หนวยท 1 การเคลอนทใน 1 และ 2 มต แรง กฎของนวตน และการประยกต ตอนท 1.1 บทน ำ

ตอนท 1.2 กำรเคลอนทในแนวเสนตรง

ตอนท 1.3 กำรเคลอนทในสองมต

ตอนท 1.4 แรง

ตอนท 1.5 กฎของนวตนและกำรประยกต

khanchai

ตอนท 1.1 บทน า

• ฟสกส

• ปรมำณทำงฟสกสและหนวย

• เวกเตอรและกำรรวมเวกเตอร

• องคประกอบเวกเตอรในระบบพกดฉำก

• กำรคณเวกเตอร

khanchai

ฟสกส • กลศำสตร เปนแขนงทเกยวของกบการเคลอนทของวตถ

• อณหพลศำสตร เปนแขนงทเกยวของกบความรอน อณหภม และพฤตกรรมของอนภาคจ านวนมากๆ

• แมเหลกไฟฟำ เปนแขนงทเกยวของกบประจไฟฟา กระแสไฟฟา และแมเหลกไฟฟา

• ทฤษฎสมพทธภำพ เปนแขนงทเกยวของกบการเคลอนทของ อนภาคทมความเรวสง

• กลศำสตรควอนตม เปนแขนงทเกยวของกบพฤตกรรมของ อนภาคขนาดเลก

khanchai

ปรมำณทำงฟสกสและหนวย

• ปรมำณทำงฟสกส

ปรมำณพนฐำน

ปรมำณอนพนธ

• หนวย ในระบบนานาชาต SI (Le Systeme Intercational d’ Unites)

khanchai

หนวยของปรมาณพนฐาน

ปรมำณ ชอหนวย สญลกษณ

มวล กโลกรม(kilogram) kg

ควำมยำว เมตร(meter) m

เวลำ วนำท (second) s

จ ำนวนสำร โมล (mole) mol

อณหภมเชงอณหพลศำสตร เคลวน (kelvin) K

กระแสไฟฟำ แอมแปร(ampare) A

ควำมเขมของกำรสองสวำง แคนเดลำ (candela) Cd

khanchai

หนวยของปรมาณอนพนธบางปรมาณ

ปรมำณ ชอหนวย สญลกษณ มำจำกหนวยพนฐำน

แรง นวตน(newton) N kg m/s2

งำน จล(joule) J kg m2/s2

ก ำลง วตต(watt) W kg m2/s3 (J/s)

ควำมดน พำสคล(pascal) Pa kg /ms2 (N/m2)

ควำมหนยวน ำ เฮนร(henry) H kg m2/A2s3

khanchai

ค ำอปสรรคในระบบ SI

ค ำอปสรรค ควำมหมำย สญลกษณ

exa- 1018 E

peta- 1015 P

tera- 1012 T

giga- 109 G

mega- 106 M

kilo- 103 k

hecto- 102 H

deka- 101 Da

ค ำอปสรรค ควำมหมำย สญลกษณ

deci- 10-1 D

centi- 10-2 c

milli- 10-3 m

micro- 10-6

nano- 10-9 n

pico- 10-12 p

femto- 10-15 f

atto- 10-18 a khanchai

• จงเปลยนหนวยเหลานใหถกตอง a) 1km = mm

b) 1.5 nm = m

c) 1.45 kN = mN

d) 1.4 MHz = kHz

e) 2.4 cm2 = m2

f) 1.1 m2 = mm2

g) 2.7 m3 = mm3

h) 2.53 mm3 = m3

khanchai

2). ปรมาณเวกเตอร (vector quantity) เปนปรมำณทตองบอกทงขนาดและทศทางจงจะมความหมายสมบรณ เชน แรง กำรกระจด ควำมเรว ควำมเรง และโมเมนตม เปนตน

ปรมาณทางฟสกส(ปรมาณพนฐานและปรมาณอนพนธ)

1). ปรมาณสเกลาร (scalar quantity) เปนปรมำณทบอกขนาดอยางเดยวกมความหมายสมบรณ เชน มวล ควำมยำว เวลำ งำน และพลงงำน เปนตน

khanchai

เวกเตอรและการรวมเวกเตอร

• การรวมเวกเตอร

การบวกเวกเตอร

การลบเวกเตอร

• ความสมพนธระหวางดานและมมของรปสามเหลยม

กฎของไซน (sine’s Law)

กฎของโคไซน (cosine’s Law)

khanchai

A B

AB

BA

A B

A B

ABBA

การบวกเวกเตอร

khanchai

A

D

B C

E

EDCBAR

A

B C

D

E

R

khanchai

A B

AB

BA

)( BA

B

B

A

)( AB

B

A

A

ABBA

การลบเวกเตอร

khanchai

a

b

c A

B

C

กฎของไซน (sine’s Law)

กฎของโคไซน (cosine’s Law)

C

c

B

b

A

a

sinsinsin

Abccba cos2222

Bacacb cos2222

Cabbac cos2222

ความสมพนธระหวางดานและมมของรปสามเหลยม

khanchai

ตวอยางท 1.1 หญงคนหนงเดนไดระยะ 250 เมตร ในทศ 35 จำกเหนอไปทำงตะวนตก แลวเดนตอไดระยะ 170 เมตร ไปทำงตะวนตก (a) จงหำกำรกระจดผลลพธ โดยวธเรขำคณต (b) เปรยบเทยบขนำดของกำรกระจดผลลพธ และระยะทำงทเดน

A

N

170 m

250 m

A

35

W E

khanchai

125cos 250m 170m2 250m 170m A222

m 374.4 A

457.06 sin125

374.4m

sin

m 250

547.0 sin

1.33 =

cosine’s law :

sine’s law :

(a)

(b) ระยะทำงเดน = 250 m + 170 m = 420 m ขนำดกำรกระจด = 374.4 m

khanchai

องคประกอบเวกเตอรในระบบพกดฉาก

• กำรแยกเวกเตอรเปนองคประกอบของเวกเตอร

A

B

BAC

y

x

khanchai

xA

yA

yx AAA

y

x

xx AA

22

yx AAAA

yy AA

ixx AA

jyy AA

i เวกเตอรหนงหนวย ทมทศ +x

j เวกเตอรหนงหนวย ทมทศ +y

A

khanchai

xA

A

yA

x

cosxA

A

sinyA

A

sinyA A

cosxA A

y

yx AAA

ji yx AAA

ˆ ˆcos i sin jA A A tany

x

A

A

khanchai

xA

A

yA

x

cosxA

A

sinyA

A

sinyA A

cosxA A

y

yx AAA

j)i-( yx AAA

ˆ ˆcos i sin jA A A khanchai

A

x

y

yx BBB

B

yx AAA

BAR

ˆ( cos cos ) i

ˆ( sin sin ) j

A B

A B

ji yx AAA

ji yx BBB

)ji()ji( yxyx BBAABAR

j)(i)(ji yyxxyx BABARRR

khanchai

A

y

ki

jA y

A z

A x

x

z

kji zyx AAAA

ˆ( cos cos ) i

ˆ( sin sin ) j

A B

A B

j)(i)(ji yyxxyx BABARRR

( cos cos )xR A B

( sin sin )yR A B

khanchai

ตวอยางท 1.2 และ จงหำขนำดและทศทำงเทยบกบแกน x ของเวกเตอร ตอไปน

j 3 i 4 a

j 8 i 6 b

a

b

ba

ab

ba

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

khanchai

a

b

baR

cos2 22 abba

ตวอยางท 1.3 เวกเตอร และ ท ำมม ตอกน จงแสดงวำ

มคำเทำกบ

โดยใชวธกำรแยกเปนองคประกอบของเวกเตอร

ขนำดของเวกเตอรลพธ

khanchai

กำรคณเวกเตอร

• กำรคณแบบสเกลำร (Scalar Product or Dot Product) • กำรคณแบบเวกเตอร (Vector Product or Cross Product)

khanchai

กำรคณแบบสเกลำร (Scalar Product or Dot Product)

cosABBA

A

B

ABBA

ji yx AAA

ji yx BBB

)ji()ji( yxyx BBAABA

yyxx BABABA

1ii

1jj

0ji

0ij

)jj()ij( yyxy BABA

)ji()ii( yxxx BABA

BA

khanchai

kji zyx AAAA

kji zyx BBBB

)kji()kji( zyxzyx BBBAAABA

zzyyxx BABABABA

กำรคณแบบสเกลำร

กรณ 3 มต BA

khanchai

กำรคณแบบเวกเตอร(Vector Product or Cross Product),

sin;RRsin ABRRRABBA

A

B

ji yx AAA

ji yx BBB

)ji()ji( yxyx BBAABA

R

)jj()ij( yyxy BABA

)ji()ii( yxxx BABA

R

R

R

R

R

R

BA

ใชมอขวำหำทศ ของเวกเตอรลพธ

BA

khanchai

kk90sin)1)(1(ji

0n0sin)1)(1(jjii

k)k(-90sin)1)(1(ij

BA

)jj()ij( yyxy BABA

)ji()ii( yxxx BABA

)k(k xyyx BABA

kk xyyx BABA

khanchai

kji zyx AAAA

kji zyx BBBB

)kji()kji( zyxzyx BBBAAABA

)ki()ji()ii( zxyxxx BABABABA

)kj()jj()ij( zyyyxy BABABA

)kk()jk()ik( zzyzxz BABABA

j)(i)( zxxzyzzy BABABABABA

k)( xyyx BABA

กำรคณแบบเวกเตอร กรณ 3 มต

khanchai

j)(i)( zxxzyzzy BABABABABA

k)( xyyx BABA

BA

zyx

zyx

BBB

AAA

kji

j)(i)( zxxzyzzy BABABABABA

k)( xyyx BABA

khanchai

??? AB

ABBA

j)(i)( zxxzyzzy BABABABABA

k)( xyyx BABA

j)(i)( xzzxzyyz BABABABAAB

k)-( yxxy BABA

BAAB

khanchai

kjibkjia ˆ2 ˆ4 ˆ , 2ˆ3ˆ3

kjic ˆ ˆ2ˆ2

cba

cba

ตวอยางท 1.4 เวกเตอร

และ จงหำ (a)

(b)

khanchai

ตอนท 1.2 การเคลอนทในแนวเสนตรง

• จลนศาสตร • การกระจด • ความเรว • ความเรง • การเคลอนทดวยความเรงคงตว • วตถตกอยางอสระ

khanchai

จลนศาสตร (Kinematics)

กลศาสตร (Mechanics) เปนแขนงทเกยวของกบการเคลอนทของวตถ

คอกลศาสตรทอธบายถงลกษณะของการเคลอนทของวตถ โดยไมกลาวถงสาเหตของการเคลอนท

จะกลาวถงความหมายหรอนยามของปรมาณการเคลอนทชนดตางๆ เชน การกระจด ความเรวและความเรง เปนตน

khanchai

การกระจด

O t1 t2

x1 x2

x

การกระจด 12 xxx

12 xxx เฉพาะในกรณ 1 มต อาจเขยนเปน

เพราะ เครองหมาย บวกหรอลบจาก จะเปนตวบงบอกทศทาง x

khanchai

การกระจด ระยะทาง

A

B เสนทางท 1

เสนทางท 2

เสนทางท 3

การกระจด ระยะทาง เสนทางท 1 เสนทางท 3

เสนทางท 2

เสนทางท 3 khanchai

ความเรว (Velocity)

ความเรว (Velocity) อตราเรว (Speed)

ความเรวเฉลย

ความเรวบดดล(ความเรวขณะใดขณะหนง) 12

12ave

tt

xx

t

xv

dt

xd

t

xv

lim

0t

อตราการเปลยนแปลงการกระจด

อตราการเปลยนแปลงระยะทาง

khanchai

P

t1 t2

x1

x2

t

x

การกระจด

เวลา

Q

12

12ave

tt

xx

t

xv

Slope ของเสนตรง PQ

ความเรวเฉลย

khanchai

P

ความเรวบดดล

x1

x2

t

x

การกระจด

เวลา

x3

x4

x5

dt

xd

t

xv

lim Slope ของเสนสมผส ของกราฟการกระจด ณ เวลาทพจาณา

0t

Q

khanchai

ตวอยางท 1.5 รถยนตเคลอนทข นเขาดวยอตราเรว 40 กโลเมตรตอชวโมง และยอนลงเขาดวยอตราเรว 60 กโลเมตรตอชวโมง จงค านวณความเรวเฉลย ตลอดการเคลอนท

วธท า

x1

x2

khanchai

ตวอยางท 1.6 เครองบนรบความเรวสง ฝกบนการหลบเลยงการตรวจจบเรดารในแนวระดบความสง 35 เมตร เหนอพนดน ขณะบนเครองบนผานบรเวณผวดนทมความชน สงกวาพนราบ เปนการเปลยนระดบผวพนทยากตอการสงเกต นกบนมเวลาเทาใดในการแกไขเพอไมใหชนพน อตราเรวเครองบน 1800 กโลเมตรตอชวโมง

35 m 4.3 o

)075.03.4(tan

4.3

khanchai

(a) ความเรวเฉลย (b) ความเรวบดดล t = 2 วนาท (c) ความเรวบดดล t = 3 วนาท (d) ความเรวบดดล t = 2.5 วนาท (e) ความเรวบดดล เมออนภาคเคลอนทตรงจดกงกลางของทางเดน ระหวางเวลา t = 2 วนาท และ t = 3 วนาท

ตวอยางท 1.7 ต าแหนงของอนภาคเคลอนทตามแกน ในหนวยเซนตเมตร มความสมพนธตามสมการ x(t) = 9.75 + 1.50 t3 โดย t เปนวนาท ในชวงเวลา t = 2 ถง t = 3 จงค านวณ

6.25.17 31

x

khanchai

ความเรง (Acceleration)

ความเรงเฉลย

ความเรงบดดล(ความเรงขณะใดขณะหนง)

12

12ave

tt

vv

t

va

dt

vd

t

va

lim

0t

อตราการเปลยนแปลงความเรว

0a

0a

ความเรง (accerelation) ความหนวง (deceleration)

khanchai

ตวอยางท 1.8 อนภาคเคลอนทโดยมความเรวเปนฟงกชนเทยบกบ เวลาตามสมการ เซนตเมตร/วนาท จงหา (a) ความเรงเฉลย ในชวง วนาทและ วนาท

2210 t(t)v

2 1 t 52 t

(b) ความเรงบดดล ณ เวลา วนาท 2t

khanchai

การเคลอนทดวยความเรงคงตว at

va

ave

12

12ave

tt

vv

t

va

dt

vd

t

va

lim

0t

ความเรว

เวลา

V0

V

0 t

0

0

12

12

t

vv

tt

vvaa ave

0 tavv

khanchai

0 atvdt

dxv

ttx

xatdtdtvdx

0

0 0

0

attvxx 2

002

1

พจารณากรณ 1 มต

2

02

1attvx

0

0 tt

vva

0, 0 x

t

vva 0

a

vvt 0

00 tkhanchai

2

02

1attvx

a

vvt 0

axvv 2 2

0

2

2

000

2

1

a

vva

a

vvvx

khanchai

ตวอยางท 1.9 เครองบนไอพนมความเรวสงสดเทากบ360กโลเมตรตอชวโมง บนทางวงเพอจะบนขนได สมมตใหความเรงของเครองบนคงตว และทางวงยาว 1.8 กโลเมตร จะตองใชความเรงเทาใดจากเครองอยนง

khanchai

ตวอยางท 1.10 รถยนตมความเรงตามสมการ ทจดเรมตน

(a) จงแสดงฟงกชนความเรวเทยบกบเวลา และการกระจดเทยบกบเวลา (b) ค านวณหาเวลา ทคา มคาสงสด (c) สงสดมคาเทาใด

2m/stta 1.00.2)(

100 v m/s

)(tv )(tx

t v

v

khanchai

0 atvv

axvv 2 2

0

2

2

02

1attvx

uv 0

atuv

asuv 2 22

2

2

1atuts

sx

khanchai

วตถตกอยางอสระ

วตถตกอยางอสระเปนการเคลอนทดวยความเรงคงตว โดยวตถจะเคลอนทลงสพนโลกดวยความเรง 9.8 เมตร/วนาท2

atuv

asuv 2 22

2

2

1atuts

ga

gtuv

gsuv 2 22

2

2

1gtuts

khanchai

ตวอยางท1.11 ลกกอลฟลกหนงถกปลอยใหตกอยางอสระจากยอดตกสง ถาหากไมคดแรงตานของอากาศ จงหาความเรวและต าแหนงของลกกอลฟดงกลาวเมอเวลาผานไป 1 , 2 และ 3 วนาท ตามล าดบ

khanchai

ตวอยางท 1.12 ลกบอล A ถกปลอยใหตกลงมาจากขอบหนาผา เมอเวลาผานไป 1 วนาท ลกบอล B ถกขวางลงมาดวยความเรวตน 20 เมตร/วนาท ถามวาลกบอล B จะตามทนลกบอล A ทระยะความลก เทาใด

khanchai

ตวอยางท 1.13 ปากอนหนขนไปในแนวดง ดวยความเรวตน 25m/s ถาไมคดแรงเสยดทานอากาศ และก าหนดให g=10m/s2 (1) กอนหนจะพงขนไปไดสงสดเมอวดจากจดปากอนหน เปนระยะเทาใด (2) เวลาผานไปเทาใดหลงจากปากอนหน กอนหนจงจะตกลงมาถงจดเดม (3) จงเขยนกราฟระหวางความเรวของกอนหนกบเวลา

khanchai

ตอนท 1.3 การเคลอนทในสองมต

• นยามของต าแหนง การกระจด ความเรว และความเรง • การเคลอนทดวยความเรงคงตวสามมต • การเคลอนทแบบโพรเจกไทล • การเคลอนทแบบวงกลมดวยอตราเรวคงตว

khanchai

นยามของต าแหนง การกระจด ความเรว และความเรง

ต าแหนง เวกเตอรบอกต ำแหนง (position vector )

kji zy x r

X

Y

Z

r ทางเดนอนภาค

k

jiO

khanchai

การกระจด

r

X

Y

Z

r2

ทางเดนอนภาค

O r1

การกระจด

12 rrr

X

Y

Z

r2

ทางเดนอนภาค

O r1

การกระจด

12 rrr

0t

khanchai

ความเรว

t

xv

aveกรณ 1 มต

กรณ 3 มต t

rv

ave

kji zy x r

ทศของความเรวจะมทศเดยวกนกบ การกระจด

ความเรวเฉลย

กรณ 1 มต

กรณ 3 มต

dt

xd

t

xv

lim

dt

rd

t

rv

lim

0t

0t

kji zy x r

ทศของความเรวบดดล อยในแนว เสนสมผสทางเดนของวตถ

ความเรวบดดล(ความเรวขณะใดขณะหนง)

x

khanchai

dt

rd

t

rv

lim

0tkji zy x r

)kji( zyxdt

d

dt

rdv

kjidt

dz

dt

dy

dt

dx

kji zyx vvv

dt

dzv

dt

dyv

dt

dxv zyx

khanchai

ความเรง

t

va

aveความเรงเฉลย

ความเรงบดดล(ความเรงขณะใดขณะหนง)

dt

vd

t

va

lim

0t

kji zyx vvvv

)kji( zyx vvvdt

d

kjidt

dv

dt

dv

dt

dv zyx

kji zyx aaa

dt

dva

dt

dva

dt

dva z

z

y

yx

x

khanchai

ตวอยางท 1.14 อนภาคเคลอนทในระนาบ โดยมจดพกดตามแกนมความสมพนธกบเวลา t ตามสมการ และ โดย และ มหนวยเปนเมตร เวลา t เปนวนาท จงหาเวกเตอร บอกต าแหนง ความเรว และความเรงของอนภาคเมอเวลา t = 3 วนาท

t tx(t) 32 3 12 5 2 t y(t)

xy

x y

khanchai

.

การเคลอนทดวยความเรงคงตวสามมต

kji 0000 zy x r 0t เวลาเรมตน

วตถอยทต าแหนง

วตถมความเรวเรมตน kji 0000 zyx vv v v

วตถมความเรง a

kji zyx aaa

tavv

0ความเรวของวตถทเวลาใดๆ

tavv xxx 0

tavv yyy 0

tavv zzz 0

khanchai

2

002

1 tatvrr

000 2 rravvvv

tvvr r

002

1

0 0 r

2

02

1 tatv r

ravvv v 200

tvvr

02

1

โดยทวไปเราจะให

khanchai

ตวอยางท 1.15 อนภาคเคลอนทโดยมต าแหนงเปนฟงกชนของเวลาตามสมการ ktjtitr ˆ ˆ4 ˆ 2

จงเขยนสมการ (a) ความเรว (b) ความเรง

khanchai

การเคลอนทแบบโพรเจกไทล

xR

y

o0v

0v

v

vv

v

xv

xvxv

yv

yv

yv

oxvoxv

yv0

yv0

0

0

เคลอนทดวยความเรงคงตวในสองมต

0xa

gay

วถของการเคลอนทแบบโพรเจกไทลจะเปนรปโคงพาราโบลา khanchai

000 cos vtavv xxx

000 cos vvx

gay gtvtavv yyy sin 000

tvx cos 00

2

002

1sin gt tv y

2

2

00

0 cos2

tan xv

gxy

2 bxaxy 0

2

0 2sin g

vR

ji 000 yx vvv

000 sin vvy

ความเรวเรมตน

ความเรวเมอเวลาผานไป

0 xa

t tavv

0

2

02

1 attvs

khanchai

ตวอยาง1.16 ยงลกกระสนปนใหญท ามม 37 องศากบแนวระดบ ดวยความเรวตน 50 m/s และก าหนดให g=10m/s2 (1)จงหาต าแหนงของกระสนปน ในแนวราบ และแนวดง เทยบกบจดยงทเวลา 1, 2 และ 4 วนาท (2) จงค านวณหาความเรวของลกกระสนปนในแนวราบ และแนวดง ทเวลา 1 ,2 และ 4 วนาท (3) จงหาพสยของการยงครงน (4) ในการยงครงนลกกระสนปนใหญ อยสงทสดเทาใด และทจดสงสดนอยหาง จากจดยงเปนระยะเทาใด

khanchai

ตวอยางท 1.17 การวเคราะหจดชนของอนภาคปลอยตกอสระตามแนวดงกบอนภาค ทถกยงแบบโพรเจกไทล

0v

0v0 A y

x

2gt21

0tanx

x

y

o0

khanchai

ตวอยางท 1.18 (a) จงพสจนวาถาโพรเจกไทลถกยงขนจากพนระดบเปนมม

อตราสวนความสงทสด H ตอพสย R มคา H/R = (b) จงหามมของการยงทท าให H = R

0

0tan4

1

H

R

0v

0

t

R v v x 000 cos

000 sin vv y

(a)

khanchai

t v R 00 cos

2

02

1at t v S yy 2

002

1sin0 gt t v

gt v2

1sin 00

g

v R 0

2

0 2sin

yyy aSv v 22

0

2 gHv 2sin02

00

g

v H

2

sin 0

22

0

t

R v v x 000 cos

000 sin vv y

g

vv R 00

00

sin2cos

khanchai

0

00

2

0

00

2

0

tan4

1

cossin4

sinsin

g

g v

v

R

H

0tan4

1

R

H

RH

0tan4

11

4 tan 0

9675 4tan 1

0 .

g

v R 0

2

0 2sin

g

v H

2

sin 0

22

0

(b)

khanchai

การเคลอนทแบบวงกลมดวยอตราเรวคงตว

การเคลอนทแบบวงกลมเปนการเคลอนท ททศทางของความเรวและความเรงเปลยนแปลงตลอดเวลา

แตจะมขนาดของความเรวและความเรงคงตวเสมอ

C

r

r

1P

2P

2v

1v

O

2v

1v

v

C

r

r

1P

2P

tv

)a( )b( )c(

khanchai

tvr v

rt

2sin

2

1 vv

2sin2

v v

2

sin2

ave vr

v

t

va

0t

22sin

r

va

2

c

avet

va

r

va

2

ave

เนองจากมทศเขาสศนยกลาง จง เรยกความเรงดงกลาววา “ความเรงสศนยกลาง”

vv

v

ca

ca

ca

O

khanchai

ถาเปนการเคลอนททมความเรวเปลยนทงขนาดและทศทาง จะไดการเคลอนททมทงความเรงเขาสศนยกลาง และความเรงในแนวสมผสทางเดน ทตงฉากซงกนและกน การเคลอนทดงกลาวจะเปนการเคลอนททเปนสวนโคงของวงกลม

ca

Ta

22 Tc aaa ขนาดของความเรงลพธ

Ta

ca

a

khanchai

ตวอยางท 1.19 ดวงจนทรหมนรอบโลกครบรอบใชเวลา 27.3 วน สมมตใหวงโคจรเปนวงกลมมรศมความโคง เมตร จงค านวณหาขนาดของความเรงของดวงจนทรเขาสโลก

810 82.3

เวลาครบรอบ วน 27.3 T

m/s

s .

m .π

T

πr v 1018

10362

10823226

8

m .

m/s

r

v a

8

22

10823

1018

2m/s 0.00271

วนาท

60602427.3

610 2.36 วนาท

r

v a

2

khanchai

ตวอยางท 1.20 อนภาคก าลงเคลอนทเปนสวนโคงของวงกลมดวยรศม 3.64เมตร ณ จดเวลา อนภาคมความเรวเชงเสนสมผส 17.4 เมตร/วนาท และมความเรงในทศทาง 22.0 จากแนวเขาสจดศนยกลาง จงหา

(a) อตราเรงในแนวเสนสมผสทางเดน (b) ขนาดของความเรง

smv / 7.41

22

a

C

mr 6.43

khanchai

m/s.

m.

m/s.

r

v a

c

222

1783643

417

17.83 22cos aac

2789 22cos

1783 m/s .

.a

22sin aaT

2s/m 7.89 a

อตราเรงในแนวเขาสศนยกลางมคา

(b) ขนาดของความเรง

(a)

22sin7.89 2/ 633 sm.

smv / 7.41

22

a

C

mr 6.43

khanchai

ตอนท 1.4 แรง

• พลศาสตร

• แนวความคดเกยวกบแรง

• มวลและความเฉอย

khanchai

พลศาสตร

• พลศาสตร (Dynamics)

เปนอกแขนงหนงของวชากลศาสตรซงอธบายถงสาเหตของการเคลอนทของวตถ

รายละเอยดของลกษณะการเคลอนทของวตถ และเงอนไขของแรงทกระท าตอวตถ

ตอนท 1.5 เรองกฎของนวตน

khanchai

แรงและการเคลอนท ไมจ าเปนเสมอไปวาแรงจะท าใหเกดการเคลอนท แตการเปลยนแปลงความเรวของวตถเกดจากแรงหรอแรงจะท าใหความเรวของวตถเปลยนแปลงหรอท าใหวตถเคลอนทดวยความเรง

ถาแรงลพธของแรงภายนอกเปนศนย วตถจะไมมความเรงหรอเคลอนทดวยความเรวคงตว

แตถาแรงลพธของแรงภายนอกไมเปนศนย วตถจะเคลอนทดวยความเรงหรอมความเรวทเปลยนแปลง

แนวความคดเกยวกบแรง

khanchai

ลกษณะของการกระท าของแรงภายนอก

แรงโดยการสมผส แรงจากสนามของแรง

e -

e - v

v

khanchai

แรงในธรรมชาตทางฟสกส

แรงนวเคลยรอยางแรง แรงแมเหลกไฟฟา แรงนวเคลยรอยางออน แรงโนมถวง

ชนดของแรง ยดนวคลออน

(โปรตอน และนวตรอน)ในนวเคลยส

แรงระหวางประจไฟฟา

แรงทท าใหอะตอมและโมเลกลรวมตวกนอยไดใน

สสาร

ท าใหนวเคลยสไมเสถยร จงเกดการสลายตวของ

นวเคลยส

แรงดงดดระหวางมวล

ท าใหดาวเคราะหตางๆ รวมกนอยไดในระบบ

สรยะของเรา

พสยของแรง แรงพสยสน ไมเกนระยะ

10-14 เมตร อนนต มพสยสน อนนต

ขนาดของแรง 1

ประมาณ 10-2 เทาของแรงนวเคลยร

ขนกบขนาดของประจ และระยะหางระหวางประจ

ประมาณ 10-9 เทาของแรงนวเคลยร

10-38 เทาของแรงนวเคลยร

ขนกบขนาดของมวล และ ระยะหางระหวางมวล

khanchai

มวลและความเฉอย

มวลเปนคณสมบตของวตถทจะพยายามตานการเปลยนแปลงสถานะภาพการเคลอนทเดมของวตถ

ถาเดมวตถอยนง มวลจะพยายามรกษาสถานะภาพการอยนงตอไป

ถาเดมวตถเคลอนทดวยความเรวคงตวมวลกจะพยายามรกษาสถานะภาพความเรวคงตวเอาไว

เราเรยกคณสมบตดงกลาวของมวลวา ความเฉอย (inertia)

หนวยของมวลทนยมใชคอ หนวยในระบบ SI ซงมหนวยเปน กโลกรม (kilogram , kg)

khanchai

ตอนท 1.5 กฎของนวตน และการประยกต

กฎของนวตน • กฎขอทหนงของนวตน • กฎขอทสองของนวตน • กฎขอทสามของนวตน • กฎความโนมถวงของนวตน การประยกต • ความสมพนธระหวางน าหนกและมวล • ความเสยดทาน • การประยกตกฎของนวตน

khanchai

กฎขอทหนงของนวตน กฎขอทหนงของนวตน วตถทเดมอยนงจะยงคงอยนงตอไปหรอถาวตถก าลงเคลอนทดวยความเรวคาหนงกจะยงคงเคลอนทในแนวเสนตรงดวยความเรวเทาเดม นอกเสยจากวามแรงลพธจากแรงภายนอกทไมเปนศนยมากระท ากบวตถ

ความเฉอยของวตถ กฎของความเฉอย (law of inertia)

กฎของนวตนจะเปนจรงเมอผสงเกตอยนงหรอเคลอนทดวยความเรวคงตว เมอเทยบกบกรอบอางองเฉอยเทานน

กรอบอางองเฉอย หมายถงกรอบอางองทไมมความเรงอยางแทจรงในปรภม (space)

khanchai

คอแรงลพธของแรงภายนอก คอมวลของวตถ คอความเรงของวตถ

กฎขอทสองของนวตน

วตถจะเคลอนทดวยความเรง เมอมแรงลพธจากภายนอกทไมเปนศนย มากระท าตอวตถ โดยความเรงจะแปรผนโดยตรงกบแรงทมากระท าแตจะแปรผกผนกบมวลของวตถ

กฎขอทสองของนวตน

amFΣ

xx maΣF

yy maΣF

zz maΣF

FΣ

am

หนวยของแรงทนยมใชคอ หนวยในระบบ SI ซงเรยกวา “นวตน” (newton, N) 2/kN smg

khanchai

กฎขอทสามของนวตน

ถาวตถสองกอนมอนตรกรยาตอกน แรงทวตถกอนท 1 กระท าตอวตถกอนท 2 จะมขนาดเทากบแรงทวตถกอนท 2 กระท าตอวตถกอนท 1 แตทศทางตรงกนขาม

กฎขอทสามของนวตน

2112 FF

12F21F

คอแรงทวตถกอนท 1 กระท าตอวตถกอนท 2

คอแรงทวตถกอนท 2 กระท าตอวตถกอนท 1

21F

12F

32F

23F

khanchai

มวลของวตถกอนท 2

กฎความโนมถวงนวตน

วตถทกชนดในจกรวาลจะออกแรงดงดดซงกนและกน โดยขนาดของแรงจะเปนปฏภาคโดยตรงกบผลคณของมวลของวตถและเปนปฏภาคผกผนกบก าลงสองของระยะหางระหวางวตถ

กฎความโนมถวงนวตน

2

21

r

mGmF

F

G

1m

r2m

มวลของวตถกอนท 1

ระยะหางระหวางวตถทงสอง คอคาคงตวโนมถวงเอกภพ

แรงดงดดระหวางมวล มลกษณะเปนแรงคกรยา-ปฏกรยา 1m 2m

r

21F

12F

2211 k/N 10 67259.6 gmG

khanchai

ตวอยางท 21 จงค านวณหาแรงโนมถวง (a) ระหวางลกโบวลงสองลกมวล 7.3 กโลกรม อยหางกน 0.65 เมตร (b) ระหวางโลกและดวงจนทร ก าหนดใหโลกและดวงจนทรมมวล และ ตามล าดบ และระยะหางระหวางโลก และดวงจนทรเปน

kg 10 .985 24 kg 10 36.7 22

m 10 82.3 8

2

21 r

G=F

m m

2

2211-

) m65.0(

) kg3.7)( kg3.7)(/kg N.m10 67.6( =

N 10 4.8 9

วธท า (a)

28

22242211

)1082.3(

)1036.7)(1098.5)(1067.6(

m

kg /kgm N =

N 10 01.2 20

(b) 2

21 r

G=F

m m

khanchai

การประยกตกฎของนวตน

• ความสมพนธระหวางน าหนกและมวล • ความเสยดทาน • การประยกตกฎของนวตน

khanchai

ความสมพนธระหวางน าหนกและมวล

น าหนกของวตถบนผวโลกกคอแรงโนมถวงทโลกกระท าตอวตถ

2R

GmMW E

โดย และ คอมวลและรศมของโลกตามล าดบ EM R

2

R

GMg E

mgW

คาความเรงเนองจากแรงโนมถวงของโลก g

มคาประมาณ 9.8 เมตร/วนาท2 khanchai

ตวอยางท 22 เครองบนไอพนเรมออกวงบนทางวงเพอบนขน มความเรง 2.3 เมตร/วนาท2 เครองบนมเครองยนต 2 เครอง แตละเครองมแรงดนขน นวตนจงค านวณวาน าหนกของเครองบนมคาเทาใด 51040.1

a F m

F N 10 1.40 2 5

)3.2(mN101.40 2 25 m/s=

g . = k10 221 m 5

N 10 41 5.แตละเครองยนตมแรงดนขน

)8.9)(k10 22.1(m 25 m/sg g W

N10 19.1 6

วธท า

khanchai

ความเสยดทาน ความเสยดทาน (friction)จะเกดขนเมอวตถทมผวสมผสกนเคลอนทสมพทธตอกน ทงนเพราะเหตวาผวของวตถทงสองนนขรขระหรอไมเรยบ เมอพยายามเคลอนวตถทสมผสกนจะมแรงตานเกดขน

แรงเสยดทาน

แรงเสยดทานสถต แรงเสยดทานจลน

แรงพยายามทนอยทสดทตองใชในการท าใหวตถเคลอนตวจากเดมทอยนง

Nμf ss

s คอคาสมประสทธของความเสยดทานสถต

คอแรงปฏกรยาตงฉากระหวางผวสมผส

แรงเสยดทานทเกดขนระหวางผวสมผส ในขณะทวตถก าลงเคลอนท

kμ คอคาสมประสทธของความเสยดทานจลน

Nμ f kk

Nkhanchai

ตวอยางท 23 ในการขนยายกลองหนงสอเขาหอพกของนกศกษามหาวทยาลยเทคโนโลยสรนารคนหนง โดยการใชเชอกลากกลองหนงสอไปบนพนดงรปถานกศกษาคนนนออกแรง 90 นวตน ดงเชอกซงท ามมกบแนวราบ แลวกลองเคลอนทพอด จงหาสมประสทธของความเสยดทานสถต ถากลองมมวล 20 กโลกรม

30

Books

30

R

W

fs

0 yΣF

0 30sin)90( W NR

0)89)(20(2

1)90( 2

m/s. kg NR

N R 45 196 N 151

30cos90 N fs

2

3 90 N R μs

2151

390

N

N μs = 0.52

0 xΣF

khanchai

การประยกตกฎของนวตน ขนตอนของการประยกตกฎของนวตนมขอแนะน าดงตอไปน

แยกวตถทตองการวเคราะหออกจากสงแวดลอม พจารณาวาสงแวดลอมคออะไรบางซงออกแรงกระท าตอวตถ เลอกกรอบอางองทเหมาะสม เขยนfree-body diagram ของวตถทตองการวเคราะห ใชกฎของนวตนกบแรงทกระท าตอวตถและความเรงทเกดขน

khanchai

ตวอยางท 24 เดกหญงมวล 40 กโลกรม และลอเลอนมวล 8.4 กโลกรม ยนอยบนผวน าแขงของทะเลสาปแหงหนงโดยหางกน 15เมตรถาเดกหญง ใชเชอกดงลอเลอนดวยแรง 5.2 นวตน โดยดงเขาหาตว จงค านวณ (a) ความเรงของลอเลอน (b) ความเรงของเดกหญง (c) ถานบจากต าแหนงเดกหญงยนอยเรมตน เดกหญงกบลอเลอนจะชนกนทใด ถาแรงดงของเดกหญงมคาคงท และไมคดแรงเสยดทาน วธท า (a)

R

W xx ma F

N. Fx 25

kg. m 482.620

4.8

2.5 m/s

kg

N ax

khanchai

(b) R

xx ma F W

N. Fx 25 kgm 40

213.0 40

2.5 m/s

kg

N ax

(c)

x xm15

khanchai

1t

ต าแหนงทชน

2t

ttt 21

2

2

1atuts

22 )/13.0(2

1)0( tsmtx 22 )/62.0(

2

1)0(15 tsmtxm

22 )/13.0(2

1tsmx 22 )/62.0(

2

115 tsmxm

x xm15

เดก ลอเลอน

khanchai

2222 )/13.0(2

1)/62.0(

2

115 tsmtsmm

22 )/62.0(2

115 tsmxm (1)

22 )/13.0(2

1tsmx (2)

22 )/75.0(2

115 tsmm

2

2

/75.0

215

sm

mt

22

75.0

30st

st 32.6 st 32.6

22 )/13.0(2

1tsmx

22 )32.6)(/13.0(2

1ssmx

mx 59.2

khanchai

22 )/62.0(2

115 tsmxm (1)

22 )/13.0(2

1tsmx (2)

22

22

)/13.0(2

1

)/62.0(2

115

tsm

tsm

x

xm

mx 59.2

khanchai

ตวอยางท 25 คนมวล 110 กโลกรม หยอนตวเองลงมาถงพนจากความสง 12 เมตร โดยใชเชอกคลองผานรอกเกลยง ปลายขางหนงผกตดกบถงทรายมวล 74 กโลกรม ถามวา

(a) อตราเรวของคนเมอกระทบพนมคาเทาใด (b) เขาจะท าอยางไรเพอจะลดอตราเรวกระทบพน

a

T

m1g

T

m2g

(a) maΣF

a mT gm 11

a kg T m/s kg )110()8.9)(110( 2

a mg mT 22

a kg m/s kgT )74()8.9)(74( 2

as2 v v 2 0

2

khanchai

(1) + (2) ; a kg m/s kg kg )184( )8.9)(74110( 2

a kg T m/s kg )110()8.9)(110( 2 (1)

a kg m/s kgT )74()8.9)(74( 2 (2)

292.1 184

.89 36 m/s a

as v v 2 2

0

2

)12)(92.1(2 0 22 m m/s 2208.46 /s m

m/s v 79.6

หาความเรวของชายเมอกระทบพน

เขาตองไตเชอกขนใหความเรวสมพทธลดลงเพอลดอตราเรวกระทบพน (b) khanchai

ตวอยางท 26 วตถ 2 กอนซงมมวล 10 กโลกรม และ 5 กโลกรมตามล าดบ ผกตดกนโดยเชอกเบาซงคลองผานรอกคลองแลวเคลอนทไปบนระนาบเอยงดงแสดงในรป ถาหากวตถซงมมวล 5 กโลกรม เคลอนทบนระนาบเอยงซงท ามม กบแนวราบ จงหาความเรงของวตถทงสองและแรงตงในเสนเชอก

53

5 kg 10 kg

khanchai

53

10 kg

W1

T

5 kg

W2

N

40

x

y

T

40cos2w

40sin2w

maΣF

a mT g m 11

a kg T g )10()kg10(

xx amΣF 2

a mθ g m T 22 sin

a g T )kg 5(40sin)kg5(

yy amΣF 2

0cos2 θ gmN

040cos)kg5( g N

khanchai

a g T )kg 5(40sin)kg5( (2) a Tg )kg10()kg10( (1)

(1) + (2) ; a kgg g )15(40sin )kg5()kg10(

kg15

)643.0)(8.9)(kg5()8.9)(kg10( 22 m/sm/s a

2 43.4 m/s

) 43.4)(kg10()8.9)(kg10( 22 m/s Tm/s

N T 7.53

khanchai

ตวอยางท 27 ลกอกกาบาตมวล 0.25 กโลกรม ก าลงตกลงมาตามแนวดงสผวโลก โดยผานชนบรรยากาศดวยความเรง 9.2 เมตรตอวนาท2 นอกจากแรงโนมถวงแลว ยงมแรงตานตามแนวดงเนองจากชนบรรยากาศกระท าตอลกอกกาบาต จงหาขนาดของแรงตานน

mg

แรงตานอากาศ R

maΣF

maR mg

)/2.9)(25.0()/8.9)(25.0( 22 smkg R smkg

)/)(2.98.9)(25.0( 2smkg R

N R 15.0khanchai

ตวอยางท 28 สมประสทธแรงเสยดทานสถตระหวางกระทะเทฟลอน (teflon) และไขดาวมคาประมาณ 0.04 เมอเราเอยงกระทะมมเอยงนอยทสดมคาเทาไร จงจะท าใหไขพอดเลอนออกจากกระทะ

mg

cosmg

sinmg

N

sf

θ mg N cos

Nf ss sin sfmg

tan s

04.0

04.0tan 13.2

x

y

maΣF

0 ΣFy

0 ΣFx

θmg mg cos sin s

khanchai

ตวอยางท 29 วตถสองกอนซงมมวล 4 กโลกรมและ 7 กโลกรมผกตดกนโดยเชอกเบาแลวคลองผานรอกคลองดงรปถาสมประสทธความเสยดทานจลนระหวางวตถมวล 4 กโลกรม กบพนทมคา 0.30 จงหาความเรงของวตถและแรงดงในเชอก

4 kg

7 kg

khanchai

7 kg

4 kg

gm1

N

kf

T

T

gm2

maΣF

0 ΣFy a m ΣFx 1

g mN 1a m fT k 1

a mN T k 1

a m ΣFy 2

a mg mT k 11 (1)

a mT gm 22 (2)

(1)+(2) amm g mgm k )( 2112

mm

gmma k

)(

)(

21

12

khanchai

kgkg

smkgkga

)47(

/8.9)4)30.0(7( 2

2/17.5 s ma

a mT gm 22 (2)

)(2 ag mT

2/)17.58.9(7 smkg T

N T 41.32

mm

gmma k

)(

)(

21

12

khanchai