105103 ฟสกสทวไป

1

105103 ฟสกสทวไปอาจารยผสอน สรโชค จงถาวรรณ

หองทางาน C2-539 สาขาวชาฟสกส

สานกวชาวทยาศาสตร

ชน 5 อาคารวชาการ 2

เอกสารประกอบการเรยนการสอน

ประมวลสาระวชา ฟสกส 1 และ ฟสกส 2

บทนา

หนวย ในระบบ SI, มต ปรมาณพนฐาน

ปรมาณอนพนธ

ปรมาณเวกเตอร สเกลาร

พชคณต เรขาคณต

หนวยของปรมาณพนฐาน

ปรมาณ ชอหนวย สญลกษณมวล กโลกรม (kilogram) kg

ความยาว เมตร (meter) mเวลา วนาท (second) s

หนวยของปรมาณอนพนธบางปรมาณ

ปรมาณ ชอหนวย สญลกษณ หนวยพนฐาน

แรง นวตน (newton) N kg·m/s2

งาน จล (joule) J kg·m2/s2 (N·m)งาน จล (joule) J kg·m /s (N·m)

กาลง วตต (watt) W kg·m2/s3 (J/s)

คาอปสรรค ความหมาย สญลกษณ

giga- 109 G

mega- 106 M

kilo- 103 k

d i 10 1 ddeci- 10-1 d

centi- 10-2 c

milli- 10-3 m

micro- 10-6 μ

nano- 10-9 n

ลองทาด

1200 m = km 1.200 km

0.2 μm = mm 0.2×10–3 หรอ 0.0002 mm

0.2 km = mm 0.2×106 หรอ 200000 mm

0.6 nm = km 0.6×10–12 km

0.1 mm3 = m3 0.1×10–9 m3

120 km/hr = m/s 33.3 m/s

105103 ฟสกสทวไป

2

ปรมาณทางฟสกส

ปรมาณสเกลาร (scalar quantity)เปนปรมาณทบอกขนาดอยางเดยวกมความหมายสมบรณ เชน มวล ความยาว งาน และพลงงาน เปนตน

ปรมาณเวกเตอร (vector quantity)เปนปรมาณทตองบอกทงขนาดและทศทางจงจะมความหมายสมบรณ เชน แรง การกระจด ความเรว ความเรง และโมเมนตม เปนตน

เวกเตอร

ขนาด และทศทางของเวกเตอร

การรวมเวกเตอร บวก ลบ

การคณเวกเตอร (Vector product)

ความสมพนธระหวางดานและมม (ตรโกณมต) กฎของไซน (sine’s Law)

กฎของโคไซน (cosine’s Law)

การรวมเวกเตอร (เวกเตอรองคประกอบ)

A B+

A

B A B B A+ = +

A

A B-

A

B-A B- +

A-

B

A B B A- ¹ -

หญงคนหนงวดความสงของตก โดยเดนเปนระยะ 46 m ออกมาจากตวตกและสองไฟไปทดาดฟาทามม 39° พอด

ก. จงหาความสงของตก (37.3 m)

ข. ระยะทางทแสงเดนทางจากไฟฉายไปถงดาดฟา (59.2 m)

tan 39y

=tan 3946

=

2 246r y= +

ความสมพนธระหวางดานและมมA

BCa

b c

a b c= =

sin sin sinA B C= =

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

a b c bc A

b c a c a B

c a b ab C

= + -

= + -

= + -

105103 ฟสกสทวไป

3

1.1 หญงคนหนงเดนไดระยะ 250 ม. ในทศ 35° จาก น. ไป ตต. แลวเดนตอไดระยะ 170 ม. ไปทาง ตต.

ก. จงหาการกระจดลพธ A โดยวธเรขาคณต (374.4, 33.1°)

ข. เปรยบเทยบขนาดของการกระจดลพธ และระยะทางทเดน

2 2 2

35°

250170

A

125°b

2 2 2 2 cosA B C BC a= + -

sin sin

A B

a b=

เวกเตอรในระบบพกดฉาก

2 2

ˆ ˆ,

,

ˆ

x y

x y

A A x A y

A A A A

AA

= +

= +

=

A

a

b2 2c a b= +

กฎของพทากอรส

cos

sin

tan

x

y

y

x

AA

A A

A A

A

A

=

=

=

=

ฎ

A

xA

yA

วงกลมหนวยและความสมพนธทางตรโกณ

(1 ,0)

(0 ,1)

(-1 ,0)

2 2

2 2

cos sin 1

0; 1 0 1

3 130; 1

2 2

+ == + =

æ ö æ ö÷ç ÷ç÷= + =ç ÷ç÷ç ÷ç÷÷ è øçè ø

2 2

cos

sin

?

x

y

x y

==

+ =

(0 ,-1)2 2

22

2 245; 1

2 2

1 360; 1

2 2

90; 0 1 1

è ø

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷= + =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø

æ öæ ö ÷ç÷ç ÷= + =ç÷ç ÷ç÷ç ÷÷è ø çè ø

= + =

1.3 จงหาขนาดและทศทางเทยบกบแกน x

ˆ ˆ ˆ ˆ4 3 , 6 8a i j b i j

a

b

b

= - = +

+

a

b

36.953.1

a b

b a

a b

+

-

-

5

cos

4cos

5

x

a

a a

=

=

=

a

tan

3

4

y

x

A

A =

-=

พกดฉากในระบบ 3 มตz

A

x zA A+

y zA A+

zA

x

y

xA

x yA A+

x z

yA

การรวมเวกเตอร

2 2 2

ˆ ˆ ˆx y z

x y z

A A x A y A z

A A A A

= + +

= + +

2 2 2

ˆ ˆ ˆx y z

x y z

B B x B y B z

B B B B

= + +

= + +

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

x x y y z z

x x y y z z

A B A B x A B y A B z

A B A B x A B y A B z

+ = + + + + +

- = - + - + -

105103 ฟสกสทวไป

4

Dot product (scalar product)

( ) ( )

cos

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

A B AB

A B A x A y A z B x B y B z

⋅ =

⋅ = + + ⋅ + +

A

B

( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z x y z

x x x y

A B A x A y A z B x B y B z

A B x x A B x y

+ + + +

= ⋅ + ⋅ ˆ ˆx zA B x z+ ⋅

ˆ ˆy xA B y x+ ⋅ ˆ ˆ ˆ ˆy y y zA B y y A B y z+ ⋅ + ⋅

ˆˆz xA B z x+ ⋅ ˆˆz yA B z y+ ⋅

( ) ( ) ( )

ˆ ˆz z

x x y y z z

A B z z

A B A B A B A B

+ ⋅

⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅

Cross product

ˆ sinA B R AB ´ =

x

yz

พนทสเหลยมระหวางเวกเตอร A และ B

A

B

sinB sinC A B =

A

A

B

sinA

sinC B A =

Cross productx

yz

( ) ( )

( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ

x y z x y z

x x

A B A x A y A z B x B y B z

A B x x

´ = + + ´ + +

= ´

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

x y x z

y x y y

A B x y A B x z

A B y x A B y y

+ ´ + ´

+ ´ + ´ ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ

y z

z x z y z z

A B y z

A B z x A B z y A B z z

+ ´

+ ´ + ´ + ´

Cross productx

yz

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

ˆˆ0

ˆˆ 0

ˆ ˆ 0

x y x z

y x y z

A B A B z A B y

A B z A B x

A B A B

´ = + + -

+ - + +

( ) ( )

( )( )

( )

ˆ ˆ 0

ˆ

ˆ

ˆ

z x z y

y z z y

z x x z

x y y x

A B y A B x

A B A B A B x

A B A B y

A B A B z

+ + - +

´ = -

+ -

+ -

บทท 1 การเคลอนทแบบเชงเสนและแบบหมน

1.1 การเคลอนทหนงมตและสองมต

1.2 แรงและกฎการเคลอนทของนวตน

1.3 การเคลอนทแบบวงกลมดวยอตราเรวคงตว

1.4 การเคลอนทแบบหมน

105103 ฟสกสทวไป

5

1.1 การเคลอนทหนงมตและสองมต

การกระจดเปนเวกเตอรบอกตาแหนงของวตถ โดยชจากจดเรมตนไปท ตาแหนงของวตถ

ความเรว ความเรวเปนเวกเตอรบอกขนาดของอตราเรว และทศทางของการเปลยนแปลงของการกระจด

ความเรงเปนเวกเตอรบอกขนาดของอตราเรง และทศทางของการเปลยนแปลงของความเรว

การกระจด

1 1,x t 2 2,x t

2 1x x x = -

1 1,

การกระจดเปนเวกเตอรบอกตาแหนงของวตถ โดยชจากจดเรมตนไปทตาแหนงของวตถเครองหมายบวก คอ ชไปทางแกน +x เครองหมายลบ คอ ชไปทางแกน -x

จงหาการกระจดและระยะทาง ในแตละชวงของการเคลอนทของวตถจากตาแหนงท4-2 1-41-2-41-2-51-4-51-3-2

5

(+3 cm, 3 cm)(-1 cm, 1 cm)(-1 cm, 5 cm)(0 cm, 4 cm)(0 cm, 2 cm)(+2 cm, 8 cm)

1 2 345

การกระจดเปนเวกเตอรทช จากจดเรมตนไปตาแหนงสดทาย ซงขนาดของเวกเตอรการกระจดไมจาเปนตองเทากบระยะทาง

ความเรว

(m)x x x 1 1,x t 2 2,x t

2 1

2 1

(m)

(s)

x x xv

t t t

-= =

-

ความเรวเปนเวกเตอร บอกการเปลยนแปลงของการกระจดในชวงเวลาหนง

จงหาความเรวและอตราเรวเฉลย ในแตละชวงของการเคลอนทของวตถจากตาแหนงท4-2 ใชเวลา 6 s1-4 ใชเวลา 5 s1-2-4 ใชเวลา 5 s1-2-5 ใชเวลา 2 s1-4-5 ใชเวลา 2 s1-3-2 ใชเวลา 4 s

5

(+0.5 cm/s, 0.5 cm/s)(-0.2 cm/s, 0.2 cm/s)(-0.2 cm/s, 1 cm/s)(0 cm/s, 2 cm/s)(0 cm/s, 1 cm/s)(+0.5 cm/s, 2 cm/s)

1 2 345

ความเรวเฉลยเปนปรมาณเวกเตอรบอกการเปลยนแปลงของเวกเตอรการกระจดตอเวลาซงขนาดของความเรวเฉลยไมจาเปนตองเทากบอตราเรวเฉลย

ความเรวเฉลย

x2 2,x t

2 1ave

2 1

x xv

t t

-=

-

x

t

1 1,x t

2 1x x-

2 1t t-

avev

105103 ฟสกสทวไป

6

ความเรว

x

(m)slope

(s)

xv

t

= =

2 2,x t

x tx

t

1 1,x tหยดนงไปทางขวา

ไปทางซาย

2 2,x t

2 2,x t

2 2,x t

ความเรวบดดล (เฉลยในชวงเวลาสนๆ)

x x t

0limt

xv

t

=

vdx

vdt

=

ความเรวบดดลคอ ความชน ณ จดสมผสเสนกราฟ

x

t

1 1,x t 2 2,x t

2 1x x-

2 1t t-

v dt

ความเรวบดดลเปนปรมาณเวกเตอรบอกการเปลยนแปลงของเวกเตอรการกระจดในชวงเวลาสนๆ ประมาณ 10-n ซงขนาดของความเรวบดดลจะเทากบ อตราเรวบดดล หรอ อตราเรวเฉลยในชวงเวลาสนๆ

ความเรง

2

(m/s) m

(s) s

va

t

é ùê ú= ê úë û

2 1ave

2 1

2

2

v v va

t t t

dv d xa

dt dt

-= =

-

= =

465.49 m1 29 s

x xv t

t v

t

= =

1.7 เครองบนรบบนดวยอตราเรว 1300 km/h บนในระดบความสง 35 m เหนอพนดน ขณะบนไดบนผานบรเวณทมความชน 4.3° นกบนมเวลาเทาใดในการแกไขเพอไมใหชนพน

1.29 s1000 m

13003600 s

t = =´

4.3°35 m

x 35tan 4.3

465.49 mx

x

=

=4.3°

วตถหยดนง

a

t

v

t

0

0

v

dv

dt

=

=0a =

t t

x

t0

x C

dx

dt

=

=

C

วตถเคลอนทดวยความเรวคงท

a

t

v

t

0

v C

dv

dt

=

=0a =

t t

x

t

x Ct A

dxC

dt

= +

=A

105103 ฟสกสทวไป

7

การเคลอนทดวยความเรงคงตว

a

t

v v Ct B

dvC

dt

= +

=

a C=

BC

t t

x

t

2x ct Bt A

dxCt B

dt

= + +

= +A

การเคลอนทดวยความเรงคงตว

0

20 0

1

2

v v a t

x x v t a t

= +

- = +

( )2 20 02v v a x x= + -

รถคนหนงวงเปนเสนตรง ดวยอตราเรว 20 เมตร/วนาท และเพมเปน 30 เมตร/วนาทโดยใชระยะทาง 100 เมตร จงหาก) ขนาดของความเรงข) เวลาทใชในการเพมอตราเรว

( )2 20 02v v a x x= + -

2 20v v

a-

=( )02

ax x

=-

( )

2 2230 20 900 400

2.5 m/s2 100 200

- -= = =

0v v at= +0v v

ta

-=

30 20 104.0 s

2.5 2.5

-= = =

วตถตกอยางอสระ

เปนการเคลอนทดวยความเรงจากแรงดงดด(ความเรงเนองจากแรงดงดดของโลกมคาประมาณซงในความเปนจรงคาความเรงจะเปลยนตามตาแหนงและ

โ

29.8 m/s

ระยะหางจากพนโลกดวย)

การเคลอนทไมขนกบมวลของวตถ เนองจากความเรงของวตถภายใตแรงโนมถวงมคาเทากน

( )

0

20 0

2 20 0

1

2

2

v v g t

x x v t g t

v v g x x

= -

- = -

= - -

00

20

,0,

2

vx x h t

g

vh

g

- = =

=

0 0, , 0x v t =

g a=

00 0

0

2, ,

2

vx v t

g

v g h

=

=

ปลอยหนกอนหนงลงมาจากยอดตก สงจากพน 20 ma) อตราเรงของกอนหนมคาเทาใด และมทศใดb) จะใชเวลาเทาใดกอนหนจงตกมาถงพนดนc) ความเรวในขณะทกอนหนตกกระทบพนดนมคาเทาใด

29.8 m/s 10a g= = »2

0 0

1

2x x v t a t- = + 0 เมตร

20 เมตร

0 0 2( )2 2

0 02v v g x x= - -

20 m/sv =

210 20

2g t- =-

2 st = ( )2 2 20

400

v g=- -

=

105103 ฟสกสทวไป

8

การเคลอนทในสองมต

ในระบบพกดฉากสองมต การบอกตาแหนงจะบอกดวยตวแปร x, y การกระจดของวตถ จะตองบอกการกระจดทงในแกน x และแกน y

ความเรวและความเรงของวตถกเชนกน ตองบอกขนาดและทศทางทงในแกน x และ แกน y

การเคลอนทในสองมต สามารถแยกพจารณาการเคลอนทออกเปนการเคลอนทในหนงมต ในแตละแกนแยกจากกน

การเคลอนทในสองมต

บอกตาแหนงดวยเวกเตอรบอกตาแหนง หรอการบอกพกดของวตถ

การกระจด

ˆ ˆr x x y y= +

ความเรว

ความเรง

2 1r r r = -

ave ˆ ˆ, x y

rv v v x v y

t

= = +

ave ˆ ˆ, x y

va a a x a y

t

= = +

การเคลอนทแบบโพรเจกไทล0x

y

a

a g

=

= องคประกอบของความเรงคงท ทงขนาด และ ทศทาง

การเคลอนทแบบโพรเจกไทล

แยกคดแตละองคประกอบ ในแตละแกนโดยใชสตรของระบบใน 1 มต

ปรมาณตางๆ ของแตละองคประกอบ จะถกบงคบดวยเวลา t

t

0 0

0 0

cos

sinx

y

v v

v v

=

=

0

20

1

2

v v a t

s v t a t

= +

= +

0

20

1

2

y y

y

v v g t

y v t g t

= -

= -

0

0

x x

x

v v

x v t

=

=

ยงวตถทามมกบพนราบ ดวยความเรวตนa) วตถจะไปตกไกลเทาใดจากตาแหนงทยงb) วตถจะขนไปไดสงเทาใด

0v

0

20

1

2

y y

y

v v g t

y v t g t

= -

= -

0

0

x x

x

v v

x v t

=

=

( ) 02 sincos

vx v

æ ö÷ç= ÷ç

02 sinvt

g

=

( )0 cosx vg

= ÷ç ÷ç ÷çè ø

( )2

0max

sin

2

vy

g

=

105103 ฟสกสทวไป

9

เคลอนทแบบวงกลมดวยอตราเรวคงตว

ขนาดของความเรวและความเรงคงตว

ทศของความเรวและความเรงเปลยนตลอดเวลา

เคลอนทแบบวงกลมดวยอตราเรวคงตว

ความเรงมทศเขาสจดศนยกลาง การเคลอนท

2vc

va

r=

1.18 ดวงจนทรโคจรรอบโลกใชเวลา 27.3 วน ถารศม 3.82×108

m จงคานวณหาขนาดของความเรงของดวงจนทรเขาสโลก

2

xv

tr

t

=

=2v6

27.3 24 60 60 s

=2.36 10

t = ⋅ ⋅ ⋅

´c

va

r=

2 2 83 2

2 6

4 4 3.82 102.71 10 m/s

2.36 10c

ra

t

-´ ´= = = ´

´

การเคลอนทแบบหมน

tv

r

rad/sv

t r

= =

0t =

2 rad/sa

t r

= =

1 rev 2 rad=

การเคลอนทแบบหมนเมอความเรงเชงมมคงท

0

20

2 2

1

2

2

t

t t

= +

= +

เหมอนการเคลอนทเชงเสนแตเปลยนเปนปรมาณเชงมม

2 20 2 = +

2

rad

rad/s

rad/s

s

rv

ra

r

=

=

=

105103 ฟสกสทวไป

10

1.2 แรงและกฎของนวตน แรง

พลศาสตร อธบายการเคลอนทของวตถทเกดจาก แรง ดวย กฎของนวตน

แนวความคดเกยวกบแรง แรงและการเคลอนท

ลกษณะของการกระทาของแรงภายนอก

แรงในธรรมชาตทางฟสกส

มวลและความเฉอย

พลศาสตร

พลศาสตร (dynamics) อธบายถงสาเหตของการเคลอนทของวตถ

แรง มผลตอลกษณะการเคลอนทอยางไร

แรงทาใหวตถเคลอนทเรวขนหรอชาลง หรอ มความเรวคงตวดวยเงอนไขอยางไร

แนวความคดเกยวกบแรง

แรงและการเคลอนท แรงทาใหเกดการเคลอนท ดวยความเรง พจารณาการเคลอนทจากแรงลพธ ของแรงภายนอก

ลกษณะของการกระทาของแรงภายนอก แรงโดยการสมผส แรงจากสนามของแรง

แรงในธรรมชาตทางฟสกส แรงโนมถวง แรงแมเหลกไฟฟา แรงนวเคลยร แรงอยางออน

มวลและความเฉอย

มวลเปนคณสมบตของวตถ ทพยายามรกษาสถานะภาพการเคลอนท หนวยเปน kg

ความเฉอย คอ การรกษาสถานะภาพการเคลอนทของมวล

มวลมาก ความเฉอยมาก เคลอนทยาก หยดยาก

มวลนอย ความเฉอยนอย เคลอนทงาย หยดงาย

กฎของนวตน

กฎขอท 1 การรกษาสถานะภาพของการเคลอนทของวตถ ไมมแรงภายนอกมากระทาวตถจะเคลอนดวยความเรวคงท

0 0dv

a= =0F =å m

N=kg

กฎขอท 2 เมอมแรงภายนอกทไมเปนศนยมากระทาตอวตถ วตถจะเคลอนทดวยความเรง ความเรงแปรผนตรงกบแรง แตแปรผกผนกบมวลของวตถ

0 0adt

= =

, F

F ma am

= =

0F =å 2N=kg

s⋅

105103 ฟสกสทวไป

11

กฎของนวตน

กฎขอท 3 แรงกรยาและแรงปฎกรยา เมอมแรงกรยา จะมแรงคกรยากระทาในทศตรงกนขาม

F F= 12 21F F=-

1m 2m

กฎความโนมถวงของนวตน (แรงดงดดระหวางมวล)

1m 2m

1 22

211

2

N m6.67259 10

kg

G m mF

r

G -

=

⋅= ´

2.2 คานวณหาแรงโนมถวง

a) ระหวางลกโบวลงสองลกมวล 7.3 kg อยหางกน 0.65 m

b) ระหวางโลกและดวงจนทร โลกมมวล 5.98×1024 kg ดวงจนทรมมวล 7.36×1022 kg ระยะหางระหวางโลกและดวงจนทรเปน 3.82×108 m

1 22

G m mF

r=

ความสมพนธระหวางนาหนกและมวล

นาหนกของวตถบนผวโลกคอแรงโนมถวงทโลกกระทาตอวตถ

EG m MW =

มวลเปนปรมาณทมคาคงตว ไมวาวตถจะอยทใด แตนาหนกขนอย

2E

E2

E

WR

G MW m

R

m g

=

æ ö÷ç ÷= ç ÷ç ÷çè ø

=

กบคา g ดวย

ทพนผวโลก (ระดบนาทะเล) g มคาประมาณ

2

m9.8

sg =

ความเสยดทาน

เกดขนเมอผวสมผสของวตถ เคลอนทสมพทธกน ทาใหเกดแรงตานการเคลอนท ทมขนาดแปรผนตรงกบนาหนกหรอแรงกดของวตถ

f N

แรงเสยดทานสถต

แรงเสยดทานจลน

f N

f Nµ= F

Nf

ความเสยดทาน

แรงเสยดทานสถตmax

s sf N=

f N£ f

F

แรงเสยดทานจลน

s sf N£

k kf N=

f

F

105103 ฟสกสทวไป

12

2.4

90sin 30yF mg= -å

Books3030

90 N20 kgm=

90cos30sf =

กลองเรมเคลอนทพอด จงหาสมประสทธของความเสยดทานสถตย

45 20 9.8

151 N

= - ´

=-3

902

90 3

151 2

N

=

´=

´151 N

yN F=-

=

การประยกตกฎของนวตน

แยกสงทตองการวเคราะหออกจากสงแวดลอม

ใหพจารณาวาสงแวดลอมคออะไร

เลอกกรอบอางองทเหมาะสม โดยเลอกจดกาเนด และทศของแนวแกนใหเหมาะสม

เขยนแรงทงหมดทกระทากบวตถ

ใชกฎของนวตนหาองคประกอบของแรงในแนวตางๆ

2.6 คนมวล 110 kg หยอนตวลงมาถงพนจากความสง 12 m โดยเชอกคลองผานรอก ปลายขางหนงผกตดกบถงทราย 74 kg

a) อตราเรวเมอกระทบพน

b) ตองทาอยางไรเพอจะลดอตราเรว

( )

2

110 74 110 74

36

184

1.92 m/s

F ma

g g a

a g

=

- = +

=

=

å

2

2 20

1.92 m/s

2

0 2 1 92 12

a

v v a h

=

= +

= + ´ ´0 2 1.92 12

46.08

46.08 6.79 m/sv

= + ´ ´=

= =

2.7 จงหาความเรงและแรงตงในเสนเชอก

å

5 kg10 kg

40 o

( )( )

2

10 5 sin 40 10 5

10 5sin 40

15

4.43 m/s

F ma

g g a

a g

=

- = +

- =

=

å

2.7 จงหาความเรงและแรงตงในเสนเชอก

5 kg10 kg

40 o

( )10 10 4.43

44.3 98

53.7 N

y yF ma

T g

T

=

- = -

=- +=

å

105103 ฟสกสทวไป

13

2.8 ป นจกรยานเขาโคงรศม 25 m จงหาขนาดและทศทางของแรงปฎกรยาทถนนทากบจกรยาน 0

cos

yF

N mg

=

=å

NcosN

2

0rF =å

sinN

mg2

sin 0v

N mr

- =

2

tan

0.31

17.2

v

g r

=

=

= ป นดวยอตราเรว 8.7 m/s

2.11 หาความเรงและแรงตงในเสนเชอก

( )

( )

7 4 7

7 0.30 4 11

7 1.2 11

F ma

g N a

g g a

g a

=

- = +

- ´ =

- =

å4 kg

7 kg ( )( )

2

7 1.2 11

7 1.2

11

5.16 m/s

g a

a g-

=

=

g

2.11

7 7

7 7

7 9 8 7 5 16

y yF ma

g T a

T g a

=

- == -= ´ ´

å4 kg

7 kg 7 9.8 7 5.16

32.5 N

= ´ - ´=

g