI SE UTILIZA LA VARIANZA SIN CORREGIR ( ) LA ESTADÍSTICA DE TRABAJO ES LA EXPRESIÓN :

• SI SE UTILIZA LA VARIANZA CORREGIDA, LA ESTADÍSTICA DE TRABAJO ES LA EXPRESIÓN

REGLA DE DECISION

- SI SE HA PLANTEADO LA HIPÓTESIS ALTERNATIVA COMO:

H1 : K SE TIENE UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS A DOS COLAS, POR LO TANTO, EL NIVEL DE SIGNIFICANCIA ( ) SE DIVIDE EN DOS PARTES IGUALES, QUEDANDO ESTOS VALORES EN LOS EXTREMOS DE LA DISTRIBUCIÓN COMO SE APRECIA EN LA FIGURA 3.8

FIGURA 3.8 REGLA DE DECISIÓN PARA UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS A DOS COLAS

Y PERTENECEN A UNA DISTRIBUCIÓN X2 CON (N-1) GRADO DE LIBERTAD. SI EL VALOR DE LA ESTADÍSTICA DE TRABAJO (T) ESTÁ ENTRE Y NO SE RECHAZA LA HIPÓTESIS NULA, EN CASO CONTRARIO SE RECHAZA H0 LO CUAL IMPLICA ACEPTAR H1 . ES DECIR, SI < T < NO SE RECHAZA H0.

- SI SE HA PLANTEADO LA HIPÓTESIS ALTERNATIVA COMO:

H1 : > K, SE TIENE UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS A UNA COLA SUPERIOR, QUEDANDO EL NIVEL DE SIGNIFICANCIA ( ) EN LA PARTE SUPERIOR DE LA DISTRIBUCIÓN, VEASE FIGURA 3.9

FIGURA 3.9 REGLA DE DECISIÓN PARA UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS A UNA COLA SUPERIOR

Z1- PERTENECE A UNA DISTRIBUCIÓN X2 CON (N-1) GRADO DE LIBERTAD. SI EL VALOR DE LA ESTADÍSTICA DE TRABAJO (T) ES MENOR QUE NO SE RECHAZA LA HIPÓTESIS NULA, EN CASO CONTRARIO SE RECHAZA H0 LO CUAL IMPLICA ACEPTAR H1 . ES DECIR, SI T < NO SE RECHAZA H0.

- SI SE HA PLANTEADO LA HIPÓTESIS ALTERNATIVA COMO:

H1 : < K, SE TIENE UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS A UNA COLA INFERIOR, QUEDANDO EL NIVEL DE SIGNIFICANCIA ( ) EN LA PARTE INFERIOR DE LA DISTRIBUCIÓN, VÉASE FIGURA 3.10

FIGURA 3.10 REGLA DE DECISIÓN PARA UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS A UNA COLA INFERIOR

Z PERTENECE A UNA DISTRIBUCIÓN X2 CON (N-1) GRADO DE LIBERTAD. SI EL VALOR DE LA ESTADÍSTICA DE TRABAJO (T) ES MAYOR QUE Z NO SE RECHAZA LA HIPÓTESIS NULA, EN CASO CONTRARIO SE RECHAZA H0 LO CUAL IMPLICA ACEPTAR H1 . ES DECIR, SI T >Z NO SE RECHAZA H0.

EJEMPLO

SE SUPONE QUE LOS DIÁMETROS DE CIERTA MARCA DE VÁLVULAS ESTÁN DISTRIBUÍDOS NORMALMENTE CON UNA VARIANZA POBLACIONAL DE 0,2 PULGADAS 2 , PERO SE CREE QUE ÚLTIMAMENTE HA AUMENTADO. SE TOMA UNA MUESTRA ALEATORIA DE VÁLVULAS A LAS QUE SE LES MIDE SU DIÁMETRO, OBTENIÉNDOSE LOS SIGUIENTES RESULTADOS EN PULGADAS: 5,5 5,4 5,4 5,6 5,8 5,4 5,5 5,4 5,6 5,7

CON ÉSTA INFORMACIÓN PRUEBE SI LO QUE SE CREE ES CIERTO.

SOLUCIÓN

SE CREE QUE LA VARIANZA POBLACIONAL HA AUMENTADO, ES DECIR ES SUPERIOR A 0,2; POR LO TANTO:

H0 : = 0,2

H1 : > 0,2

PARA REALIZAR ESTA PRUEBA DE HIPÓTESIS SE UTILIZA LA EXPRESIÓN 3.6

ASUMIENDO UN NIVEL DE CONFIANZA DEL 95 POR CIENTO, EN LA TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO CON 9 GRADOS DE LIBERTAD, SE OBTIENE UN

VALOR PARA Z DE 16,919. COMO PUEDE OBSERVARSE EN LA FIGURA 3.11, EL VALOR DE LA ESTADÍSTICA DE TRABAJO SE UBICA EN LA ZONA DE NO RECHAZO DE LA HIPÓTESIS NULA, POR CONSIGUIENTE CON UNA CONFIABILIDAD DEL 95 POR CIENTO SE PUEDE AFIRMAR QUE LA VARIANZA POBLACIONAL NO HA AUMENTADO.

FIGURA 3.11 REGLA DE DECISIÓN PARA UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS A UNA COLA SUPERIOR

SI DE DOS POBLACIONES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL SE SELECCIONAN DOS MUESTRAS ALEATORIAS INDEPENDIENTES DE TAMAÑOS N1 Y N2 , SE PUEDE COMPARAR LA HOMOGENEIDAD O VARIABILIDAD DE DICHAS POBLACIONES A TRAVÉS DE UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA EL COCIENTE DE VARIANZAS.

CUANDO SE PLANTEEN LAS HIPÓTESIS DEBE QUEDAR EN EL NUMERADOR LA POBLACIÓN CUYA MUESTRA TENGA MAYOR VARIANZA. ES DECIR QUE LA POBLACIÓN 1 SERÁ LA QUE TENGA MAYOR VARIANZA MUESTRAL.

HIPÓTESIS

SE PUEDE PLANTEAR UNO DE LOS SIGUIENTES TRES TIPOS DE HIPÓTESIS:

- PRUEBA DE HIPÓTESIS A DOS COLAS

H0 : = Ó H0 : / = 1

H1 : Ó H1 : / 1

- PRUEBA DE HIPÓTESIS A UNA COLA SUPERIOR

H0 : = Ó H0 : / 1

H1 : > Ó H1 : / > 1

- PRUEBA DE HIPÓTESIS A UNA COLA INFERIOR

H0 : = Ó H0 : / 1

H1 : < Ó H1 : / < 1

LA ESTADÍSTICA DE TRABAJO ES LA EXPRESIÓN

REGLA DE DECISION

SI SE HA PLANTEADO LA HIPÓTESIS ALTERNATIVA COMO:

H1 : Ó H1 : / 1 SE TIENE UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS A DOS COLAS, POR LO TANTO, EL NIVEL DE SIGNIFICANCIA ( ) SE DIVIDE EN DOS PARTES IGUALES, QUEDANDO ESTOS VALORES EN LOS EXTREMOS DE LA DISTRIBUCIÓN COMO SE APRECIA EN LA FIGURA 3.8

Y PERTENECEN A UNA DISTRIBUCIÓN F CON (N1 -1) GRADO DE LIBERTAD EN EL NUMERADOR Y (N2-1) GRADO DE LIBERTAD EN EL DENOMINADOR. SI EL VALOR DE LA ESTADÍSTICA DE TRABAJO (T) ESTÁ ENTRE Y NO SE RECHAZA LA HIPÓTESIS NULA, EN CASO CONTRARIO SE RECHAZA H0 LO CUAL IMPLICA ACEPTAR H1 . ES DECIR, SI < T < NO SE RECHAZA H0 .

- SI SE HA PLANTEADO LA HIPÓTESIS ALTERNATIVA COMO:

H1 : > Ó H1 : / > 1 , SE TIENE UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS A UNA COLA SUPERIOR, QUEDANDO EL NIVEL DE SIGNIFICANCIA ( ) EN LA PARTE SUPERIOR DE LA DISTRIBUCIÓN, COMO SE APRECIA EN LA FIGURA 3.9

Z 1- A PERTENECE A UNA DISTRIBUCIÓN F CON (N 1 -1) GRADO DE LIBERTAD EN EL NUMERADOR Y (N 2 -1) GRADO DE LIBERTAD EN EL DENOMINADOR. SI EL VALOR DE LA ESTADÍSTICA DE TRABAJO (T) ES MENOR QUE Z 1- A NO SE RECHAZA LA HIPÓTESIS NULA, EN CASO CONTRARIO SE RECHAZA H O LO CUAL IMPLICA ACEPTAR H 1 . ES DECIR, SI T < Z 1- A NO SE RECHAZA H O.

- SI SE HA PLANTEADO LA HIPÓTESIS ALTERNATIVA COMO:

H1 : < Ó H1 : / < 1 , SE TIENE UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS A UNA COLA INFERIOR, QUEDANDO EL NIVEL DE SIGNIFICANCIA ( ) EN LA PARTE INFERIOR DE LA DISTRIBUCIÓN, COMO SE APRECIA EN LA FIGURA 3.10

Z A PERTENECE A UNA DISTRIBUCIÓN F CON (N1 -1) GRADO DE LIBERTAD EN EL NUMERADOR Y (N2 -1) GRADO DE LIBERTAD EN EL DENOMINADOR. SI EL VALOR DE LA ESTADÍSTICA DE TRABAJO (T) ES MAYOR QUE Z A NO SE RECHAZA LA HIPÓTESIS NULA, EN CASO CONTRARIO SE RECHAZA H O LO CUAL IMPLICA ACEPTAR H 1 . ES DECIR, SI T > Z A NO SE RECHAZA H0.

EJEMPLO

DOS FUENTES DE MATERIAS PRIMAS ESTÁN SIENDO CONSIDERADAS. AMBAS FUENTES PARECEN TENER CARACTERÍSTICAS SIMILARES, PERO NO SE ESTÁ SEGURO DE SU HOMOGENEIDAD. UNA MUESTRA DE 10 GRUPOS DE LA FUENTE A PRODUCE UNA VARIANZA DE 250 Y UNA MUESTRA DE 11 GRUPOS DE LA FUENTE B PRODUCE UNA VARIANZA DE 195. CON BASE EN ÉSTA INFORMACIÓN SE PUEDE CONCLUIR QUE LA VARIANZA DE LA FUENTE A ES SIGNIFICATIVAMENTE MAYOR QUE LA DE LA FUENTE B?. ASUMA UN NIVEL DE CONFIANZA DEL 99 POR CIENTO.

SOLUCIÓN

H 0 : A = B

H1 : A > B

CON UN NIVEL DE CONFIANZA DEL 99 POR CIENTO, EN LA TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN F CON 9 GRADOS DE LIBERTAD EN EL NUMERADOR Y 10 GRADOS DE LIBERTAD EN EL DENOMINADOR, SE OBTIENE UN VALOR PARA Z DE 4,94. COMO PUEDE OBSERVARSE EN LA FIGURA 3.12, EL VALOR DE LA ESTADÍSTICA DE TRABAJO ESTÁ EN LA ZONA DE NO RECHAZO DE LA HIPÓTESIS NULA, POR LO TANTO, CON UNA CONFIABILIDAD DEL 99 POR CIENTO, NO SE PUEDE RECHAZAR QUE LA VARIABILIDAD DE LAS DOS FUENTES DE MATERIA PRIMA ES IGUAL.

EJEMPLO

UN FABRICANTE AFIRMA QUE POR LO MENOS EL 90 POR CIENTO DE LAS PIEZAS DE UNA MAQUINARIA QUE SUMINISTRA A UNA FÁBRICA GUARDAN LAS FORMAS ESPECIFICADAS. UN EXÁMEN DE 200 DE ESAS PIEZAS REVELÓ QUE 160 DE ELLAS NO ERAN DEFECTUOSAS. PRUEBE SI LO QUE AFIRMA EL FABRICANTE ES CIERTO.

SOLUCIÓN

H0 : 0,9

H1 : < 0,9

PARA REALIZAR UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA PROPORCIÓN SE UTILIZA LA EXPRESIÓN 3.5

ASUMIENDO UNA CONFIABILIDAD DEL 95 POR CIENTO, EL VALOR CORRESPONDIENTE A Z EN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ES -1,64

COMO PUEDE OBSERVARSE EN LA FIGURA 3.7, EL VALOR DE LA ESTADÍSTICA DE TRABAJO SE ENCUENTRA EN LA ZONA DE RECHAZO DE LA HIPÓTESIS NULA, POR CONSIGUIENTE, CON UNA CONFIABILIDAD DEL 95 POR CIENTO SE CONCLUYE QUE LA AFIRMACIÓN DEL FABRICANTE NO ES CIERTA.

5.3 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA PROPORCIONES

LAS PRUEBAS DE PROPORCIONES SON ADECUADAS CUANDO LOS DATOS QUE SE ESTÁN ANALIZANDO CONSTAN DE CUENTAS O FRECUENCIAS DE ELEMENTOS DE DOS O MÁS CLASES. EL OBJETIVO DE ESTAS PRUEBAS ES EVALUAR LAS AFIRMACIONES CON RESPECTO A UNA PROPORCIÓN (O PORCENTAJE) DE POBLACIÓN. LAS PRUEBAS SE BASAN EN LA PREMISA DE QUE UNA PROPORCIÓN MUESTRAL (ES DECIR, X OCURRENCIAS EN N OBSERVACIONES, O X/N) SERÁ IGUAL A LA PROPORCIÓN VERDADERA DE LA POBLACIÓN SI SE TOMAN MÁRGENES O TOLERANCIAS PARA LA VARIABILIDAD MUESTRAL. LAS PRUEBAS SUELEN ENFOCARSE EN LA DIFERENCIA ENTRE UN NÚMERO ESPERADO DE OCURRENCIAS, SUPONIENDO QUE UNA AFIRMACIÓN ES VERDADERA, Y EL NÚMERO OBSERVADO REALMENTE. LA DIFERENCIA SE COMPARA CON LA VARIABILIDAD PRESCRITA MEDIANTE UNA DISTRIBUCIÓN DE MUESTREO QUE TIENE COMO BASE EL SUPUESTO DE

QUE   ES REALMENTE VERDADERA.EN MUCHOS ASPECTOS, LAS PRUEBAS DE PROPORCIONES SE PARECEN A LAS PRUEBAS DE MEDIAS, EXCEPTO QUE, EN EL CASO DE LAS PRIMERAS, LOS DATOS MUESTRALES SE CONSIDERAN COMO CUENTAS EN LUGAR DE COMO MEDICIONES. POR EJEMPLO, LAS PRUEBAS PARA MEDIAS Y PROPORCIONES SE PUEDEN UTILIZAR PARA EVALUAR AFIRMACIONES CON RESPECTO A:1) UN PARÁMETRO DE POBLACIÓN ÚNICO (PRUEBA DE UNA MUESTRA)2) LA IGUALDAD DE PARÁMETROS DE DOS POBLACIONES (PRUEBA DE DOS MUESTRAS), Y3) LA IGUALDAD DE PARÁMETROS DE MÁS DE DOS POBLACIONES (PRUEBA DE K MUESTRAS). ADEMÁS, PARA TAMAÑOS GRANDES DE MUESTRAS, LA DISTRIBUCIÓN DE MUESTREO ADECUADA PARA PRUEBAS DE PROPORCIONES DE UNA Y DOS MUESTRAS ES APROXIMADAMENTE NORMAL, JUSTO COMO SUCEDE EN EL CASO DE PRUEBAS DE MEDIAS DE UNA Y DOS MUESTRAS.PRUEBA DE PROPORCIONES DE UNA MUESTRACUANDO EL OBJETIVO DEL MUESTREO ES EVALUAR LA VALIDEZ DE UNA AFIRMACIÓN CON RESPECTO A LA PROPORCIÓN DE UNA POBLACIÓN, ES ADECUADO UTILIZAR UNA PRUEBA DE UNA MUESTRA. LA METODOLOGÍA DE PRUEBA DEPENDE DE SI EL NÚMERO DE OBSERVACIONES DE LA MUESTRA ES GRANDE O PEQUEÑO.COMO SE HABRÁ OBSERVADO ANTERIORMENTE, LAS PRUEBAS DE GRANDES MUESTRAS DE MEDIAS Y PROPORCIONES SON BASTANTE SEMEJANTES. DE ESTE MODO, LOS VALORES ESTADÍSTICOS DE PRUEBA MIDEN LA DESVIACIÓN DE UN VALOR ESTADÍSTICO DE MUESTRA A PARTIR DE UN VALOR PROPUESTO. Y AMBAS PRUEBAS SE BASAN EN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR PARA VALORES CRÍTICOS. QUIZÁ LA ÚNICA DIFERENCIA REAL ENTRE LAS AMBAS RADICA EN LA FORMA CORNO SE OBTIENE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE LA DISTRIBUCIÓN DE MUESTREO.ESTA PRUEBA COMPRENDE EL CÁLCULO DEL VALOR ESTADÍSTICO DE PRUEBA Z

POSTERIORMENTE ESTE VALOR ES COMPARADO CON EL VALOR DE Z, OBTENIDO A PARTIR DE UNA TABLA NORMAL A UN NIVEL DE SIGNIFICACIÓN SELECCIONADO.COMO OCURRIÓ CON LA PRUEBA DE MEDIAS DE UNA MUESTRA, LAS PRUEBAS DE PROPORCIONES PUEDEN SER DE UNA O DOS COLAS.

LA PRIMERA ALTERNATIVA ESTABLECE UNA PRUEBA DE COLA DERECHA, LA SEGUNDA, IZQUIERDA Y LA TERCERA, UNA PRUEBA DE DOS COLAS.

PRUEBA DE PROPORCIONES DE DOS MUESTRAS

EL OBJETIVO DE UNA PRUEBA DE DOS MUESTRAS ES DETERMINAR SI LAS DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES FUERON TOMADAS DE DOS POBLACIONES, LAS CUALES PRESENTAN LA MISMA PROPORCIÓN DE ELEMENTOS CON DETERMINADA CARACTERÍSTICA. LA PRUEBA SE CONCENTRA EN LA DIFERENCIA RELATIVA (DIFERENCIA DIVIDIDA ENTRE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE LA DISTRIBUCIÓN DE MUESTREO) ENTRE LAS DOS PROPORCIONES MUESTRALES. DIFERENCIAS PEQUEÑAS DENOTAN ÚNICAMENTE LA VARIACIÓN CASUAL PRODUCTO DEL MUESTREO (SE ACEPTA H0), EN TANTO QUE GRANDES DIFERENCIAS SIGNIFICAN LO CONTRARIO (SE RECHAZA H0). EL VALOR ESTADÍSTICO DE PRUEBA (DIFERENCIA RELATIVA) ES COMPARADO CON UN VALOR TABULAR DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL, A FIN DE DECIDIR SI H0 ES ACEPTADA O RECHAZADA. UNA VEZ MÁS, ESTA PRUEBA SE ASEMEJA CONSIDERABLEMENTE A LA PRUEBA DE MEDIAS DE DOS MUESTRAS.LA HIPÓTESIS NULA EN UNA PRUEBA DE DOS MUESTRAS ES

PRUEBA DE PROPORCIONES DE K MUESTRAS

LA FINALIDAD DE UNA PRUEBA DE K MUESTRAS ES EVALUAR LA ASEVERACIÓN QUE ESTABLECE QUE TODAS LAS K MUESTRAS INDEPENDIENTES PROVIENEN DE POBLACIONES QUE PRESENTAN LA MISMA PROPORCIÓN DE ALGÚN ELEMENTO. DE ACUERDO CON ESTO, LAS HIPÓTESIS NULA Y ALTERNATIVA SON

EN UNA MUESTRA SE PUEDE DAR UN CONJUNTO DE SUCESOS, LOS CUALES OCURREN CON FRECUENCIAS OBSERVADAS "O"(LAS QUE SE OBSERVA DIRECTAMENTE) Y FRECUENCIAS ESPERADAS O TEÓRICAS "E" (LAS QUE SE CALCULAN DE ACUERDO A LAS LEYES DE PROBABILIDAD).

POR LO TANTO EL VALOR ESTADÍSTICO DE PRUEBA PARA ESTE CASO ES LA PRUEBA JI CUADRADO O CONOCIDA TAMBIÉN COMO CHI CUADRADOCOMO SUCEDE CON LAS DISTRIBUCIONES T Y F, LA DISTRIBUCIÓN JI CUADRADO TIENE UNA FORMA QUE DEPENDE DEL NÚMERO DE GRADOS DE LIBERTAD ASOCIADOS A UN DETERMINADO PROBLEMA.PARA OBTENER UN VALOR CRÍTICO (VALOR QUE DEJA UN DETERMINADO PORCENTAJE DE ÁREA EN LA COLA) A PARTIR DE UNA TABLA DE JI CUADRADO, SE DEBE SELECCIONAR UN NIVEL DE SIGNIFICACIÓN Y DETERMINAR LOS GRADOS DE LIBERTAD PARA EL PROBLEMA QUE SE ESTÉ RESOLVIENDO.

5.4 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LAS DIFERENCIAS

PARA DIFERENCIA DE MEDIAS.

SI LO QUE SE DESEA ES COMPARAR EL COMPORTAMIENTO PROMEDIO DE UNA MISMA CARACTERÍSTICA EN DOS POBLACIONES DIFERENTES, CUANDO LOS TAMAÑOS DE MUESTRA SON PEQUEÑOS, NO PODEMOS USAR EL TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE PARA CONSTRUIR UN ESTADÍSTICO DE PRUEBA ADECUADO.

LA DEMOSTRACIÓN DE ESTE HECHO ES UN POCO MÁS ELABORADA Y POR ESO NO SE PRESENTARÁ AQUÍ. LAS HIPÓTESIS A PROBAR SON ENTONCES: PARA PROBAR SI LAS VARIANZAS DE AMBAS MUESTRAS SON IGUALES O DIFERENTES, AUNQUE SEAN DESCONOCIDAS, PODEMOS USAR UN INTERVALO DE CONFIANZA AL 1001−% PARA EL COCIENTE DE LAS VARIANZAS POBLACIONALES, ES DECIR PARASI DICHO INTERVALO CONTIENE EL NÚMERO 1, PODEMOS AFIRMAR QUE POSIBLEMENTE LAS VARIANZAS SEAN IGUALES. SI NO CONTIENE EL NÚMERO 1, PODEMOS ASUMIR QUE LAS VARIANZAS SON DIFERENTES. UN INTERVALO DE CONFIANZA AL 1001−%

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES

ALGUNAS VECES ESTAMOS INTERESADOS EN ANALIZAR LA DIFERENCIA ENTRE LAS PROPORCIONES DE POBLACIONES DE GRUPOS CON DISTINTAS CARACTERÍSTICAS. POR EJEMPLO, PENSEMOS QUE LA ADMINISTRACIÓN DE LAS TIENDAS OXXO CREE, SOBRE LA BASE DE UNA INVESTIGACIÓN, QUE EL PORCENTAJE DE HOMBRES QUE VISITAN SUS TIENDAS 9 O MÁS VECES AL MES (CLIENTES FRECUENTES) ES MAYOR QUE EL PORCENTAJE DE MUJERES QUE HACEN LO MISMO. LAS ESPECIFICACIONES REQUERIDAS Y EL PROCEDIMIENTO PARA PROBAR ESTA HIPÓTESIS ES LA SIGUIENTE:

SPSS NO CUENTA CON PROCEDIMIENTOS PARA HACER PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE PROPORCIONES. PROBEMOS SI EL PORCENTAJE DE HOMBRES DUEÑOS DE MICROEMPRESAS ES ESTADÍSTICAMENTE DIFERENTE DEL PORCENTAJE DE MUJERES.

LA HIPÓTESIS NULA ES RECHAZADA PORQUE EL VALOR DE LA Z CALCULADA ES MAYOR QUE EL VALOR CRÍTICO Z. PODEMOS CONCLUIR QUE EL PORCENTAJE DE HOMBRES DUEÑOS DE MICROEMPRESAS ES ESTADÍSTICAMENTE SUPERIOR AL PORCENTAJE DE MUJERES PROPIETARIAS DE MICROEMPRESAS.

CONCLUSIÓNEN ESTA UNIDAD COMPRENDIMOS EL USO DE LA HIPOTESIS EN LA

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA APLICADA AL CAMPO PETROLERO, ESTO

IBA RELACIONADO CON TEMAS QUE YA SABIAMOS COMO LA MEDIA, LA

VARIANZA, LAS DIFERENCIAS Y LAS PROPORCIONES, SABIENDO QUE

ESTAS HIPOTESIS SON LA SUPOSICIONDE UN HECHO QUE AUN NO HA

PODIDO SER PROBADO EL CUAL NOSOTROS ESTAREMOS PROBANDO

ATRVEZ DE LA ESTADISTICA, (VERDAD PROFE ARTURO), TAMBIEN SE

APLICARON TEMAS QUE YA DOMINABAMOS BIEN Y UNAS ECUACIONES.

HTTPS://ES.WIKIPEDIA.ORG/WIKI/CONTRASTE_DE_HIP%C3%B3TESIS

HTTP://WWW.MONOGRAFIAS.COM/TRABAJOS91/PRUEBA-HIPOTESIS-MEDIAS-EXCEL-Y-WINSTATS/PRUEBA-HIPOTESIS-MEDIAS-EXCEL-Y-WINSTATS.SHTML

ES.SLIDESHARE.NET/HEDOER/PRUEBA-DE-HIPOTESIS-DE-LA-VARIANZA

HTTP://WWW.MONOGRAFIAS.COM/TRABAJOS91/PRUEBA-HIPOTESIS-PROPORCIONES-Z-Y-JI-CUADRADO-EMPLEANDO-EXCEL-Y-WINSTATS/PRUEBA-HIPOTESIS-PROPORCIONES-Z-Y-JI-CUADRADO-EMPLEANDO-EXCEL-Y-WINSTATS.SHTML