บทท�� บทท�� 10 10 ปั�ญหาการปั�ญหาการ รอคอย รอคอย

ภาคการศึ�กษา 12552/

อ.นั�ทธปัราชญ� นั�นัท�วั�ฒนั�ก�ล

ประเด็�นบทท� 10

- - ลั กษณะของป�ญหาการรอคอยลั กษณะของป�ญหาการรอคอย - - ร�ปแบบของป�ญหาร�ปแบบของป�ญหา - - การแก�ป�ญหาการรอคอยการแก�ป�ญหาการรอคอย

ป�ญหาแถวคอย(Queuing Theory)

A.K. Erlang( 1910) ว ศวกรชาวเด็นมาร$กเป%นผู้��ค ด็ทฤษฎีน) จากป�ญหาการสน บสน,นป�จจ ยการผู้ลั ตในการผู้ลั ตส นค�าของโรงงานอ,ตสาหกรรม

เก ด็ข0)นเน1�องจาก ความต�องการร บบร การไม3เท3าก บการให�บร การ หร1ออ,ปสงค$ในบร การมมากกว3าอ,ปทานของบร การ

ศ พท$ท�ควรทราบลั�กค�า(Customer) หร1อ ผู้��ร บบร การ(Arrival)หน3วยบร การ(Service Unit) ระบบค ว(Queuing System)

ลั กษณะของป�ญหาการรอคอย แยกได็�เป%น 2 ด็�าน

ด็�านผู้��ประกอบการ ผู้��ประกอบการต�องการควบค,มต�นท,นการให�บร การส นค�าแลัะบร การต5�า

ท�ส,ด็ ผู้��ประกอบการมข�อจ5าก ด็ด็�านทร พยากรในการให�บร การส นค�าแลัะบร การ

อาท จ5านวนแรงงานไม3เพยงพอ โต6ะแลัะเก�าอ)ไม3เพยงพอ ข�อจ5าก ด็ในการให�บร การส นค�าแลัะบร การเก ด็ได็�ท )งตลัอด็ช3วงระยะเวลัา

ของการให�บร การแลัะ/หร1อ บางช3วงเวลัาการให�บร การด็�านผู้��บร โภค

การให�บร การส นค�าแลัะบร การท�ก3อให�เก ด็ต�นท,นค3าเสยโอกาสแก3ผู้��บร โภคมากข0)น

อรรถประโยชน$ท�จะได็�จากส นค�าแลัะบร การน )นจะลัด็ลังหร1ออาจถ�กบ ด็เบ1อนไป

ร�ปแบบของระบบ ระบบแถวคอยแบบช3องทางเด็ยว-ข )นตอนเด็ยว(Single-

channel-single-phase system) อาท ระบบร�านอาหารฟาสต$ฟ�ด็ ต��เช�คยอด็สม,ด็บ ญชเง นฝาก

ระบบแถวคอยแบบช3องทางเด็ยว-หลัายข )นตอน (Single-channel-multiple-phase system) อาท แคชเชยร$ในห�างสรรพส นค�าท�มช3องทางเด็ยว ต�� ATM

ระบบแถวคอยแบบหลัายช3องทาง-ข )นตอนเด็ยว (multiple-channel-single-phase system) อาท จ,ด็จ3ายยาในโรงพยาบาลั ช3องจ3ายเง นในโรงพยาบาลั

ระบบแถวคอบแบบหลัายช3องทาง- หลัายข )นตอน (multiple-channel-multiple-phase system) อาท แคชเชยร$ในห�างสรรพส นค�า เคราเตอร$บร การของธนาคาร

ระบบการให�บร การ ลั�กค�าท�มาก3อนจะได็�ร บบร การก3อน(first come

first serve: FCFS) ลั�กค�าท�มาทหลั งจะได็�ร บบร การก3อน (last come

first serve: LCFS) ลั�กค�าท�มความจ5าเป%นมากกว3าจะได็�ร บบร การก3อน

ลั กษณะของการเข�าร บบร การของลั�กค�า เข�าร บบร การในอ ตราคงท�ท,กช3วงเวลัา เข�าร บบร การในอ ตราไม3คงท� หร1อไม3แน3นอน หร1อไม3

สม5�าเสมอ แยกออกได็�เป%น 2 ร�ปแบบ ไม3สามารถทราบความถ�ได็�แน3นอนทราบได็�ความถ�ได็�แน3นอน ค1อ ช3วงท�หนาแน3นหร1อมความถ�การ

เข�าร บบร การมาก ก บช3วงท�หนาแน3นน�อยหร1อความถ�การเข�าร บบร การน�อย

แบบท�สองน) การเข�าร บบร การจะเรยนกว3าการเข�าร บบร การแบบส,3ม

กรณมการแจกแจงแบบ Poison Distribution

nxn

texP

nt

...3,2,1!

)()(

P(x)=ควัามนั�าจะเปั#นัท��ล$กค%าจะเข้%าร�บบร�การX=จ'านัวันัล$กค%าต่�อหนั�วัยเวัลา(คนัต่�อหนั�วัยเวัลา)t=จ'านัวันัเวัลาให%บร�การต่�อคร�*ง(หนั�วัยเวัลาต่�อคร�*ง)=อ�ต่ราการเข้%ามาร�บบร�การ(คนัต่�อหนั�วัยเวัลา)e=27183.

กรณมการแจกแจงแบบปกต

nxn

txP

...3,2,1!

)(

P(x)=ควัามนั�าจะเปั#นัท��ล$กค%าจะเข้%าร�บบร�การX=จ'านัวันัล$กค%าต่�อหนั�วัยเวัลา(คนัต่�อหนั�วัยเวัลา)t=จ'านัวันัเวัลาให%บร�การต่�อคร�*ง(หนั�วัยเวัลาต่�อคร�*ง)=อ�ต่ราการเข้%ามาร�บบร�การ(คนัต่�อหนั�วัยเวัลา)

ลั กษณะของผู้��ให�บร การ ให�บร การในอ ตราคงท�ท,กช3วงเวลัา ให�บร การในอ ตราไม3คงท� หร1อไม3แน3นอน หร1อไม3สม5�าเสมอ

ซึ่0�งจะทราบได็�ความถ�ได็�แน3นอน ค1อ ช3วงท�หนาแน3นหร1อมความถ� การเข�าร บบร การมาก ก บช3วงท�หนาแน3นน�อยหร1อความถ�การเข�า

ร บบร การน�อย เวลัาการให�บร การหาได็�จาก

uteTP )(P(T)=ควัามนั�าจะเปั#นัท��จะใช%เวัลาให%บร�การt=เวัลาให%บร�การต่�อคร�*ง(หนั�วัยเวัลาต่�อคร�*ง)u=อ�ต่ราการให%บร�การ(คนัต่�อหนั�วัยเวัลา)e=27183.

แบบจ5าลัองการต ด็ส นใจ M/M/1

ลั กษณะท�ส5าค ญประชากรของระบบมจ5านวนไม3จ5าก ด็อ ตราการมาร บบร การเป%นแบบส,3ม มการแจกแจงแบบป�วส$

ชอง เวลัาการให�บร การเป%นแบบส,3ม มการแจกแจงแบบเอกซึ่$โพ

แนนเชยลัมระเบยบการให�บร การแบบมากก3อนได็�ร บบร การก3อน ไม3มจ5าก ด็ความยาวของแถวคอยมหน3วยบร การเพยงหน3วยเด็ยวแลัะเป%นการบร การข )นตอน

เด็ยว

ส ญลั กษณ$ท�ใช�ในต วแบบแถวคอย= อ ตราการเข�าร บบร การ(คนต3อหน3วยเวลัา)= อ ตราการให�บร การ (คนต3อหน3วยเวลัา)= ความน3าจะเป%นท�ระบบจะท5างาน

= เวลัาโด็ยเฉลั�ยท�ใช�ในการบร การลั�กค�า 1 คน

P0= ความน3าจะเป%นท�ระบบจะว3างL= จ5านวนลั�กค�าโด็ยเฉลั�ยท�อย�3ในระบบLq= จ5านวนลั�กค�าโด็ยเฉลั�ยท�อย�3ในระบบแถวคอยW= เวลัาโด็ยเฉลั�ยท�ลั�กค�าแต3ลัะคนเสยไปในการร บบร การในระบบWq=เวลัาโด็ยเฉลั�ยท�ลั�กค�าแต3ลัะคนเสยไปในการร บบร การในระบบในการ

รออย�3ในแถวคอยPn= ความน3าจะเป%นท�มลั�กค�า n คนในระบบ

u

1

)(

1

)(

2

q

q

w

w

L

L

n

n PP

P

p

0

0 1

ต วอย3างเช3น ร�านถ3ายเอกสารแห3งหน0�งมเคร1�องถ3ายเอกสาร 1 เคร1�อง ให�

บร การลั�กค�าตามลั5าด็ บก3อนหลั ง ลั�กค�าท�เข�ามาร บบร การถ3ายเอกสารจะเข�าร บบร การโด็ยส,3มได็�เท3าก บ 2 คนต3อนาท ซึ่0�งเป%นการแจกแจงแบบ ป�วส$ชอง ท )งพน กงานประจ5าเคร1�องถ3ายเอกสารสามารถให�บร การได็�เฉลั�ย 4 คนต3อนาท จงว เคราะห$ระบบแถวคอยในการให�บร การของร�านถ3ายเอกสารน)

= 2 คนัต่�อนัาท�= 4 คนัต่�อนัาท�

25.08

2

)24(4

2

50.02

1

24

1

50.08

4

)24(4

2

124

2

2

q

q

w

w

L

L คนั

คนั

นัาท�

นัาท�

2

125.016

2

4

250.0

50.04

2

4

21

50.04

2

2

0

n

P

P

p

n

ระบบแถวคอยของร�านถ3ายเอกสารร�านน)เฉลั�ยแลั�วจะมลั�กค�า 1 คนอย�3ในระบบแถวคอย โด็ยท� 050.คนจะรอร บบร การอย�3ในแถวคอย ในขณะท� 050. คนก5าลั งร บบร การอย�3 ลั�กค�าแต3ลัะคนท�มาร บบร การถ3ายเอกสารโด็ยเฉลั�ยจะใช�เวลัาคนลัะ

30 ว นาท แลัะใช�เวลัารออย�3ในแถวคอยโด็ยเฉลั�ยคนลัะ 15 ว นาท ความน3าจะเป%นท�เคร1�องถ3ายเอกสารจะท5างานแลัะความน3าจะเป%นท�เคร1�องถ3ายเอกสารจะว3างเท3าก บร�อยลัะ 50

แบบจ5าลัองการต ด็ส นใจ M/M/s

ลั กษณะท�ส5าค ญประชากรของระบบมจ5านวนไม3จ5าก ด็อ ตราการมาร บบร การเป%นแบบส,3ม มการแจกแจงแบบป�วส$

ชอง เวลัาการให�บร การเป%นแบบส,3ม มการแจกแจงแบบเอกซึ่$โพ

แนนเชยลัมระเบยบการให�บร การแบบมากก3อนได็�ร บบร การก3อน ไม3มจ5าก ด็ความยาวของแถวคอยมหน3วยบร การมากกว3า 1 หน3ายบร การแลัะเป%นการบร การ

ข )นตอนเด็ยว

ส ญลั กษณ$ท�ใช�ในต วแบบแถวคอย= อ ตราการเข�าร บบร การ(คนต3อหน3วยเวลัา)= อ ตราการให�บร การ (คนต3อหน3วยเวลัา)= ความน3าจะเป%นท�ระบบจะท5างาน

= เวลัาโด็ยเฉลั�ยท�ใช�ในการบร การลั�กค�า 1 คน

P0= ความน3าจะเป%นท�ระบบจะว3างL= จ5านวนลั�กค�าโด็ยเฉลั�ยท�อย�3ในระบบLq= จ5านวนลั�กค�าโด็ยเฉลั�ยท�อย�3ในระบบแถวคอยW= เวลัาโด็ยเฉลั�ยท�ลั�กค�าแต3ลัะคนเสยไปในการร บบร การในระบบWq=เวลัาโด็ยเฉลั�ยท�ลั�กค�าแต3ลัะคนเสยไปในการร บบร การในระบบในการ

รออย�3ในแถวคอยPn= ความน3าจะเป%นท�มลั�กค�า n คนในระบบS = จ5านวนหน3วยบร การ

u

1

qq

q

s

q

q

Lw

Lww

psu

PL

LL

20 )1(!

snifn

PP

snifss

PP

susu

su

nu

P

sp

n

n

sn

n

n

sn

!

!

*!!

1

0

0

0

2!=2 3!=6 4!=24 5!=120 6!=720

ต วอย3าง ธนาคารแห3งหน0�งมพน กงานร บจ3ายเง น 5 คน

ลั�กค�าเข�ามาร บบร การมการแจกแจงแบบป�วส$ซึ่องในอ ตราเฉลั�ย 24 คนต3อชม . ถ�าพน กงานแต3ลัะคนให�บร การลั�กค�าได็�ในอ ตราเฉลั�ย 6 คนต3อชม . โด็ยมการแจกแจงแบบป�วส$ซึ่อง ในป�จจ,บ นธนาคารจ ด็ระบบแถวคอยด็ งภาพ ให�ว เคราะห$ระบบบร การของพน กงานร บจ3ายเง น

คนั 1

คนั 2

ช�องบร�การ 1 ช�องบร�การ 2 ช�องบร�การ 3 ช�องบร�การ 4 ช�องบร�การ 5

อ�ต่ราการมาร�บบร�การ = 24อ�ต่ราการให%บร�การ = 6จ'านัวันัหนั�วัยให%บร�การ s = 5

218.2)8.01(!5

)8.0(624

013.0

013.0

243030

*!5624

!4624

!3624

!2624

!1624

!0624

1

80.06*5

24

2

5

5432100

qL

P

MiniW

MiniW

L

q

5.152591.06

10924.0

50.50924.024

218.2

218.66

24218.2

จากผลการค'านัวัณ แสดงวั�าการให%บร�การข้องพนั�กงานัร�บจ�ายเง�นัข้องธนัาคารแห�งนั�*จะม�ล$กค%าอย$�ในัระบบโดยเฉล��ยปัระมาณ 6 คนั (6.218 คนั)ท�*งนั�* จะม�ล$กค%า 2 คนัรออย$�ในัแถวัคอย ล$กค%าแต่�ละคนัท��เข้%าร�บบร�การท��พนั�กงานัร�บจ�ายเง�นัจะใช%เวัลาท�*งส�นัค%า 1550 นัาท� โดยเส�ยเวัลารออย$�ในัแถวัคอยเฉล��ยคนัละ 550. นัาท�

การต ด็ส นใจในป�ญหาแถวคอย ค3าใช�จ3ายในการให�บร การ(Cs) หมายถ0ง ค3าใช�จ3ายท�เก ด็ข0)น

จากการจ ด็ให�มหน3วยบร การ 1 หน3วยอาท เง นเด็1อน ค3าไฟฟ>า

ค3าใช�จ3ายในการรอคอย(Cw) หมายถ0ง ค3าใช�จ3ายท�เก ด็ข0)นจากการท�หน3วยบร การไม3สามารถให�บร การลั�กค�าได็�ท นท ท5าให�ลั�กค�าต�องเสยเวลัารอ รวมถ0งค3าเสยเวลัาท�เก ด็ข0)นก บผู้��ร บบร การ อาท ผู้ลัประโยชน$ท�ส�ญเสยไปจากการได็�ร บบร การลั3าช�า

ค3าใช�จ3ายท )งหมด็ในการบร การ(TC) หมายถ0ง ผู้ลัรวมของค3าใช�จ3ายในการให�บร การก บค3าใช�จ3ายท�เก ด็ในแถวคอย

ws CLCsTC ..min