Verwendung diskreter, kohäsiver Risse zur Berechnung von Beton unter hochdynamischer Belastung

750 © 2007 Ernst & Sohn Verlag für Architektur und technische Wissenschaften GmbH & Co. KG, Berlin · Beton- und Stahlbetonbau 102 (2007), Heft 11

Fachthemen

DOI: 10.1002/best.200700579

Die Berechnung von hochdynamisch beanspruchten Bauteilenstellt hohe Anforderungen an die verwendeten Methoden undStoffgesetze. Neben dem nichtlinearen Verhalten des Betonsdurch das Risswachstum ist die bei hohen Belastungsgeschwin-digkeiten erhöhte Festigkeit zu berücksichtigen. Zusätzlich ist dasVerhalten der Mikroporen unter einer hydrostatischen Beanspru-chung einzubeziehen. Die Art der Entlastung von stark hydrosta-tisch beanspruchtem Beton entscheidet über die Höhe der Ener-giedissipation.

In dieser Arbeit wird das elementfreie Galerkin-Verfahrenverwendet, um in Kombination mit einem kohäsiven Rissansatzdie Rissentwicklung im Beton darzustellen. Das Verhalten derMikroporen wird über eine Volumenfunktion implementiert, derenEntlastungsfunktion ebenfalls vorgestellt wird. Das Simulations-modell wird an verschiedenen statischen und dynamischen Ver-suchen validiert. Die Berechnung eines mit einer Kontaktdeto-nation beaufschlagten Betonkörpers zeigt ein Rissbild, das dasexperimentell bestimmte gut abbildet.

Discrete Cohesive Cracks for the Calculation of Concrete underHighly Dynamical LoadingThe calculation of highly dynamical loaded concrete poses a highchallenge to the used methods and materials. The nonlinear be-haviour of concrete due to crack development has to be consid-ered. Furthermore, the high strain rate results in an increasedstrength. Last but not least the behaviour of the micro pores un-der a hydrostatic loading has to be taken into account. The un-loading of the hydrostatic loaded concrete determines the shapeof the dissipation energy.

Within this work the element-free Galerkin method (EFG) isused to model discrete cracks. The development of cracks inconcrete can be described using a combination of discretecracks with a cohesive crack method. The behaviour of the micropores is implemented with a volume function. The simulationmodel is validated by different static and dynamic experiments.The calculation of a concrete specimen loaded by contact deto-nation shows a crack pattern that represents the experimentalresult.

1 Einleitung

Bei sicherheitsrelevanten Bauwerken müssen zunehmenddynamische Belastungen berücksichtigt werden. NebenErdbebenlasten und dem Anprall von Fahrzeugen tretenvermehrt hochdynamische Beanspruchungen in den

Blickpunkt, die unplanmäßige (terroristische Anschläge)oder planmäßige (Sprengabbruch) Ursachen haben kön-nen. Hochdynamische Belastungen sind geprägt durch ei-ne hohe Belastungsgeschwindigkeit (Dehnraten bis 106

sec–1) verbunden mit hohem Druck. Ziel dieser Arbeit istes, ein Simulationsmodell zu entwickeln, mit dem das Ver-sagen von hochdynamisch beanspruchtem Beton berech-net werden kann.

2 Stand der Forschung

Beton verhält sich sowohl bei statischer als auch dynami-scher Belastung wegen der Entstehung von Rissen starknichtlinear. Risse können im Beton über die Verminde-rung der Steifigkeit abgebildet werden (verschmierte Risse,Schädigungsansatz). Alternativ können die Risse als dis-krete Risse in einem Modell verwendet werden.

Die diskreten Rissansätze modellieren die durch ei-nen Riss entstehende Diskontinuität. Bei der Verwendungvon Standardelementen der Finiten-Elemente-Methode(FEM) muss entweder die Rissgeometrie bei der Vernet-zung berücksichtigt werden oder es kommen zumeist auf-wändige Adaptionsverfahren zum Einsatz.

Alternativ bietet sich das elementfreien Galerkin-Ver-fahren (EFG) zur Beschreibung der Risse an, bei dem zurErstellung der Steifigkeitsmatrix die Knotenabstände zuei-nander verwendet werden, so dass die Ansatzfunktionenam Riss abgetrennt werden können. Werden zur Berech-nung von Beton diskrete Risse verwendet, kann das nicht-lineare Verhalten der Rissentstehung über eine Bruch-prozesszone eingeführt werden.

Simulationen von stoßwellenbeanspruchten Beton-strukturen werden zumeist mit kontinuumsmechanischenSchädigungsansätzen berechnet. In der Arbeit solluntersucht werden, ob ein diskretes Rissmodell auch für stoßwellenbeanspruchten Beton verwendet werdenkann.

3 Elementfreies Galerkin-Verfahren

In dem hier vorgestellten Simulationsmodell wird für dieDarstellung von diskreten Rissen das elementfreie Galer-kin-Verfahren (EFG) verwendet. Im Gegensatz zur Fini-ten-Elemente-Methode (FEM) werden die durch die Ele-mente repräsentierten Kopplungen zwischen den Knotenüber den Abstand der einzelnen Knoten zueinander festge-legt.

Verwendung diskreter, kohäsiver Rissezur Berechnung von Beton unterhochdynamischer Belastung

Martin Larcher

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M. Larcher · Verwendung diskreter, kohäsiver Risse zur Berechnung von Beton unter hochdynamischer Belastung

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3.1 Interpolation

Beim EFG-Verfahren wird eine Moving-Least-Square-In-terpolation (MLS-Interpolation) verwendet, deren Ansatzgegeben ist durch

uh (x) = pT · a (1)

mit einer zunächst freien Funktion a

a = (a1 a2 … am)T (2)

und den Basisfunktionen p

p = (p1(x) p2(x) … pm(x))T (3)

für die z. B. das zweidimensionale lineare Monomial p = (1 x y)T verwendet werden kann.

Die Funktion a wird durch die MLS-Interpolation sobestimmt, dass der mit der Wichtungsfunktion wi gewich-tete Interpolationsfehler

(4)

möglichst klein ist. Als Wichtungsfunktion wird hier eine Spline-Funk-

tion verwendet. Diese hängt von einem mit einem Ein-flussradius hrad normierten Abstand der Knoten ab. Durchdie geschickte Verwendung der Wichtungsfunktionen –wie z. B. von Häußler-Combe [1] gezeigt – können für je-den Knoten i Formfunktionen ϕi bestimmt werden, unterderen Verwendung die Interpolation geschrieben werdenkann als

(5)

Die bei der FEM verwendeten Ansatzfunktionen werdenfolglich durch die Formfunktionen ϕi ersetzt. Die Diskre-tisierung findet analog zur FEM statt.

Die Integration über das Problemgebiet findet hiermit einer Hintergrundintegration statt, da bei der Verwen-dung von einer Punktintegration gerade in Kombinationmit der expliziten Zeitintegration Hourglass-Effekte nichtauszuschließen sind. Bei Verwendung der expliziten Zeit-integration liegen die Rechenzeiten nur unwesentlich hö-her als die der FEM.

3.2 MLS-Interpolation und Risse

Durch die Modifikation der Wichtungsfunktion wi kön-nen beim EFG-Verfahren auch diskrete Risse berück-sichtigt werden. Die Fläche um den betrachteten Knotenherum wird in zwei Teilgebiete aufgeteilt: Teilgebiet Adiesseits des Risses und Teilgebiet B jenseits des Risses(Bild 1). Die Wichtungsfunktion und damit auch dieFormfunktion wird im Teilgebiet B zu Null gesetzt. DasTeilgebiet B hat damit keinen Einfluss auf den betrachte-ten Knoten.

u ) = ·hi

i=1

n

i( ( )xx xx uuϕ∑

J ) = w · (u – ( ) · )i ii=1

n

i iT 2( ( )aa,, xx xx pp xx aa∑

4 Beton

Neben einer Methode zur Berechnung des zu untersu-chenden Kontinuums ist eine numerische Beschreibung

Bild 1. EFG-Verfahren und Risse – Teilgebiete A und BFig. 1. EFG method and cracks – subarea A and B

Bild 2. Zugversagen von Beton – Versuchsergebnisse,ModellvorstellungFig. 2. Tensile failure of concrete – Experimental results,modelling

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des verwendeten Materials erforderlich. Das Verhaltenvon Beton kann in verschiedenen Skalen betrachtet wer-den. Die Inhomogenität der Mesoebene (Größenordnungder durch Augenschein unterscheidbaren Bestandteile) istwesentlich für das Verständnis des Versagens von Beton.

4.1 Bruchprozesszone

Die Vorgänge der Rissbildung von Beton lassen sich gutan einem Zugversuch darstellen (Bild 2a). Schon bei derHerstellung des Betons entstehen in der Mörtelphase Mi-krorisse. Bereits bei 60% der Zugfestigkeit kommt es imBeton zur ausgeprägten Bildung von Mikrorissen senk-recht zur Belastungsrichtung (A). Wird der Beton belastet,entstehen weitere Mikrorisse, deren Richtung noch starkstreuen kann. Die Steifigkeit des Querschnitts verringertsich. Beim Erreichen der Zugfestigkeit (B) sind diese Mi-krorisse in weiten Teilen verbunden. Die Zugkräfte senk-recht zu den Mikrorissen werden durch einzelne Zu-schlagskomponenten übertragen. Beim Überschreiten derZugfestigkeit (C) kommt es zur Ausbildung eines Makro-risses, der aber noch durch die Verzahnung der RissuferZugspannungen übertragen kann (Softening). Die Span-nungs-Verformungskurve wird i. A. in zwei Bereicheaufgeteilt. Der Bereich des Spannungsanstiegs bis zumPunkt (B) und der Bereich des Softening nach dem Punkt(B).

In dem hier vorgestellten Simulationsmodell werdendiskrete Risse verwendet. Diese besitzen allerdings keinSoftening (Bild 2 b). Die diskreten Risse werden deswegenmit einem kohäsiven Rissansatz kombiniert (Bild 2 c). DieSpannungen, die nach Überschreitung der Grenzspan-nung noch vorhanden sind (crack closure stress – Riss-schließspannungen), werden als externe Kräfte an denKnoten eingeführt (Bild 3). Es zeigt sich, dass ein bilinea-rer Verlauf der Rissschließspannungen die Versuchsergeb-nisse gut abbildet.

4.2 Rissfortschritt

Neben der Bruchprozesszone ist ein Verfahren notwen-dig, mit dem der Rissfortschritt der diskreten Risse be-stimmt werden kann. Dabei sind folgende Schritte erfor-derlich:– Entscheidung, ob der Riss fortschreitet: Grundlage für

die Entscheidung bildet eine Versagensfläche. Für einereine Zugbeanspruchung bietet sich ein Rankine-Krite-rium an. Dieses zeigt aber gerade bei einer mehraxialenDruckbeanspruchung keine gute Übereinstimmung mitden Eigenschaften von Beton. Es wird deswegen bei denUntersuchungen die Versagensfläche von Hsieh, Ting,Chen verwendet.

– Bestimmung der Risslänge, mit der der Riss fortschreitet:Es wird hier von einer konstanten Rissfortschrittslängeausgegangen. Die Untersuchungen an einem 3-Punkt-Biegeversuch im Abschn. 5.1 zeigen bei ausreichendkleinen Zeitschritten eine unbedeutende Abhängigkeitdes Ergebnisses von der gewählten Rissfortschrittslänge(siehe Abschn. 5.1 Bild 8).

– Bestimmung der Rissrichtung: Dafür wird die Haupt-spannungsrichtung verwendet.

Um entscheiden zu können, ob ein Riss fortschreitet, wer-den die Spannungen an der Rissspitze als Kriterium ver-wendet, die über eine MLS-Interpolation als nichtlokalerAnsatz bestimmbar sind.

4.3 Weitere Anmerkungen zu den Rissen

Um einen sich wieder schließenden Riss abbilden zu kön-nen, ist eine Kontaktbedingung im Riss erforderlich. Beieinem Kontakt im Riss werden die Wichtungsfunktionennicht mehr abgeschnitten. Eine vollständige Kraftübertra-gung kann wieder stattfinden. Zusätzlich sind Kriterienfür ein Zusammenwachsen von zu nahen Rissen definiertworden, auf die hier nicht weiter eingegangen werden soll.

Einige Rissgeometrien sollten der Lösbarkeit mit demEFG-Verfahren wegen ausgeschlossen bzw. vermiedenwerden. Dies betrifft insbesondere Risse nahe am Rand,Risse parallel zum Rand, parallele Risse mit zu geringemgegenseitigem Abstand und einzelne ausgeschnitteneKnoten. Die Knoten spannen in solchen Fällen nur nocheine oder keine unabhängige Richtung auf, so dass dieMLS-Interpolation zu keiner Lösung führt. Um dies zuvermeiden, werden bei der Entstehung der Risse verschie-dene Kontrollen durchgeführt.

4.4 Dehnrateneffekt

Belastet man Beton mit zunehmenden Dehnraten, so zeigtsich eine Steigerung sowohl der Druck- als auch der Zug-festigkeit. Bischoff stellt in [2] die Festigkeitssteigerungbei Zunahme der Dehnrate unter Zuhilfenahme von Ver-suchsergebnissen verschiedener Autoren zusammen(Bild 4). Die Erhöhung der Festigkeit unter einer erhöhtenDehnrate hat verschiedene Ursachen: – Die Festigkeitssteigerung bei niedrigeren Dehnge-

schwindigkeiten basiert auf der Massenträgheit. Ein Risskann erst geöffnet werden, wenn eine aktivierende Mas-se beschleunigt wurde.

Bild 3. BruchprozesszoneFig. 3. Fracture process zone

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– Die in den Kapillarporen vorliegende Feuchte führtebenfalls zu einer Verzögerung des Mikrorisswachs-tums. Unter einer Druckbeanspruchung hat das freieWasser eine stützende Wirkung. In einer auf Zug bean-spruchten wassergefüllten Pore herrschen dagegen Ka-pilarkräfte, die der Verformung der Mikroporen und da-mit der Entstehung eines Risses entgegen wirken.

– Eine weitere Ursache für die Zunahme der Festigkeit beihöheren Dehnraten ist die Homogenisierung der Mikro-struktur. Unter einer quasistatischen Last stellen sich anden Rändern der Zuschlagskörner Spannungsspitzenein, die zu einem lokalen Versagen des Querschnittsführen können. Wird die Belastung aber in der Größen-ordnung der Wellengeschwindigkeit aufgebracht, sostellt sich analog zu einer Diskontinuität auf Makro-ebene eine gleichmäßigere Spannungsverteilung ein, diees dem Querschnitt erlaubt, höhere Belastungen zu er-tragen.

Im CEB-Bulletin 187 [3] werden die bis dahin veröffent-lichten Versuchsdaten benutzt, um eine bilineare Funk-tion zu entwickeln, mit der die Festigkeitssteigerungbeschrieben werden kann. Diese Funktion bildet die Ver-suchsergebnisse gut ab. Extrapoliert man die Festigkeits-steigerungen auf den bei hochdynamischen Untersuchun-gen auftretenden Bereich von bis zu 106 sec–1, so erhältman physikalisch unsinnige Steigerungen. Die Festigkeits-steigerung wird deswegen hypotetisch auf die maximal beiVersuchen gemessenen Werte beschränkt. Sie wird übereine Aufweitung der Versagensfläche berücksichtigt undhat damit einen Einfluss auf die Bestimmung der Riss-initierung und beim Rissfortschritt.

4.5 Verhalten der Mikroporen unter hydrostatischerBelastung

Beton unter hydrostatischen Beanspruchungen ist geprägtvom Verhalten der Mikroporen. Bei kleinen hydrostati-

schen Beanspruchungen ist eine lineare Zunahme desDrucks zu beobachten. Die sich daraus ergebenden Wel-len im Beton sind linear-elastisch und breiten sich mit derlinearen Wellengeschwindigkeit aus. Bei zunehmender hy-drostatischer Belastung werden die Mikroporen zerstört.Dies führt zu einer geringeren Steifigkeit in diesem Belas-tungsbereich. Die Wellen, die aus diesem Belastungs-bereich entstehen, sind durch die geringere Steifigkeitlangsamer als die elastischen Wellen. Es entsteht einenachlaufende Welle. Bei weiter zunehmender Belastungliegt ein granulares Material vor, das eine höhere Steifig-keit besitzt als die lineare Steifigkeit. Die Geschwindigkeitder Wellen nimmt zu und ist größer als die aller anderenWellenanteile. Diese Wellenanteile überholen die lang-sameren Anteile und stellen sich zu einer Stoßfront auf.Durch die starke Energiedissipation bei der Zerstörungder Mikroporen wird die Amplitude der Stoßfront aller-dings sehr schnell abgebaut.

Numerisch gibt es verschiedene Möglichkeiten, dasVerhalten der Mikroporen unter einer hohen dynami-schen Belastung zu berücksichtigen. Während einige Au-toren diesen Effekt mit Hilfe von Zustandsgleichungenimplementieren, soll hier ein kontinuumsmechanischerAnsatz verwendet werden. Die von Schmidt-Hurtienne[4] vorgeschlagene Volumenfunktion, die die veränder-liche hydrostatische Steifigkeit berücksichtigt, wird hierbei der Bestimmung des Kompressionsmoduls verwendet.

Ktot = Y(ε) · K0 (6)

Der Faktor Y (Volumenfunktion – Bild 5) wird dabei mitHilfe der hydrostatischen Dehnung trεe bestimmt zu

(7)

Es werden folgende Parameter verwendet:

Y =

1 – a · 1 – ev

–| |– ,tr e

ee v th

v

ε⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢

·

1 +|tr |–e

b · ee v,th

v v

ε2

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

<für tr –e

1

e v,thε

für tr –ee v,thε ≥

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

Bild 4. Steigerung der Druckfestigkeit bei zunehmendenDehnraten – Versuchsergebnisse verschiedener Autoren(Bischoff [2]), Ansatz nach CEB [3]Fig. 4. Increasing of compression strength with increasingstrain rates – experimental data

Bild 5. Volumenfunktion mit Entlastung und Knoten-erosionFig. 5. Volume function with unloading and node erosion

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ev,th = 0,008; ev = 0,0223; av = 0,7; bv = 3,5 (8)

Eine weitere Fragestellung ist die Form der Entlastungs-funktion. In Bereichen, die die hydrostatische Dehnungdes Stoßwellenzustands erreicht haben, wird davon ausge-gangen, dass für die Entlastung die Steifigkeit der maxima-len hydrostatischen Dehnung vorliegt. Dies lässt sich überdie erhöhte Kompressionssteifigkeit des vorliegendenGranulats begründen. In Bereichen, die nur plastisch be-ansprucht wurden, wird die Y-Funktion zu 1,5 gesetzt (sie-he Parameterstudie Abschn. 5.4). Die Steifigkeit ist dem-nach dort größer als die Anfangssteifigkeit. Der gesamteVerlauf der Y-Funktion mit der Entlastungsfunktion ist inBild 5 dargestellt.

Des Weiteren muss davon ausgegangen werden, dassbei hochdynamischen Belastungen neben der Erhöhungder Steifigkeit eine Schädigung des Betons eintritt, dadurch die hydrostatische Belastung das Porengefüge zer-stört wurde. Es findet zum einen eine Verminderung derSchubtragfähigkeit statt, zum anderen ist wegen des ver-mehrt vorliegenden granularen Materials die Zugfestigkeitstark herabgesetzt. Werden diese beiden Effekte nicht be-rücksichtigt, wird zu wenig Energie im System dissipiertund die Amplitude einer Stoßwelle nimmt in der Berech-nung nicht ab.

Die Verminderung der Schubtragfähigkeit wird übereine Druckschädigungsevolution in Anlehnung an dasVorgehen von Ruppert [5] durchgeführt. Diese entwickeltsich in Abhängigkeit von der hydrostatischen Dehnung εv,wobei der Quotient aus dem aktuellen Wert der hydrosta-tischen Dehnung und der maximal erreichbaren hydrosta-tischen Dehnung verwendet wird. Für die Form der Kurvewird folgendes Gesetz verwendet

(9)

Der Parameter γ gibt an, in welcher Form sich die Schädi-gung entwickelt. Die numerischen Untersuchungen zei-gen, dass die Wahl einer Druckschädigungsevolution vonγ = 0,1 die Versuchsergebnisse gut wiedergibt.

Durch die Zerstörung der Mikroporen kann der Be-ton keine Zugbelastung mehr ertragen. Es liegt ein granu-lares Material vor, das bei einer Zugbeanspruchung ausdem Modell gelöscht wird. Die Methode der Elementero-sion wurde an das EFG-Verfahren in dem Sinne ange-passt, dass nicht die Elemente sondern die Integrations-punkte bzw. Integrationszellen gelöscht werden. Ein Inte-grationspunkt wird dann gelöscht, wenn die hydrostati-sche Dehnung eine Deaktivierungsgrenze überschreitetund dann eine Druckspannungsgrenze (Zugbeanspru-chung) unterschreitet.

4.6 Maximale Rissgeschwindigkeit

Die maximale Geschwindigkeit, mit der sich Risse im Be-ton bilden, ist wesentlich kleiner als die Rayleigh-Wellen-geschwindigkeit. Dies belegen verschiedene Versuche.Ross [6] sieht bei der Auswertung verschiedener Ver-suchsergebnisse eine Abhängigkeit von der Dehnrate unddefiniert eine Ausgleichsgerade zur Bestimmung der Riss-

Dz = v

v,max

εε

γ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

geschwindigkeit. Trägt man Versuchsergebnisse verschie-dener Autoren zusammen (Bild 6), so fällt auf, dass dieseAusgleichsgerade so nicht haltbar ist. Die Versuchsergeb-nisse zeigen, dass die von Curbach [7] definierte Grenzevon vcrack = 500 bis 700 m/sec realistisch ist. Dies konnteauch durch eine Auswertung von derzeit am Institut fürMassivbau und Baustofftechnologie, Universität Karls-ruhe von Steiner [8] durchgeführten Untersuchungen zurRissentwicklung bei Kontaktdetonationen bestätigt wer-den, bei denen sich eine Rissgeschwindigkeit von ca.300 m/sec ergab. Deswegen wird in den numerischenUntersuchungen eine maximale Rissgeschwindigkeit von500 m/sec verwendet. Da eine fest vorgegebene Riss-wachstumslänge lcrack verwendet werden soll, darf der

Rissfortschritt nur nach der Zeit erfolgen.

5 Beispiele

Im Folgenden werden verschiedene Beispiele gezeigt, andenen die Verwendbarkeit der in Abschn. 4 vorgestelltenVerfahren überprüft wird. Die Beispiele dienen dabeiauch der Validierung verschiedener Parameter des Simu-lationsmodells.

5.1 Unbewehrter Balken, 3-Punkt-Biegeversuch

Das hier vorgestellte Simulationsmodell wird benutzt, umeinen unbewehrten Betonbalken zu berechnen, bei demauf der Unterseite ein künstlicher Riss eingeführt wurde(Bild 7). Solche Versuche werden standardmäßig zurBestimmung der Bruchenergie durchgeführt. Es werden

tcrack =lvcrack

crack

Bild 6. Versuchsergebnisse zur Rissgeschwindigkeit imBeton von verschiedenen AutorenFig. 6. Experimental results for the crack velocity in con-crete from different authors

Bild 7. Biegebalken von Stegemann [9]Fig. 7. Bending test by Stegemann [9]

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hier Versuchsergebnisse von Stegemann [9] verwendet(Bild 8). Die Diskretisierung findet mit einem Netz mitder Kantenlänge von 23 mm statt, das im Bereich der Auf-lager auf ein Netz der Kantenlänge 12 mm und im Bereichdes Risses auf ein Netz der Kantenlänge 6 mm verkleinertwird. Es werden 2000 Freiheitsgrade verwendet. Die nu-merischen Ergebnisse zeigen bei Verwendung der bilinea-ren Entfestigung in der Bruchprozesszone eine gute Über-einstimmung mit den Versuchsergebnissen (Bild 8). DieUntersuchungen zeigen weiterhin, dass die Rissfort-schrittslänge keinen wesentlichen Einfluss auf das Be-rechungsergebnis hat. Die Last-Verformungskurve weistZacken auf. Diese entstehen beim Risswachstum. Da beidiskreten Rissen eine Risslänge definiert werden muss, dieminimal bei einem diskreten Rissfortschritt verwendetwird, kommt es beim Rissfortschritt zu einem sprunghaf-ten Lastabfall. Bei Versuchen wird ein solcher sprunghaf-ter Lastabfall ebenfalls sichtbar, da durch die inhomogeneVerteilung des Materials der Riss nicht kontinuierlichwachsen kann.

5.2 Schubversuch

An von Arrea [10] durchgeführten Schubversuchen miteinem Anfangsriss lässt sich die Rissbildung bei einer sichändernden Rissrichtung überprüfen. In Bild 9 sind dievon Arrea verwendete Geometrie und die verwendetenMaterialparameter dargestellt. Die Last-Verformungsbe-ziehung wurde über das so genannte Crack mouth slidingdisplacement (CMSD) erstellt, das ein Maß für die Riss-verschiebung der Rissufer darstellt.

Vergleicht man den sich einstellenden Rissverlauf(Bild 10), so erkennt man eine gute Übereinstimmung zwi-schen Versuch und Simulation. Der Rissverlauf, der sichbei anderen Autoren mit einem diskreten Rissansatz (Pra-sad [11]) oder mit einem Schädigungsmodell (Akkermann[12]) ergibt, ist wesentlich steiler.

5.3 Biegezugversuch dynamisch

Zur Validierung des vorgestellten EFG-Ansatzes mit dis-kreten Rissen bei dynamischen Rissvorgängen werden

Versuchsergebnisse von Du [13] verwendet. Du führt Un-tersuchungen an unbewehrten Betonbalken durch, derenAbmessungen Bild 11 zu entnehmen sind. Die Versuchs-körper wurden mit einer Fallmasse von 9,68 kg beauf-schlagt, die aus einer Höhe von 1 m auf den Balken fallen

Bild 8. Drei-Punkt-Biegeversuch – Vergleich von Experimenten von Stege-mann [9] mit numerischen Ergebnissen(exponentielle, lineare und bilineareEntfestigung in der Bruchprozesszone)Fig. 8. Three-Point-Bending-Test –Comparison of experiments by Stege-mann [9] with numerical results (expo-nential, linear and bilinear softening inthe fracture process zone)

Bild 9. Schubversuch von Arrea [10]Fig. 9. Shear loading test by Arrea [10]

Bild 10. Schubversuch – Vergleich des RissverlaufsFig. 10. Shear loading test – comparison of the crack pattern

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gelassen wurde. Die Dehnungen im Beton wurden an dreiverschiedenen Stellen in Abhängigkeit von der Zeit ge-messen. Die Last-Zeit-Funktion der Belastung des Probe-körpers wurde ebenfalls aufgezeichnet.

Die Versuchsergebnisse an den einzelnen Messauf-nehmern können in Bild 12 anhand eines Simulations-modells unter Verwendung der linearen künstlichen Vis-kosität berechneten Größen verglichen werden. Für denuntersten Messaufnehmer (SG1) zeigt sich eine gute Über-einstimmung. Die Dehnungen am Messaufnehmer SG2treten in der Berechnung leicht zeitversetzt auf. Es kannaber trotzdem von einer guten Übereinstimmung gespro-chen werden. Sowohl beim Messaufnehmer SG1 als auchbeim Messaufnehmer SG2 gehen die berechneten Deh-

nungen nach dem Vorbeilaufen des Risses am Messauf-nehmer im Mittelwert auf Null zurück. Beim Messaufneh-mer SG3 findet bei der Berechnung die Entlastung desRissufers erst später als im Versuch statt.

Es bleibt festzuhalten, dass für die Berechnung vondynamisch beanspruchtem Beton mit den hier verwende-ten diskreten Rissen eine künstliche Viskosität erforder-lich ist. Damit können die Knotenschwingungen, diedurch den Rissfortschritt angeregt werden, gedämpft wer-den.

5.4 Kontaktdetonation

Am Institut für Massivbau und Baustofftechnologie derUniversität Karlsruhe wurden zur Bestimmung der Mate-rialparameter von Beton unter hochdynamischer Bean-spruchung Versuche mit einem durch eine Kontaktdeto-nation beaufschlagten Betonkörper durchgeführt. Die ver-wendeten Körper hatten Abmessungen von 1 m × 1 m ×0,5 m und waren in dem zu untersuchenden Bereich un-bewehrt. Der Sprengstoff wurde als so genannter Plane-Wave-Generator mit einer Masse von 640 g ausgebildet.Die Geometrie der Ladung führt zur Entstehung einer an-nähernd ebenen Welle bei einer großen beaufschlagtenFläche. Bei der Belastung wurde der Körper selbst nichtkomplett zerstört, so dass daran die verschiedenen Ver-sagensbereiche identifiziert werden können (Bild 13). Esbildet sich direkt unter dem Sprengstoff ein Ausbruchkra-ter aus. In diesem Bereich ist davon auszugehen, dass derBeton als granulares Material ausgeworfen wurde. Unter-halb des Kraters erkennt man einen Bereich mit starkenVerformungen und vielen kleinen Rissen. Der restlicheKörper ist von gut sichtbaren Rissen durchzogen, zwi-schen diesen Rissen ist der Beton – zumindest augen-scheinlich – nicht geschädigt. An der Unterseite der Plattewurden einzelne Teile des Betons herausgetrennt. Einedreidimensionale numerische Modellierung des Beton-körpers schied wegen des numerischen Aufwands aus. Eswurde ein axialsymmetrischer EFG-Ansatz verwendet(Prinzipskizze Bild 14). Die Belastung des numerischenModells wird mit einem Druck-Zeit-Verlauf durchgeführt,der auf die Knoten unterhalb des Sprengstoffkegels aufge-bracht wird. Die maximale Rissrichtungsänderung, kannaus dem bei einem Schnitt durch den Versuchskörper ge-wonnenen Rissbild gewonnen werden. Es ergibt sich ein

Bild 11. Dynamischer Biegeversuch von Du [13]Fig. 11. Dynamic bending test by Du [13]

Bild 12. Vergleich der Versuchsergebnisse von Du [13] mitnumerischen ErgebnissenFig. 12. Comparison of the experimental results by Du [13]with numerical results

Bild 13. Vergleich der Rissgeometrieeines Versuchs von Steiner [8] mit demsich bei der Berechnung ergebendenRissbild Fig. 13. Comparison of the crack pat-tern of an experimental test of Steiner[8] with the crack pattern resultingfrom numerical calculation

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minimaler Winkel von ca. 50°. Aus dem Rissbild kannebenfalls die Länge ermittelt werden, in der der Riss keineRichtungsänderung erfährt. Diese beträgt etwa 12 mm.

Im Folgenden werden Versuche von Steiner [8], Herr-mann [14] und Ockert [15] verwendet, um die maximalenDruckamplituden in Abhängigkeit von der Entfernungzum Lasteintrag mit den numerischen Ergebnissen zu ver-gleichen (Eindringcharakteristik). In Bild 15 ist die Ein-dringcharakteristik für verschiedene Werte der Entlas-tungsfunktion (siehe Abschn. 4.5) dargestellt. Die nume-rischen Ergebnisse mit einem Wert von Yentl,plast = 1,5spiegeln die Versuchsergebnisse gut wider. Die Wellenge-schwindigkeit wird von verschiedenen Autoren experi-mentell bestimmt. In Bild 16 ist der Zeitverlauf der Welleüber die Eindringtiefe dargestellt. Die Steigung dieser Kur-ve stellt die Wellengeschwindigkeit dar. Die experimentellbestimmte Kurve von Herrmann [14] kann mit der nume-risch bestimmten Kurve verglichen werden. Es zeigt sicheine gute Übereinstimmung.

Schließlich soll die sich bei den Experimenten erge-bende Rissgeometrie mit dem numerisch bestimmtenRissbild verglichen werden. Es stellt sich im oberen Teildes numerischen Modells ein Bereich ein, in dem dieKnoten deaktiviert werden. Dieser Bereich spiegelt denentstehenden Auswurfkrater gut wider. Die Druckwellewandert, wie in den Untersuchungen zur Eindringcharak-

teristik gezeigt wird, durch den Beton und nimmt in ihrerAmplitude relativ schnell ab. Das Rissbild, das sich ausder Belastung ergibt, ist bis zur Reflexion der Welle an derUnterseite durch die im gesamten Körper auftretendenQuerzugrisse geprägt. Nach der Reflexion der Welle dre-hen sich diese Risse und es bildet sich auf der Unterseiteein Spallingbereich aus. Vergleicht man den sich nach ei-ner Zeit von 0,13 msec ergebenden Rissverlauf (Verbin-dung der numerisch erzeugten Risse) mit dem bei denVersuchen aufgetretenen Rissbild (Bild 13), so zeigt sicheine gute Übereinstimmung.

6 Zusammenfassung

Bei den hier durchgeführten Untersuchungen zeigte sich,dass die Rissverläufe von unterschiedlich beanspruchtemBeton mit dem EFG-Verfahren gut darstellbar sind. Diebei einer dynamischen Belastung durch das Risswachstumauftretenden Schwingungen der Massenpunkte konntenso gedämpft werden, dass auch der dynamische Rissfort-schritt bestimmt werden kann. Sowohl die Eindring-charakteristik als auch die entstandene Rissgeometrie beieinem mit einer Kontaktdetonation beaufschlagten Kör-per können mit dem Simulationsmodell berechnet wer-den. Die Vorzüge des Simulationsmodells liegen insbe-sondere darin, dass bei der Berechnung der Versagens-bereiche des Betons auch die Rissgeometrie bestimmtwird. Diese kann z. B. für die Berechnung des Fragmentie-rungsverhaltens benutzt werden.

DerAutor dankt dem Institut für Massivbau und Bau-stofftechnologie, Universität Karlsruhe (TH) für die Unter-stützung dieses Forschungsvorhabens.

Literatur

[1] Häußler-Combe, U.: Elementfreie Galerkin-Verfahren.Karlsruhe 2001.

[2] Bischoff, P. H. and Perry, P. H.: Compressive behaviour ofconcrete at high strain rates, Material and Structures. 1991,S. 24, 425–450.

Bild 14. Kontaktdetonation – numerisches ModellFig. 14. Contact detonation – numerical modelling

Bild 15. Einfluss der Entlastungsfunktion (Yentl,plast)Fig. 15. Influence of the unloading function (Yentl,plast)

Bild 16. Vergleich der Ankunftszeit der Welle über die Ein-dringtiefeFig. 16. Comparison of the time of arrival versus the depth

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[3] Comite Euro-International du Beton: Bulletin d’Informa-tion N.187, Concrete structures under impact and impulsiveloading. Lausanne 1987.

[4] Schmidt-Hurtienne, B.: Ein dreiaxiales Schädigungsmodellfür Beton unter Einschluss des Dehnrateneffekts bei Hochge-schwindigkeitsbelastung. Karlsruhe 2001.

[5] Ruppert, M.: Zur numerischen Simulation von hochdyna-misch beanspruchten Betonstrukturen. München 2000.

[6] Ross, A. C., Rerome, D. M., Tedesco, J. W., and Hughes, M.L.: Moisture and strain rate effects on concrete strength. ACIMaterials Journal 93 (1996), Heft 3, S. 293–299.

[7] Curbach, M.: Festigkeitssteigerung von Beton bei hohenBelastungsgeschwindigkeiten. Karlsruhe 1987.

[8] Steiner, S.: Untersuchungen zu Materialeffekten in Beton-strukturen unter Explosionsbelastung, geplante Dissertation.Universität Karlsruhe (TH) 2007.

[9] Stegemann, M.: Untersuchungen zum Leckverhalten vonStahlbetonwänden unter Dampf und Luft, geplante Promo-tion. Universität Karlsruhe 2007.

[10] Arrea, M. and Ingraffea, A. R.: Mixed-Mode Crack Propa-gation in Mortar and Concrete. Report No. 81-13, Dept. ofStructural Engineering, Cornell University, Ithaca, N.Y. 1982.

[11] Prasad, M. V. K. V. and Krishnamoorthy, C. S.: Computa-tional model for discrete crack growth in plain and reinforcedconcrete. Computer Methods in Applied Mechanics andEngineering 191 (2002), S. 2699–2725.

[12] Akkermann, J.: Rotationsverhalten von Stahlbeton-Rah-menecken. Universität Karlsruhe 2000.

[13] Du, J., Yon, J. H., Hawkins, N. M., Arakawa, K. and Kobay-ashi, A. S.: Fracture process zone for concrete for dynamicloading. In: ACI Materials Journal 89 (1992), Heft 3, S. 252–258.

[14] Herrmann, N.: Experimentelle Erfassung des Betonverhal-tens unter Schockwellen. Karlsruhe: 2003.

[15] Ockert, J.: Ein Stoffgesetz für die Schockwellenausbreitungin Beton. Karlsruhe 1997.

[16] Larcher, M.: Numerische Simulation des Betonverhaltensunter Stoßwellen mit Hilfe des Elementfreien Galerkin-Ver-fahrens. Karlsruhe 2007.

Dr.-Ing. Martin LarcherJoint Research CentreIPSC, European Laboratory for Structural Assessment21020 Ispra, [email protected]: Institut für Massivbau und Baustoff-technologie, Universität Karlsruhe (TH)

Architekturpreis Zukunft Wohnen

Mit dem Architekturpreis Zukunft Woh-nen werden herausragende Wohnbautenausgezeichnet, die jeweils in den zu-rückliegenden fünf Jahren in Deutsch-land fertiggestellt wurden. Er wird anArchitekten und an die Bauherren ver-liehen.

Mit der Stiftung des Preises Anfangder 1990er Jahre durch die deutschenZement- und Betonhersteller war dasZiel verbunden, für die kommendenBauaufgaben eine qualitätvolle Ausfüh-rung einzufordern. Trotz des damalsherrschenden Wohnungsmangels solltendie neuen Wohnungen nicht nur preis-wert, sondern auch anspruchsvoll in ih-rer architektonischen Qualität sein. DieIndustrie begab sich mit diesem Anlie-gen ins Zentrum der gesellschaftlichenDiskussionen und ist dieser baukulturel-len Verantwortung bis heute treu geblie-ben. Seither wurden und werden inzahlreichen Veranstaltungen des „Fo-rums Zukunft Bauen“ bundesweit Mittelund Wege zum preiswerten und den-noch qualitativ hochwertigen Woh-nungsbau diskutiert.

Zentrales Anliegen des Wettbewerbsist es, anhand konkreter Beispiele zuzeigen, daß preiswertes Bauen nicht mitQualitätsabstrichen bei der Gestaltungverbunden sein muss. Beurteilt werden

die ästhetische Qualität der eingereich-ten Arbeiten, der Einsatz rationellerBaumethoden und besonders kosten-günstige Lösungsansätze in Planung undBauausführung. Vermehrt sind in denletzten Jahren städtebaulich nachhaltigeObjekte ausgezeichnet worden. DasBauen in der Lücke, die klassischeNachverdichtung, die Konversion mili-tärisch genutzter Flächen und die Er-tüchtigung des Bestandes gehören zumSpektrum der prämierten Arbeiten.Außerdem werden zukunftsweisendeBeiträge zum energiesparenden undökologischen Bauen erwartet.

Der Architekturpreis Zukunft Woh-nen wurde 2007 bereits zum siebten Malverliehen. Die Jury tagte Ende April un-ter Vorsitz des renommierten Architek-ten Professor Dr.-Ing. Thomas Jocheraus München. Es wurden fünf Arbeitenmit dem Preis bedacht und drei Loben-de Erwähnungen ausgesprochen. Darü-ber hinaus vergab die FachvereinigungDeutscher Betonfertigteilbau einen Son-derpreis und eine Lobende Erwähnungfür vorbildliche Projekte auf dem Gebietdes Fertigteilbaus. Die offizielle Preis-verleihung fand am 16. Oktober 2007 inStuttgart statt. Th.

Wohnwer(f)t im Rheinauhafen, Köln; Architekten: Oxen+Römer und Partner, ArchitektenBDA, Köln (Foto: Rudolf Menk, Krefeld)

Aktuelles

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Verwendung diskreter, kohäsiver Risse zur Berechnung von Beton unter hochdynamischer Belastung