08/10/56

1

Physics 105001 Elementary Physics

ฟสิิกส์เบื้องต้น

เนื้อหารายวชิา สอบกลางภาค คณิตศาสตร์เบื้องตน้สาหรับฟิสิกส์

– เรขาคณิต – ตรีโกณมิติ – ความสัมพันธ์ท่ีเห็นบ่อยในฟิสิกส์ – การแก้สมการหนึ่งกับสองตัวแปร – อนุพันธ์และปริพันธ์ของฟังก์ชัน

สอบปลายภาค ปรมิาณทางฟิสิกส์

– ปรมิาณและการวิเคราะห์มิติ – การบันทกึปรมิาณตามแบบวิทยาศาสตร์ และตามหลักเลขนัยส าคัญ

– ปรมิาณสเกลาร ์กับปรมิาณเวกเตอร์ การเขยีนกราฟและการหาข้อมูลจากกราฟ

– ลักษณะพ้ืนฐานของกราฟ – การวเิคราะห์กราฟเส้นตรง และการใช้กราฟสเกลลอการิทึม

– แนวปฎิบัติในการเขยีน/พล็อตกราฟท่ีเหมาะสม

08/10/56

2

สัปดาห์ที่ วันท่ีเรียน เนื้อหา

3 7 ต.ค. 56 เรขาคณิต ตรีโกณมิติ

4 14 ต.ค. 56 ความสัมพันธ์ (ฟังก์ชันต่างๆ)

5 21 ต.ค. 56 การแก้สมการหนึ่งตัวแปร และสองตัวแปร

6 28 ต.ค. 56 อนุพันธ์ และปริพันธ์ของฟังก์ชัน

7 4 -10 พ.ย. 56 สอบกลางภาค

8 11 พ.ย. 56 ปริมาณ การวิเคราะห์มิติ และการบันทึกปริมาณ

9 18 พ.ย. 56 ปริมาณสเกลาร์ กับปริมาณเวกเตอร์ (การบวกลบกันของ

ปริมาณเวกเตอร์ และการคูณกันของเวกเตอร์) 10 25 พ.ย. 56

11 2 ธ.ค. 56 ลักษณะพ้ืนฐานของกราฟ แนวปฎิบัติในการเขียน/

พล็อตกราฟที่เหมาะสม

12 9 ธ.ค. 56 การวิเคราะห์กราฟเส้นตรง และการใช้กราฟสเกล

ลอการิทึม

การวดัผล คะแนนเต็มทั้งรายวิชา 100 % แบ่งเป็น • คะแนนเก็บระหว่างภาค 20 %

(คะแนน Quiz และการบ้าน)

• คะแนนสอบกลางภาค 40 %

• คะแนนสอบประจ าภาค 40 %

การตัดเกรด

– S 50% – U 50%

08/10/56

3

เมื่อขาดสอบ... • นักศึกษาจะได้รับอนุญาตใหส้อบซ่อมได้ ก็ต่อเมื่อ มีเหตุผลของการ

ขาดสอบ คือ – ป่วย (มใีบรับรองจากแพทย์)

– เหตุผลทางศาสนา หรือการที่ต้องเข้ารว่มกจิกรรม/พิธกีาร ที่จ าเป็น (มีจดหมายรับรอง)

– เป็นตัวแทนของมหาวทิยาลัยไปท ากจิกรรม (มหีนังสือรับรองจากหน่วยงานที่เกี่ยวข้องของมหาวิทยาลยั)

– อื่น ๆ ตามที่คณาจารย์ผู้สอนรายวิชาฟิสกิส์เบือ้งต้น เห็นสมควร

(ต้องมหีนังสือหรอืจดหมายยืนยันเหตุผลของการมาสอบไม่ได้จรงิ)

• นักศึกษาต้องมาติดต่ออาจารย์ก่อนวันสอบ(ทุกกรณ ียกเว้นกรณีที่ป่วย) หรอื ภายใน 5 วันท าการ หลังจากวันสอบ(เฉพาะกรณทีี่ป่วย)

บทที่ 1 คณติศาสตร์เบือ้งต้นส าหรับฟิสิกส์

1.1 เรขาคณติ 1.1.1 พืน้ท่ี และปริมาตรของรูปทรงเรขาคณิตท่ีควรทราบ

08/10/56

4

1.1.1 พื้นที่ และปริมาตรของรูปทรงเรขาคณติที่ควรทราบ

รูปสามเหลี่ยม คือ รูปเหลี่ยมที่ประกอบด้วยด้านสามด้านและมุมสามมุม

รูปส่ีเหล่ียม รูปเหล่ียมท่ีประกอบด้วยด้านส่ีด้านและมมุส่ีมมุ

1.1.1 พื้นที่ และปริมาตรของรูปทรงเรขาคณติที่ควรทราบ

08/10/56

5

1.1.1 พื้นที่ และปริมาตรของรูปทรงเรขาคณติที่ควรทราบ

1.1.1 พื้นที่ และปริมาตรของรูปทรงเรขาคณติที่ควรทราบ

รูปวงกลม ประกอบด้วยจดุศนูย์กลางและรัศมซีึง่วดัจากจดุศนูย์กลางถงึเส้นรอบวง

𝝅 คือ ค่าอตัราส่วนระหว่างความยาวเสน้รอบวงของวงกลมกับ ขนาดของเส้นผ่านศูนย์กลาง

𝟐𝟐 𝟕

3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 .....

08/10/56

6

แผ่นที่ 1 มรีัศม ีr หน่วย แผ่นที่ 1 มพีืน้ที่ = 𝜋𝑟2 ตารางหนว่ย

แผ่นที่สองมีรัศมีเป็นสองเท่าของแผน่ที่ 1 ดังนัน้แผ่นที่สองมีรัศมีเป็น 2r

แผ่นที่ 2 มีพื้นที่ = 𝜋 𝑥 2𝑟 2 = 4𝜋𝑟2 ตารางหน่วย

อัตราส่วนของพื้นที่แผ่นที่สองกับแผน่ที่ 1 = 4𝜋𝑟2 𝜋𝑟2

= 4

ตัวอย่าง อัตราส่วนพื้นที่ของแผ่นวงกลม 2 แผ่น โดยแผ่นหนึ่งมีรัศมีเป็น 2 เท่าของอกีแผ่นหนึ่ง มคี่าเป็นอย่างไร

ให้ลูกบอลมีลักษณะเป็นทรงกลม ดังนัน้พืน้ที่ผวิของลูกบอล = 4𝜋𝑟2

ดังนัน้ 4𝜋𝑟2 = 36𝜋 => 4𝑟2 = 36 => 𝑟2 = 36/4 => 𝑟 = 3

ปริมาตรของทรงกลม = 4

3𝜋r3 = 4

3𝜋33 = 36𝜋 ลูกบาศก์หนว่ย

ลูกบอลมีพื้นที่ผิว 36𝝅 ตารางหน่วย อยากทราบว่าลูกบอลนี้มีปริมาตรเท่าใด

08/10/56

7

พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน = ฐาน x สูง = 3 x 2 = 6 ตารางหน่วย

ส่วนที่แรเงามพีืน้ที ่= ?

พิจารณาพื้นที ่¼ ของวงกลม = 𝝅𝑅2

𝟒

พิจารณาพื้นทีส่ามเหลีย่ม = 𝟏

𝟐 x ฐาน x สูง =

𝟏

𝟐 R2

ดังนั้นครึ่งหนึ่งของพืน้ทีส่่วนทีแ่รเงา = 𝝅𝑅2

𝟒 - 𝟏

𝟐 R2

พื้นที่ส่วนที่แรเงา = 2x( 𝝅𝑅2

𝟒 - 𝟏

𝟐 R2) =

(𝝅−2)𝑅2

𝟐

1.1.1 พื้นที่ และปริมาตรของรูปทรงเรขาคณติที่ควรทราบ

08/10/56

8

ใน 1 ปีมีก่ีวินาที

2...............m

200 mm

5 cm

2...............m

15 cm

08/10/56

9

2...............m

15 cm

9 cm

2...............m

a

5 cm

a

a

a

08/10/56

10

2...............m

วงกลมที่มเีส้นผ่านศูนย์กลางยาว 14 cm มีพื้นที่ประมาณเท่าใด

08/10/56

11

1. สี่เหลี่ยมจัตุรัสหนึ่งมีพื้นที่ 9.0 cm2 ความยาวของเส้นรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี ้มีคา่เท่าใด

2. ความยาวของเสน้รอบวงของวงกลมที่มีรัศมี Rมคี่าเท่าใด

3. ทรงกระบอกที่มพีืน้ที่หนา้ตัด 14.0 cm2 และสูง 4.0 cm มีปริมาตรเท่าใด

1.1.2 มุมใน 2 มิติ

มุมเรามักใช้สัญลักษณ์ [ เป็นตัวอักษรภาษากรีก อ่านว่า เธตา (Theta)] แทน นักศกึษาอาจจะเคยชินกับมุมในหน่วยองศา( o ) แต่ในทางฟสิิกส์ ก็จะเห็นมุมในหน่วยของเรเดียน (rad) ด้วยเช่นกัน โดยมีนิยามของมุมว่า

08/10/56

12

การแปลงมุมระหว่างองศาและเรเดียน

จากมุมในหน่วยองศาเป็นหน่วยเรเดียน

360o = 2𝜋 ดังน้ันหากมีมุม 𝜃 องศา

จะได้วา่ 𝜃 rad = 𝜃o x 2𝜋

360𝑜

จากมุมในหน่วยเรเดียนเป็นหน่วยองศา

𝜃o = 𝜃 rad x 360𝑜

2𝜋

360o =

270o =

225o =

180o =

135o =

120o =

90o =

60o =

45o =

30o =

1o =

1. จงแปลงมุมในหน่วยองศาต่อไปนีใ้ห้เป็นเรเดียน

08/10/56

13

360o = 2𝝅

270o = 𝟑𝝅

𝟐

225o = 𝟓𝝅

𝟒

180o = 𝝅

135o = 𝟑𝝅

𝟒

120o = 𝟐𝝅

𝟑

90o = 𝝅

𝟐

60o = 𝝅

𝟑

45o = 𝝅

𝟒

30o = 𝝅

𝟔

1o = 𝝅

𝟏𝟖𝟎

1. จงแปลงมุมในหนว่ยองศาต่อไปนี้ให้เป็นเรเดียน

1.0 rad =

𝝅

𝟖 rad =

3𝝅 rad =

4𝝅 rad =

5𝝅 rad =

6𝝅 rad =

2. จงแปลงมุมในหน่วยเรเดียนต่อไปนี้ ให้เป็นองศา

08/10/56

14

1.0 rad = 𝟏𝟖𝟎𝒐

𝝅

𝝅

𝟖 rad = 22.5o

3𝝅 rad = 540o

4𝝅 rad = 4x180o= 720o

5𝝅 rad = 5x180o= 900o

6𝝅 rad =6x180o= 1080o

2. จงแปลงมุมในหน่วยเรเดียนต่อไปนี้ ให้เป็นองศา

1.1.3 เส้นตรงตัดกัน เส้นขนาน และพื้นฐานเรื่องด้านกับมุมของรูปสามเหล่ียม

08/10/56

15

ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน และมีเส้นตัดแล้ว มุมแย้งจะมีขนาดเท่ากัน ตามรูปจะได้ว่า มุม 3 = มุม 6 และมุม 4 = มุม 5

1.2 ตรโีกณมิต ิ

1.2.1 สามเหลี่ยมมุมฉาก

08/10/56

16

1. ไซน์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในท่ีนี้คือ sin(A) = ข้าม/ฉาก = a/h 2. โคไซน์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชดิ ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในท่ีนี้คือ cos(A) = ชิด/ฉาก = b/h 3. แทนเจนต์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านประชดิ ในท่ีนี้คือ tan(A) = ข้าม/ชิด = a/b 4. โคเซแคนต์ csc(A) คือ ฟังก์ชันผกผันการคูณของ sin(A) นั่นคอื อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านตรงข้าม csc(A) = ฉาก/ข้าม = h/a 5. เซแคนต์ sec(A) คือ ฟังก์ชันผกผันการคูณของ cos(A) นั่นคอื อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านประชิด sec(A) = ฉาก/ชิด = h/b 6. โคแทนเจนต์ cot(A) คือ ฟังก์ชันผกผันการคูณของ tan(A) นั่นคอื อัตราส่วนของความยาวด้านประชดิ ต่อความยาวด้านตรงข้าม cot(A) = ชิด/ข้าม = b/a

1.2.2 นิยามของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

1.2.2 นิยามของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

08/10/56

17

ฟังก์ชัน ตัวย่อ ความสัมพันธ์

ไซน์ (Sine) sin

โคไซน์ (Cosine) cos

แทนเจนต์ (Tangent) tan (หรือ tg)

โคแทนเจนต์ (Cotangent) cot (หรือ ctg หรือ ctn)

เซแคนต์ (Secant) sec

โคเซแคนต์ (Cosecant) cosec (หรือ csc)

1.2.2 นิยามของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

1

1

2

60o

30o 45o

1

3

4 5

53o

37o 45o

ฟังก์ชัน 0o 30o 37o 45o 53o 60o 90o

0 1/2 3/5 1/ 𝟐 4/5 𝟑/2 1

1 𝟑/2 4/5 1/ 𝟐 3/5 1/2 0

0 1/ 𝟑 3/4 𝟐 4/3 𝟑

sin

cos

tan

𝟑

08/10/56

18

จงหาความยาว L ในรูป

พิจารณาจากรูปสามเหลี่ยมเล็ก tan 𝜃 = 𝑙

𝑟

จากรูปสามเหลี่ยมใหญ่ tan 𝜃 = 𝐿

𝑅+𝑟

ดังน้ัน tan 𝜃 = 𝑙

𝑟 =

𝐿

𝑅+𝑟 => L =

𝑅+𝑟 𝑙

𝑟

หรือเราหาค่ามุม 𝜃 ได้จาก 𝜃 = tan-1 (𝑙

𝑟)

𝜃

จงหาความยาว L ในรูป

พิจารณาจากรูปหกเหลี่ยมจะเห็นได้ว่าเป็นหกเหลี่ยมด้านเท่า ดังนัน้ภายในจะประกอบด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่า 6 รูป ซึ่งแตล่ะดา้นยาว 4 หนว่ย จะได้วา่ L = 4+4 = 8 หนว่ย

08/10/56

19

1.2.3 เอกลักษณ์ตรโีกณมิติ

1.2.3 เอกลักษณ์ตรโีกณมิติ

จากเอกลักษณ์ sin2𝜽 + cos2𝜽 = 1 หากเราใหแ้กน x เป็นค่าของ cos𝜽 และแกน y เป็นค่าของ sin 𝜽 แล้วเราจะได ้x2 + y2 = 1 เป็นสมการวงกลม และ 𝜽 เป็นมุมตามรูป

y

x 0 (1,0) (-1,0)

(0,1)

(0,-1)

( ) sin,cos

08/10/56

20

Name Usual

notation Definition

Domain of x for real result

Range of usual principal value

(radians)

Range of usual principal value

(degrees)

arcsine y = arcsin x x = sin y −1 ≤ x ≤ 1 −90° ≤ y ≤ 90°

arccosine y = arccos x x = cos y −1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ π 0° ≤ y ≤ 180°

arctangent y = arctan x x = tan y all real

numbers −90° < y < 90°

arccotangent y = arccot x x = cot y all real

numbers 0 < y < π 0° < y < 180°

arcsecant y = arcsec x x = sec y x ≤ −1 or 1 ≤

x 0° ≤ y < 90° or 90° < y ≤ 180°

arccosecant y = arccsc x x = csc y x ≤ −1 or 1 ≤

x -90° ≤ y < 0° or

0° < y ≤ 90°

08/10/56

21

ส าหรับมุมที่มากกว่า 2π หรือต่ ากว่า −2π เราสามารถวัดมุมได้ในวงกลม ด้วยวธิีนี้ ค่าไซน์ และโคไซน์เป็นฟังก์ชันเป็นคาบทีม่คีาบเทา่กับ 2π: sin 𝜽 = sin (𝜽 + 2𝝅𝐤) และ cos 𝜽 = cos (𝜽 + 2𝝅𝐤)

เมื่อ θ เป็นมุมใดๆ และ k เป็นจ านวนเต็มใดๆ

a

b

c A

B

C

กฎของไซน์ (sine’s Law)

กฎของโคไซน์ (cosine’s Law) C

c

B

b

A

a

c

C

b

B

a

A

sinsinsin

sinsinsin

Abccba cos2222

Bacacb cos2222

Cabbac cos2222

1.2.4 กฎของไซน์กับกฎของโคไซน์

08/10/56

22

Ben กับ Adam เริ่มต้นวิ่งที่จุดเดียวกันที่สนามรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้นของโรงเรียน โดย Adam วิ่งตามแนวเส้นทแยงมุมของสนาม ขณะที่ Ben วิ่งไปรอบ ๆ ดังรูป ใครวิ่งไกลกว่ากัน และไกลกว่ากันเท่าใด

Ben วิ่งได้ระยะทาง = 200 + 120 = 320 เมตร Adam วิ่งได้ระยะทาง = 2002 + 1202

= 233.24 เมตร Ben วิ่งได้ระยะทางไกลกว่า = 320 -233.24 = 66.76 เมตร

1.2.4 ขงึเชือกระหวา่งเสา 2 ต้นท่ีอยูห่า่งกนั 10 เมตร มีนกัศกึษาซนคนหนึง่โหนเชือก ห้อยอยูต่รงกลาง โดยทราบวา่ตรงกลางเชือกหยอ่นลงมาจากแนวระดบัเป็นระยะ 2.0 เมตร เชือกยาวเทา่ใด

08/10/56

23

1.2.6 จากรูปแสดงป้ายรา้น FISH AND CHIPS ทีแ่ขวนอยูข่า้งก าแพง เชอืกทีใ่ชย้าวเทา่ใด

1.27 จากรูปดา้นลา่งแสดงเสากระโดงเรอื (Mast) โดยมแีทง่ไม ้(Bar) ดนัสายเคเบลิทีย่ดึเสานีไ้วก้บัดาดฟ้าเรอื (Deck) อยู ่สายเคเบลิยาวเทา่ใด

08/10/56

24

จากรูปด้านล่างนี้ แสดงแผนภาพของสะพานอย่างง่ายที่ใช้สายเคเบิล 4 เส้นดึงเอาไว้ ให้นักศึกษาหาค่ามุม และความยาวของสายเคเบิลแต่ละเส้น ,

จากค่า sin กับ cos ที่ให้มาต่อไปนี้ ให้นักศึกษาหาว่ามุม มีค่าเท่าใด

o3600

8.0sin,6.0cos o307

6.0sin,8.0cos o143

7660.0cos,6428.0sin o220

0cos,1sin o270

08/10/56

25

ตอนที่ 1.3 ความสัมพันธ์ที่พบเห็นบ่อยในทางฟิสิกส์

1.3.1 ฟังก์ชันเชิงเส้น

xfy

x

ถ้าให ้ เป็นปริมาณบนแกนตั้งและ เป็นปริมาณในแกนนอน

ความสัมพันธ์เชิงเส้นของปริมาณทั้งสองเป็นตามสมการ bmxxfy

โดยท่ี m เป็นค่าความชันของกราฟ และ b เป็นค่าจุดตัดแกน y ซึ่งมีค่าคงตัว ค่าความชันของของกราฟเส้นตรงสามารถหาได้จาก

tan12

12

xx

yy

x

ym

โดยมีพิกัด (0,b) เป็นจุดที่กราฟตัดกับแกนตั้ง และมี (-b/m,0) เป็นจุดที่กราฟตัดกับแกนนอน

ถ้าความชันของเส้นตรงมคี่าเป็นลบ เส้นตรงมีลักษณะเป็นอย่างไร ถ้าความชันของเส้นตรงมคี่าเป็นศูนย์ เส้นตรงมีลักษณะเป็นอย่างไร ถ้าความชันของเส้นตรงมคี่าเป็นบวก เส้นตรงมีลักษณะเป็นอย่างไร

y

x

m เป็น + m เป็น 0

m เป็น -

08/10/56

26

ในปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กตริก เราทราบว่าพลังงานจลน์ Ek ของอิเล็กตรอนที่หลุดออกมาจากโลหะที่ถูกแสงฉาย ไม่ขึ้นกับค่าความเข้ม I ของแสงท่ีฉาย กราฟที่แกนตั้งเป็น Ek และแกนนอน เป็น I นั้นจะมีลักษณะเป็นอย่างไร

Ek

I

ให้นักศึกษาลงจุดท่ีมีพิกัดต่อไปนี้ (0, 0), (1, 3), (3,9), (5, 15) แล้วลากเส้นตรงผ่านทุกจุด พร้อมทั้งเขียนความสัมพันธ์ของพิกัดเหล่านี้

y

x (0, 0)

(1, 3)

(3, 9)

(5, 15)

5

10

15

5 10

y= ((15-0)/(5-0))x + 0 => y= 3x

08/10/56

27

กราฟเส้นตรงด้านล่างนี้ มีสมการเป็นอะไร

y = -x + 2

m = (y2 – y1 )/(x2 – x1 )

= (2-0)/(0-2) = -1 จุดตัดแกน y = 2

เส้นตรงในกราฟด้านลา่งนี ้มีความชนัเทา่ใดบ้าง

a) y = ((2-0)/(1-0))x +0 => y =2x

b) y = 3x

c) y = ((3-0)/(0-3))x +0 => y = -x

d) y = -2x

08/10/56

28

1.3.2 ฟังก์ชันเลขยกก าลัง

เลขยกก ำลงั

บทนิยาม เม่ือ a เป็นจ ำนวนจริงใดๆ และ n เป็นจ ำนวนเตม็บวก

an หมำยถึง a a a a ….. a จ ำนวน n ตวั

เช่น 25 = 2 2 2 2 2

บทนิยาม a0 = 1 เม่ือ a เป็นจ ำนวนจริงใดๆ ท่ีไม่เท่ำกบัศูนย ์

บทนิยาม a-n = 1/an เม่ือ a เป็นจ ำนวนจริงใดๆ ท่ีไม่เท่ำกบัศูนย ์

เช่น 3-2 = 1/32 = 1/9

1.3.2 ฟังก์ชันเลขยกก าลัง

ความสัมพันธ์แบบเลขยกก าลัง ในรูปของฟังก์ชัน y = f(x) = axn หรือ a (x คูณกัน n ครั้ง) โดยท่ี a และ n เป็นค่าคงตัว เรียก x ว่าฐาน(ในที่นี้เป็นตัวแปร) และ n เป็นเลขชี้ก าลัง(ซ่ึงไม่จ าเป็นต้องเป็นเลขจ านวนเต็มก็ได้) กฏที่ควรทราบ

08/10/56

29

รำกท่ี n ในระบบจ ำนวนจรงิ และจ ำนวนจรงิในรปูกรณฑ ์

บทนิยาม เมื่อ x , y เป็นจ านวนจริง y เป็นรากที่สองของ x ก็ตอ่เมื่อ y2 = x

สมบัติของรากที่สอง

xyyx .

y

x

y

x

1) เมื่อ x 0 , y 0

2) เมื่อ x 0 , y > 0

)245)(273( ตัวอย่าง จงหาคา่ของ

)245)(273( 2)2(2823521215

22341

วิธีท า

เลขยกก ำลงัท่ีมีเลขช้ีก ำลงัเป็นจ ำนวนตรรกยะ

บทนิยาม เม่ือ a เป็นจ านวนจริง n เป็นจ านวนเตม็ท่ีมากกวา่ 1 และ a มีรากท่ี n

nn aa

1

qa

1

pqq

p

aa )(

1

q pq

p

aa

53

2

ตัวอย่าง จงท าให้สว่นไมต่ดิกรณฑ์

บทนิยาม เม่ือ a เป็นจ านวนจริง p , q เป็นจ านวนเตม็ท่ี (p,q) = 1 , q > 0 และ

R โดยท่ี p < 0 แล้ว a ต้องไมเ่ป็นศนูย์

or

08/10/56

30

1.3.3 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

บทนิยาม ฟังก์ชนัเอกซ์โพเนนเชียล คือ f = {(x,y)RR / y = ax , a>0 , a1} y

ข้อสังเกต 1) กราฟของ y = ax ผา่นจดุ (0,1) เสมอ

2) ถ้า a > 1 แล้ว y = ax เป็นฟังก์ชนัเพิ่ม

3) ถ้า 0 < a < 1 แล้ว y = ax เป็นฟังก์ชนัลด

4) y = ax เป็นฟังก์ชนั 1-1 จาก R ไป R+

5) โดยสมบตัขิองฟังก์ชนั 1-1 จะได้ ax = ay ก็ตอ่เม่ือ x = y

0<a<1 a>1

08/10/56

31

ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล

ตัวอย่าง จงหาค าตอบของสมการ 2x.22x+1 = 4x-2

วิธีท า 2x+2x+1 = (22)x-2

23x+1 = 22x-4

จะได้ 3x+1 = 2x-4

x = -5

08/10/56

32

ให้นักศึกษาใช้กฎของเลขยกก าลังเขียนปริมาณต่อไปนี้ในรูปที่ง่ายขึ้น (ค าตอบยังอยู่ในรูปเลขยกก าลัง)

=63

=103

=𝑥10

=𝑥−6

=𝑦−7

=𝑦5

=𝑦6

=𝑚7

=𝑦15

=86

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-4 -2 0 2 4

y = x2 y = −2x2

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y = 3x2+1

0

5

10

15

20

25

30

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y = x3-1

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

08/10/56

33

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-4 -2 0 2 4

y = 2𝑥 y = e𝑥

y = 2−𝑥

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

0

5

10

15

20

25

-4 -2 0 2 4

y = e−𝑥

0

5

10

15

20

25

-4 -2 0 2 4

Ndt

dN

Nadt

dN

t

0 eNN

ln .2 0693

𝑁(𝑡) = 𝑁𝑜𝑒−0.693

𝜏 𝑡

𝑑𝑁

𝑁 = − 𝑡

ln𝑁

𝑁𝑜 = -t,

08/10/56

34

ถ้าสารกัมมันตรังสีหนึ่ง ในตอนเร่ิมต้นมีปริมาณทั้งหมด 10 หน่วย และมีค่าเวลาคร่ึงชีวิตเท่ากับ 25 ปี เมื่อเวลาผ่านไป 75 ปี และ 125 ปี จะเหลือสารกัมมันตรังสีนี้เป็นปริมาณเท่าใด ตามล าดับ

𝑁(𝑡) = 𝑁𝑜𝑒−0.693

𝜏 𝑡

𝑁(𝑡) = 10𝑒−0.693

25 75

= 1.25 หน่วย เมื่อเวลาผ่านไป 75 ปี

จาก

เมื่อเวลาผ่านไป 125 ปี 𝑁(𝑡) = 10𝑒−0.693

25 125

= 0.31 หน่วย

𝐴 𝑡 = 2.0 𝑐𝑚 𝑒−𝑡10

𝐴 0 = 2.0 𝑐𝑚 𝑒−010

= 2.0 𝑐𝑚

𝐴 0 = 2.0 𝑐𝑚 𝑒−1010

= 0.74 𝑐𝑚 𝐴 0 = 2.0 𝑐𝑚 𝑒−

2010

= 0.27 𝑐𝑚

08/10/56

35

1.3.4 ฟังก์ชันลอการิทึม

จาก f = {(x,y) RR / y = ax , a>0 , a1} ซึง่เป็นฟังก์ชนั 1-1 จาก R ไป R+

จงึมีฟังก์ชนัอินเวอร์สคือ f -1 = {(x,y) R+R / x = ay , a>0 , a1}

จาก x = ay สามารถเขียนในรูป y = f(x) ได้ โดยก าหนดเป็น y = logax

เชน่ 9 = 32 เขียนในรูปลอการิทมึเป็น 2 = log39

32 = 25 เขียนในรูปลอการิทมึเป็น 5 = log232

บทนิยาม ฟังก์ชนัลอการิทมึคือฟังก์ชนัท่ีเขียนอยูใ่นรูป

f = {(x,y) R+R / y = logax , a>0 , a1}

เชน่ y = log 2 x , f(x) = log 5 x

y

x

ข้อสังเกต 1) กราฟของ y = logax ผา่นจดุ (1,0) เสมอ

2) ถ้า a > 1 แล้ว y = logax เป็นฟังก์ชนัเพิ่ม

ถ้า 0 < a < 1 แล้ว y = logax เป็นฟังก์ชนัลด

3) y = logax เป็นฟังก์ชนั 1-1 จาก R+ ไปทัว่ถึง R

4) โดยสมบตัขิองฟังก์ชนั 1-1 จะได้ logax = logay ก็ตอ่เม่ือ x = y

08/10/56

36

สมบติัของลอกำรทึิม

เม่ือ a , M , N เป็นจ านวนจริงบวกท่ี a 1 และ k เป็นจ านวนจริง

1) logaMN = logaM + logaN

2) loga M/ N = logaM – logaN

3) loga Mk = k logaM

4) loga a = 1

5) loga 1 = 0

6) logb a = 1/ logab

กำรหำค่ำของลอกำรทึิม

ลอการิทมึสามัญ หมายถึงลอการิทมึฐาน 10 ซึง่นิยมเขียนโดยไมมี่ฐานก ากบั

เชน่ log107 เขียนแทนด้วย log 7

log1015 เขียนแทนด้วย log 15

พิจารณาคา่ของลอการิทมึของจ านวนเตม็ท่ีสามารถเขียนในรูป 10n เม่ือ n I

log 10 = log 101 = 1

log 100 = log 102 = 2

log 1000 = log 103 = 3

ดงันัน้ log 10n = n

08/10/56

37

จ านวนจริงบวก N ใดๆ สามารถเขียนในรูป N0x10n ได้เสมอ เมื่อ 1 < N0<10 และ n เป็นจ านวนเต็ม

เนื่องจาก N = N0x10n

ดังนั้น log N = log (N0x10n)

= log N0+ log 10n

= log N0 + n

log N0 เรียกว่า แมนทิสซา (mantissa) ของ log N

n เรียกว่า แคแรกเทอริสติก (characteristic) ของ log N

ตัวอย่าง จงหาคา่ของ log 4520 พร้อมทัง้บอก แมนทิสซาและแคแรกเทอริสตกิ

วิธีท า เน่ืองจาก log 4520 = log (4.52x103)

= log 4.52 + log 103

= 0.6551 + 3

= 3.6542

ดงันัน้ log 4510 = 3.6551

แมนทิสซาของ log 4520 คือ 0.6551

แคแรกเทอริสตกิของ log 4520 คือ 3

08/10/56

38

ฟังก์ชันลอการิทึม

ตัวอย่าง จงหาค าตอบของสมการ log2(x-2) + log2(x-3) = 1

วิธีท า log2(x-2) + log2(x-3) = 1

log2(x-2)(x-3) = log22

จะได้ (x-2)(x-3) = 2

x2- 5x + 4 = 0

(x-1)(x-4) = 0

x = 1 , 4

08/10/56

39

𝑦 = 𝑓 𝑥 = log𝑏 𝑥 จากโจทย์ก าหนดให้

จากกราฟที่ค่า x = 2, y=1 1 = 𝑓 2 = log𝑏 2 = log2 2 นัน่คือ b = 2

42 = 16 ดงันัน้ x + 1 = 2 จะได้ x = 1

𝑒𝑥−8 =(1/2) ดงันัน้ x − 8 = −ln 2, = −0.693 จะได้ x = 7.307

log8 𝑥 − 5 𝑥 + 2 = 1 ดงันัน้ 𝑥 − 5 𝑥 + 2 = 8, 𝑥2 − 5x + 2x − 10 = 8

𝑥2 − 5x + 2x − 10 = 8, 𝑥2 − 3x − 18 = 0, (x-6)(x+3) = 0 จะได้ x =-3, 6

log 2𝑥 = 2, 2𝑥 = 102, 𝑥 =100

2= 50

08/10/56

40

𝛽 = 10 log𝐼

𝐼𝑜

= 10 log10

10−12

= 10 log 101−(−12) = 10 log 1013 = 130 เดซิเบล