等差数列前 n 项和（ 1 ）

学习目的： 要求学生掌握等差数列的求和公式，并且能够较熟练地运用解决问题

① 等差数列定义

即 (n≥2)

② 等差数列通项公式

an=a1+ （ n-1 ） d (n≥1)

daa nn 1

③ 等差数列 {an} 中，若 p+q=m+n, 则 ap+aq=am+an

④A 是 a 、 b 的等差中项的充要条件是 2A=a+b

。和公差求中，练习：等差数列

da

aaaaaaan

1

14541074 77,17}{

定义数列的前 n 项和

1 2 3

1 2 3

,

n n

n n

n n

a a a a a

a n S

S a a a a

数列 中， 称为

数列 的前 项的和，记为 即

4 ，5 ，6 ，7 ，

8 ，9 ，10

问题： 钢管的总数是多少？如果增加钢管的层数，有没有更快捷的方法求出总数？

1----2----

3----4----

5----6----

7----

法一： S7=4+5+6+7+8+9+10=49

法二： S7=（ 4+10） +（ 5+9） +（ 6+

8） +7

=7（ 4+10） /2=49 (倒序相加法求和 )

已知等差数列 {an} 中首项是 a1 , 那么前 n 项和

是多少呢？即： Sn= a1+a1+…+an =?

2

)( 1 nn

aanS

2

)104(7 nS

2

)( 1 nn

aanS

证明：

nnn aaaaaS 1321 证：

1221 aaaaaS nnnn

)(

)()()(2

1

23121

aa

aaaaaaS

n

nnnn

23121 nnn aaaaaa而

)(2 1 nn aanS 2

)( 1 nn

aanS

得

dnaan )1(1

2

)1(1

dnnnaSn

等差数列前 n项和公式：

2

)( 1 nn

aanS

等差数列前 n项和推导公式：

p43

例 1 ：一个堆放铅笔的 V 型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放 120 支，这个 V 形架上共放着多少支铅笔？解：自下而上各层的铅

笔成等差数列，记为 {an} ，

其中 120,1 1201 aa

根据等差数列前 n 项和的公式，

得 72602

)1201(120120

S

答： V 形架上共放着 7260 支铅笔。

例 3 ：等差数列 -10 ， -6 ， -2 ， 2 ，…前多少项的和是 54 ？

2

)( 1 nn

aanS

2

)1(1

dnnnaSn

注意公式的选择。

例 2 、 p43 例 1

变式 1 : 求等差数列 1, 3, 5 ， 7 ， 9 ， 2n-1 的各项之和

…

解： 此等差数列共有 n 项所以各项之和为

(1 2 1)

2

n nS

2n

变式 2: 求等差数列 5 ， 7 ， 9 ， 2n-1 (n≥3) 的各项之和

…

解： 此等差数列共有 n-2 项所以各项之和为

( 2)(5 2 1)

2

n nS

2( 2)( 2) 4n n n

例 4 已知一个等差数列的前 10 项的和是 310 ，前 20 项的和是 1220 ，由此可以确定求其前项和的公式吗？

例 3 、求集合 的元素个数，并求这些元素的和。

100*,7| mNnnmmM 且

dnaan )1(1

2

)1(1

dnnnaSn

等差数列前 n项和公式：

2

)( 1 nn

aanS

等差数列前 n项和推导公式：

P45 练习 3

P46 习题 2.3 1（ 1）（ 3）、

2、 3、 4