ថ្នាក់ទី ១២ · 2017. 5. 26. · អាំងតេរា M | Tនកតៀតៀងៈ ៊ូច ៊ុ B E 1 អាំងតេក្រា M Integration _____

អាងតេករាល i

អាងតេរាល i

អាងតេករាល ថនា កទ ១២

អ ច ប នថន រគបតរងៀនករមេឧេតម © រកាសទធ ២០១៦

ii អាងតេរាល

អរមភកថា សសដបអនៗសសានសសសថនា កទ១២ នងរបយមេតអាកអនជាទតមរេ!

តសៀវតៅ អាងតេករាល ថនា កទ១២ ជាតសៀវតៅដែលខ ាបានតរៀបចាចងរកងតឡើងយា ង យកចេតទកដាកបាផេ តដាយតដដ េតៅតលើគនលះសាខានៗ ននតមតរៀន វធសាសរសដគណនា នងារអនវេដនននអាងតេរាលភជា បជាមយឧទាហរណគារដែលមានលកខណៈងាយយល ផងដែរ។ តសៀវតៅតនះបានែករសងតចញពរបភពឯកសារជាភជសាដខមរ អងតគលស បារាង នងតវៀេណាម។ ខ ាមានសងឃមថន តសៀវតៅតនះនងាល យជាឯកសាររសាវរជាវជាទគាបចេដមយសា របជយ តដាះរសាយបញហា អាកដែលចងតចះចងែងដផាកអាងតេរាលជាកជាមនខាន។ វាពេណាសថន អវៗទាាងអសមនសទធដេលអឥេតខាច ះតនាះតទ អរសយតហេតនះ តមតតត អធារសយរលកាហសឆគង តដាយអតចេនាកាងារផលេតសៀវតៅតនះ តហើយខ ាក រងចាទទលាររះគន ដកលាអ កាងនយសាា បនាពសាណាករបយមេតអាកអនពរគបមជឈ ដាា នទាាងអស តែើមបឲយារសរតសរតលើកតរាយៗតទៀេានដេមានភជពលអរបតសើរ។ ជាចងតរាយខ ាសមជនពរឲយ មានសខភជពលអ មានសាណាងលអ មានសភមងគល នងតជាគជយរគបភជរកចចជាពតសសបអនៗសសានសសសថនា កទ១២ សមឲយាររបឡង នាតពលខាងមខទទលបានតជាគជយរគបៗ គាា ។

នរពដវង, នថងទ១៤ ដខកមភៈ ឆា ា២០១៦

អនករ ៀបរ ៀង

អ ច ប នថន

រគបតរងៀនករមេឧេដម

អាងតេរាល iii

ឯកសារតោង

(References)

1. តសៀវតៅគណេវទា ថនា កទ១២ (ការេមលដាា ន) តបាះពមភឆា ា 2014

2. តសៀវតៅគណេវទា ថនា កទ១២ (ការេខពស) តបាះពមភឆា ា 2010

3. Elementary Calculus, H. Jerome Keisler, 2000 4. Calculus, MUNEM and FOULIS, 1984 5. Calculus, BERKEY, ISBN: 0-03-008899-2 6. Calculus, SALAS/HILLE, 1990 7. Calculus, THOMAS/FINNEY 8. mathématiques Terminales F, 1983 9. Mathématiques Dimathème, 1992

10. Introduction to Calculus, Vincent O. McBrien, 1969 11. ឯកសារជាភជសាតវៀេណាមមយចាននតទៀេ ។

______________________________________

iv អាងតេរាល

បញជអេថបទ 1. រពមទវ............................................................................................. 1 2. អាងតេរាលមនកាណេ .................................................................... 4 3. រទសដបទននារគណនាេនមលអាងតេរាល ............................................. 6

4. អាងតេរាលនន 1, ,x xe a

x ............................................................ 9

5. ារគណនាអាងតេរាលននអនគមនរេតាណមារេ .............................. 10 6. ារគណនាអាងតេរាលតដាយបដរអតថរ ................................................ 12 7. ារគណនាអាងតេរាលកាណេតដាយបដរអតថរ ...................................... 16 8. ារគណនាអាងតេរាលតដាយដផាក..................................................... 21 9. គណនាេនមលអាងតេរាលតដាយដផាក ................................................... 33 10.ារគណនាអាងតេរាលរបភជគតដាយដផាក .......................................... 39 11.អនគមនកាណេតតមអាងតេរាលកាណេ ............................................ 45 12.អាងតេរាលននអនគមនរចសរេតាណមារេ ..................................... 48 13.អនគមនអដពបលច .......................................................................... 58 14.អនគមនរចសអដពបលច ................................................................. 62 15.គណនានផៃរកឡាតតមវធបាដបកជាចេតាណដកង .................................. 66 16. នផៃរកឡាននដផាកបលង .......................................................................... 68 17.មាឌននសលេ ................................................................................. 72 18.េនមលមធយមននអនគមន ...................................................................... 79 19. របដវងធាននរាប ............................................................................... 83 លាហាេ-ែាតណាះរសាយ .................................................................... 87

អាងតេរាល | អនកតរៀបតរៀងៈ អច បនថន 1

អ ាងតេករាល Integration ______________

1. ករពមទវ ( Antiderivative ) នយមនយ អនគមនF ជារពមទវមយនន f តលើចត ល ោះ [ , ]a b លោះរាតេ F ជាអនគមន ជាបតលើចត ល ោះ [ , ]a b នង '( ) ( )F x f x ចាត ោះរគប ( , )x a b ។

ឧទាហរណ ( ).a បងហា ញថា 3 2( )F x x x x ជារពមទវមយនន

2( ) 3 2 1f x x x ។

( ).b អនគមនG កាណេតលើ (0, ) តោយ1

( ) ( 1) xG x x e

។

បងហា ញថាGជារពមទវមយនន12

2

1( ) x

x xg x e

x

។

ដណ ោះសរាយ

( ).a បងហា ញថា ( )F x ជារពមទវមយនន 2( ) 3 2 1f x x x តគមាន 3 2( )F x x x x ជាបចាត ោះរគប x តគបាន 3 2 2'( ) ( ) ' 3 2 1 ( )F x x x x x x f x ដចតនោះ បញជា កថា ( )F x ជារពមទវមយនន 2( ) 3 2 1f x x x ។

( ).b បងហា ញថា ( )G x ជារពមទវមយនន12

2

1( ) x

x xg x e

x

តគមាន 1

( ) ( 1) xG x x e

ជាបតលើចត ល ោះ (0, )

តគបាន 1 1

1'( ) ( 1) ' ( 1)( ) 'x xG x x e x e

x

1 1 1 12

2 2 2

1 1 11 ( )x x x x

x x x xe e e e g x

x x x

ដចតនោះ បញជា កថា ( )G x ជារពមទវមយនន ( )g x ចាត ោះ (0, )x ។

2 អាងតេរាល | អនកតរៀបតរៀងៈ អច បនថន

សររសដបរ ( Theorem ) តបើ ( )F x ជារពមទវមយនន ( )f x តោះរពមទវទាងអសនន f មានទរមងទតៅ

( )F x C តដល C ជាចាននតថរ ។ សសរាយបញជា ក

តោយ ( )F x ជារពមទវមយនន ( )f x តោះតគបាន '( ) ( )F x f x តបើ ( )F x C ជារពមទវទាងអសនន ( )f x លោះរាតេ [ ( ) ]' ( )F x C f x តគបាន [ ( ) ]' '( ) 0 '( ) ( )F x C F x F x f x ពេ ។

ឧទាហរណ១ : ( ).a រករពមទវ ( )F x នន ( ) sinf x x ចាត ោះរគប x ។

( ).b រករពមទវ ( )G x នន2

1( )g x

x ចាត ោះរគប {0}x ។


( ).a រករពមទវ ( )F x តោយ ( cos )' ( sin ) sin ( )x x x f x តគបាន ( ) cos , ( )F x x C C ដចតនោះ ( ) cosF x x C តដល C ជាចាននពេ ។ ( ).b រករពមទវ ( )G x

តោយ 2

1 1( ) ' ( )g x

x x

តគបាន 1( ) ,G x C C

x

ដចតនោះ 1( )G x C

x តដល C ជាចាននពេ ។

ឧទាហរណ២ : ( ).a តោយរបតដរតវបងហា ញថា 23( ) 4

2G x x x ជារពមទវអនគមន

f មយតដលតគរេវកាណេ ។

( ).b តោយតរបើលទធផល ( )a បងហា ញថា 21( ) (3 4)

6F x x គជារព

មទវននអនគមន f ។ ដណ ោះសរាយ

( ).a ( )f x ជាអនគមនតដលរេវកាណេ


តោយ ( )G x ជារពមទវនន ( )f x

តគបាន 23 3( ) '( ) ( 4 ) ' 2 4 3 4

2 2f x G x x x x x

ដចតនោះ បញជា កថា ( )G x ជារពមទវនន ( ) 3 4f x x ។ ( ).b បងហា ញថា ( )F x ជារពមទវនន ( )f x

តោយ 21 1'( ) [ (3 4) ]' 2(3 4) '(3 4)

6 6F x x x x

16(3 4) 3 4 ( )

6x x f x

ដចតនោះ បញជា កថា ( )F x ជារពមទវនន ( ) 3 4f x x ។

ឧទាហរណ៣ : ( ).a រករពមទវ ( )F x នន ( ) cos 1f x x តដល ( ) 33

F

។

( ).b បងហា ញថាអនគមន2

2( )

5

xF x

x x

នង 5

( )5

G xx

ជារពមទវននអនគមនតេមយ ។ ដណ ោះសរាយ

( ).a រករពមទវ ( )F x តោយ ( ) cos 1f x x តោះ ( ) sin ,F x x x C C

ាមបារាបៈ ( ) 33

F

តគបាន sin 33 3

C ឬ 3

32 3

C

ឬ 33

2 3C

ដចតនោះ 3( ) sin 3

2 3F x x x

។

( ).b បងហា ញថា ( )F x នង ( )G x ជារពមទវននអនគមនតេមយ តបើ ( )F x នង ( )G x ជារពមទវននអនគមនតេមយលោះរាតេ '( ) '( )F x G x

តគមាន 2

2 2 2

( 5) ( ) 5'( ) [ ]' [ ]'

55 ( 5) ( 5)

x x x xF x

xx x x x

2 2

5 1 5'( ) ( ) ' 5[ ]

5 ( 5) ( 5)G x

x x x


តោយ 2

5'( ) '( )

( 5)F x G x

x

ដចតនោះ បញជា កថា ( )F x នង ( )G x ជារពមទវននអនគមនតេមយ ។ 2. អ ាងតេករាលមនកាណេ ( Indefinite Integrals ) នយមនយ តបើ ( )F x ជារពមទវមយនន ( )f x តោះអាងតេរាលមនកាណេនន ( )f x កាណេតោយ ( ) ( )f x dx F x C តដល C ជាចាននពេ ។

ឧទាហរណ ( ).a តគឲយ 3( ) 9 5F x x x ជារពមទវនន f ។ គណ ( )f x dx

( ).b គណ 2(3 2 7)x x dx ។ ដណ ោះសរាយ ( ).a គណ ( )f x dx តគបាន 3( ) ( ) 9 5 , ( )f x dx F x C x x C C ដចតនោះ 3( ) 9 5 , ( )f x dx x x C C ។ ( ).b គណ 2(3 2 7)x x dx

3 2

2(3 2 7) 3 2 73 2

x xx x dx x C

3 2 7 , ( )x x x C C ដចតនោះ 3 2( ) 7f x dx x x x C តដល C ជាចាននពេ ។ របមនដសរោះននអងណេសរាលមនកណេ (1). 0 , ( )dx k k (2). , ( )k dx kx C C (3). ( ) ( )k f x dx k f x dx

(4). 1

, ( , 1)1

nn x

x dx C C nn

(5). 1

1 1, ( 1 , )

( 1)n ndx C n C

x n x

(6). 12 , ( )dx x C C

x

(7). [ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx


ឧទាហរណៈ គណអាងតេរាលខាងតរាមៈ

( ).a ( )3

e dx

( ).b mdm ( ).c 2015x dx

( ).d 3 2(2 5 1)t t dt ( ).e 42 x dx ( ).f 1(5 )dx

x

( ).g 4 5

3 1( )dxx x

( ).h 1( 2 2 )x x x dx

x


គណអាងតេរាល

( ).a ( ) ( ) , ( )3 3

e dx e x C C

( ).b 2

, ( )2

mmdm C C

( ).c 2015 1 2016

2015 , ( )2015 1 2016

x xx dx C C C

( ).d 4 3 4 3

3 2 5(2 5 1) 2 5 ,

4 3 2 3

t t t tt t dt t C t C C

( ).e

1 511

4 4 4 54 48

2 2 2 2 ,1 5 5

14 4

x xx dx x dx C x C C

( ).f 1(5 ) 5 2 ,dx x x C C

x

( ).g 4 5 3 4 4

3 1 1 1 4 1( ) 3 , ( )

3 4 4

xdx C C C

x x x x x

( ).h 31 1( 2 2 ) ( 2 2 )x x x dx x x dx

x x

3 51 3

2 22 2

12 2 2 2 2

3 5

2 2

x xx dx x dx dx x C

x

3 52 2 42 ,

3 5x x x C C


3. ករទសដបទននារគណនាេនមៃអ ាងតេករាល ( The Integral Evaluation Theorem ) សររសដបរ តបើ f ជាអនគមនជាបតលើចត ល ោះ [ , ]a b នង F ជារពមទវនន f តលើចត ល ោះ [ , ]a b

តោះតគបាន ( ) ( ) ( ) ( )b b

aa

f x dx F x F b F a ។

ឧទាហរណៈ គណេនមលអាងតេរាលខាងតរាមៈ

( ).a 2

1

(2 5)x dx ( ).b 1

2

0

( 2 3)x x dx

( ).c 1

2

1

( 1)x dx ( ).d

3

2

1

1dx

x

( ).e 0

sin xdx

( ).f 0

cos xdx


គណេនមលអាងតេរាល

( ).a 2 2

2

11

(2 5) 5 (4 10) (1 5) 14 6 8x dx x x

( ).b 1

312 2

0 0

1 7( 2 3) 3 ( 1 3) (0)

3 3 3

xx x dx x x

( ).c 1

31 12 2 2

1 1 1

( 1) ( 2 1)3

xx dx x x dx x x

1 1 1 1 81 1 1 1 2

3 3 3 3 3

( ).d 3 3

22

12 1 (2 3 1) (2 2 1) 2 2 2

1dx x

x

( ).e 00

sin cos ( cos ) ( cos0) 1 1 2xdx x

( ).f 00

cos sin (sin ) (sin0) 0 0 0xdx x


លកខណៈ

(1). ( ) ( )b a

a b

f x dx f x dx

(2). ( ) 0a

a

f x dx

(3). ( ) ( ) ( )b c c

a b a

f x dx f x dx f x dx តដល a b c

(4). ( ) ( )b b

a a

kf x dx k f x dx

(5). [ ( ) ( )] ( ) ( )b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

(6). [ ( ) ( )] ( ) ( )b b b

a a a


សសរាយបញជា ក

តបើ ( )F x ជារពមទវនន ( )f x តគបានៈ

(1). ( ) ( )b a

a b

f x dx f x dx

តគបាន ( ) ( ) ( ) ( )b b

aa

f x dx F x F b F a

[ ( ) ( )] ( )a

b

F a F b f x dx

(2). ( ) 0a

a

f x dx

តគបាន ( ) ( ) ( ) ( ) 0a a

aa

f x dx F x F a F a

(3). ( ) ( ) ( )b c c

a b a

f x dx f x dx f x dx តដល a b c

តគបាន ( ) ( ) ( ) ( )b c b c

a ba b

f x dx f x dx F x F x

[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( )c

a

F b F a F c F b F c F a f x dx


(4). ( ) ( )b b

a a

kf x dx k f x dx

តគបាន ( ) ( ) ( ) ( )b b

aa

kf x dx k F x k F b k F a

[ ( ) ( )] ( )b

a

k F b F a k f x dx

(5). [ ( ) ( )] ( ) ( )b b b

a a a


ចាត ោះ [ ( ) ( )] ( ) ( )b b b

a a a


តគបាន [ ( ) ( )] ( ) ( )b b

aa

f x g x dx F x G x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F b G b F a G a F b F a G b G a

( ) ( )b b

a a

f x dx g x dx

ចាត ោះ [ ( ) ( )] ( ) ( )b b b

a a a


តគបាន [ ( ) ( )] [ ( ) ( ( ))]b b

a a

f x g x dx f x g x dx

( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( ))b

aF x G x F b G b F a G a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b

a a

F b F a G b G a f x dx g x dx

(6). [ ( ) ( )] ( ) ( )b b b

a a a


តគបាន [ ( ) ( )] ( ) ( )b b b

a a a


( ) ( )b b

a a

f x dx g x dx


4. គណនាអ ាងតេករាលនន ,x xy e y a នង 1y

x

របមនដ

(1). x xe dx e C (2). 1kx kxe dx e Ck

(3). 1

ln

x xa dx a Ca

(4). 1

ln

kx kxa dx a Ck a

(5). 1ln | |dx x C

x (6). '

ln | |u

dx u Cu

ឧទាហរណៈ គណអាងតេរាលខាងតរាម

( ).a 3(2 )xe dx

x ( ).b 2(1 )xe dx

( ).c 4 2

4

4 3 1x xdx

x

( ).d 4

x

x

edx

e

( ).e 6( ln5)

2

xedx

x ( ).f

1

0

1

1dx

x

( ).g ln 2

30

24

xdx

e ( ).h

21

ln

e

e

dxx x

( ).i 1

0

5x dx ( ).j 1

0

1

2xdx



( ).a 3 1(2 ) 2 3 2 3ln | | , ( )x x xe dx e dx dx e x C C

x x

( ).b 2 2 21(1 ) (1 2 ) 2 , ( )

2

x x x x xe dx e e dx x e e C C

( ).c 4 2

4 2 4 3

4 3 1 3 1 3 1(4 ) 4 , ( )

3

x xdx dx x C C

xx x x x

( ).d ( 4) 'ln | 4 | , ( )

4 ( 4)

x xx

x x

e edx dx e C C

e e


( ).e 6 1( ln5) 6ln | | ln5 , ( )

2 2

xxe

dx e x x C Cx

( ).f 1 1 1

00 0

1 ( 1) 'ln | 1| (ln |1 1|) (ln | 0 1|)

1 ( 1)

xdx dx x

x x

ln2 ln1 ln2 0 ln2

( ).g ln 2

ln 2 ln 2 ln 23 3 3

3 00 0 0

24 124 24 8

3

x x x

xdx e dx e e

e

33ln 2 3 0 ln(2 ) 38 ( ) ( ) 8 1 8[(2 ) 1]e e e

3

1 88 1 8 1 8 7

82

( ).h 2 2 2

2

1

1 (ln ) 'ln | ln |

ln ln ln

e e e e

ee e e

xxdx dx dx x

x x x x

2(ln | ln |) (ln | ln |) [ln(2ln )] [ln(1)] ln2 0 ln2e e e

( ).i 11

1 0

0 0

1 1 1 5 1 45 5 5 5

ln5 ln5 ln5 ln5 ln5 ln5

x xdx

( ).j 1 11 1

0 0 00

1 1 12 2

( 1)ln 22 2 ln 2

x x

x xdx dx

1 1 1 2 1

2ln 2 ln 2 2ln 2 2ln 2 2ln 2

5. ារគណនាអ ាងតេករាលននអនគមនករេតាណមាករេ ( Trigonometric Integrations )

របមនដ (1). sin cos , ( )xdx x C C (2). cos sin , ( )xdx x C C

(3). 2

2

1(tan 1) tan , ( )

cosx dx dx x C C

x

(4). 2

2

1(cot 1) cot , ( )

sinx dx dx x C C

x


ឧទាហរណៈ គណអាងតេរាលខាងតរាម

( ).a (5sin 3cos )x x dx ( ).b 2 2

2 3( )cos sin

dxx x

( ).c (1 cos )x dx ( ).d 2(tan cot )x x dx

( ).e / 4

2/ 4

1

cosdx

x

( ).f

/ 4

0

1 cos2x dx

( ).g 2

0

| sin |x dx


គណអាងតេរាល ( ).a (5sin 3cos ) 5 sin 3 cosx x dx xdx xdx 5( cos ) 3sin 5cos 3sin , ( )x x C x x C C

( ).b 2 2

2 3( ) 2tan 3cot , ( )cos sin

dx x x C Cx x

( ).c (1 cos ) sin , ( )x dx x x C C ( ).d 2 2 2(tan cot ) (tan 2tan cot cot )x x dx x x x dx

2 2 2 2(tan 2 cot ) [(tan 1) (cot 1)]

tan cot , ( )

x dx x dx

x x C C

( ).e / 4

42

/ 44

1tan tan tan 1 ( 1) 2

4 4cosdx x

x

( ).f / 4 / 4 / 4

2

0 0 0

1 cos2 2sin 2 | sin |x dx x dx x dx

/ 4 / 4

00

2 sin 2( cos )xdx x

22( cos ) 2( cos0) 2 2( 1) 1 2

4 2

( ).g 2 2 2

00 0

| sin | sin sin cos cosx dx xdx xdx x x

[( cos ) ( cos0)] (cos2 cos ) (1 1) (1 1) 4


6. ារគណនាអ ាងតេករាលតោយបដរអតេរ ( Integration by substitutions ) វ ធានន

តដើមបគណអាងតេរាល [ ( )] '( )f g x g x dx តដល f នង 'g ជាអនគមនជាប តគរេវអនវេដដចខាងតរាម៖ ជានស ( )u g x នង '( )du g x dx កនងអាងតេរាលខាងតលើ តគបានៈ ( )f u du ។ តធវើារគណអាងតេរាលអតថរ u ។ ជានស u តោយ ( )g x តៅកនងលទធផលវញ ។

ឧទាហរណ១ : គណអាងតេរាលខាងតរាមៈ

( ).a 4 2 3( 1) 4x x dx ( ).b 22 1x x dx

( ).c 4 1x dx ( ).d 24

xdx

x


គណអាងតេរាល ( ).a 4 2 3( 1) 4x x dx ាង 4 1u x តោះ 34du x dx

តគបាន 3

4 2 3 2( 1) 43

ux x dx u du C

ដចតនោះ 4 3

4 2 3 ( 1)( 1) 4 , ( )

3

xx x dx C C

( ).b 22 1x x dx ាង 21u x តោះ 2du xdx

តគបាន 2 322 1

3x x dx u du u C

ដចតនោះ 2 2 322 1 (1 ) , ( )

3x x dx x C C

( ).c 4 1x dx

ាង 4 1u x តោះ 4du dx ឬ 1

4dx du


តគបាន 31 1 1 24 1

4 4 4 3x dx u du u du u C

3 31 1(4 1) , ( )

6 6u C x C C

ដចតនោះ 314 1 (4 1) , ( )

6x dx x C C

( ).d 24

xdx

x

ាង 24u x តោះ 2du xdx ឬ 1

2xdx du

តគបាន 2

1 1 1 1( )

2 24

xdx du du

u ux

21(2 ) 4 , ( )

2u C u C x C C

ដចតនោះ 2

24 , ( )

4

xdx x C C

x

ឧទាហរណ២ : គណអាងតេរាលខាងតរាមៈ

( ).a 3

1

xdx

e ( ).b

2 2

2 2

x x

x x

e edx

e e

( ).c 1

1

xedx

x

( ).d ln xdx

x

( ).e ln (1 ln )x x x dx ដណ ោះសរាយ


( ).a 3

1

xdx

e

ាង 3u x តោះ 3du dx ឬ 1

3dx du

តគបាន 3

1 1 1 1 1( )3 3 3

u u

x udx du e du e C

e e

3

1 1, ( )

3 3u xC C C

e e



1 1, ( )

3x xdx C C

e e

( ).b 2 2

2 2

x x

x x

e edx

e e

ាង 2 2x xu e e តោះ 2 22( )x xdu e e dx

តគបាន 2 2

2 2

1 1 1 1 1ln | |

2 2 2

x x

x x

e edx du du u C

u ue e

2 21ln | | , ( )

2

x xe e C C


2 2

2 2

1ln | | , ( )

2

x xx x

x x

e edx e e C C

e e

( ).c 1

1

xedx

x

ាង 1u x តោះ 1

2 1du dx

x

ឬ 1

21

du dxx

តគបាន 1

2 2 21

xu u ue

dx e du e du e Cx

12 , ( )xe C C


12 , ( )1

xxe

dx e C Cx

( ).d ln xdx

x

ាង lnu x តោះ 1du dx

x

តគបាន 2

2ln 1(ln ) , ( )

2 2

x udx udu C x C C

x

ដចតនោះ 2ln 1(ln ) , ( )

2

xdx x C C

x

( ).e ln (1 ln )x x x dx

ាង lnu x x តោះ 1( ln ) (1 ln )du x x dx x dx

x


តគបាន 2 21 1ln (1 ln ) ( ln )

2 2x x x dx udu u C x x C

ដចតនោះ 21ln (1 ln ) ( ln ) , ( )

2x x x dx x x C C

ឧទាហរណ៣ : គណអាងតេរាលខាងតរាមៈ ( ).a 8cos(16 1)x dx ( ).b cos cos(sin )x x dx

( ).c 2

1

cos tandx

x x ( ).d

4

sin 7

(1 cos7 )

xdx

x

( ).e cos(ln )xdx

x


គណអាងតេរាល ( ).a 8cos(16 1)x dx


16dx du

តគបាន 1 18cos(16 1) 8cos cos

16 2x dx u du udu

1 1sin sin(16 1) , ( )

2 2u C x C C

ដចតនោះ 18cos(16 1) sin(16 1) , ( )

2x dx x C C

( ).b cos cos(sin )x x dx ាង sinu x តោះ cosdu xdx តគបាន cos cos(sin ) cos sinx x dx udu u C sin(sin ) , ( )x C C ដចតនោះ cos cos(sin ) sin(sin ) , ( )x x dx x C C

( ).c 2

1

cos tandx

x x

ាង tanu x តោះ 2

1

cosdu dx

x

តគបាន 2

1 12 2 tan

cos tandx du u C x C

ux x



12 tan , ( )

cos tandx x C C

x x

( ).d 4

sin 7

(1 cos7 )

xdx

x

ាង 1 cos7u x តោះ 7sin7du xdx ឬ 1sin7

7xdx du

តគបាន 4 4 4

sin7 1 1 1 1( )

7 7(1 cos7 )

xdx du du

x u u

3 3 3

1 1 1 1( ) , ( )

7 3 21 21(1 cos7 )C C C C

u u x


sin7 1, ( )

(1 cos7 ) 21(1 cos7 )

xdx C C

x x

( ).e cos(ln )xdx

x


x

តគបាន cos(ln )cos sin

xdx u du u C

x

sin(ln ) , ( )x C C

ដចតនោះ cos(ln )sin(ln ) , ( )

xdx x C C

x

7. ារគណនាអ ាងតេករាលកាណេតោយបដរអតេរ ( Definite Integration by Substitutions )

របមនដ

តបើ ( )u g x ជាបនងមានតដរតវតលើ [ , ]a b

តគបាន ( )

( )

[ ( )] '( ) ( )g bb

a g a

f g x g x dx f u du


ាង F ជារពមទវនន f តោះ '( ) ( )F x f x

តគបាន [ ( )] '( ) '[ ( )] '( ) ( ( ))b b b

aa a

f g x g x dx F g x g x dx F g x


( )

( )

( ( )) ( ( )) ( )g b

g a

F g b F g a f u du

ដចតនោះ ( )

( )

[ ( )] '( ) ( )g bb

a g a

f g x g x dx f u du ។

ឧទាហរណ១ : គណអាងតេរាលកាណេខាងតរាមៈ

( ).a 2

2 3

0

( 1)x x dx ( ).b 22

3 21

3

( 1)

xdx

x

( ).c 1

20 ( 3)

x

x

edx

e

( ).d 2

1

(ln )e xdx

x

( ).e / 2

2/ 4

cos

sin

xdx

x

( ).f

2

21

10 1

5 3

xdx

x x


( ).a 2

2 3

0

( 1)x x dx

ាង 2 1u x តោះ 2du xdx ឬ 12

du xdx

តពល 0x តោះ 20 1 1u តពល 2x តោះ 22 1 5u

តគបាន 5

42 5 52 3 3 3

0 1 1 1

1 1 1( 1)

2 2 2 4

ux x dx u du u du

5

4 4 4

1

1 1 1 624(5 1 ) (625 1) 78

8 8 8 8u


2 3

0

( 1) 78x x dx ។

( ).b 22

3 21

3

( 1)

xdx

x

ាង 3 1u x តោះ 23du x dx តពល 1x តោះ 31 1 2u


តពល 2x តោះ 32 1 9u

តគបាន 922 9

3 2 21 2 2

3 1 1 1 1

9 2( 1)

xdx du

ux u

1 1 2 9 7

9 2 18 18


3 21

3 7

18( 1)

xdx

x

។

( ).c 1

20 ( 3)

x

x

edx

e

ាង 3xu e តោះ xdu e dx តពល 0x តោះ 0 3 4u e តពល 1x តោះ 1 3u e

តគបាន 11 31 3

2 20 4 4

1 1

( 3)

ex e

x

edx du

ue u

1

1 1 1 1 1

14 4 1 3 43 3

e

eee


20

1

1 3 4( 3)

x

x

e edx

ee

។

( ).d 2

1

(ln )e xdx

x


x

តពល 1x តោះ ln1 0u តពល x e តោះ ln 1u e

តគបាន 1

2 3 3 312

1 0 0

(ln ) 1 0 1

3 3 3 3

e x udx u du

x


1

(ln ) 1

3

e xdx

x ។


( ).e / 2

2/ 4

cos

sin

xdx

x

ាង sinu x តោះ cosdu xdx

តពល 4

x

តោះ 2sin

4 2u

តពល 2

x

តោះ sin 12

u

តគបាន 1/ 2 1

2 2 2/ 4 2

22

cos 1 1 1( 1)

2sin

2

xdx du

ux u

21 1 2

2

ដចតនោះ / 2

2/ 4

cos1 2

sin

xdx

x

។

( ).f 2

21

10 1

5 3

xdx

x x

ាង 25 3u x x តោះ (10 1)du x dx តពល 1x តោះ 9u តពល 2x តោះ 25u

តគបាន 2 25 25

921 9

10 1 12

5 3

xdx du u

ux x

(2 25) (2 9) 10 6 4


21

10 14

5 3

xdx

x x

។

ឧទាហរណ២ : គណអាងតេរាលកាណេខាងតរាមៈ

( ).a 9

4

1

(1 )dx

x x

( ).b

21

ln

e

e

dxx x

( ).c 31

2

0

2 ( 1)xx e dx ( ).d / 2

sin

0

3 cosx xdx



( ).a 9

4

1

(1 )dx

x x

ាង 1u x តោះ 1

2du dx

x ឬ 1

2du dxx

តពល 4x តោះ 3u តពល 9x តោះ 4u


34 3

1 12 2ln | |

(1 )dx du u

ux x

4(2ln 4 2ln3) 2(ln 4 ln3) 2ln

3


4

1 42ln

3(1 )dx

x x

។

( ).b 2

1

ln

e

e

dxx x


x

តពល x e តោះ ln 1u e តពល 2x e តោះ 2ln 2u e


11

1 12 2 2 2 1 2( 2 1)

ln

e

e

dx du ux x u


12( 2 1)

ln

e

e

dxx x

។

( ).c 31

2

0

2 ( 1)xx e dx

ាង 3u x តោះ 23du x dx ឬ 222

3du x dx

តពល 0x តោះ 0u តពល 1x តោះ 1u



2

0 0 0

2 22 ( 1) ( 1) ( 1)

3 3

x u ux e dx e du e du

1

0

0

2 2 2 2( ) ( 1) ( 0) ( 1 1)

3 3 3 3

u ee u e e e


2

0

22 ( 1)

3

x ex e dx ។

( ).d / 2

sin

0

3 cosx xdx

ាង sinu x តោះ cosdu xdx តពល 0x តោះ 0u តពល / 2x តោះ 1u

តគបាន 1

/ 2 1sin 1 0

0 0 0

3 13 cos 3 (3 3 )

ln3 ln3

ux uxdx du

1 2(3 1)

ln3 ln3


sin

0

23 cos

ln3

x xdx

។

8. ារគណនាអ ាងតេករាលតោយផផែក ( Integration by Parts ) របមនដ

( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( )f x g x dx f x g x f x g x dx ឬ udv uv vdu

សសរាយបញជា ក ចាត ោះ ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( )f x g x dx f x g x f x g x dx តគមាន [ ( ) ( )]' '( ) ( ) ( ) '( )f x g x f x g x f x g x តគបាន [ ( ) ( )]' '( ) ( ) ( ) '( )f x g x dx f x g x dx f x g x dx សមមល ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( )f x g x f x g x dx f x g x dx ាឲយ ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( )f x g x dx f x g x f x g x dx (*) ចាត ោះ udv uv vdu ាង ( )u f x តោះ '( )du f x dx


នង ( )v g x តោះ '( )dv g x dx ជានសកនង (*) តគបាន ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( )f x g x dx f x g x f x g x dx តៅជា udv uv vdu ។ ក. រណបៀបណសររើសណរើសវ u វនងវ dv (Choosing u and dv )

ចាត ោះ u : រេវតរជើសតរ ើសតផនកណាតដលានតេងហយរសលតពលតធវើឌតផរងតសយល ចាត ោះ dv : រេវតរជើសតរ ើសតផនកណាតដលងហយអាងតេរាល ។ For u : Choose something that becomes simpler when differentiated.

For dv : Choose something whose integral is simple. ឧទាហរណ: គណអាងតេរាលខាងតរាមៈ ( ).a xxe dx ( ).b ln xdx ( ).c lnx xdx ( ).d cosx xdx ( ).e sinx xdx ដណ ោះសរាយ

គណអាងតេរាល ( ).a xxe dx ាង u x តោះ du dx xdv e dx តោះ xv e ាមរបមនដ udv uv vdu តគបាន , ( )x x x x xxe dx xe e dx xe e C C ដចតនោះ , ( )x x xxe dx xe e C C ។ ផទយតៅវញ តបើតគាង xu e តោះ xdu e dx

dv xdx តោះ 2

2

xv

តគបាន 2 2

2 2

x x xx xxe dx e e dx

តយើងត ើញថាអាងតេរាលតៅតផនកខាងសដ ាានតេមានលកខណៈពបាកជាងអាង តេរាលតដើមតៅតទៀេ ដតចនោះតយើងមនអចបនតគណតបបតនោះបានតទ។ ( ).b ln xdx



x

dv dx តោះ v x ាមរបមនដ udv uv vdu

តគបាន 1ln ln lnxdx x x x dx x x dx

x

ln ( 1 ln ) , ( )x x x C x x C C ដចតនោះ ln ( 1 ln ) , ( )xdx x x C C ។ ( ).c lnx xdx


x

dv xdx តោះ 21

2v x

ាមរបមនដ udv uv vdu

តគបាន 2 2 21 1 1 1 1ln ln ln

2 2 2 2x xdx x x x dx x x xdx

x

2 2 21 1 1 1 1ln ( ln ) , ( )

2 2 2 2 2x x x C x x C C

ដចតនោះ 21 1ln ( ln ) , ( )

2 2x xdx x x C C ។

( ).d cosx xdx ាង u x តោះ du dx cosdv xdx តោះ sinv x ាមរបមនដ udv uv vdu តគបាន cos sin sin sin ( cos )x xdx x x xdx x x x C sin cos , ( )x x x C C ដចតនោះ cos sin cos , ( )x xdx x x x C C ។ ( ).e sinx xdx ាង u x តោះ du dx sindv xdx តោះ cosv x ាមរបមនដ udv uv vdu


តគបាន sin cos cos cos cosx xdx x x xdx x x xdx cos sin , ( )x x x C C ដចតនោះ sin cos sin , ( )x xdx x x x C C ។ ច

តបើ ( )P x ជាពហធានន x តោះតគបានៈ

sin

( ) cos

ax

ax

P x ax

e

រេវតរជើសតរ ើស ( )u P x

sin

cos( )

arctan

ln

arc x

arc xP x

x

x

រេវតរជើសតរ ើស

sin

cos

arctan

ln

arc x

arc xu

x

x

ខ. ារណសរបើរបមនដដដដលណ ើងធាញ ( Repeated Use ) តពលខលោះតយើងរេវតរបើារគណអាងតេរាលតោយតផនកតលើសពមដងតដើមប ទទលបានចតមលើយមយ។ ចរសតងេេតមើលឧទហរណខាងតរាម។

ឧទាហរណ: គណអាងតេរាលខាងតរាមៈ ( ).a 2 xx e dx ( ).b 2 cosx axdx ( ).c 3 sin(2 1)x x dx ( ).d 2(ln )x x dx ដណ ោះសរាយ

គណអាងតេរាល ( ).a 2 xx e dx ាង 2u x តោះ 2du xdx xdv e dx តោះ xv e ាមរបមនដ udv uv vdu តគបាន 2 2 22 2x x x x xx e dx x e e xdx x e xe dx តគរេវតរបើរបមនដ udv uv vdu មដងតទៀេតដើមបគណ xxe dx ាង 1u x តោះ 1du dx


1xdv e dx តោះ 1

xv e ាឲយ x x x x xxe dx xe e dx xe e តគបាន 2 2 2( )x x x xx e dx x e xe e C 2( 2 2) , ( )xx x e C C ដចតនោះ 2 2( 2 2) , ( )x xx e dx x x e C C ។ ( ).b 2 cosx axdx ាង 2u x តោះ 2du xdx

cosdv axdx តោះ 1sinv ax

a


តគបាន 2

2 1cos sin sin 2

xx axdx ax ax xdx

a a

2 2

sin sinx

ax x axdxa a

គណ sinx axdx ាង u x តោះ du dx

sindv axdx តោះ 1cosv ax

a

តគបាន 1sin cos cos

xx axdx ax axdx

a a

2

1 1cos cos cos sin

x xax axdx ax ax

a a a a

ាឲយ 2

2

2

2 1cos sin cos sin

x xx axdx ax ax ax C

a a a a

2

2 3

2 2sin cos sin , ( )

x xax ax ax C C

a a a

ដចតនោះ2

2

2 3

2 2cos sin cos sin , ( )

x xx axdx ax ax ax C C

a a a

( ).c 3 sin(2 1)x x dx ាង 3u x តោះ 23du x dx


sin(2 1)dv x dx តោះ 1cos(2 1)

2v x


តគបាន 3 3 21 1sin(2 1) cos(2 1) 3 cos(2 1)

2 2x x dx x x x x dx

3 21 3cos(2 1) cos(2 1)

2 2x x x x dx (1)

គណ 2 cos(2 1)x x dx ាង 2u x តោះ 2du xdx

cos(2 1)dv x dx តោះ 1sin(2 1)

2v x

តគបាន 2

2 1cos(2 1) sin(2 1) 2 sin(2 1)

2 2

xx x dx x x x dx

2

sin(2 1) sin(2 1)2

xx x x dx (2)

គណ sin(2 1)x x dx ាង u x តោះ du dx

sin(2 1)dv x dx តោះ 1cos(2 1)

2v x

តគបាន 1sin(2 1) cos(2 1) cos(2 1)

2 2

xx x dx x x dx

1cos(2 1) cos(2 1)

2 2

xx x dx

1sin(2 1) cos(2 1) sin(2 1)

2 4

xx x dx x x ជានសកនង (2)

តគបាន2

2 cos(2 1) sin(2 1) sin(2 1)2

xx x dx x x x dx

2 1

sin(2 1) [ cos(2 1) sin(2 1)]2 2 4

x xx x x

2 1

sin(2 1) cos(2 1) sin(2 1)2 2 4

x xx x x ជានសកនង (1)

តគបាន 3 3 21 3sin(2 1) cos(2 1) cos(2 1)



2

31 3 1cos(2 1) [ sin(2 1) cos(2 1) sin(2 1)]

2 2 2 2 4

x xx x x x x C

2

31 3 3 3cos(2 1) sin(2 1) cos(2 1) sin(2 1)

2 4 4 8

x xx x x x x C

2 22 3 6 3

cos(2 1) sin(2 1) , ( )4 8

x x xx x C C

ដចតនោះ

23

2

2 3sin(2 1) cos(2 1)

4

6 3sin(2 1) , ( )

8

x xx x dx x

xx C C

( ).d 2(ln )x x dx

ាង 2(ln )u x តោះ 2(ln )du x dx

x

dv xdx តោះ 21

2v x


តគបាន 2 2 2 21 1 2(ln ) (ln ) (ln )


x

2 21(ln ) ln

2x x x xdx

គណ lnx xdx


x

dv xdx តោះ 21

2v x


តគបាន 2 2 21 1 1 1 1ln ln ln

2 2 2 2x xdx x x x dx x x xdx

x

2 2 2 21 1 1 1 1ln ln

2 2 2 2 4x x x x x x

ាឲយ 2 2 21(ln ) (ln ) ln

2x x dx x x x xdx


2 2 2 21 1 1(ln ) ( ln )

2 2 4x x x x x C

2 2 2 21 1 1(ln ) ln , ( )

2 2 4x x x x x C C

ដចតនោះ 2 2 2 2 21 1 1(ln ) (ln ) ln , ( )

2 2 4x x dx x x x x x C C

. ារណ ោះសរាយអងណេសរាលមនសរាកដ ( Solving for the Unknown Integration ) តដើមបគណអាងតេរាលមនរបាកដ តគរេវតរបើារគណអាងតេរាល តោយតផនកពរដងបនដប ទ បគនន ។

ឧទាហរណ: គណអាងតេរាលខាងតរាមៈ ( ).a sinxe xdx ( ).b cosxe xdx

( ).c sin(ln )x dx ( ).d 2 cos3xe xdx ដណ ោះសរាយ

គណអាងតេរាល ( ).a sinxe xdx ាង xu e តោះ xdu e dx sindv xdx តោះ cosv x ាមរបមនដ udv uv vdu តគបាន sin cos cosx x xe xdx e x e xdx (1) គណ cosxe xdx ាង xu e តោះ xdu e dx cosdv xdx តោះ sinv x តគបាន cos sin sinx x xe xdx e x e xdx (2) ាម (1) នង (2) តគបានៈ sin cos sin sinx x x xe xdx e x e x e xdx 2 sin (sin cos )x xe xdx x x e

1sin (sin cos ) , ( )

2

x xe xdx x x e C C

ដចតនោះ sin (1/ 2)(sin cos ) , ( )x xe xdx x x e C C


( ).b cosxe xdx

ាង xu e តោះ xdu e dx cosdv xdx តោះ sinv x ាមរបមនដ udv uv vdu តគបាន cos sin sinx x xe xdx e x e xdx

(1) គណ sinxe xdx

ាង xu e តោះ xdu e dx sindv xdx តោះ cosv x តគបាន sin cos cosx x xe xdx e x e xdx

(2) ាម (1) នង (2) តគបានៈ cos sin ( cos cos )x x x xe xdx e x e x e xdx

cos sin cos cosx x x xe xdx e x e x e xdx

2 cos (sin cos )x xe xdx x x e

1cos (sin cos ) , ( )

2

x xe xdx x x e C C

ដចតនោះ 1cos (sin cos ) , ( )

2

x xe xdx x x e C C

( ).c sin(ln )x dx

ាង sin(ln )u x តោះ 1cos(ln )du x dx

x

dv dx តោះ v x ាមរបមនដ udv uv vdu តគបាន sin(ln ) sin(ln ) cos(ln )x dx x x x dx (1) គណ cos(ln )x dx

ាង cos(ln )u x តោះ 1sin(ln )du x dx

x

dv dx តោះ v x តគបាន cos(ln ) cos(ln ) sin(ln )x dx x x x dx (2) ាម (1) នង (2) តគបានៈ sin(ln ) sin(ln ) [ cos(ln ) sin(ln ) ]x dx x x x x x dx


sin(ln ) sin(ln ) cos(ln ) sin(ln )x dx x x x x x dx 2 sin(ln ) sin(ln ) cos(ln ) [sin(ln ) cos(ln )]x dx x x x x x x x

sin(ln ) [sin(ln ) cos(ln )] , ( )2

xx dx x x C C

ដចតនោះ sin(ln ) [sin(ln ) cos(ln )] , ( )2

xx dx x x C C ។

( ).d 2 cos3xe xdx ាង 2xu e តោះ 22 xdu e dx

cos3dv xdx តោះ 1sin3

3v x


តគបាន 2 2 21 2cos3 sin3 sin3

3 3

x x xe xdx e x e xdx (1)

គណ 2 sin3xe xdx ាង 2xu e តោះ 22 xdu e dx

sin3dv xdx តោះ 1cos3

3v x

តគបាន 2 2 21 2sin3 cos3 cos3

3 3

x x xe xdx e x e xdx (2)

ាម (1) នង (2) តគបានៈ

2 2 2 21 2 1 2cos3 sin3 cos3 cos3

3 3 3 3

x x x xe xdx e x e x e xdx

2 2 2 21 2 4cos3 sin3 cos3 cos3

3 9 9

x x x xe xdx e x e x e xdx

2 2 213 1 2cos3 sin3 cos3

9 3 9

x x xe xdx e x e x

2 2 29 1 2cos3 ( sin3 cos3 ) , ( )

13 3 9

x x xe xdx e x e x C C


2 cos3 (3sin3 2cos3 ) , ( )13

xx e

e xdx x x C C


ឃ. ារណនាអងណេសរាលជាតារាង ( Tabular Integration ) អាងតេរាលមានទរមង ( ) ( )f x g x dx f អចរេវបានតគតធវើឌតផរងតសយលជាបនតប ទ បរហេដលលទធផលសនយ។ g អចរេវបានតគអាងតេរាលជាបនតប ទ បតោយមនចាបាចគណអាង តេរាលតោយតផនក។ តបើសនារគណតនោះេរមវឲយតយើងគណដតដលតរចើនដងតោះតយើងនង ទទលបានចតមលើយតោយលាបាក ។ ដតចនោះ តគមានវធមយតដើមបគណអាងតេរាលរបតភទតនោះគ ារគណអាង តេរាលជាារាង នងរេវបានបងហា ញជនតៅកនងឧទហរណខាងតរាមៈ

ឧទាហរណ: គណអាងតេរាលខាងតរាមៈ ( ).a 2 xx e dx ( ).b 3 sinx xdx ( ).c 4 cosx xdx ( ).d 2( 1) xx x e dx ដណ ោះសរាយ

គណអាងតេរាល ( ).a 2 xx e dx យក 2( )f x x នង ( ) xg x e តគបាន៖ ( )f x ngi edreI v ( )g x ngi GagM etRkal

2x xe 2x xe 2 xe 0 xe គណផលគណននអនគមនតៅាមគានសរពញតដលភជា ប រចបកគនន តោយ ភជា បជាមយសញជា តៅចត ល ោះតោះតគបានៈ 2 2 2 2 , ( )x x x xx e dx x e xe e C C ដចតនោះ 2 2( 2 2) , ( )x xx e dx x x e C C ( ).b 3 sinx xdx យក 3( )f x x នង ( ) sing x x តគបាន៖

( )

( )

( )


( )f x ngi edreI v ( )g x ngi GagM etRkal

3x sin x 23x cos x 6x sin x 6 cos x 0 sin x តគបាន 3 3 2sin cos 3 sin 6 cos sinx xdx x x x x x x x C ដចតនោះ 3 3 2sin ( 6 )cos (3 1)sin , ( )x xdx x x x x x C C ( ).c 4 cosx xdx យក 4( )f x x នង ( ) cosg x x តគបាន៖ ( )f x ngi edreI v ( )g x ngi GagM etRkal

4x cos x 34x sin x 212x cos x 24x sin x 24 cos x 0 sin x ដចតនោះ 4 4 3 2cos sin 4 cos 12 sinx xdx x x x x x x 24 cos 24sin , ( )x x x C C ( ).d 2( 1) xx x e dx យក 2( ) 1f x x x នង ( ) xg x e តគបាន៖ ( )f x ngi edreI v ( )g x ngi GagM etRkal

2 1x x xe 2 1x xe 2 xe 0 xe ដចតនោះ 2 2( 1) ( 1) (2 1) 2x x x xx x e dx x x e x e e C

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )


9. គណនាេនមៃអ ាងតេករាលតោយផផែក (Definite Integration by Parts) របមនដ តបើ f នង g ជាអនគមនជាបតលើចត ល ោះ [ , ]a b នងមានតដរតវតលើចត ល ោះ ( , )a b

តោះតគបាន ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )b bb

aa a

f x g x dx f x g x g x f x dx

សសរាយបញជា ក តគមាន [ ( ) ( )]' '( ) ( ) ( ) '( )f x g x f x g x f x g x

តគបាន [ ( ) ( )]' '( ) ( ) ( ) '( )b b b

a a a

f x g x dx f x g x dx f x g x dx

( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( )b bb

aa a

f x g x f x g x dx f x g x dx

( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( )b bb

aa a

f x g x dx f x g x f x g x dx

ដចតនោះ ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )b bb

aa a

f x g x dx f x g x g x f x dx ។

ឧទាហរណ១វ: គណអាងតេរាលកាណេខាងតរាមៈ

( ).a ln3

ln 2

xxe dx ( ).b 2

3lne

e

x x dx

( ).c / 2

0

cosxe xdx

( ).d 0

2

1

( 1) xx e dx

( ).e 10

5 1

xdx

x

( ).f

0

( 1)sin3x xdx


គណអាងតេរាលកាណេ

( ).a ln3

ln 2

xxe dx

ាង ( )f x x តោះ '( ) 1f x '( ) xg x e តោះ ( ) xg x e


ាមរបមនដ ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )b bb

aa a


តគបាន ln3 ln3ln3

ln 2ln 2 ln 2

x x xxe dx xe e dx

ln3

ln3 ln 2

ln 2(ln3 ) (ln 2 ) xe e e

ln3 ln2(3ln3 2ln 2) ( )e e

3 2 27 27ln3 ln 2 (3 2) ln 1 1 ln

4 4

ដចតនោះ ln3

ln 2

271 ln

4

xxe dx

។

( ).b 2 2

3ln 3 lne e

e e

x x dx x xdx

ាង ( ) lnf x x តោះ 1'( )f x

x

'( )g x x តោះ 21( )

2g x x

ាមរបមនដ ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )b bb

aa a



3 2 21 1 1ln 3 ln 3 ln 3

2 2

ee e e

e e ee

x x dx x xdx x x x dxx

2 2 24 3

3 ln(2 ) ln2 2 2

e

e

e ee e xdx

2 2 2 2

24 4 33 ln 2

2 2 2 4

e

e

e e ex

2 2 2

2 2 2 23 3 3 93 2 ln 2 (4 ) 3 2 ln 2

2 4 2 4

e e ee e e e

2 2 2 2 224 ln 2 18 9 24 ln 2 9

4 4

e e e e e



3 24 ln 2 9ln

4

e

e

e ex x dx

។

( ).c / 2

0

cosxe xdx

ាង ( ) xf x e តោះ '( ) xf x e '( ) cosg x x តោះ ( ) sing x x

ាមរបមនដ ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )b bb

aa a


តគបាន / 2 / 2/ 2

00 0

cos sin sinx x xe xdx e x e xdx

/ 2 / 2

/ 2

0 0

cos ( ) sinx xe xdx e e xdx

(1)

គណ / 2

0

sinxe xdx

ាង ( ) xf x e តោះ '( ) xf x e '( ) sing x x តោះ ( ) cosg x x

តគបាន / 2 / 2/ 2

00 0

sin cos cosx x xe xdx e x e xdx

/ 2 / 2

0 0

sin 1 cosx xe xdx e xdx

ជានសកនង (1) តគបានៈ

/ 2 / 2

/ 2

0 0

cos ( ) 1 cosx xe xdx e e xdx

/ 2/ 2 / 2

/ 2

0 0

12 cos 1 cos

2

x x ee xdx e e xdx

ដចតនោះ / 2/ 2

0

1cos

2

x ee xdx

។

( ).d 0

2

1

( 1) xx e dx

ាង 2( ) ( 1)f x x នង ( ) xg x e


( )f x ngi edreI v ( )g x ngi GagM etRkal

2( 1)x xe 2( 1)x xe 2 xe 0 xe

តគបាន 0 0

2 2

11

( 1) ( 1) 2( 1) 2x x x xx e dx x e x e e

0

2

1

( 1) ( 1 2 2) (0 0 2 ) 5 2 2 5xx e dx e e e


2

1

( 1) 2 5xx e dx e

។

( ).e 10

5 1

xdx

x

ាង ( )f x x តោះ '( ) 1f x

1'( )

1g x

x

តោះ ( ) 2 1g x x

ាមរបមនដ ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )b bb

aa a


តគបាន 10 1010

55 5

2 1 2 11

xdx x x x dx

x

10 10

3 3

55

2 4(60 20) 2 ( 1) 40 ( 1)

3 3x x

3 34 4 4 120 76 4440 (3 2 ) 40 (27 8) 40 19

3 3 3 3 3


5

44

31

xdx

x

។

( ).f 0

( 1)sin3x xdx

ាង ( ) 1f x x តោះ '( ) 1f x

( )

( )

( )


'( ) sin3g x x តោះ 1( ) cos3

3g x x

ាមរបមនដ ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )b bb

aa a



1 1( 1)sin3 ( 1)cos3 cos3

3 3x xdx x x xdx

0

1 1 1 1 1 1 2( 1) sin3 ( 2) (0 0)

3 3 3 3 3 3 3x


2( 1)sin3

3x xdx

។

ឧទាហរណ២វ: ( ).a តោយតធវើអាងតេរាលតោយតផនក, គណ/ 2

2

0

cos2x xdx

( ).b តគយក / 2

2 2

0

cosI x xdx

នង / 2

2 2

0

sinJ x xdx

។

គណ I J នង I J រចទញរក I នង J ។ ដណ ោះសរាយ

( ).a គណ/ 2

2

0

cos2x xdx

ាង 2( )f x x តោះ '( ) 2f x x

'( ) cos2g x x តោះ 1( ) sin 2

2g x x

ាមរបមនដ ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )b bb

aa a


តគបាន / 2

2/ 2 / 22

0 00

cos2 sin 2 sin 22

xx xdx x x xdx

/ 2 / 2 / 2

2

0 0 0

cos2 (0 0) sin 2 sin 2x xdx x xdx x xdx

(1)

គណ / 2

0

sin 2x xdx

ាង ( )f x x តោះ '( ) 1f x


'( ) sin2g x x តោះ 1( ) cos2

2g x x

តគបាន / 2/ 2 / 2

0 00

1 1sin 2 cos2 cos2

2 2x xdx x x xdx

/ 2/ 2

0 0

1 1sin 2 0 sin 2

4 2 2x xdx x

/ 2 / 2

00

1 1sin 2 sin 2 (0 0)

4 4 4 4 4x xdx x

ជានសកនង (1)

តគបាន / 2 / 2

2

0 0

cos2 sin 24

x xdx x xdx


2

0

cos24

x xdx ។

( ).b គណ I J នង I J

តគមាន / 2

2 2

0

cosI x xdx

នង / 2

2 2

0

sinJ x xdx

តគបាន / 2 / 2

2 2 2 2

0 0

cos sinI J x xdx x xdx

/ 2/ 2 / 2

2 2 2 2 3

0 0 0

1(cos sin )

3x x x dx x dx x

3 31 1

03 8 3 24


24I J

។

តគបាន / 2 / 2

2 2 2 2

0 0

cos sinI J x xdx x xdx

/ 2 / 2

2 2 2 2

0 0

(cos sin ) cos24

x x x dx x xdx


I J

។

ទញរក I នង J


តគបាន

3

( )24

( )4

I J i

I J ii

បកសមារ ( )i នង ( )ii តគបាន 3

224 4

I

ាឲយ 3

48 8I

ាម ( )i តគបាន 3 3 3 3

24 24 48 8 48 8J I


48 8I

នង

3

48 8J

។

10. ារគណនាអ ាងតេករាលករបភាគតោយផផែក (Partial Fraction Integration) របមនដ

ចាត ោះអាងតេរាលទរមង ( )

( )

P xdx

Q x តដល ( )P x នង ( )Q x ជាពហធា តគអច

បាតបករបភជគ ( )

( )

P x

Q x ជារបភជគងហយាមករណ ( )Q x ដចខាងតរាម៖

ក. ករណ 1 1 2 2 3 3( ) ( )( )( ) ...Q x a x b a x b a x b


1 1 2 2 3 3

( )( ) ...

( )

AA AP xA x

Q x a x b a x b a x b

ខ. ករណ ( ) ( )nQ x ax b


( )( ) ...

( ) ( ) ( )

nn

AA AP xA x

Q x ax b ax b ax b

តដល 1 2 3, , , , ...A A A A ជាចាននតថររេវកាណេ ។ ច តបើដតរកនន ( )P x តសមើដតរកនន ( )Q x តោះ ( )A x ជាចាននតថរ តបើដតរកនន ( )P x េចជាងដតរកនន ( )Q x តោះ ( ) 0A x តបើដតរកនន ( )P x ធាជាងដតរកនន ( )Q x តោះ ( )A x ជាពហធា ។


ឧទាហរណ១វ: គណអាងតេរាលមនកាណេខាងតរាមៈ

( ).a 2

2

8

5 6

xdx

x x

( ).b 5 13

( 3)( 2)

xdx

x x

( ).c 3 2

2

4

4 3

x xdx

x x

( ).d

2

2

3

2 1

xdx

x x

( ).e 2

2 2

2 1

xdx

x x

( ).f

3

2 2 1

xdx

x x

( ).g 2

cos

sin sin 6

xdx

x x

( ).h

2

2

ln 1

(ln 3ln 2)

xdx

x x x


គណអាងតេរាលមនកាណេ

( ).a 2

2

8

5 6

xdx

x x

តគមាន 2

2 2

8 5 2 5 21 1

( 2)( 3)5 6 5 6

x x x

x xx x x x

ចាត ោះ 5 2 ( 3) ( 2)

( 2)( 3) 2 3 ( 2)( 3)

x A B A x B x

x x x x x x

5 2 ( ) ( 3 2 )

( 2)( 3) ( 2)( 3)

x A B x A B

x x x x

តដល 2 , 3x x

តគទញបាន 5

3 2 2

A B

A B

ាឲយ 12

17

A

B

តគបាន 2

2

8 12 171

2 35 6

xdx dx

x xx x

12ln | 2 | 17ln | 3| , ( )x x x C C


2

812ln | 2 | 17ln | 3 |

5 6

xdx x x x C

x x

។

( ).b 5 13

( 3)( 2)

xdx

x x

តោយ 5 13 ( 2) ( 3)

( 3)( 2) 3 2 ( 3)( 2)

x A B A x B x

x x x x x x


( ) ( 2 3 )

( 3)( 2)

A B x A B

x x

ចាត ោះ {2,3}x


2 3 13

A B

A B

ាឲយ 2

3

A

B

តគបាន 5 13 2 3

( 3)( 2) 3 2

xdx dx

x x x x

2ln | 3| 3ln | 2 | , ( )x x C C

ដចតនោះ 5 132ln | 3 | 3ln | 2 | , ( )

( 3)( 2)

xdx x x C C

x x

( ).c 3 2

2

4

4 3

x xdx

x x

តគមាន 3 2 2

2 2 2

4 ( 4 3) 3 3

4 3 4 3 4 3

x x x x x x xx

x x x x x x

ចាត ោះ 2

3 3

( 1)( 3) 1 34 3

x x A B

x x x xx x

2

( 3) ( 1) ( ) (3 )

( 1)( 3) 4 3

A x B x A B x A B

x x x x

ចាត ោះ { 3 , 1}x


3 2

3 0 9

2

AA B

A BB

តគបាន 3 2

2

3 94 2 2

1 34 3

x xdx x dx

x xx x

2 3 9

ln | 1| ln | 3 | , ( )2 2 2

xx x C C

ដចតនោះ 3 2 2

2

4 3 9ln | 1| ln | 3 |

2 2 24 3

x x xdx x x C

x x

( ).d 2

2

3

2 1

xdx

x x



2 2 2 2

3 3 3( 1) 6 3 6 33

2 1 ( 1) ( 1) ( 1)

x x x x x

x x x x x

តោយ 2 2 2 2

6 3 ( 1) ( )

1( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

x A B A x B Ax A B

xx x x x

ាឲយ 6 6

3 3

A A

A B B

តគបាន 2

2 2

3 6 33

12 1 ( 1)

xdx dx

xx x x

33 6ln | 1| , ( )

1x x C C

x


2

3 33 6ln | 1| , ( )

12 1

xdx x x C C

xx x

( ).e 2

2 2

2 1

xdx

x x

តោយ 2 2 2 2

2 2 2 2 ( 1)

12 1 ( 1) ( 1) ( 1)

x x A B A x B

xx x x x x

2

( )

2 1

Ax A B

x x

តដល 1x

ាឲយ 2 2

2 4

A A

A B B

តគបាន 2 2

2 2 2 4

12 1 ( 1)

xdx dx

xx x x

42ln | 1| , ( )

1x C C

x


2 2 42ln | 1| , ( )

12 1

xdx x C C

xx x

( ).f 3

2 2 1

xdx

x x

តគមាន 3

2 2 2

3 2 3 22 2

2 1 2 1 ( 1)

x x xx x

x x x x x


តេ 2 2 2 2

3 2 ( 1) ( )

1( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

x A B A x B Ax A B

xx x x x

ាឲយ 3 3

2 1

A A

A B B

តគបាន 3

2 2

3 12

12 1 ( 1)

xdx x dx

xx x x

21 12 3ln | 1| , ( )

2 1x x x C C

x


2

2

1 12 3ln | 1|

2 12 1

xdx x x x C

xx x

( ).g 2

cos

sin sin 6

xdx

x x

ាង sint x តោះ cosdt xdx

តគបាន 2 2

cos 1

sin sin 6 6

xdx dt

x x t t

តោយ 2

1 1

( 3)( 2) 3 26

A B

t t t tt t

2

( 2) ( 3) ( ) ( 2 3 )

( 3)( 2) 6

A t B t A B t A B

t t t t

តដល { 3,2}t


0 5

2 3 1 1

5

AA B

A BB

តគបាន 2

1 1

1 5 5

3 26dt dt

t tt t

1 1 1 3ln | 3 | ln | 2 | ln

5 5 5 2

tt t C C

t


cos 1 sin 3ln , ( )

5 sin 2sin sin 6

x xdx C C

xx x


( ).h 2

2

ln 1

(ln 3ln 2)

xdx

x x x

ាង lnt x តោះ 1dt dx

x

តគបាន 2 2

2 2

ln 1 1

(ln 3ln 2) 3 2

x tdx dt

x x x t t

តោយ 2 2

2 2 2

1 ( 3 2) 3 2 3 21

3 2 3 2 3 2

t t t t t

t t t t t t

តោយ 2

3 2 3 2

( 2)( 1) 2 13 2

t t A B

t t t tt t

2

( 1) ( 2) ( ) ( 2 ), ( 1 , 2)

( 2)( 1) 3 2

A t B t A B t A Bt t

t t t t

តគទញបាន 3 4

2 2 1

A B A

A B B

តគបាន 2

2

1 4 11

2 13 2

tdt dt

t tt t

4( 2)

4ln | 2 | ln | 1| ln1

tt t t C t C

t

ាឲយ 2 4

2

ln 1 (ln 2)ln ln , ( )

ln 1(ln 3ln 2)

x xdx x C C

xx x x


2

ln 1 (ln 2)ln ln , ( )

ln 1(ln 3ln 2)

x xdx x C C

xx x x

ឧទាហរណ២វ: អនគមន f កាណេតោយ2

2

1( )

(1 )

x x

x

e ef x

e

ចាត ោះរគប x

( ).a កាណេចាននពេ A នង B តដើមបឲយ2

( )(1 )

x

x

Bef x A

e

ចាត ោះរគបចាននពេ x ។

( ).b គណអាងតេរាលកាណេ 1

0

( )J f x dx ។



( ).a កាណេចាននពេ A នង B

តគមាន2

2 2

(1 )( )

(1 ) (1 )

x x x

x x

Be A e Bef x A

e e

2

2

(2 )

(1 )

x x

x

Ae A B e A

e


តេ 2

2

1( )

(1 )

x x

x

e ef x

e


ាឲយ 1 1

2 1 1

A A

A B B

ដចតនោះ 1 , 1A B ។

( ).b គណអាងតេរាលកាណេ 1

0

( )J f x dx

11 1

20 0 0

1( ) 1

(1 ) 1

x

x x

eJ f x dx dx x

e e

0

1 1 1 1 1 1 31 0 1

1 1 2 2 1 2(1 )1

e

e e e ee


0

3( )

2(1 )

eJ f x dx

e

។

11. អនគមនកាណេតាមអ ាងតេករាលកាណេ តបើ f ជាអនគមនជាបតលើចត ល ោះ [ , ]a b តោះតគបាន៖

( ) ( )x

a

F x f t dt ជាបតលើចត ល ោះ [ , ]a b

មានតដរតវ [ ( )] ( ) ( )x

a

d dF x f t dt f x

dx dx

រគបចាណចនន[ , ]a b


ាង ( )F t ជារពមទវនន f


( ) ( ) ( )x

a

f t dt F x F a

តគបាន ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( )x

a

d df t dt F x F a f x f x

dx dx

ដចតនោះ [ ( )] ( ) ( )x

a

d dF x f t dt f x

dx dx

។

ឧទាហរណៈវគណ៖

( ).a 0

cosxd

tdtdx

( ).b 2

0

sin

1

xd tdt

dx t

( ).c 2

01

xd dt

dx t

( ).d ( )

3

dF

dx

តបើ 0

( ) cosx

F x t tdt


( ).a 0

cos cosxd

tdt xdx

( ).b 2 2

0

sin sin

1 1

xd t xdt

dx t x

( ).c 2 2

0

1

1 1

xd dt

dx t x

( ).d ( )3

dF

dx

តបើ 0

( ) cosx

F x t tdt

0

( ) cos cosxd d

F x t tdt x xdx dx

1( ) ( )cos( ) ( )3 3 3 3 2 6

dF

dx

តបើuជាអនគមននន x នង f ជាអនគមនជាប

តគបាន ( ) ( )u

a

d duf t dt f u

dx dx



តគមាន ( ) ( )u

a

F u f t dt នង ( ) ( )d

F u f udx

តគបាន ( ) ( ) ( ) ( )u

a

d d d du duf t dt F u F u f u

dx dx du dx dx

ដចតនោះ បញជា កថា ( ) ( )u

a

d duf t dt f u

dx dx

។

ឧទាហរណៈ គណ

( ).a '( )F x តបើ 2

22

1( )

xF x dt

t

( ).b sin

0

xdt dt

dx

( ).c 21

0 2 5

xd dt

dx t

( ).d '( )F x តបើ 2

( ) (4 1)x

x

F x t dt

( ).e '( )F x តបើ 3( )x

x

F x t dt


( ).a 2

2

2 2 2 4 32

1 1 2 2'( ) ( ) '

( )

xd xF x dt x

dx t x x x

( ).b sin

0

( sin )(sin ) ' (cos )( sin )xd

t dt x x x xdx

( ).c 21

2

2 20

1 2(1 ) '

2 5 2(1 ) 5 2 7

xd dt xx

dx t x x

( ).d 2

'( ) (4 1) (4 1)x a

x x

d dF x t dt t dt

dx dx

2(4 1) (4 1)

x x

a a

d dt dt t dt

dx dx


2(4 1) (4 1)( ) ' [4( 2) 1]( 2) '

x

a

dt dt x x x x

dx

(4 1) (4 9) 8x x

( ).e 3 3 3'( )x a x

x x a

d d dF x t dt t dt t dt

dx dx dx

3 3x x

a a

d dt dt t dt

dx dx

3 3 3 3( ) ( ) ' ( ) ( ) ' 0x x x x x x 12. អ ាងតេករាលននអនគមនករាសករេតាណមាករេ ( Integration of the Inverse Trigonometric Functions )

ក. អនមនសរាសសរេណាណាសរេ

siny x មានអនគមនរចស arcsiny x ( ឬ 1sin x ) cosy x មានអនគមនរចស arccosy x ( ឬ 1cos x ) tany x មានអនគមនរចស arctany x ( ឬ 1tan x ) coty x មានអនគមនរចស coty arc x ( ឬ 1cot x ) ខ. ណដរើណអនមនសរាសសរេណាណាសរេវ

arcsiny x តគបាន 2

1'

1

y

x

arccosy x តគបាន 2

1'

1

y

x

arctany x តគបាន 2

1'

1y

x

coty arc x តគបាន 2

1'

1y

x


វណទាញានអងណេសរាលវ៖

2

1arcsin , ( )

1

dx x C C

x

2

1arccos , ( )

1

dx x C C

x

2

1arctan , ( )

1dx x C C

x

2

1arccot , ( )

1dx x C C

x

. អងណេសរាលននអនមនសរាសសរេណាណាសរេវ

2arcsin arcsin 1 , ( )xdx x x x C C

2arccos arccos 1 , ( )xdx x x x C C

21arctan arctan ln( 1) , ( )

2xdx x x x C C

21arccot arccot ln( 1) , ( )

2xdx x x x C C


2arcsin arcsin 1xdx x x x C

ាង arcsinu x តោះ 2

1

1

du dx

x


តគបាន 2

arcsin arcsin

1

xxdx x x dx

x

2

2

2

(1 ) 'arcsin arcsin 1

2 1

xx x dx x x x C

x

ដចតនោះ 2arcsin arcsin 1 , ( )xdx x x x C C ។

2arccos arccos 1xdx x x x C


ាង arccosu x តោះ 2

1

1

du dx

x


តគបាន 2

arccos arccos

1

xxdx x x dx

x

2

2

2

(1 ) 'arccos arccos 1

2 1

xx x dx x x x C

x

ដចតនោះ 2arccos arccos 1 , ( )xdx x x x C C ។

21arctan arctan ln( 1)

2xdx x x x C

ាង arctanu x តោះ 2

1

1du dx

x


តគបាន 2

arctan arctan1

xxdx x x dx

x

2

2

2

1 (1 ) ' 1arctan arctan ln(1 )

2 2(1 )

xx x dx x x x C

x

ដចតនោះ 21arctan arctan ln( 1) , ( )

2xdx x x x C C ។

21arccot arccot ln( 1)

2xdx x x x C

ាង arccotu x តោះ 2

1

1du dx

x


តគបាន 2

arccot arccot1

xxdx x x dx

x

2

2

2

1 (1 ) ' 1arccot arccot ln(1 )

2 2(1 )

xx x dx x x x C

x


ឧទាហរណ១វ: គណអាងតេរាលមនកាណេខាងតរាមៈ

( ).a 2 2 4

dxdx

x x

( ).b

2

1

2

dx

x x

( ).c 2

1

4 4 2dx

x x

( ).d

2

1

2 3

dx

x x



( ).a 2 2 4

dxdx

x x

2 2 2

1

3( 2 1) 3 3 ( 1) 11

3

dx dx dx

x x x x

ាង 1

3

xu

តោះ 1

3du dx ឬ 3dx du

តគបាន2 2 2

1 3 3 1 3arctan

3 3 32 4 1 1

dx dudx du u C

x x u u

3 1 3 3( 1)arctan arctan

3 3 33

x xC C


3 3( 1)arctan , ( )

3 32 4

dx xdx C C

x x

។

( ).b 2

1

2

dx

x x

2 2

1 1

1 (1 2 ) 1 (1 )

dx dx

x x x

ាង 1u x តោះ du dx ឬ dx du

តគបាន 2 2

1arccos

2 1

dudx u C

x x u

arccos(1 ) , ( )x C C



1arccos(1 ) , ( )

2

dx x C C

x x

។

( ).c 2

1

4 4 2dx

x x

2 2

1 1

1 (4 4 1) 1 (2 1)dx dx

x x x


2dx du


1 1 1 1 1

2 24 4 2 1 1dx du du

x x u u

1 1arctan arctan(2 1) , ( )

2 2u C x C C


1 1arctan(2 1) , ( )

24 4 2dx x C C

x x

។

( ).d 2

1

2 3

dx

x x

2 2

1 1 1

24 (1 2 ) 11

2

dx dx

x x x

ាង 1

2

xu

តោះ 1

2du dx ឬ 2dx du


1 1 2

22 3 1 1

du dudx

x x u u

1arcsin arcsin , ( )

2

xu C x C C


1 1arcsin , ( )

22 3

xdx x C C

x x

។


ឧទាហរណ២វ: គណអាងតេរាលមនកាណេខាងតរាមៈ

( ).a 2

61

xdx

x

( ).b 2

21

xdx

x

( ).c 2ln(1 )x dx ( ).d 2 2

2 4

( 1)( 1)

xdx

x x



( ).a 2

61

xdx

x

2

3 21 ( )

xdx

x

ាង 3u x តោះ 23du x dx ឬ 2 1

3x dx du

តគបាន 2

6 2 2

1 1 1 1

3 31 1 1

xdx du du

x u u

31 1arctan arctan( ) , ( )

3 3u C x C C


3

6

1arctan( ) , ( )

31

xdx x C C

x

។

( ).b 2

2 21 1

x xdx x dx

x x

ាង u x តោះ du dx

21

xdv dx

x

តោះ 21v x


តគបាន 2

2 2

21 1

1

xdx x x x dx

x

2

2

2

11

1

xx x dx

x

2

2

2 2

11

1 1

xx x dx dx

x x


2

2

21 arcsin

1

xx x x dx

x


2

22 1 arcsin

1

xdx x x x

x

ាឲយ 2

2

2

1( 1 arcsin ) , ( )

21

xdx x x x C C

x


2

2

1( 1 arcsin ) , ( )

21

xdx x x x C C

x

។

( ).c 2ln(1 )x dx

ាង 2ln(1 )u x តោះ 2

2

1

xdu dx

x


តគបាន 2 2

2

2ln(1 ) ln(1 )

1

xx dx x x x dx

x

2

2 2

2 2

1ln(1 ) 2 ln(1 ) 2 1

1 1

xx x dx x x dx

x x

2

2

1ln(1 ) 2 2

1x x dx dx

x

2ln(1 ) 2 2arctan , ( )x x x x C C ដចតនោះ 2 2ln(1 ) ln(1 ) 2 2arctan , ( )x dx x x x x C C

( ).d 2 2

2 4

( 1)( 1)

xdx

x x

តគមាន 2 2 2 2

2 4

1( 1)( 1) 1 ( 1)

x Ax B C D

xx x x x

2 2 2

2 2

( )( 1) ( 1)( 1) ( 1)

( 1)( 1)

Ax B x C x x D x

x x

2 3 2 2

2 2

( )( 2 1) ( 1) ( 1)

( 1)( 1)

Ax B x x C x x x D x

x x


3 2 2 3 2 2

2 2

( 2 2 ) ( 1) ( 1)

( 1)( 1)

Ax Ax Ax Bx Bx B C x x x D x

x x

2 2

2 2

( ) ( 2 ) ( 2 ) ( )

( 1)( 1)

A C x A B C D x A B C x B C D

x x

ចាត ោះ 1x តគបាន

0 (1)

2 0 (2)

2 2 (3)

4 (4)

A C

A B C D

A B C

B C D

យក (1) ដក (3) តគបានៈ ( ) ( 2 ) 0 ( 2)A C A B C 2 2B ាឲយ 1B ាម (1) : A C នង 1B ជានសកនង (2) , (4)

តគបាន 2( ) 1 0 1 2

1 4 3 1

C C D C D C

C D C D D

ាម (1) : 2A C ដតចនោះ 2 , 1 , 2 , 1A B C D

តគបាន 2 2 2 2

2 4 2 1 2 1

1( 1)( 1) 1 ( 1)

x x

xx x x x

ាឲយ 2 2 2 2

2 4 2 1 2 1

1( 1)( 1) 1 ( 1)

x xdx dx

xx x x x

2 2 2

2 1 2 1

11 1 ( 1)

xdx

xx x x

2

2 2 2

( 1) ' 1 2 1

11 1 ( 1)

xdx

xx x x

2 1ln( 1) arctan ln | 1| , ( )

1x x x C C

x

2 1 1

ln arctan , ( )| 1| 1

xx C C

x x

2

2 2

2 4 1 1ln arctan , ( )

| 1| 1( 1)( 1)

x xdx x C C

x xx x


ឧទាហរណ៣វ: គណអាងតេរាលខាងតរាមៈ

( ).a 1tanx x dx ( ).b

2

2

sec

9 tan

xdx

x

( ).c 1 2sin (2 )x x dx ( ).d

ln 2

20 1

x

x

edx

e

បញជា កៈ 1sec

cosx

x


គណអាងតេរាល ( ).a 1tanx x dx

ាង 1tanu x តោះ 2

1

1du dx

x

dv xdx តោះ 21

2v x


តគបាន 1 2 1 2

2

1 1 1tan tan

2 2 1x x dx x x x dx

x

2 1

2

1 1 1tan 1

2 2 1x x dx

x

2 1 11 1tan ( cot )

2 2x x x x C

2 1 11( tan cot ) , ( )

2x x x x C C

ដចតនោះ 1 2 1 11tan ( tan cot ) , ( )

2x x dx x x x x C C

( ).b 2 2

2 2

sec 1 sec

39 tan tan1

3

x xdx dx

x x

ាង tan

3

xu តោះ

2

1

3cosdu dx

x ឬ 23 secdu xdx


តគបាន 2

2 2 2

sec 1 3 1

39 tan 1 1

xdx du du

x u u

tanarcsin arcsin , ( )

3

xu C C C


2

sec tanarcsin , ( )

39 tan

x xdx C C

x

។

( ).c 1 2sin (2 )x x dx

ាង 1 2sin (2 )u x តោះ 2 2

4

1 (2 )

xdu dx

x

ាឲយ 4

4

1 4

xdu dx

x

នង 21

2dv xdx v x


តគបាន 1 2 2 1 2 2

4

1 1 4sin (2 ) sin (2 )

2 2 1 4

xx x dx x x x dx

x

3

2 1 2

4

1sin (2 ) 2

2 1 4

xx x dx

x

4

2 1 2

4

1 1 (1 4 ) 'sin (2 ) 2 2

2 16 2 1 4

xx x dx

x

2 1 2 41 4sin (2 ) 1 4

2 16x x x C

2 1 2 41 1sin (2 ) 1 4 , ( )

2 4x x x C C

ដចតនោះ 1 2 2 1 2 41 1sin (2 ) sin (2 ) 1 4

2 4x x dx x x x C

( ).d ln 2 ln 2

2 20 01 1 ( )

x x

x x

e edx dx

e e

ាង xu e តោះ xdu e dx តពល 0x តោះ 1u តពល ln 2x តោះ 2u


តគបាន ln 2 2 2

12 20 1

1arctan

1 1

x

x

edx du u

e u

arctan(2) arctan(1) arctan(2)4

C C

ដចតនោះ ln 2

20

arctan(2) , ( )41

x

x

edx C C

e

។

13. អនគមនអផពបលច ( The Hyperbolic Functions ) ក. អនមនអដែបលច

សនសអតពបលច 1

sinh ( )2

x xy x e e

កសនសអតពបលច 1

cosh ( )2

x xy x e e

េងសងអតពបលច tanhx x

x x

e ey x

e e

កេងសងអតពបលច cothx x

x x

e ey x

e e

សចសងអតពបលច 2

sechx x

y xe e

កសចសងអតពបលច 2

cschx x

y xe e

2 សាា លៈ 1 1sech , csch

cosh sinhx x

x x

ខ.លកខណៈ

2 2cosh sinh 1x x sinh( ) sinh cosh cosh sinha b a b a b cosh( ) cosh cosh sinh sinha b a b a b sinh2 2sinh coshx x x 2 2cosh2 cosh sinhx x x


. ណដរើណននអដែបលច

(sinh ) coshd

x xdx

(cosh ) sinhd

x xdx

2(tanh ) sechd

x xdx

2(coth ) cschd

x xdx

(sech ) sech tanhd

x x xdx

(csch ) csch cothd

x x xdx

ឃ. អងណេសរាល

sinh coshxdx x C cosh sinhxdx x C 2sech tanhxdx x C 2csch cothxdx x C sech tanh sechx xdx x C csch coth cschx xdx x C តដល C ជាចាននតថរណាមយ។

ឧទាហរណ១វ: គណអាងតេរាលមនកាណេខាងតរាមៈ ( ).a cosh axdx ( ).b 2sinh coshax axdx ( ).c sinhx xdx ( ).d 2sinh xdx ដណ ោះសរាយ


( ).a 1cosh sinh , ( )axdx ax C C

a

( ).b 2sinh coshax axdx ាង coshu x តោះ sinhdu xdx

តគបាន 2 2 31sinh cosh

3ax axdx u du u C

2 31sinh cosh cosh , ( )

3ax axdx x C C

( ).c sinhx xdx ាង u x តោះ du dx sinhdv xdx តោះ coshv x


ាមរបមនដ udv uv vdu តគបាន sinh cosh coshx xdx x x xdx sinh cosh sinh , ( )x xdx x x x C C

( ).d 2 cosh 2 1 1sinh (cosh 2 1)

2 2

xxdx dx x dx

1 1 1sinh 2 (sinh 2 2 ) , ( )

2 2 4x x C x x C C

2 1sinh (sinh 2 2 ) , ( )

4xdx x x C C

ឧទាហរណ២វ: គណអាងតេរាលខាងតរាមៈ ( ).a 3sech 5 tanh5x xdx ( ).b 2csch cothx xdx

( ).c 2

1

cosh(ln )xdx

x ( ).d

ln 2

0

4 coshxe xdx

( ).e ln 4

ln 2

coth xdx


គណអាងតេរាលៈ ( ).a 3 2sech 5 tanh5 sech 5 sech5 tanh5x xdx x x xdx ាង sech5u x តោះ 5sech5 tanh5du x xdx

ាឲយ 1sech5 tanh5

5x xdx du

តគបាន 3 2 21 1sech 5 tanh5

5 5x xdx u du u du

3

31 1sech 5 , ( )

5 3 15

uC x C C

3 31sech 5 tanh5 sech 5 , ( )

15x xdx x C C

( ).b 2csch cothx xdx ាង cothu x តោះ 2cschdu xdx ឬ 2csch xdx du

តគបាន 2 21csch coth ( )

2x xdx u du udu u C


2 21csch coth coth , ( )

2x xdx C C

( ).c 2

1

cosh(ln )xdx

x


x

តពល 1x តោះ 0u នង 2x តោះ ln 2u

តគបាន 2 ln 2 ln 2

01 0

cosh(ln )cosh sinh

xdx u du u

x

ln 2

1

0

2 2 1 1 4 1 3

2 2 2 4 4

u ue e

2

1

cosh(ln ) 3

4

xdx

x

( ).d ln 2 ln 2

0 0

4 cosh 42

x xx x e e

e xdx e dx

ln 2

2ln 2 ln 22 2

000

2 ( 1) 2 22

xx xe

e dx x e x

2ln2 0( 2ln2) ( 2 0) (4 2ln2) (1) 3 2ln2e e

ln 2

0

4 cosh 3 2ln 2xe xdx

( ).e ln 4 ln 4 ln 4

ln 2 ln 2 ln 2

cosh (sinh ) 'coth

sinh sinh

x xxdx dx dx

x x

ln 41 1

ln 4

ln 2

ln 2

4 4 2 2ln | sinh | ln ln ln

2 2 2

x xe ex

1

1

4 4 2(16 1) 15 5ln ln ln ln

4(4 1) 2 3 22 2

ln 4

ln 2

5coth ln

2xdx


14. អនគមនករាសអផពបលច ( Inverse Hyperbolic Functions ) ក. អនមនសរាសអដែបលច

1 2sinh ln( 1) ,y x x x x

1 2cosh ln( 1) , 1y x x x x

1 1 1tanh ln , | | 1

2 1

xy x x

x

1 11 1 1coth ln tanh , | | 1

2 1

xy x x

x x

2

1 11 1 1sech ln cosh , 0 1

xy x x

x x

2

1 11 1 1csch ln sinh , 0

| |

xy x x

x x x

2 សាា លៈ 1 1sinh argsinh , cosh argcosh , ...x x x x ខ. ណដរើណននអដែបលច

1

2

1(sinh )

1

dx

dx x

1

2

1(cosh ) , 1

1

dx x

dx x

1

2

1(tanh ) , | | 1

1

dx x

dx x

1

2

1(coth ) , | | 1

1

dx x

dx x

1

2

1(sech ) , 0 1

1

dx x

dx x x

1

2

1(csch ) , 0

| | 1

dx x

dx x x


. ណទាញានអងណេសរាល

1 2

2sinh ln( 1)

1

dxx C x x C

x

1 2

2cosh ln( 1) , 1

1

dxdx x C x x x

u

1

2 1

tanh | | 1 1 1ln

2 11 coth | | 1

x C xdx xC

xx x C x

ebI

ebI

1 1

2

1sech | | cosh

| |1

dxdx x C C

xx x

1 1

2

1csch | | sinh

| |1

dxdx x C C

xx x

ឧទាហរណ : គណអាងតេរាលខាងតរាមៈ

( ).a 4/3

20 1 4

dx

x

( ).b 2

21 4

dx

x x

( ).c 20

cos

1 sin

xdx

x

( ).d 1

1

1

sinh x dx

( ).e 2 4 3

dx

x x


គណអាងតេរាល ៖

( ).a 4/3 4/3

2 20 01 4 1 (2 )

dx dx

x x

ាង 2u x តោះ 2du dx ឬ 1

2dx du

តពល 0 0x u នង 4/3 8/3x u

តគបាន 4/3 8/3 8/3

2 2 20 0 0

1 1

2 21 4 1 1

dx du du

x u u


8/38/3

1 2

0 0

1 1sinh ln( 1)

2 2u x x

2

21 8 8ln 1 ln(0 0 1)

2 3 3

1 8 64 9 1 8 73ln ln

2 3 3 2 3

ដចតនោះ 4/3

20

1 8 73ln

2 31 4

dx

x

។

( ).b 2

21 4

dx

x x

ាង 1 1x u

u x តោះ

2

1dx du

u

តពល 1x តោះ 1u នង 2x តោះ 1

2u

តគបាន 2 1/ 2 1/ 22

2 2 21 1 1

1

4 4 11 14

dudx duu

x x u

u u

1/ 2 1/ 2

1 2

11

1 1sinh (2 ) ln 2 (2 ) 1

2 2u x x

2 21ln 1 1 1 ln 2 2 1

2

1 1 1 2 1 2 5ln(1 2) ln(2 5) ln ln

2 2 22 5 1 2


1 2 5ln

2 1 24

dx

x x

។

( ).c 20

cos

1 sin

xdx

x

ាង sinu x តោះ cosdu xdx តពល 0x តោះ 0u នង x តោះ 0u


ដតចនោះ 0

2 20 0

cos0

1 sin 1

x dudx

x u

។

( ).d 1

1

1

sinh x dx

គណ 1sinh xdx

ាង 1sinhu x តោះ 2

1

1

du dx

x


តគបាន 1 1

2sinh sinh

1

xxdx x x dx

x

2

1 2 2

2

( 1) 'sinh ln( 1) 1

2 1

xx x dx x x x x

x

តគបាន 11

1 2 2

11

sinh ln( 1) 1xdx x x x x

ln(1 1 1) 1 1 ( 1)ln( 1 1 1) 1 1

2 ln(1 2) 2 ln( 1 2) ln(1 2) ln( 1 2) ln( 2 1)( 2 1) ln(2 1) ln1 0


1

1

sinh 0xdx

។

( ).e 2 24 3 ( 4 4) 1

dx dx

x x x x

2( 2) 1

dx

x

ាង 2u x តោះ du dx

តគបាន 1

2 2cosh

4 3 1

dx duu C

x x u


2cosh ( 2) , ( )

4 3

dxx C C

x x

។


15. គណនានផៃករកឡាតាមវធបាផបកជាចេតាណផកង

តបើអនគមន ( )y f x ជាបនងមនអវជាមានតលើចត ល ោះ[ , ]a b តគបាន៖ 1 2 3( ), ( ) , ( ), ... , ( )nf c f c f c f c ជាកមពសតរៀងគនន ននចេតាណតកង ។ x ជារបតវងរជងបាេននចេតាណតកងនមយៗ ។ 1 2 3( ) , ( ) , ( ) , ... , ( )nf c x f c x f c x f c x ជានផទរកឡាតរៀងគនន នន ចេតាណតកង ។ នផទរកឡាសរបខណឌ តោយរាបនងអកសអបសសតៅចត ល ោះ[ , ]a b គ

1 2 31

( ) [ ( ) ( ) ( ) ... ( )]n

i ni

S f c x f c f c f c f c x ។

តបើអនគមន ( )y f x ជាបនងមនអវជាមានតលើចត ល ោះ[ , ]a b ។ នផទរកឡាខណឌ តោយរាបនងអកសអបសសតៅចត ល ោះ[ , ]a b គ

1 2 31

( ) [ ( ) ( ) ( ) ... ( )]n

i ni

S f c x f c f c f c f c x

តដល 1 2 1 1 2

1 2 3 11 21 2 3

, , , ... , ,

, , , ... ,2 2 2 2

o o n n n

o n nn

b ax

n

x a x x x x x x x x x x b

x x x x x xx xc c c c

x

( )nf c

1( )f c

1c

2c 3c nc

( )y f x

a b

x

y

0


ឧទាហរណ១ : តគឲយ 2( ) 1f x x ជាបនងមនអវជាមានតលើចត ល ោះ [0 , 1] នងមាន រាប ( )C ។ គណេនមលរបតហលនននផទរកឡាតផនកបលងតដលខណឌ តោយ រាប ( )C អកសអបសសរេវនងចត ល ោះ[0 , 1] តោយតចកចត ល ោះតនោះជា 4n ចត ល ោះតសមើៗគនន ។ ដណ ោះសរាយ គណេនមលរបតហលនននផទរកឡា

1 0 1

4 4

b ax

n

1 2 3 41 1 1 1 1 1 3 3 1

0 , , , , 14 4 4 2 2 4 4 4 4

ox x x x x

1 2 3 4

1 1 1 1 3 30 1

1 3 5 74 4 2 2 4 4, , ,2 8 2 8 2 8 2 8

c c c c

21

1 1 65( ) ( ) ( ) 1

8 8 64f c f

22

3 3 73( ) ( ) ( ) 1

8 8 64f c f

23

5 5 89( ) ( ) ( ) 1

8 8 64f c f

24

7 7 113( ) ( ) ( ) 1

8 8 64f c f

តគបាន 1 2 3 4[ ( ) ( ) ( ) ( )]S f c f c f c f c x

65 73 89 113 1 3401.328125

64 64 64 64 4 256

ដចតនោះ នផទរកឡា 1.328125S ឯកានផទ ។ ឧទាហរណ២ : គណេនមលរបតហលនននផទរកឡាតដលខណឌ តោយតខសតាង ( )C របស

អនគមន 1( )

2y f x

x

នងអកសអបសសរេវនងចត ល ោះ[ 1, 3],

4n នង 1 2 3 40.5 , 0.5 , 1.5 , 2.5c c c c ។ ដណ ោះសរាយ គណេនមលរបតហលនននផទរកឡា


3 ( 1)1

4

b ax

n

11

( ) ( 0.5) 0.6660.5 2

f c f

21

( ) (0.5) 0.4000.5 2

f c f

31

( ) (1.5) 0.2851.5 2

f c f

41

( ) (2.5) 0.2222.5 2

f c f

តគបាន 1 2 3 4[ ( ) ( ) ( ) ( )]S f c f c f c f c x (0.666 0.400 0.285 0.222)(1) 1.573 ដចតនោះ នផទរកឡា 1.573S ឯកានផទ ។ 16. នផៃករកឡាននផផែកបៃង ក. នទៃសរកឡាខណឌ ណ យដខែណាង, អកែអបសសវនងបនាៃ េឈរ

តបើ ( )y f x ជាប នងវជាមានតលើចត ល ោះ [ , ]a b តោះនផទរកឡាខណឌ តោយតខសតាង,

អកសអបសស នងប ទ េឈរ ,x a x b កាណេតោយៈ ( )b

a

S f x dx ។

S ( )b

a

S g x dx

xa b

0

( )y g x

y

S

( )y f x( )

b

a

S f x dx

x

y

0 ba


តបើ ( )y g x ជាប នងអវជាមានតលើចត ល ោះ[ , ]a b តោះនផទរកឡាខណឌ តោយតខសតាង,

អកសអបសស នងប ទ េឈរ ,x a x b កាណេតោយៈ ( )b

a

S g x dx ។

ឧទាហរណ១ : គណនផទរកឡាខណឌ តោយ 2( ) : ( )C y f x x នងអកសអបសស តលើចត ល ោះ[1 , 3]។ ដណ ោះសរាយ

តោយ 2( ) 0f x x ចាត ោះរគប [1 , 3]x

តគបាននផទរកឡា 33 3

2 3

1 1 1

1( )

3S f x dx x dx x

3 31 1 26(3 1 ) (27 1)

3 3 3


3S ឯកានផទ ។

ឧទាហរណ២ : គណនផទរកឡាខណឌ តោយអនគមន 32y x នងអកសអបសស តលើចត ល ោះ[2 , 3]។ ដណ ោះសរាយ

តោយ 32 0y x ចាត ោះរគប [2 , 3]x

តគបាននផទរកឡា 33 3

3 4

2 2 2

1(2 ) 2

4S y dx x dx x x

4 41 12(3) (3) 2(2) (2)

4 4

81 166 4

4 4

81 16 656 4 2 2 16.25 14.25

4 4 4

ដចតនោះ 14.25S ឯកានផទ ។ ឧទាហរណ៣ : គណនផទរកឡាខណឌ តោយ ( ) cosy f x x នងអកសអបសស តលើចត ល ោះ[0 , ] ។ ដណ ោះសរាយ

ចាត ោះ [0 , ] , ( ) cos 02

x f x x


ចាត ោះ [ , ] , ( ) cos 02

x f x x

តគបាននផទរកឡា / 2 / 2

0 / 2 0 / 2

( ) ( ) cos cosS f x dx f x dx xdx xdx

/ 2

0 / 2sin sin (sin sin0) (sin sin )

2 2x x

(1 0) (0 1) 1 1 2 ដចតនោះ 2S ឯកានផទ ។ ខ. នទៃសរកឡាខណឌ ណ យដខែណាងែរ

តបើ f នង g ជាអនគមនជាបតលើចត ល ោះ[ , ]a b តោះតគបាននផទរកឡាតៅចត ល ោះ តខសតាងទាងពរ កាណេតោយៈ

[ ( ) ( )]b

a

S f x g x dx តដល ( ) ( )f x g x ។

ឧទាហរណ១ : គណនផទរកឡាតដលខណឌ រាបាងអនគមន 2( ) 2f x x នង ( )g x x ចាត ោះ [2 , 3]x ។ ដណ ោះសរាយ

តោយ ( ) ( )f x g x ចាត ោះរគប [2 , 3]x

តគបាន 3 3

2

2 2

[ ( ) ( )] ( 2 )S f x g x dx x x dx

S

0

( )y g x

ba

( )y f x

x

y

[ ( ) ( )]b

a

S f x g x dx


33 2

2

1 1 27 9 8 42 6 4

3 2 3 2 3 2x x x

19 5 38 12 15 352

3 2 6 6


6S ឯកានផទ ។

ឧទាហរណ២ : គណនផទរកឡាតផនកននបលងខណឌ តោយ 21( ) : 3 2 ,C y x x

2( ) : 1C y x ប ទ េឈរ 0x នង 2x ។ ដណ ោះសរាយ

សមារអបសសននចាណចរបសពវរវាង 1( )C នង 2( )C គ 2 3 2 1x x x 2 4 3 0x x ( 1)( 3) 0 1 , 3x x x x

x 0 1 2 3 1 2( ) ( )C C

តគបាន 1 2

2 2

0 1

[( 3 2) ( 1)] [( 1) ( 3 2)]S x x x dx x x x dx

1 2

2 2

0 1

( 4 3) ( 4 3)x x dx x x dx

1 2

3 32 2

0 1

2 3 2 33 3

x xx x x x

1 8 12 3 (0) 0 0) 8 6 2 3

3 3 3

1 8 1 61 2 1 4 2 4 2

3 3 3 3

ដចតនោះ 2S ឯកានផទ ។ ឧទាហរណ៣ : គណនផទរកឡាតដលខណឌ រាបាងអនគមន 1( ) xf x e នង ( )g x x ចាត ោះ [1 , 4]x ។ ដណ ោះសរាយ

តោយ 1xe x ចាត ោះ [1 , 4]x


តគបាន 4

24 41 1

1 1 1

[ ( ) ( )] ( )2

x x xS f x g x dx e x dx e

3 0 3 3 316 1 16 1 15 2 171

2 2 2 2 2 2 2e e e e e

ដចតនោះ 3 17( )

2S e ឯកានផទ ។

17. មាឌននសលេ ក. ាឌននសលេបរធាេដដដលានែរងវលរធាញអកែអបសស

តបើ ( ) : ( )C y f x ជាអនគមនជាប នងមនអវជាមានតលើ [ , ]a b ។ មាឌននស លេបរវេដតដលតកើេតឡើងតោយរងវលជាវញអកស( ' )x x នននផទតដលខណឌ តោយតខសតាង

( )C នងអកស ( ' )x x ប ទ េឈរ ,x a x b កាណេតោយ 2[ ( )]b

a

V f x dx ។

ឧទាហរណ១ : គណមាឌននសលេបរវេដកាណេបានពរងវលជាវញអកស ( ' )x x នននផទ រកឡាតដលខណឌ តោយតខសតាងាងអនគមន 2 1y x អកស ( ' )x x ប ទ េឈរ 1x នង 3x ។ ដណ ោះសរាយ

គណមាឌននសលេបរវេដ

ាមរបមនដ 2[ ( )]b

a

V f x dx

តគបាន 3 3

2 2

1 1

(2 1) (4 4 1)V x dx x x dx

33 2

1

4 4 27 42 18 3 2 1

3 3 3x x x

4 4 (162 4) 15836 21 3 54

3 3 3 3

ដចតនោះ មាឌសលេគ 158

3V

ឯកាមាឌ ។

ឧទាហរណ២ : គណមាឌននសលេបរវេដកាណេបានពរងវលជាវញអកស ( ' )x x នននផទ

រកឡាតដលខណឌ តោយតខសតាងាងអនគមន 2 1y x អកស ( ' )x x


ប ទ េឈរ 0x នង 3x ។ ដណ ោះសរាយ



a

V f x dx

តគបាន 3 3

2 2 4 2

0 0

( 1) ( 2 1)V x dx x x dx

3

5 3

0

1 2 24318 3 0 0 0

5 3 5x x x

(243 105) 348

5 5


5V


ឧទាហរណ៣ : គណមាឌននសលេបរវេដកាណេបានពរងវលជាវញអកស ( ' )x x នននផទ រកឡាតដលខណឌ តោយតខសតាងាងអនគមន 3y x អកស ( ' )x x ប ទ េឈរ 4x នង 9x ។ ដណ ោះសរាយ



a

V f x dx

តគបាន 9 9

2

4 4

( 3) ( 6 9)V x dx x x dx

92

3

4

81 164 9 108 81 32 36

2 2 2

xx x

81 81 78 327 12 1.5

2 2 2 2

ដចតនោះ មាឌសលេគ 1.5V ឯកាមាឌ ។


មាឌននសលេបរវេដកាណេបានពរងវលជាវញអកសអបសសនននផទតដលខណឌ តោយ តខសតាងាងអនគមន ( )y f x នង ( )y g x តលើចត ល ោះ [ , ]a b តដល

( ) ( )f x g x កាណេតោយ 2 2[ ( )] [ ( )]b b

a a

V f x dx g x dx ។

ឧទាហរណ១ : គណមាឌននសលេបរវេដកាណេបានពរងវលជាវញអកសអបសសនន

នផទរកឡាតដលខណឌ តោយតខសតាងាងអនគមន 2( ) 4f x x នង ( ) 2g x x រេវនង 1 2x ។ ដណ ោះសរាយ

គណមាឌននសលេបរវេដ សកាផលដក 2 2( ) ( ) (4 ) (2 ) 2f x g x x x x x តបើ ( ) ( ) 0f x g x តោះ 2 2 0x x មានបញស 1 , 2x x

x 1 2 ( ) ( )f x g x

ាមារាង : ( ) ( ) 0f x g x ឬ ( ) ( ) , [ 1 , 2]f x g x x

ាមរបមនដ 2 2[ ( )] [ ( )]b b

a a

V f x dx g x dx

តគបាន 2 2

2 2 2

1 1

(4 ) (2 )V x dx x dx

ចាត ោះ 22 2

2 2 2 4 3 5

1 1 1

8 1(4 ) (16 8 ) 16

3 5x dx x x dx x x x

64 32 8 1 72 33 3332 16 48 48 24

3 5 3 5 3 5 5

33 120 33 15324

5 5 5

ចាត ោះ22 2

2 2 2 3

1 1 1

1(2 ) (4 4 ) 4 2

3x dx x x dx x x x

8 1 98 8 4 2 6 9

3 3 3

0 0


តគបាន 153 153 45 1089

5 5 5V

ឯកានផទ


5V

ឯកានផទ ។

ឧទាហរណ២ : C ជារាបាង ( ) xf x e នង Lជាប ទ េបោះនងC រេងចាណច (1, )e ។ ).a រកសមារប ទ េបោះ L ).b គណមាឌននសលេបរវេដកាណេបានពរងវលជាវញអកសអបសស នននផទរកឡាតដលខណឌ តោយរាបC នងប ទ េ L តលើចត ល ោះ[0 , 1]។ ដណ ោះសរាយ

).a រកសមារប ទ េបោះ L សមារប ទ េបោះ Lកាណេតោយ '(1)( 1) (1)y f x f តោយ ( ) , '( )x xf x e f x e តោះ '(1) , (1)f e f e តគបាន : ( 1)L y e x e ex ដចតនោះ សមារប ទ េបោះគ :L y ex ។

).b គណមាឌននសលេបរវេដ

1 1

2 2

0 0

( ) [( )xV e dx ex dx

1 1

2 2 2

0 0

( ) [( )xe dx e x dx

1 12 2 3

0 02 3

xe e x

2 2 21 1

02 2 3 6 2

e e e

ដចតនោះ មាឌសលេគ 2 1

6 2

eV


ឧទាហរណ៣ : គណមាឌននសលេបរវេដកាណេបានពរងវលជាវញអកសអបសសនន

នផទរកឡាតដលខណឌ តោយរាបនន 2( )f x x នង 2( ) 4g x x x ។ ដណ ោះសរាយ



សកា 2 2 2( ) ( ) (4 ) 2 4 2 ( 2)f x g x x x x x x x x តបើ ( ) ( ) 0 , 2 ( 2) 0f x g x x x តោះ 0 , 2x x

x 0 2 ( ) ( )f x g x

តោយ ( ) ( )f x g x ចាត ោះ [0 , 2]x

តគបានមាឌសលេ 2 2

2 2

0 0

[ ( )] [ ( )]V g x dx f x dx

2 22 2 2 2

0 0

(4 ) ( )x x dx x dx

2 22 3 4 4

0 0

(16 8 ) ( )x x x dx x dx

222 3 3 4

0 0

16(16 8 ) 2

3x x dx x x

128 128 96 3232 (0 0)

3 3 3


3V


ខ. ាឌននសលេបរធាេដដដលានែរងវលរធាញអកែអរណ ណន

មាឌននសលេបរវេដតដលតកើេតឡើងតោយរងវលជាវញអកស( ' )y y នននផទតដលខណឌ តោយរាបាងអនគមន ( )x F y អកសអរតោតន នងប ទ េតដក ,y c y d

កាណេតោយ 2[ ( )]d

c

V F y dy ។

ឧទាហរណ១ : គណមាឌននសលេបរវេដកាណេបានពរងវលជាវញអកសអរតោតននន អនគមន 3y x រេវនង 0 3y ។ ដណ ោះសរាយ


ាមរបមនដ 2[ ( )]d

c

V F y dy

តគមាន 3y x តោះ 2 3y x ាឲយ 23x y ឬ 2( ) 3F y y

0 0


តគបាន 3 3

2 2 2 4

0 0

(3 ) (9 6 )V y dy y y dy

33 5

0

1 9 39 2 9 3 2 3 3 (0)

5 5y y y

9 3 24 33 3

5 5

ដចតនោះ មាឌសលេគ 24 3

5V


ឧទាហរណ២ : គណមាឌននសលេបរវេដកាណេបានពរងវលជាវញអកសអរតោតននន នផទតដលកាណេតោយរាបាងអនគមន lny x រេវនង0 1y ។ ដណ ោះសរាយ


ាមរបមនដ 2[ ( )]d

c

V F y dy

តគមាន lny x តោះ yx e ឬ ( ) yF y e

តគបាន 1

21 12 2

0 0 0

( ) ( )2

yy y e

V e dy e dy

2 221 ( 1)

( 1)2 2 2 2

e ee

ដចតនោះ មាឌននសលេគ 2( 1)2

V e


មាឌននសលេបរវេដកាណេបានពរងវលជាវញអកសអរតោតននននផទតដលខណឌ តោយ តខសតាងាងអនគមន ( )x F y នង ( )x G y តលើចត ល ោះ [ , ]c d តដល

( ) ( )F y G y កាណេតោយ 2 2[ ( )] [ ( )]d d

c c

V F y dy G y dy ។

ឧទាហរណ១ : គណមាឌននសលេបរវេដកាណេបានពរងវលនននផទតៅចត ល ោះ 2y x នង 2y x ជាវញអកសអរតោតន។ ដណ ោះសរាយ


គណមាឌននសលេបរវេដ តគមាន 2y x តោះ x y

2y x តោះ 2

yx

សមារអរតោតន 2

yy ឬ

2

4

yy ឬ 2 24 4 0y y y y

សមមល ( 4) 0y y ាឲយ 0 , 4y y

តគបាន 4

24 42

10 0 0

( )2

yV y dy ydy

160 8

2

42 34 4

22

0 0 0

64 160

2 4 4 3 4 3 3

y yV dy y dy

ាឲយមានសលេបរវេដ 24 4

21 2

0 0

( )2

yV V V y dy dy

16 24 16 88

3 3 3V

ដចតនោះ មាឌសលេបរវេដគ 8

3V


ឧទាហរណ២ : គណមាឌននសលេបរវេដកាណេបានពរងវលនននផទតៅចត ល ោះ 2x y

នង 22x y ជាវញអកសអរតោតន។ ដណ ោះសរាយ

គណមាឌននសលេបរវេដ សមារអរតោតន 2 2 22 2 2 0y y y សមមល 2( 1)( 1) 0 1 , 1y y y y

151

2 21

1 1

1 1 2( )

5 5 5 5

yV y dy

1 12 2 2 4

21 1

(2 ) (4 4 )V y dy y y dy


13 5

1

4 1 4 1 4 14 4 4

3 5 3 5 3 5y y y

8 2 16 28

3 5 3 5

តគបាន 2 116 2 2 16

3 5 5 3V V V

ដចតនោះ មាឌសលេបរវេដគ 16

3V


18. េនមៃមធយមននអនគមន តបើ ( )y f x ជាបតលើចត ល ោះបទ [ , ]a b តោះេនមលមធយមននអនគមនតធៀបនង x

កាណេតោយ 1( )

b

ma

y f x dxb a

។


តគមាន f ជាអនគមនជាបតលើចត ល ោះ [ , ]a b តបើតគតចកចត ល ោះ [ , ]a b ជា nចត ល ោះតសមើៗគនន តទៀេ តោះតគបាន nចេតាណតកង នង 1 2 ... na c c c b តដល 1 2, , ... , nc c c ជាចាណចកណាដ លតរៀងគនន ននបាេចេតាណតកង ។ តគបាន 1 1 2 2 3 3( ) , ( ) , ( ) , ... , ( )n ny f c y f c y f c y f c

ាឲយេនមលមធយមនន ( )y f x គ 1 2 3 ... nm

y y y yy

n

1 2 3( ) ( ) ( ) ... ( )nf c f c f c f c

n

តេ b a b ax n

n x

តគបាន 1 2 3( ) ( ) ( ) ... ( )nm

f c f c f c f cy

b a

x

1 2 31

1 1( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )

n

n ii

f c f c f c f c x f c xb a b a


តពល n តោះេនមលនន 1

( )n

ii

f c x ខេតៅជេ ( )

b

a

f x dx

ាឲយ 1

1 1( ) ( )

bn

m ii a

y f c x f x dxb a b a

ដចតនោះ 1( )

b

ma

y f x dxb a

។

បណកសរាយតាមដបបធរណាសរេ

តគមាន 1( )

b

ma

y f x dxb a

តោះ ( ) ( )b

ma

y b a f x dx

តបើ ( ) 0f x តៅតលើ [ , ]a b តោះតគបាន៖

( )

b

a

f x dx គជានផទរកឡាតផនកបលងតដលកាណេតោយរាបាង ( )y f x

អកសអបសស ប ទ េឈរ x a នង x b ។ ( )my b a គជានផទរកឡាចេតាណតកងតដលមានទទង my នងបតណាដ យ b a ។

ដចតនោះ 1( )

b

ma

y f x dxb a

គជាេនមលមធយមននអនគមន f តលើចត ល ោះ [ , ]a b

គជាទទងននចេតាណតកងតដលមានបតណាដ យ b a នងនផទរកឡារបសវាតសមើនង នផទរកឡាតផនកបលងតដលកាណេតោយរាបាង ( )y f x អកសអបសស ប ទ េឈរ x a នង x b ។ ឧទាហរណ១ : គណេនមលមធយម y x តធៀបនង x ព 0x តៅ 4x ។ ដណ ោះសរាយ

គណេនមលមធយម my

( )y f x

my

a b0

y

x


ាមរបមនដ 1( )

b

ma

y f x dxb a

តគបាន 4

34

00

1 1 2 1 16 40

4 0 4 3 4 3 3m

xy x dx

ដចតនោះ េនមលមធយមននអនគមនគ 4

3my ។

ឧទាហរណ២ : គណេនមលមធយម siny x ចាត ោះ 02

x

រចសងរាបនន

siny x នងចេតាណតកងតដលមានទទងជាេនមលមធយមនន y ។ ដណ ោះសរាយ

គណេនមលមធយមនន y គ / 2

0

1sin

02

my xdx

/ 2

0

2 2 2cos cos ( cos0)

2my x

ដចតនោះ េនមលមធយមនន y គ 2my

។

សងរាបនន siny x នងចេតាណតកងតដលមាន my ជាទទង

ឧទាហរណ៣ : ).a គណេនមលមធយមននអនគមន 2 1y x ចាត ោះ 4 12x ).b សងរាបនន 2 1y x នងចេតាណតកងតដលមានទទងជា េនមលមធយមនន y ។ ដណ ោះសរាយ

).a គណេនមលមធយមនន 2 1y x

my

2

0

2

siny x

x

y


ាមរបមនដ 1( )

b

ma

y f x dxb a

តគបាន 12

312

44

(2 1)1 12 1

12 4 8 3m

xy x dx

3 3 3 3(24 1) (8 1)1 1 5 3 1 125 27 98 49

8 3 3 8 3 3 8 3 8 3 12

ដចតនោះ េនមលមធយមគ 494.08

12my ។

).b សងរាបនន 2 1y x នងចេតាណតកងតដលមាន my ជាទទង

my

x

y2 1y x


19. ករបផវងធែននករាប របតវងធនននរាបាងអនគមន f តដលតៅចត ល ោះប ទ េឈរ x a នង x b

កាណេតោយ 21 [ '( )]b

a

L f x dx ។


f ជាអនគមនជាប នងកាណេតោយ ( )y f x នងរាប C ។ ABជារបតវងធនននរាប C តដលតៅចត ល ោះប ទ េឈរ x a នង x b

តគបាន 2

2 2 2( ) ( ) ( ) 1y

L x y xx

2

1y

L xx

ឬ

2

1dy

dL dxdx

2 21 ( ') 1 [ '( )]dL y dx f x dx

21 [ '( )]b

a

dL f x dx ឬ 21 [ '( )]b

a

L f x dx

ដចតនោះ 21 [ '( )]b

a

L f x dx ។

( , ( ))A x f x

( , ( ))B x x f x x

a bx x x

x

( )y f x

L

0

x

y

( )f x

( )f x x

y


ឧទាហរណ១ : គណរបតវងធនននតខសតាងាងអនគមន 3

24 2

13

y x តៅ

ចត ល ោះប ទ េឈរ 0x នង 1x ។ ដណ ោះសរាយ

គណរបតវងធនននតខសតាង

ាមរបមនដ 21 [ '( )]b

a

L f x dx

តគមាន 3

24 2

13

y x តោះ 1

24 2 3

' 2 2 2 23 2

y x x x

តគបាន 1

31 12

0 00

2 (1 8 )1 (2 2 ) 1 8

3 8

xL x dx x dx

3 3 32 (1 8) 2 (1 0) 2 3 2 52 13

3 8 3 8 3 8 3 8 24 6

ដចតនោះ របតវងធនននរាបគ13

6L ឯការបតវង ។

ឧទាហរណ២ : គណរបតវងធនននតខសតាងាងអនគមន 3

2y x តៅចត ល ោះព (0,0) តៅ (4,8)។ ដណ ោះសរាយ

គណរបតវងធនននរាប


a

L f x dx

តគមាន 3

2( )y f x x តោះ 1

23

'( )2

f x x

តគបាន 2

14 4

2

0 0

3 91 1

2 4L x dx x dx


4 43 3

0 0

2 4 9 8 91 1

3 9 4 27 4x x

38 8(1 9) 1 (10 10 1)

27 27


(10 10 1)27

L ឯការបតវង ។

ឧទាហរណ៣ : គណរបតវងធនននតខសតាងាងអនគមន 0

( ) cos2x

f x t dt

តៅចត ល ោះព 0x តៅ 4

x

។




a

L f x dx

តគមាន 0

( ) cos2x

f x t dt តោះ 0

'( ) cos2 cos2xd

f x t dt xdx

តោះាឲយ 2 2 21 [ '( )] 1 ( cos2 ) 1 cos2 2cosf x x x x

តគបាន / 4 / 4

2 2

0 0

1 [ '( )] 2cosL f x dx x dx

/ 4 / 4 / 4

00 0

2 | cos | 2 cos 2 sinx dx xdx x

22 sin sin0 2 1

4 2

ដចតនោះ របតវងធនននរាបគ 1L ឯការបតវង ។

ឧទាហរណ៤ : គណរបតវងធនននតខសតាងាងអនគមន 3 1

3 4

xy

x

តៅចត ល ោះព 1x តៅ 3x ។ ដណ ោះសរាយ




a

L f x dx

តគមាន 3 1

3 4

xy

x តោះ 2

2

1' '( )

4y f x x

x

ាឲយ 2

2 2 4 2 4

2 2 4 4

1 1 1 1 1[ '( )] 2

24 4 16 16f x x x x x

x x x x

ាឲយ 2 4 4

4 4

1 1 1 11 [ '( )] 1

2 216 16f x x x

x x

2

8 4 4 2 42

4 4 2

16 8 1 (4 1) 4 11 [ '( )]

16 16 4

x x x xf x

x x x

តគបាន 2

4 43 3 32

2 2 21 1 1

4 1 4 1 1

4 4 4

x xL dx dx x dx

x x x

33

1

1 27 1 1 1 26 2

3 4 3 12 3 4 3 12

26 1 52 1 53

3 6 6 6 6

x

x


6L ឯការបតវង ។

អាងតេករាល | អនកតរៀបតរៀងៈ អ ច ប នថន 87

លហាត-ដណ ោះសរាយ ១. ចរតផទៀងផទទ េថាអនគមន g ជាករពមទវមយននអនគមន f ដែលឲយខាងតករាម៖ (a). 2 3 2( ) 6 8 1 , ( ) 2 4 1f x x x g x x x x

(b). 2

4 2 2

4 1( ) , ( )

2 1 1

x xf x g x

x x x

(c). 2 21( ) sin , ( ) cos

2f x x x g x x

ដណ ោះសរាយ តផទៀងផទទ េថាអនគមន g ជាករពមទវមយននអនគមន f (a). 2 3 2( ) 6 8 1 , ( ) 2 4 1f x x x g x x x x

តគបាន 2 2'( ) 2 3 4 2 1 6 8 1g x x x x x តោយ 2'( ) ( ) 6 8 1g x f x x x ែចតនេះ បញជា កថា g ជាករពមទវមយននអនគមន f ។

(b). 2

4 2 2

4 1( ) , ( )

2 1 1

x xf x g x

x x x

តគបាន 2 2 2 2

2 2

(1 ) '(1 ) (1 ) '(1 )'( )

(1 )

x x x xg x

x

2 2 2 2

2 2 2 2 2 4

2 (1 ) 2 (1 ) 2 (1 1 ) 4

(1 ) (1 ) 1 2

x x x x x x x x

x x x x

តោយ 4 2

4'( ) ( )

2 1

xg x f x

x x

ែចតនេះ បញជា កថា g ជាករពមទវមយននអនគមន f ។

(c). 2 21( ) sin , ( ) cos

2f x x x g x x

តគបាន 2 2 2 21 1'( ) ( ) '( sin ) 2 sin sin

2 2g x x x x x x x

តោយ 2'( ) ( ) sing x f x x x ែចតនេះ បញជា កថា g ជាករពមទវមយននអនគមន f ។

88 អាងតេករាល | អនកតរៀបតរៀងៈ អ ច ប នថន

២. គណនាអាងតេករាលខាងតករាមៈ (a). 2(3 4 5)x x dx (b). 2( 1)x dx

(c). 4

1dx

x (d). 2( )ax b dx

(e). 3

5

1xdx

x

(f). 1x dx

x

(g). ( )( )x a x b dx (h). (2 )(2 )x x dx ដណ ោះសរាយ គណនាអាងតេករាលៈ (a). 2(3 4 5)x x dx

2

3 2

3 2

3 4 5

3 4 53 2

2 5 ,

x dx xdx dx

x xx C

x x x C C

ែចតនេះ 2 3 2(3 4 5) 2 5 ,x x dx x x x C C (b). 2( 1)x dx

2

3 2

3 2

( 2 1)

23 2

1,

3

x x dx

x xx C

x x x C C

ែចតនេះ 2 3 21( 1) ,

3x dx x x x C C

(c). 4

1dx

x

3 3

1 1,

(4 1) 3C C C

x x

ែចតនេះ 4 3

1 1,

3dx C C

x x

(d). 2( )ax b dx


3

3

3

1,

3

xa bx C

ax bx C C

ែចតនេះ 2 31( ) ,

3ax b dx ax bx C C

(e). 3

5

1xdx

x

3

5 5 2 5 4

1 1 1 1 1,

4

xdx dx C C

xx x x x x

ែចតនេះ 3

5 4

1 1 1,

4

xdx C C

xx x

(f). 1x dx

x

31 22 ,

3x dx dx x x C C

x

ែចតនេះ 31 22 ,

3x dx x x C C

x

(g). ( )( )x a x b dx 2

3 2

[ ( ) ]

1 1( ) ,

3 2

x a b x ab dx

x a b x abx C C

ែចតនេះ 3 21 1( )( ) ( ) ,

3 2x a x b dx x a b x abx C C

(h). (2 )(2 )x x dx 2 2 21

[2 ( ) ] (4 ) 4 ,2

x dx x dx x x C C

ែចតនេះ 21(2 )(2 ) 4 ,

2x x dx x x C C


៣. គណនាអាងតេករាលខាងតករាមៈ (a). (3 1)xe dx (b). 2( 1)xe dx (c). ax be dx

(d). 2xe dx (e). 1

105

x

xdx

(f). 1

1dx

x

(g). 1

2 1dx

x

(h). 1

3dx

x

(i). 2 2 3 4

x

x xdx

x e

ដណ ោះសរាយ គណនាអាងតេករាលៈ (a). (3 1) 3 3 ,x x xe dx e dx dx e x C C

(b). 2 2 21( 1) ( 2 1) 2 ,

2

x x x x xe dx e e dx e e x C C

(c). 1,ax b ax be dx e C C

a

(d). 2 2 21 1,

2 2

x x xe dx e C e C C

(e). 1 110 10 10 5

5 5

x x x x

x xdx dx dx dx dx

1 1 1 110 5 10 ,

ln10 ( 1)ln5 ln10 5 ln5

x x x

xC C C

(f). 1 ( 1) 'ln | 1| ,

1 1

xdx dx x C C

x x

(g). 1 1 (2 1) ' 1ln | 2 1| ,

2 1 2 2 1 2

xdx dx x C C

x x

(h). 1 (3 ) 'ln | 3 | ,

3 3

xdx dx x C C

x x

(i). 2 2 3 4 3 4

2x x

x xdx x dx

x xe e

21 42 3ln | | ,

2 xx x x C C

e


៤. គណនាអាងតេករាលខាងតករាមៈ

(a). 2 2

1 15

sin cosdx

x x

(b). (3sin 5cos )x x dx

(c). 2 2 2

2 3 4 5

sin cos

xdx

x x x

(d). 2 2

1

sin cosdx

x x

(e). 2 2

cos2

sin cos

xdx

x x (f). 2cot xdx

(g). 2(tan cot )x x dx (h). sin

1 cos

xdx

x

ដណ ោះសរាយ គណនាអាងតេករាលៈ

(a). 2 2

1 15

sin cosdx

x x

cot tan 5 ,x x x C C

(b). (3sin 5cos ) 3cos 5sin ,x x dx x x C C

(c). 2 2 2 2 2 2

2 3 4 5 2 3 4 5

sin cos sin cos

xdx dx

xx x x x x x

32ln | | 4cot 5tan ,x x x C C

x

(d). 2 2

2 2 2 2 2 2

1 sin cos 1 1

sin cos sin cos cos sin

x xdx dx dx

x x x x x x

tan cot ,x x C C

(e). 2 2

2 2 2 2 2 2

cos2 cos sin 1 1

sin cos sin cos sin cos

x x xdx dx dx

x x x x x x

cot tan ,x x C C (f). 2 2cot [(1 cot ) 1] cot ,xdx x dx x x C C (g). 2 2 2(tan cot ) (tan 2 cot )x x dx x x dx

2 2(tan 1) (cot 1) tan cot ,x dx x dx x x C C

(h). sin (1 cos ) 'ln |1 cos | ,

1 cos (1 cos )

x xdx dx x C C

x x


៥. គណនាអាងតេករាលកាណេខាងតករាមៈ

(a). 1

0

(3 2)x dx (b). 4

1

x dx (c). 0

2

( 1)( 2)x x dx

(d). 2

31

3( 5 )x dxx

(e). ln 4

ln3

(1 )xe dx (f). 1

0 2

x xe edx

(g). 0

sin

2 cos

xdx

x

(h). 4

4

cos2xdx

(i). 2

0

( sin cos )a x b x dx


(a). 11

2 2

0 0

3 3 3 7(3 2) 2 1 2 1 (0 0) 2

2 2 2 2x dx x x

(b). 44

3 3 3

1 1

2 2 2 2 144 1 (8 1)

3 3 3 3 3x dx x

(c). 0

3 20 02

2 2 2

( 1)( 2) ( 2) 23 2

x xx x dx x x dx x

8 4 16 12 24 4 2

0 0 0 43 2 6 6 3

(d). 22

2

3 21 1

3 3 5 3 20 3 5( 5 )

2 8 2 2 22x dx x

x x

3 3 3 72 6910 1 9

8 8 8 8

(e). ln 4 ln 4

ln 4 ln3

ln3ln3

(1 ) (ln 4 ) (ln3 )x xe dx x e e e

4ln 4 4 ln3 3 1 ln 4 ln3 1 ln

3

(f). 1

1 21

0 0

1 1 1

2 2 2 2 2

x x x xe e e e e e edx

e


(g). 00 0

sin (2 cos ) 'ln | 2 cos |

2 cos (2 cos )

x xdx dx x

x x

ln | 2 cos | ln | 2 cos0 | ln | 2 1| ln | 2 1| ln3

(h). 4 4

44

1 1 1 1 1cos2 sin 2 sin sin( ) 1

2 2 2 2 2 2 2xdx x

(i). 2 2

00

( sin cos ) cos sina x b x dx a x b x

cos2 sin2 cos0 sin0 ( ) ( ) 0a b a b a a ៦. គណនាអាងតេករាលមនកាណេខាងតករាមៈ

(a). 22

xdx

x

(b).

2

31

x dx

x

(c). 2 42 ( )ax ax b dx

(d). 2

( 1)

2 3

x dx

x x

(e).

2(2 3)x dx

x

(f). 2( 1)

1

a b xdx

x

ដណ ោះសរាយ (a).

22

xdx

x

តាង 22u x តនាេះ 2du xdx ឬ 2

duxdx

តគបាន 2

1 1 1 1ln | |

2 2 22

xdx dudu u C

u ux


2

1ln | 2 |

22

xdxx C

x

ដែល C ។

(b). 2

31

x dx

x

តាង 31u x តនាេះ 23du x dx ឬ 2 1

3x dx du

តគបាន 2

3

1 1 1 12

3 3 31

x dx dudu u C

u ux



3

3

21

31

x dxx C

x

ដែល C ។

(c). 2 42 ( )ax ax b dx តាង 2u ax b តនាេះ 2du axdx

តគបាន 2 4 2 4 4 512 ( ) ( ) 2

5ax ax b dx ax b axdx u du u C

ែចតនេះ 2 4 2 512 ( ) ( )

5ax ax b dx ax b C ដែល C ។

(d). 2

( 1)

2 3

x dx

x x

តាង 2 2 3u x x តនាេះ (2 2)du x dx ឬ 1( 1)

2x dx du

តគបាន 2

2

( 1) 1 1 1ln | | ln | 2 3 |

2 2 22 3

x dx duu C x x C

ux x


2

( 1) 1ln | 2 3 |

22 3

x dxx x C

x x

ដែល C ។

(e). 2(2 3)x dx

x

តាង 2 3u x តនាេះ 1du dx

x

តគបាន 2

2 3 3(2 3) 1 1(2 3)

3 3

x dxu du u C x C

x


3(2 3) 1(2 3) , ( )

3

x dxx C C

x

។

(f). 2( 1)

1

a b xdx

x

តាង 1u a b x តនាេះ 2 1

bdu dx

x

ឬ 1 2

1dx du

bx

តគបាន 2

2 2 3( 1) 2 2 2 1

31

a b xdx u du u du u C

b b bx



3( 1) 2( 1) , ( )

31

a b xdx a b x C C

bx

។

៧. គណនាអាងតេករាលមនកាណេខាងតករាមៈ

(a). 2xxe dx

(b). 1/

2

xedx

x (c).

x

x

edx

ae b

(d). ln

dx

x x (e).

(2 ln )

dx

x x

(f).

3( 1)ln ( 1)

dx

x x

ដណ ោះសរាយ (a).

2xxe dx

តាង 2u x តនាេះ 2du xdx ឬ 1

2xdx dx

តគបាន 2 1 1 1

2 2 2

x u u uxe dx e du e du e C


, ( )2

x xxe dx e C C

(b). 1/

2

xedx

x

តាង 1u

x តនាេះ

2

1du dx

x ឬ

2

1du dx

x

តគបាន 1/

1/

2

xu u xe

dx e du e C e Cx

ែចតនេះ 1/

1/

2, ( )

xxe

dx e C Cx

(c). x

x

edx

ae b

តាង xu ae b តនាេះ xdu ae dx ឬ 1xe dx dua

តគបាន 1 1 1 1 1ln | |

x

x

edx du du u C

u a a u aae b

ែចតនេះ 1ln | |

xx

x

edx ae b C

aae b

ដែល C ។


(d). ln

dx

x x

តាង lnu x តនាេះ 1du dx

x

តគបាន 1ln | | ln | ln |

ln

dxdu u C x C

x x u

ែចតនេះ ln | ln | , ( )ln

dxx C C

x x ។

(e). (2 ln )

dx

x x

តាង 2 lnu x តនាេះ 1du dx

x

តគបាន 1ln | | ln | 2 ln |

(2 ln )

dxdu u C x C

x x u

ែចតនេះ ln | 2 ln | , ( )(2 ln )

dxx C C

x x

។

(f). 3 3( 1)ln ( 1) ( 1)[ln( 1)]

dx dx

x x x x

តាង ln( 1)u x តនាេះ 1

1du dx

x

តគបាន 3 3 3 2

1 1

( 1)ln ( 1) ( 1)[ln( 1)] 2

dx dxdu C

x x x x u u


1

( 1)ln ( 1) 2ln ( 1)

dxC

x x x

ដែល C ។

៨. គណនាអាងតេករាលកាណេខាងតករាមៈ

(a). 1

21

2 1

1

xdx

x x

(b).

9

1 (1 )

dx

x x

(c).

4

1

xedx

x

(d). 1

20 ( 3)

x

x

edx

e

(e).

2

1

2lne xdx

x (f).

2

2ln( )

e

e

dx

x x



(a). 1

21

2 1

1

xdx

x x

តាង 2 1u x x តនាេះ (2 1)du x dx តបើ 1x តនាេះ 3u តបើ 1x តនាេះ 1u


121 1

2 1 1ln | | ln3 ln1 ln3

1

xdx du u

ux x


21

2 1ln3

1

xdx

x x

។

(b). 9

1 (1 )

dx

x x

តាង 1u x តនាេះ 1

2du dx

x ឬ 1

2dx dux

តបើ 9x តនាេះ 4u តបើ 1x តនាេះ 2u


21 2

12 2ln | | 2ln 4 2ln 2 2ln 2

(1 )

dxdu u

ux x


1

2ln 2(1 )

dx

x x

។

(c). 4

1

xedx

x

តាង u x តនាេះ 1

2du dx

x ឬ 1

2dx dux



2

11 1

2 2 2 2x

u uedx e du e e e

x


2

1

2 2xe

dx e ex

។


(d). 1

20 ( 3)

x

x

edx

e

តាង 3xu e តនាេះ xdu e dx តបើ 1x តនាេះ 3u e តបើ 0x តនាេះ 4u


2 20 4 4

1 1 1 1

3 4( 3)

ex e

x

edx du

u ee u


20

1 1

3 4( 3)

x

x

edx

ee

។

(e). 2

1

2lne xdx

x


x

តបើ 2x e តនាេះ 2u តបើ 1x តនាេះ 0u


2

01 0

2ln2 4 0 4

e xdx udu u

x


1

2ln4

e xdx

x ។

(f). 2 2 2

2

1

2 ln( ) 2 ln( )ln( )

e e e

e e e

dx dx dx

x x x xx x

តាង ln( )u x តនាេះ 1du dx

x

តបើ 2x e តនាេះ 2u តបើ x e តនាេះ 1u


21 1

1 1 1 1 1ln | | ln 2

2 ln( ) 2 2 2ln( )

e e

e e

dx dxdu u

x x ux x


2

1ln 2

2ln( )

e

e

dx

x x ។


៩. គណនាអាងតេករាលមនកាណេខាងតករាមៈ (a). cos(4 2 )x dx (b). 6sin(4 1)x dx (c). 2sin cosx xdx (d). 2sin( 1)x x dx (e). 3cos sinx x dx (f). 5cos xdx ដណ ោះសរាយ (a). cos(4 2 )x dx

តាង 4 2u x តនាេះ 2du dx ឬ 1

2dx dx

តគបាន 1 1 1cos(4 2 ) (cos )( ) cos sin

2 2 2x dx u du udu u C

ែចតនេះ 1cos(4 2 ) sin(4 2 )

2x dx x C ដែល C ។

(b). 6sin(4 1)x dx

តាង 4 1u x តនាេះ 4du dx ឬ 1

4dx du

តគបាន 1 3 36sin(4 1) 6sin sin cos

4 2 2x dx u du udu u C

ែចតនេះ 36sin(4 1) cos(4 1)

2x dx x C ដែល C ។

(c). 2sin cosx xdx តាង sinu x តនាេះ cosdu xdx

តគបាន 2 2 3 31 1sin cos sin

3 3x xdx u du u C x C

ែចតនេះ 2 31sin cos sin , ( )

3x xdx x C C ។

(d). 2sin( 1)x x dx

តាង 2 1u x តនាេះ 2du xdx ឬ 1

2xdx du

តគបាន 2 21 1 1sin( 1) sin cos cos( 1)

2 2 2x x dx u du u C x C

ែចតនេះ 2 21sin( 1) cos( 1) , ( )

2x x dx x C C ។

(e). 3 2cos sin cos (1 sin ) sinx x dx x x x dx


តាង sinu x តនាេះ cosdu xdx តគបាន 3 2 2cos sin (1 ) ( )x x dx u u du u u u du

5 3 7 3 72 2 2 2( ) sin sin

3 7 3 7u u du u u C x x C

ែចតនេះ 3 3 72 2cos sin sin sin , ( )

3 7x x dx x x C C ។

(f). 5 4 2 2cos cos cos cos (1 sin )xdx x xdx x x dx តាង sinu x តនាេះ cosdu xdx តគបាន 5 2 2 2 2cos cos (1 sin ) (1 )xdx x x dx u du

2 4 3 5 3 52 1 2 1(1 2 ) sin sin sin

3 5 3 5u u du u u u C x x x C

ែចតនេះ 5 3 52 1cos sin sin sin , ( )

3 5xdx x x x C C ។

១០. គណនាអាងតេករាលខាងតករាមៈ

(a). 2tan x

dxx

(b). / 2

2

0

sin sin (2 )x x dx

(c). 3 2 2sin cosx x x dx

(d). 2

0

cos(2 )2

x x dx (e).

2

cos

sin

xdx

x x (f).

/ 22

0

cot ( )4

x dx


(a). 2tan x

dxx

តាង u x តនាេះ 1

2du dx

x ឬ 1

2du dxx

តគបាន 2

2 2tantan 2 2 tan

xdx u du u du

x

22 [(1 tan ) 1] 2(tan ) 2(tan )u du u u C x x C

ែចតនេះ 2tan

2(tan ) , ( )x

dx x x C Cx

។

(b). / 2 / 2

2 2

0 0

sin sin (2 ) sin (2sin cos )x x dx x x x dx


/ 22 2

0

4 sin (1 cos )cosx x xdx

តាង cosu x តនាេះ sindu xdx ឬ sin xdx du

តបើ 2

x

តនាេះ 0u

តបើ 0x តនាេះ 1u

តគបាន / 2 / 2

2 2 2

0 0

sin sin (2 ) 4 sin (1 cos )cosx x dx x x xdx

03 50 0

2 2 2 4

1 1 1

4 (1 ) 4 ( ) 43 5

u uu u du u u du

1 1 2 84 0 4

3 5 15 15

ែចតនេះ / 2

2

0

8sin sin (2 )

15x x dx

។

(c). 3 2 2sin cosx x x dx

តាង 2sinu x តនាេះ 22 cosdu x x dx ឬ 21cos

2du x x dx

តគបាន 3 2 2 3 4 41 1 1 1sin cos

2 2 4 8x x x dx u du u C u C

ែចតនេះ 3 2 2 2 41sin cos (sin ) , ( )

8x x x dx x C C

(d). 2

0

cos(2 )2

x x dx

តាង 222

u x

តនាេះ 4du xdx ឬ 1

4du xdx

តបើ x តនាេះ 222

u

តបើ 0x តនាេះ 2

u


2 22

022

1 1cos(2 ) cos sin

2 4 4x x dx u du u


2 2 21 1 1 1 1 1sin 2 sin cos2 cos2

4 2 4 2 4 4 4 4


0

1 1cos(2 ) cos2

2 4 4x x dx

។

(e). 2

cos

sin

xdx

x x

តាង sinu x តនាេះ 1( ) 'cos cos

2du x x dx x dx

x

ឬ cos2

xdu dx

x

តគបាន 2 2

cos 1 2 22

sinsin

xdx du C C

u xx x u


cos 2, ( )

sinsin

xdx C C

xx x

(f)./ 2

2

0

cot ( )4

x dx

តាង 4

u x

តនាេះ du dx

តបើ 2

x

តនាេះ 3

4u


u

តគបាន / 2 3 / 4 3 / 4

2 2 2

0 / 4 / 4

cot ( ) cot [ 1 (1 cot )]4

x dx udu u du

3 / 4

/ 4

3 3cot cot cot

4 4 4 4u u

3 31 1 1 1 2

4 4 4 4 2

ែចតនេះ / 2

2

0

cot ( ) 24 2

x dx ។


១១. គណនាអាងតេករាលខាងតករាមៈ

(a). sin cosxe xdx (b). 1cos(ln )x dx

x

(c). 3

1

cos(ln )xdx

x (d). sin ln(cos )x x dx

ដណ ោះសរាយ (a). sin cosxe xdx

តាង sinu x តនាេះ cosdu xdx តគបាន sin sincosx u u xe xdx e du e C e C ែចតនេះ sin sincos , ( )x xe xdx e C C ។

(b). 1cos(ln )x dx

x


x

តគបាន 1cos(ln ) cos sin sin(ln )x dx udu u C x C

x

ែចតនេះ 1cos(ln ) sin(ln ) , ( )x dx x C C

x ។

(c). 3

1

cos(ln )xdx

x


x

តបើ 3x តនាេះ ln3u តបើ 1x តនាេះ ln1 0u

តគបាន 3 ln3 ln3

01 0

cos(ln )cos sin sin(ln3)

xdx u du u

x


1

cos(ln )sin(ln3)

xdx

x ។

(d). sin ln(cos )x x dx តាង cosu x តនាេះ sindu xdx ឬ sindu xdx តគបាន sin ln(cos ) ln lnx x dx udu u u u C


ែចតនេះ sin ln(cos ) cos ln(cos ) cos , ( )x x dx x x x C C ។ ១២. គណនាអាងតេករាលមនកាណេខាងតករាមៈ (a). xxe dx

(b). 3xxe dx (c). 2 4xx e dx

(d). ln(1 )x x dx (e). ( 1)lnx xdx (f). ln( 1)

1

xdx

x

ដណ ោះសរាយ (a). xxe dx

តាង u x តនាេះ du dx

xdv e dx តនាេះ xv e តាមរបមនដ udv uv vdu តគបាន ( )x x x x xxe dx xe e dx xe e C

ែចតនេះ ( 1) , ( )x xxe dx e x C C

។ (b). 3xxe dx

តាង u x តនាេះ du dx 3xdv e dx តនាេះ 31

3

xv e

តាមរបមនដ udv uv vdu

តគបាន 3 3 3 3 31 1 1 1

3 3 3 9

x x x x xxe dx xe e dx xe e C

ែចតនេះ 3 31 1, ( )

3 3

x xxe dx e x C C

(c). 2 4xx e dx តាង 2u x តនាេះ 2du xdx

4xdv e dx តនាេះ 41

4

xv e


តគបាន 2 4 2 4 4 2 4 41 1 1 12

4 4 4 2

x x x x xx e dx x e e xdx x e xe dx

គណនា 4xxe dx


តាង u x តនាេះ du xdx 4xdv e dx តនាេះ 41

4

xv e

តគបាន 4 4 4 4 41 1 1 1

4 4 4 16

x x x x xxe dx xe e dx xe e

នាាឲយ 2 4 2 4 4 41 1 1 1

4 2 4 16

x x x xx e dx x e xe e C

2 4 4 4 4 21 1 1 1 1 1

4 8 32 4 2 8

x x x xx e xe e C e x x C

ែចតនេះ 2 4 4 21 1 1, ( )

4 2 8

x xx e dx e x x C C

។

(d). ln(1 )x x dx

តាង ln(1 )u x តនាេះ 1

1du dx

x

dv xdx តនាេះ 21

2v x


តគបាន 2 21 1 1ln(1 ) ln(1 )

2 2 1x x dx x x x dx

x

22 21 1 1 1 1

ln(1 ) ln(1 ) 12 2 1 2 2 1

xx x dx x x x dx

x x

2 21 1 1ln(1 ) ln(1 )

2 2 2x x x x x C

2 21 1 1 1ln(1 ) ln(1 )

2 4 2 2x x x x x C

2 21 1 1ln(1 )( 1)

2 4 2x x x x C

ែចតនេះ ln(1 )x x dx 2 21 1 1ln(1 )( 1) , ( )

2 4 2x x x x C C ។

(e). ( 1)lnx xdx


x

( 1)dv x dx តនាេះ 21

2v x x



តគបាន 2 21 1 1( 1)ln ln

2 2x xdx x x x x x dx

x

2 2 21 1 1ln 1 ln

2 2 2 4

xx x x dx x x x x x C

ែចតនេះ 2 21 1( 1)ln ln , ( )

2 4x xdx x x x x x C C

។

(f). ln( 1)

1

xdx

x


1du dx

x

1

1dv dx

x

តនាេះ 2 1v x


តគបាន ln( 1) 12 1ln( 1) 2 1

11

xdx x x x dx

xx

12 1ln( 1) 2 2 1ln( 1) 4 1

1x x dx x x x C

x

2 1[ln( 1) 2]x x C ដែល C ជាចាននតថរ

ែចតនេះ ln( 1)2 1[ln( 1) 2] , ( )

1

xdx x x C C

x

។

១៣. គណនាអាងតេករាលមនកាណេខាងតករាមៈ (a). sinx xdx (b). cos2x xdx (c). 2(3 2 1)cosx x xdx (d). cosxe xdx (e). 2 sinxe xdx (f). 3 cos2xe xdx ដណ ោះសរាយ (a). sinx xdx

តាង u x តនាេះ du dx sindv xdx តនាេះ cosv x

តាមរបមនដ udv uv vdu តគបាន sin cos ( cos ) cos sinx xdx x x x dx x x x C ែចតនេះ sin cos sinx xdx x x x C ដែល C ។


(b). cos2x xdx តាង u x តនាេះ du dx

cos2dv xdx តនាេះ 1sin 2

2v x


តគបាន 1 1 1 1cos2 sin 2 sin 2 sin 2 cos2

2 2 2 4x xdx x x xdx x x x C

ែចតនេះ 1 1cos2 sin 2 cos2 , ( )

2 4x xdx x x x C C

(c). 2(3 2 1)cosx x xdx តាង 23 2 1u x x តនាេះ (6 2)du x dx

cosdv xdx តនាេះ sinv x តាមរបមនដ udv uv vdu តគបាន 2 2(3 2 1)cos (3 2 1)sin (6 2)sinx x xdx x x x x xdx គណនា (6 2)sinx xdx តាង 6 2u x តនាេះ 6du dx

sindv xdx តនាេះ cosv x តគបាន (6 2)sin (6 2)cos ( cos )(6 )x xdx x x x dx

(6 2)cos 6 cos (6 2)cos 6sinx x xdx x x x នាាឲយ 2 2(3 2 1)cos (3 2 1)sinx x xdx x x x

[ (6 2)cos 6sin ]x x x C 2(3 2 1)sin (6 2)cos 6sinx x x x x x C 2(3 2 5)sin (6 2)cosx x x x x C

ែចតនេះ 2 2(3 2 1)cos (3 2 5)sin (6 2)cosx x xdx x x x x x C

ដែល C ជាចាននពេ ។ (d). cosxe xdx

តាង xu e តនាេះ xdu e dx cosdv xdx តនាេះ sinv x


តាមរបមនដ udv uv vdu តគបាន cos sin sinx x xe xdx e x e xdx គណនា sinxe xdx តាង xu e តនាេះ xdu e dx

sindv xdx តនាេះ cosv x តគបាន sin cos ( cos ) cos cosx x x x xe xdx e x x e dx e x e xdx នាាឲយ cos sin ( cos cos )x x x xe xdx e x e x e xdx

cos sin cos cosx x x xe xdx e x e x e xdx 2 cos sin cosx x xe xdx e x e x

តនាេះ 1cos (sin cos )

2

x xe xdx e x x C

ែចតនេះ 1cos (sin cos )

2

x xe xdx e x x C ដែល C ។

(e). 2 sinxe xdx តាង 2xu e តនាេះ 22 xdu e dx

sindv xdx តនាេះ cosv x តគបាន 2 2 2sin cos 2 cosx x xe xdx e x e xdx គណនា 2 cosxe xdx តាង 2xu e តនាេះ 22 xdu e dx

cosdv xdx តនាេះ sinv x តគបាន 2 2 2cos sin 2 sinx x xe xdx e x e xdx នាាឲយ 2 2 2 2sin cos 2( sin 2 sin )x x x xe xdx e x e x e xdx

2 2 2 2sin cos 2 sin 4 sinx x x xe xdx e x e x e xdx 2 2 25 sin cos 2 sinx x xe xdx e x e x

2 21sin ( cos 2sin )

5

x xe xdx e x x C

ែចតនេះ 2 21sin ( cos 2sin ) , ( )

5

x xe xdx e x x C C ។

(f). 3 cos2xe xdx តាង 3xu e តនាេះ 33 xdu e dx


cos2dv xdx តនាេះ 1sin 2

2v x


តគបាន 3 3 31 3cos2 sin 2 sin 2

2 2

x x xe xdx e x e xdx

គណនា 3 sin 2xe xdx តាង 3xu e តនាេះ 33 xdu e dx

sin2dv xdx តនាេះ 1cos2

2v x

តគបាន 3 3 31 3sin 2 cos2 cos2

2 2


នាាឲយ 3 3 31 3cos2 sin 2 sin 2

2 2


3 3 31 3 1 3sin 2 cos2 cos2

2 2 2 2

x x xe x e x e xdx

3 3 31 3 9sin 2 cos2 cos2

2 4 4

x x xe x e x e xdx

ឬ 3 3 39 1 31 cos2 sin 2 cos2

4 2 4

x x xe xdx e x e x

3 3 313 1 3cos2 sin 2 cos2

4 2 4

x x xe xdx e x e x

3 3 34 1 3cos2 sin 2 cos2

13 2 4

x x xe xdx e x e x C

3

3 cos2 2sin 2 3cos213

xx e

e xdx x x C


3 cos2 2sin 2 3cos213

xx e

e xdx x x C ដែល C ។

១៤. តគឲយអនគមន f កាណេតោយ 2

3 2

5 20 6( )

2

x xf x

x x x

។

ក. កាណេេនមៃ , ,A B C តែើមបឲយ 2

( )1 ( 1)

A B Cf x

x x x

។

ខ. គណនា 2

3 2

5 20 6( )

2

x xF x dx

x x x

។


ដណ ោះសរាយ ក. កាណេេនមៃ , ,A B C

តគមាន 2

2 2

( 1) ( 1)( )

1 ( 1) ( 1)

A B C A x Bx x Cxf x

x x x x x

2 2 2

3 2 3 2

( 2 1) ( ) ( ) (2 )

2 2

A x x B x x Cx A B x A B C x A

x x x x x x

ដេ 2

3 2

5 20 6( )

2

x xf x

x x x

តគបាន 5

2 20

6

A B

A B C

A

សមមល 6

1

9

A

B

C

ែចតនេះ 6 , 1 , 9A B C ។

ខ. គណនា 2

3 2

5 20 6( )

2

x xF x dx

x x x

តគបាន 2

3 2 2

5 20 6 6 1 9( )

12 ( 1)

x xF x dx dx

x xx x x x

69 96ln | | ln | 1| ln

1 | 1| 1

xx x C C

x x x


3 2

5 20 6 9( ) ln , ( )

| 1| 12

x x xF x dx C C

x xx x x

។

១៥. តគឲយអនគមន g កាណេតោយ2

2 3( )

( 3)

xy g x

x

។

ក. រកចាននពេ A នង B តែើមបឲយ2

( )3 ( 3)

A Bg x

x x

។

ខ. គណនា ( ) ( )F x g x dx តោយែងថា (4) 0F ។ ដណ ោះសរាយ

ក. រកចាននពេ A នង B


( 3) ( 3 )( )

3 ( 3) ( 3) ( 3)

A B A x B Ax B Ag x

x x x x


តោយតេេថា 2

2 3( )

( 3)

xg x

x

តគទាញបាន 2 2

3 3 3

A A

B A B

ែចតនេះ 2 , 3A B ។ ខ. គណនា ( ) ( )F x g x dx

តគបាន 2

2 3( ) ( )

3 ( 3)F x g x dx dx

x x

32ln | 3 |

3x C

x

ដែល C

តោយែងថា (4) 0F តនាេះ 32ln | 4 3 | 0

4 3C

សមមល 3 0C នាាឲយ 3C

ែចតនេះ 3( ) 2ln | 3 | 3

3F x x

x

។

១៦. តគមាន2

2

5 14 13( )

( 1)( 3)

x xf x

x x

ចាត េះករគប 1 , 3x x ។

ក. កាណេេនមៃ ,A B នងC តែើមបឲយ2

( )1 3 ( 3)

A B Cf x

x x x

។

ខ. គណនាអាងតេករាល ( )I f x dx ។ ដណ ោះសរាយ

ក. កាណេេនមៃ ,A B នងC

តគមាន 2

( )1 3 ( 3)

A B Cf x

x x x

2

2

( 3) ( 1)( 3) ( 1)

( 1)( 3)

A x B x x C x

x x

2 2

2

( 6 9) ( 2 3) ( 1)

( 1)( 3)

A x x B x x C x

x x

2

2

( ) ( 6 2 ) (9 3 )

( 1)( 3)

A B x A B C x A B C

x x

តោយ 2

2

5 14 13( )

( 1)( 3)

x xf x

x x


តគទាញបាន 5 (1)

6 2 14 (2)

9 3 13 (3)

A B

A B C

A B C

យក (3) (2) តគបាន 15 27 (4)A B យក (1) (4) តគបាន 16 32 2A A តាម (1) : 5 5 2 3B A តាម (2) : 14 6 2 14 12 6 4C A B ែចតនេះ 2 , 3 , 4A B C ។ ខ. គណនាអាងតេករាល ( )I f x dx

តគបាន 2

2 3 4( )

1 3 ( 3)I f x dx dx

x x x

42ln | 1| 3ln | 3 |

3x x C

x

2 3 4ln | ( 1) ( 3) |

3x x C

x

ដែល C

ែចតនេះ 2 3 4ln | ( 1) ( 3) | , ( )

3I x x C C

x

១៧. ក. កាណេចាននពេ , ,a b c តែើមបឲយបាន 2

2 2

2 2

1 2( 1) ( 2) ( 1)

x x a b c

x xx x x

ចាត េះករគប x ដែល 2 , 1x x

ខ. គណនាអាងតេករាល 20

21

2 2

( 1) ( 2)

x xI dx

x x

។

ដណ ោះសរាយ ក. កាណេចាននពេ , ,a b c

តគមាន 2

2 2

2 2

1 2( 1) ( 2) ( 1)

x x a b c

x xx x x

2

2

( 1)( 2) ( 2) ( 1)

( 1) ( 2)

a x x b x c x

x x


2 2

2

( 2) ( 2) ( 2 1)

( 1) ( 2)

a x x b x c x x

x x

2

2

( ) ( 2 ) ( 2 2 )

( 1) ( 2)

a c x a b c x a b c

x x

តគទាញបាន 1 ( )

2 2 ( )

2 2 2 ( )

a c i

a b c ii

a b c iii

យក 2( ) ( )i ii តគបាន 4 5 2 ( )a c iv យក 5( ) ( )i iv តគបាន 9 3 1/3a a

តាម 1 2( ) : 1 1

3 3i c a

តាម 1 42 2 2 1

3 3b a c

ែចតនេះ 1 2, 1 ,

3 3a b c ។

ខ. គណនាអាងតេករាល 20

21

2 2

( 1) ( 2)

x xI dx

x x


2 21 1

2 2 1/3 1 2/3

1 2( 1) ( 2) ( 1)

x xI dx dx

x xx x x

0

1

1 1 2ln | 1| ln | 2 |

3 1 3x x

x

2 1 1 1 10 1 ln 2 ln 2 0 ln 2

3 3 2 2 3


21

2 2 1 1ln 2

2 3( 1) ( 2)

x xI dx

x x

។


១៨. តគឲយអនគមន f កាណេតោយ2

2

3 5 2( )

( 1)

x xf x

x x

ករគប 0 , 1x x ។

ក. កាណេចាននពេ , ,a b c តែើមបឲយបាន 2

( )1 ( 1)

a b cf x

x x x

ចាត េះករគប

0 , 1x x ។

ខ. គណនា 3

2

( )I f x dx ។

ដណ ោះសរាយ ក. កាណេចាននពេ , ,a b c

តគមាន 2

2 2

( 1) ( 1)( )

1 ( 1) ( 1)

a b c a x bx x cxf x

x x x x x

2 2 2

2 2

( 2 1) ( ) ( ) ( 2 )

( 1) ( 1)

a x x b x x cx a b x a b c x a

x x x x

ដេ 2

2

3 5 2( )

( 1)

x xf x

x x

តគទាញបាន 3

2 5

2

a b

a b c

a

សមមល 2

5

4

a

b

c

ែចតនេះ 2 , 5 , 4a b c ។

ខ. គណនា 3

2

( )I f x dx

តគបាន 3 3

22 2

2 5 4( )

1 ( 1)I f x dx dx

x x x

3

2

42ln | | 5ln | 1|

1x x

x

( 2ln3 5ln2 2) ( 2ln2 0 4) 2ln3 7ln2 2 2 2ln3 7ln2


2

( ) 2 2ln3 7ln 2I f x dx ។


១៩. តគឲយអនគមន g មយកាណេតោយ2

2

6( )

2 3

x xg x

x x

។

ក. កាណេចាននពេ , ,m n p តែើមបឲយ ( )1 3

n pg x m

x x

ចាត េះករគប

( 1 , 3)x ។

ខ. គណនា 2

0

( )I g x dx ។

ដណ ោះសរាយ ក. កាណេចាននពេ , ,m n p

តគមាន ( 1)( 3) ( 3) ( 1)( )

1 3 ( 1)( 3)

n p m x x n x p xg x m

x x x x

2

2

( 2 3) ( 3) ( 1)

2 3

m x x n x p x

x x

2

2

( 2 ) ( 3 3 )

2 3

mx m n p x m n p

x x

តោយ 2

2

6( )

2 3

x xg x

x x

តគទាញបាន

1

2 1

3 3 6

m

m n p

m n p

សមមល 1

3 (1)

3 3 (2)

m

n p

n p

យក (1) (2) តគបាន 4 6 3/ 2n n

តាម (1) តគបាន 3 33 3

2 2p n

ែចតនេះ 1 , 3/ 2 , 3/ 2m n p ។

ខ. គណនា 2

0

( )I g x dx

តគបាន 2 2

0 0

3/ 2 3/ 2( ) 1

1 3I g x dx dx

x x


2

0

3 3ln | 1| ln | 3 |

2 2x x x

3 32 ln3 0 0 0 ln3 2

2 2


0

( ) 2I g x dx ។

២០. តគឲយអនគមន f កាណេតោយ3 2

2

18 3 4 6( )

(3 1)

x x xf x

x

។

ក. រកសាណា ដែនកាណេ D នន f ។

ខ. កាណេបចាននពេ ,a b នង c តែើមបឲយ 2

( )(3 1)

cf x ax b

x

។

គ. រកករពមទវនន f តលើចតនាៃ េះនន D ។ ដណ ោះសរាយ

ក. រកសាណា ដែនកាណេ D នន f

អនគមន f មាននយាលណា 2(3 1) 0x ឬ 1

3x

ែចតនេះ ដែនកាណេ 1\{ }

3D

ខ. កាណេបចាននពេ ,a b នង c

តគមាន 2 2

2 2

(3 1) (3 1)( )

(3 1) (3 1)

c ax x b x cf x ax b

x x

2 2

2

(9 6 1) (9 6 1)

(3 1)

ax x x b x x c

x

3 2 2

2

(9 6 ) (9 6 1)

(3 1)

a x x x b x x c

x

3 2

2

9 ( 6 9 ) ( 6 ) ( )

(3 1)

ax a b x a b x b c

x

តាមបារាប 3 2

2

18 3 4 6( )

(3 1)

x x xf x

x



9 182

6 9 31

6 45

6

aa

a bb

a bc

b c

ែចតនេះ 2 , 1 , 5a b c ។ គ. រកករពមទវនន f តលើចតនាៃ េះនន D

តគបាន 2

5( ) ( ) 2 1

(3 1)F x f x dx x dx

x

22 5 3 (3 1) 3 (3 1) 5

3(3 1) 3(3 1)

x x x xx x C C

x x

3 2 2 3 29 3 9 3 5 9 6 3 5

3(3 1) 3(3 1)

x x x x x x xC C

x x

ែចតនេះ ករពមទវគ 3 29 6 3 5

( )3(3 1)

x x xF x C

x

ដែល C ។

២១. តគឲយអនគមន f កាណេតោយ2

2 3

3 4( )

( 4)

xf x

x

។


ខ. កាណេពរចាននពេ a នង b តែើមបឲយ 3 3

( )( 2) ( 2)

a bf x

x x

។

គ. រកករពមទវនន f កនងដែនកាណេD ។ ដណ ោះសរាយ

ក. រកសាណា ដែនកាណេ D នន f អនគមន f មាននយាលណា 2 3 2( 4) 0 4 0 { 2,2}x x x ែចតនេះ ដែនកាណេ \{ 2,2}D ។ ខ. កាណេពរចាននពេ a នង b

តគមាន 3 3

3 3 2 3

( 2) ( 2)( )

( 2) ( 2) ( 4)

a b a x b xf x

x x x

3 2 3 2

2 3

( 6 12 8) ( 6 12 8)

( 4)

a x x x b x x x

x


3 2

2 3

( ) (6 6 ) (12 12 ) (8 8 )

( 4)

a b x a b x a b x a b

x

ដេ 2

2 3

3 4( )

( 4)

xf x

x

តគទាញបាន៖

0

6 6 3 0 1/ 4

12 12 0 2 2 1 1/ 4

8 8 4

a b

a b a b a

a b a b b

a b

ែចតនេះ 1 1,

4 4a b ។

គ. រកករពមទវនន f កនងដែនកាណេD

តគបានករពមទវនន f គ 3 3

1/ 4 1/ 4( ) ( )

( 2) ( 2)F x f x dx dx

x x

2 2

1/ 4 1/ 4

2( 2) 2( 2)C

x x

2 2

2 2

1 ( 2) ( 2) 1 8

8 8( 4) ( 4)

x x xC C

x x

2( 4)

xC

x

ែចតនេះ ករពមទវគ 2

( ) , ( )( 4)

xF x C C

x

២២. តគឲយអនគមន f កាណេតោយ2

2

4 12 8( )

(2 3)

x xf x

x

។


ខ. កាណេពរចាននពេ a នង b តែើមបឲយ 2

( )(2 3)

bf x a

x

។

គ. រកករពមទវនន f កនងដែនកាណេD ។ ដណ ោះសរាយ

ក. រកសាណា ដែនកាណេ D នន f អនគមន f មាននយាលណា 2(2 3) 0 2 3 0 3/ 2x x x ែចតនេះ ដែនកាណេគ \{3/ 2}D ។


ខ. កាណេបចាននពេ a នង b

តគមាន 2 2

2 2 2

(2 3) (4 12 9)( )

(2 3) (2 3) (2 3)

b a x b a x x bf x a

x x x

2

2

4 12 (9 )

(2 3)

ax ax a b

x

តោយតេេថា

2

2

4 12 8( )

(2 3)

x xf x

x


112 12

19 8

aa

ab

a b

ែចតនេះ 1 , 1a b ។ គ. រកករពមទវនន f កនងដែនកាណេD

តគបានករពមទវគ 2

1( ) ( ) 1

(2 3)F x f x dx dx

x

1 2(2 3) 1 4 5

2(2 3) 2(2 3) 2(2 3)

x xx C C C

x x x

ែចតនេះ ករពមទវគ 4 5( ) , ( )

2(2 3)

xF x C C

x

២៣. តគឲយអនគមន f កាណេតោយ2

2

2(6 6)( )

12 11 5

x xf x

x x

។


ខ. កាណេបចាននពេ ,a b នង c តែើមបឲយ ( )3 1 4 5

b cf x a

x x

។

គ. រកករពមទវនន f តលើដែនកាណេD ។ ដណ ោះសរាយ

ក. រកសាណា ដែនកាណេ D នន f អនគមន f មាននយាលណា 212 11 5 0x x តបើ 212 11 5 0x x

2 211 4(12)( 5) 121 240 361 19

1 211 19 30 5 11 19 8 1

,2 12 24 4 2 12 24 3

x x


ែចតនេះ ដែនកាណេ 5 1\{ , }

4 3D ។


តគមាន ( )3 1 4 5

b cf x a

x x

(3 1)(4 5) (4 5) (3 1)

(3 1)(4 5)

a x x b x c x

x x

2

2

(12 11 5) (4 5) (3 1)

12 11 5

a x x b x c x

x x

2

2

12 (11 4 3 ) ( 5 5 )

12 11 5

ax a b c x a b c

x x

ដេតគែងថា 2 2

2 2

2(6 6) 12 2 12( )

12 11 5 12 11 5

x x x xf x

x x x x

តគទាញបាន 12 12 1 1

11 4 3 2 4 3 13 2

5 5 12 5 17 7

a a a

a b c b c b

a b c b c c

ែចតនេះ 1 , 2 , 7a b c ។ គ. រកករពមទវនន f តលើដែនកាណេD

តគបានករពមទវនន f គ 2 7( ) ( ) 1

3 1 4 5F x f x dx dx

x x

2 7ln | 3 1| ln | 4 5 |

3 4x x x C ដែល C

ែចតនេះ 2 7( ) ln | 3 1| ln | 4 5 | , ( )

3 4F x x x x C C

២៤. តគឲយអនគមន f កាណេតោយ2

2

12 5 2( )

27 30 8

x xf x

x x

។


ខ. កាណេបចាននពេ ,a b នង c តែើមបឲយ ( )9 4 3 2

b cf x a

x x

។

គ. រកករពមទវនន f តលើដែនកាណេD ។ ដណ ោះសរាយ


ក. រកសាណា ដែនកាណេ D នន f អនគមន f មាននយាលណា 227 30 8 0x x តបើ 227 30 8 0x x

2 2( 30) 4(27)(8) 900 864 36 6

1 230 6 24 4 30 6 36 2

,2 27 2 27 9 2 27 2 27 3

x x

ែចតនេះ ដែនកាណេ 4 2\{ , }

9 3D ។


តគមាន ( )9 4 3 2

b cf x a

x x

(9 4)(3 2) (3 2) (9 4)

(9 4)(3 2)

a x x b x c x

x x

2

2

(27 30 8) (3 2) (9 4)

27 30 8

a x x b x c x

x x

2

2

27 ( 30 3 9 ) (8 2 4 )

27 30 8

ax a b c x a b c

x x

តោយ 2

2

12 5 2( )

27 30 8

x xf x

x x


27 12 4/9 4/9

30 3 9 5 3 9 55/3 35/9

8 2 4 2 2 4 50/9 10/3

a a a

a b c b c b

a b c b c c

ែចតនេះ 4/9 , 35/9 , 10/3a b c ។ គ. រកករពមទវនន f តលើដែនកាណេD

តគបានករពមទវនន f គ 4 35/9 10/3( ) ( )

9 9 4 3 2F x f x dx dx

x x

4 35 10ln | 9 4 | ln | 3 2 |

9 81 9x x x C ដែល C

ែចតនេះ 4 35 10( ) ln | 9 4 | ln | 3 2 | , ( )

9 81 9F x x x x C C ។


២៥. តគឲយអនគមន f កាណេតោយ2

3 4( )

3 2

xf x

x x

នង { 2, 1}x ។

ក. កាណេពរចាននពេ a នង b តែើមបឲយ ( )1 2

a bf x

x x

។

ខ. គណនា 2

3 4

3 2

xdx

x x

។

ដណ ោះសរាយ ក. កាណេពរចាននពេ a នង b

តគមាន ( 2) ( 1)( )

1 2 ( 1)( 2)

a b a x b xf x

x x x x

2

( ) (2 )

3 2

a b x a b

x x

, ដេ

2

3 4( )

3 2

xf x

x x


តគទាញបាន 3 ( )

2 4 ( )

a b i

a b ii

យក ( ) ( )ii i តគបាន 1a នាាឲយ 2b ែចតនេះ 1 , 2a b ។

ខ. គណនា 2

3 4

3 2

xdx

x x

តគបាន2

3 4 1 2ln | 1| 2ln | 2 |

1 23 2

xdx dx x x C

x xx x


3 4ln | 1| 2ln | 2 |

3 2

xdx x x C

x x

ដែល C ។

២៦. ក/. កាណេចាននពេ a នង b តែើមបឲយ 2

4 5

1 11

x a b

x xx

ដែល 1 , 1x x ។

ខ/. គណនា 3

22

4 5

1

xI dx

x

។

ដណ ោះសរាយ ក. កាណេចានន a នង b

តគមាន2 2

4 5 ( 1) ( 1) ( ) ( )

1 1 ( 1)( 1)1 1

x a b a x b x a b x a b

x x x xx x


តគទាញបានៈ 4

5

12 1

2

a b

a b

b b

1 95 5

2 2a b

ែចតនេះ 9 1,

2 2a b

ខ/. គណនា 3

22

4 5

1

xI dx

x

តគបាន 3 3

22 2

9 14 5 2 2

1 11

xI dx dx

x xx

3

2

9 1 9 1 9 1ln | 1| ln | 1| ln 4 ln 2 ln3 ln1

2 2 2 2 2 2x x

1 9 17 99ln 2 ln 2 ln3 0 ln 2 ln3

2 2 2 2

ែចតនេះ 17 9ln 2 ln3

2 2I

២៧. ក/. កាណេករពមទវននអនគមនពរខាងតករាមៈ

3

1

( 1)x

x នង

4

1

( 1)x

x កាណេតលើចតនាៃ េះ ]1 , [I ។

ខ/. f ជាអនគមនកាណេតលើចតនាៃ េះ I តោយ4

( )( 1)

xf x

x

។

).a កាណេចាននពេ a នងb ចាត េះករគប x នន I3 4

: ( )( 1) ( 1)

a bf x

x x

).b ទាញរកេនមៃអាងតេករាល 3

42 ( 1)

xK dx

x



ក/. កាណេករពមទវ

តាង 3

1( )

( 1)g x

x

នង

4

1( )

( 1)h x

x

តគបានករពមទវៈ

1 13 2

1 1( ) ( ) , ( )

( 1) 2( 1)G x g x dx dx C C

x x

2 24 3

1 1( ) ( ) , ( )

( 1) 3( 1)H x h x dx dx C C

x x

ែចតនេះ 1 22 3

1 1( ) , ( )

2( 1) 3( 1)G x C H x C

x x

ខ/. ).a កាណេចាននពេ a នងb

តគមាន3 4 4 4

( 1) ( )( )

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

a b a x b ax a bf x

x x x x

ដេ 4

( )( 1)

xf x

x

តគទាញបានៈ

1 1

0 1

a a

a b b

ែចតនេះ 1 , 1a b

).b ទាញរកេនមៃអាងតេករាល 3

42 ( 1)

xK dx

x

តគបាន 3 3

4 3 42 2

1 1

( 1) ( 1) ( 1)

xK dx dx

x x x

3 3

22

[ ( ) ( )] ( ) ( )g x h x dx G x H x

3

1 22 32

1 1

2( 1) 3( 1)C C

x x

1 22 3

1 1

2(3 1) 3(3 1)C C


1 22 3

1 1

2(2 1) 3(2 1)C C

1 21 1

8 24C C

1 21 1

2 3C C

1 24

24C C

1 25

6C C

1 2 1 24 5

24 6C C C C

1 5 4 2

6 6 6 3


3K

២៨. អនគមន f កាណេតលើ ]0 , [ តោយ ( ) ln( 1)xf x e ។

ក/. កាណេតែរតវនន f ។ ទាញរកេនមៃអាងតេករាលln3

ln 2 1

x

x

eI dx

e

ខ/. តគឲយln3

ln 2

1

1xK dx

e

។ គណនា I K ។ ទាញរកេនមៃK ។

ដណ ោះសរាយ ក/. កាណេតែរតវនន f តគមាន ( ) ln( 1)xf x e

តែរតវ ( 1) ''( )

( 1) 1

x x

x x

e ef x

e e

ែចតនេះ '( )1

x

x

ef x

e

ទាញរកេនមៃអាងតេករាលln3

ln 2 1

x

x

eI dx

e

តគបាន ln3 ln3 ln3ln3

ln 2 ln 2ln 2 ln 2

'( ) ( ) ln( 1)1

xx

x

eI dx f x dx f x e

e

ln3 ln2ln( 1) ln( 1) ln(3 1) ln(2 1) ln2 ln1 ln2e e ែចតនេះ ln 2I ខ/. គណនា I K


តគបាន ln3 ln3

ln 2 ln 2

1

1 1

x

x x

eI K dx dx

e e

ln3 ln3 ln3

ln 2ln 2 ln 2

1 3ln3 ln 2 ln

21

x

x

edx dx x

e

ែចតនេះ 3ln

2I K

ទាញរកេនមៃនន K

តគបាន 3 3 4ln ln 2 ln ln

2 2 3K I

ែចតនេះ 4ln

3K

២៩. f ជាអនគមនតលខននអតថរ xកាណេតលើ { 1,1}D

តោយ2

2

2( )

1

xf x

x

។

ក/. តផទៀងផទទ េថាចាត េះករគប x D តគបាន 1 1( ) 2

1 1f x

x x

។

ខ/. គណនាអាងតេករាល3

2

2

ln( 1)I x dx

ដណ ោះសរាយ ក/. តផទៀងផទទ េថាចាត េះករគប x D តគបាន 1 1

( ) 21 1

f xx x

តគមាន 1 1 2( 1)( 1) ( 1) ( 1)2

1 1 ( 1)( 1)

x x x x

x x x x

2 2 2

2 2 2

2( 1) 1 1 2 2 2 2( )

1 1 1

x x x x xf x

x x x

ែចតនេះ បញជា កថា 1 1( ) 2

1 1f x

x x

។


2

2

ln( 1)I x dx

តាង 2ln( 1)u x តនាេះ 2

2

1

xdu dx

x


dv dx តនាេះ v x តាមរបមនត udv uv vdu


2 2

222 2

2ln( 1) ln( 1)

1

xI x dx x x x dx

x

23

22

2(3ln8) (2ln3)

1

xdx

x

3

2

1 13ln8 2ln3 2

1 1dx

x x

3

23ln8 2ln3 2 ln | 1| ln | 1|x x x 3ln8 2ln3 [(6 ln2 ln4) (4 ln1 ln3)]

33ln 2 2ln3 (6 ln 2 2ln 2 4 ln3) 9ln2 2ln3 2 ln2 ln3 2 10ln2 3ln3

ែចតនេះ 2 10ln 2 3ln3I

៣០. ១. ក/. បងហា ញថាចាត េះករគប2

,1 1

x xx

x x

e ex e

e e

។


01

x

x

eI dx

e

។

២. ក/. f ជាអនគមនកាណេតលើ តោយ ( ) ln(1 )xf x e ។ គណនាតែរតវ ននអនគមន f ។

ខ/. គណនាេនមៃករបាកែននអាងតេករាល1

0

ln(1 )x xJ e e dx


១. ក/. បងហា ញថាចាត េះករគប2

,1 1

x xx

x x

e ex e

e e

តគបាន 2 2(1 )

1 1 1 1

x x x x x x x xx

x x x x

e e e e e e e ee

e e e e


,1 1

x xx

x x

e ee x

e e



01

x

x

eI dx

e


00 0

ln(1 )1 1

x xx x x

x x

e eI dx e dx e e

e e

[ ln(1 )] [1 ln(1 1)] ln(1 ) 1 ln2e e e e 1

1 ln2

ee

ែចតនេះ 11 ln

2

eI e

២. ក/. គណនាតែរតវននអនគមន f តគមាន ( ) ln(1 )xf x e

តែរតវ (1 ) ''( )

1 1

x x

x x

e ef x

e e

ែចតនេះ '( )1

x

x

ef x

e

ខ/. គណនាេនមៃករបាកែននអាងតេករាល1

0

ln(1 )x xJ e e dx

តាង ln(1 )xu e តនាេះ 1

x

x

edu dx

e

xdv e dx តនាេះ xv e តាមរបមនដ udv uv vdu


00 0

ln(1 ) ln(1 )1

xx x x x x

x

eJ e e dx e e e dx

e

21

0

ln(1 ) ln 2 ln(1 ) ln 21

x

x

ee e dx e e I

e

1ln(1 ) ln 2 ( 1 ln )

2

ee e e

1ln(1 ) ln 2 1 ln

2

ee e e

ln( 1) ln2 1 ln( 1) ln2e e e e


( 1)ln( 1) 1 2ln2e e e ែចតនេះ ( 1)ln( 1) 1 2ln 2J e e e

៣១. តគឲយ f ជាអនគមនកាណេតោយ34sin

( )1 cos

xf x

x

។

១. បងហា ញថា 3 2, sin sin (1 cos )x x x x ។ ២. ចាត េះ 1 cos 0x សរតសរ ( )f x ជាពេធានន cos x នង sin x ។

៣. គណនា / 2

0

( )I f x dx

នង / 3

/3

( )J f x dx

ដណ ោះសរាយ ១. បងហា ញថា 3 2, sin sin (1 cos )x x x x តគមាន 2 2 3, sin (1 cos ) sin (sin ) sinx x x x x x ែចតនេះ បញជា កថា 3 2sin sin (1 cos )x x x ។ ២. សរតសរ ( )f x ជាពេធានន cos x នង sin x

តគមាន 3 24sin 4sin (1 cos )

( )1 cos 1 cos

x x xf x

x x

4sin (1 cos )(1 cos )4sin (1 cos )

(1 cos )

x x xx x

x

ែចតនេះ ( ) 4sin (1 cos )f x x x

៣. គណនា / 2

0

( )I f x dx

នង / 3

/3

( )J f x dx

គណនា 4sin (1 cos )x x dx តាង 1 cosu x តនាេះ sindu xdx តគបាន 2 24sin (1 cos ) 4 2 2(1 cos )x x dx udu u x

ចាត េះ / 2 / 2

0 0

( ) 4sin (1 cos )I f x dx x x dx

/ 22 2 2

02(1 cos ) 2(1 0) 2(1 1) 2 0 2x

ែចតនេះ 2I


ចាត េះ /3 /3

/3 /3

( ) 4sin (1 cos )J f x dx x x dx

/32 2 2

/3

1 12(1 cos ) 2(1 ) 2(1 ) 0

2 2x

ែចតនេះ 0J ៣២. ១. តគមាន f ជាអនគមនកាណេតោយ 2( ) sin 2 2(1 cos2 )f x x x ។ សរតសរ ( )f x ជាអនគមននន cos x។ ២. តគមាន 2( ) sin 2 sin 2sin (1 cos2 )g x x x x x ។

គណនា 5 / 4

/ 2

( )I g x dx

។

ដណ ោះសរាយ ១. សរតសរ ( )f x ជាអនគមននន cos x តគមាន 2( ) sin 2 2(1 cos2 )f x x x

2 2 2 2 2 24sin cos 2(2cos ) 4sin cos 4cosx x x x x x 2 2 2 24cos (sin 1) 4cos (1 sin )x x x x

2 2 44cos cos 4cosx x x

ែចតនេះ 4( ) 4cosf x x

២. គណនា 5 / 4

/ 2

( )I g x dx

តគមាន 2( ) sin 2 sin 2sin (1 cos2 )g x x x x x 2 4 4sin [sin 2 2(1 cos2 )] sin ( 4cos ) 4sin cosx x x x x x x

តគបាន 5 / 4 5 / 4

4

/ 2 / 2

( ) ( 4sin cos )I g x dx x x dx

តាង cosu x តនាេះ sindu xdx ឬ sin xdx du

តបើ 5

4x

តនាេះ 5 2

cos cos4 4 2

u

តបើ 2

x

តនាេះ cos 12

u


នាាឲយ 5 / 4 5 / 4

4

/ 2 / 2

( ) ( 4sin cos )I g x dx x x dx

22 25 22 24 4

1 1 1

4[ 4 ( )] 4

5

uu du dx u du dx

5

5 5 2 2

5 4

24

2 4(1) 4 2 4 2 2 2 4

5 5 5 55 2 5 2 2

2 4 2 8 2 8

10 5 10 10


10I

៣៣. តគឲយ/ 2

2

0

cosI xdx

នង / 2

2

0

sinJ xdx

។

គណនា ,I J I J នងទាញរក I នង J ។ ដណ ោះសរាយ

គណនា ,I J I J

តគបាន / 2 / 2

2 2

0 0

cos sinI J xdx xdx

/ 2 / 2 / 22 2

00 0

(cos sin )2

x x dx dx x

/ 2 / 22 2

0 0

cos sinI J xdx xdx

/ 2/ 2 / 22 2

0 0 0

1(cos sin ) cos2 sin 2 0

2x x dx xdx x

ែចតនេះ , 02

I J I J

ទាញរក I នង J


តគមាន (1)2

0 (2)

I J

I J

យក (1) បក (2) តគបាន 22 4

I I

តាម (2) នាាឲយ 4

J I

ែចតនេះ ,4 4

I J

៣៤. តគឲយ/ 2

2 4

0

sin cosI x xdx

នង / 2

2 4

0

cos sinJ x xdx

។


គណនា ,I J I J

ចាត េះ / 2 / 2

2 4 2 4

0 0

sin cos cos sinI J x xdx x xdx

/ 22 4 2 4

0

(sin cos cos sin )x x x x dx

/ 2 / 22 2 2 2 2 2

0 0

sin cos (cos sin ) sin cosx x x x dx x xdx

/ 2 / 2 / 22 2 2

0 0 0

1 1 1 14sin cos sin 2 (1 cos4 )

4 4 4 2x xdx xdx x dx

/ 2/ 2

0 0

1 1 1(1 cos4 ) sin 4

8 8 4x dx x x

1 1 1 1sin 2 0 sin0 0

8 2 4 4 8 2 16

ចាត េះ / 2 / 2

2 4 2 4

0 0

sin cos cos sinI J x xdx x xdx

/ 2 / 22 2 2 2 2 2

0 0

sin cos (cos sin ) sin cos cos2x x x x dx x x xdx


/ 2 / 22 2 2 2 2

0 0

1sin cos (cos sin ) sin 2 cos2

4x x x x dx x xdx

តាង sin2u x តនាេះ 2cos2du xdx ឬ 1cos2

2xdx du

តបើ 2

x

តនាេះ sin 2 sin 02

u

តបើ 2

x

តនាេះ sin2 0 sin0 0u

តគបាន / 2 0

2 2

0 0

1 1 1sin 2 cos2 0

4 4 2I J x xdx u du

ែចតនេះ , 016

I J I J


តគមាន (1)16

0 (2)

I J

I J

យក (1) បក (2) តគបាន 216 32

I I

តាម (2) :32

J I

ែចតនេះ ,32 32

I J

៣៥. ១. តគឲយជាអនគមនកាណេតោយ 1( ) (2 sin 2 cos2 )

4x x x x ។

គណនាអនគមនតែរតវ ' នន ។

២. តគឲយ/ 4

2

0

cosI x xdx

នង/ 4

2

0

sinJ x xdx

។


១. គណនាអនគមនតែរតវ ' នន

តគមាន 1( ) (2 sin 2 cos2 )

4x x x x


តែរតវៈ 1'( ) (2sin 2 4 cos2 2sin 2 )

4x x x x x

1(4 cos2 ) cos2

4x x x x

ែចតនេះ '( ) cos2x x x ២. គណនា ,I J I J

តគមាន / 4

2

0

cosI x xdx

នង/ 4

2

0

sinJ x xdx

/ 4 / 4 / 42 2 2 2

0 0 0

cos sin (cos sin )I J x xdx x xdx x x x dx

/ 4 2 2/ 42 2

0 0

1 10

2 2 4 32xdx x

/ 4 / 4 / 42 2 2 2

0 0 0

cos sin (cos sin )I J x xdx x xdx x x x dx

/ 4

0

cos2x xdx

តាង u x តនាេះ du dx នង cos2dv xdx តនាេះ 1sin 2

2v x


តគបាន / 4/ 4 / 4

0 00

1 1cos2 sin 2 sin 2

2 2I J x xdx x x xdx

/ 2

0

1 1 1sin cos2 cos cos0

8 2 2 2 8 4x

1 2 4( 1 1)

8 4 8 4 8


,32 8

I J I J



តគមាន

2

(1)32

4(2)

8

I J

I J

យក (1) បក (2) តគបាន2 24 4 16

232 8 32

I

2 4 16

64I

តាម (1) តគបាន 2 2 2 4 16 16 4 4

32 32 32 32 8J I

ែចតនេះ 2 4 16 4

,64 8

I J

៣៦. តគឲយអនគមន2

2

3 7 6( )

( 3) ( 1)

x xf x

x x

។

១. សរតសរ ( )f x ជារាង 21 3 ( 3)

A B C

x x x

។

២. គណនា2

1

( )f x dx សរតសរចតមៃើយជារាង lna b ដែល a នង b ជាចាននតថរ

ដណ ោះសរាយ ១. សរតសរ ( )f x ជារាង

21 3 ( 3)

A B C

x x x

តគមាន2

( )1 3 ( 3)

A B Cf x

x x x

2

2

( 3) ( 1)( 3) ( 1)

( 3) ( 1)

A x B x x C x

x x

ដេ 2

2

3 7 6( )

( 3) ( 1)

x xf x

x x

តគបាន 2 2( 3) ( 1)( 3) ( 1) 3 7 6A x B x x C x x x ចាត េះ 3x តគបាន (3 1) 3 9 7 3 6C 4 27 21 6 12 3C C


ចាត េះ 1x តគបាន 2( 1 3) 3 7 6A 16 16 1A A ចាត េះ 0x តគបាន 2( 3) ( 3) 6A B C 9 3 3 6 3 12 6 6 2B B B តគបាន 1 , 2 , 3A B C

នាាឲយ2

1 2 3( )

1 3 ( 3)f x

x x x


1 2 3( )

1 3 ( 3)f x

x x x

២. គណនា2

1

( )f x dx

តគបាន 2 2

21 1

1 2 3( )

1 3 ( 3)f x dx dx

x x x

2

1

3ln | 1| 2ln | 3 |

3x x

x

3(ln3 2 0 3) (ln 2 2ln 2 )

2

33 3 3 3ln3 3 3ln 2 ln3 ln 2 ln

2 2 2 8


1

3 3( ) ln

2 8f x dx

៣៧. តគឲយ2

2

3 10 5( )

( 1) ( 2)

x xg x

x x

។ រក ,a b តែើមបឲយ

2( )

2 ( 1)

a bg x

x x

ចាត េះ 2x នង 1x ។ គណនា ( ) ( )I x g x dx តោយែងថា (0) 4I ដណ ោះសរាយ

រកេនមៃ ,a b

តគមាន2

2 2

( 1)( )

2 ( 1) ( 1) ( 2)

a b a x bg x

x x x x


មយាងតទៀេ 2

2

3 10 5( )

( 1) ( 2)

x xg x

x x

តគទាញបាន 2 2( 1) 3 10 5a x b x x ចាត េះ 1x តគបាន 3 10 5 12b ចាត េះ 0x តគបាន 5 12 5 12 5 7a b a a ែចតនេះ 7 , 12a b

( ) ( )I x g x dx តោយែងថា (0) 4I

តគបាន 2

( ) ( )2 ( 1)

a bI x g x dx dx

x x

2

7 12 127ln | 2 | , ( )

2 1( 1)dx x k k

x xx

តោយ (0) 4I តគបាន 127ln | 0 2 | 4

0 1k

7ln2 12 4 12 4 7ln2 8 7ln2k k

ែចតនេះ 12( ) 7ln | 2 | 8 7ln 2

1I x x

x

៣៨. ១. គណនាអាងតេករាលកាណេៈ

1

01

x

x

eA dx

e

នង 1

20 (1 )

x

x

eB dx

e

២. កាណេចាននពេ ,a b នង c តែើមបឲយ2 2

1(1)

1(1 ) (1 )

bt cta

tt t

៣. យក xt e ជានសកនង (1) រចគណនា1

20

1

(1 )xI dx

e

រចទាញរក

1

20 (1 )

x

x

xeJ dx

e

។

ដណ ោះសរាយ ១. គណនាអាងតេករាលកាណេៈ

1 1 1

00 0

(1 ) 'ln(1 )

1 (1 )

x xx

x x

e eA dx dx e

e e


ln(1 ) ln(1 1) ln(1 ) ln2e e ែចតនេះ ln(1 ) ln 2A e

11 1

2 20 0 0

(1 ) ' 1

(1 ) (1 ) 1

x x

x x x

e eB dx dx

e e e

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 2 2 1e e e


2 1B

e

២. កាណេចាននពេ ,a b នង c

តគមាន 2 2

1(1)

1(1 ) (1 )

bt cta

tt t

2 2 2

2 2

(1 ) (1 ) (1 2 ) ( )

(1 ) (1 )

a t bt t ct a t t b t t ct

t t

2

2

( ) (2 )

(1 )

a b t a b c t a

t


2 0 1

0 1

a a

a b c b

a b c

ែចតនេះ 1 , 1 , 1a b c

៣. គណនា1

20

1

(1 )xI dx

e


1

20 (1 )

x

x

xeJ dx

e

តគមាន 2 2

11 (1)

1(1 ) (1 )

t t

tt t

យក xt e ជានសកនង (1) តគបាន 2 2

11

(1 ) 1 (1 )

x x

x x x

e e

e e e

តគបាន 1 1

2 20 0

11

(1 ) 1 (1 )

x x

x x x

e eI dx dx

e e e

1 11

0 20 0

11 (1 )

x x

x x

e ex dx A B

e e


1 11 [n(1 ) ln 2] ( )

2 1e

e

1 11 ln(1 ) ln 2

2 1e

e

1 1ln(1 ) ln 2

2 1e

e

ែចតនេះ 1 1ln(1 ) ln 2

2 1I e

e

ទាញរក 1

20 (1 )

x

x

xeJ dx

e

តាង u x តនាេះ du dx

2(1 )

x

x

edv dx

e

តនាេះ 1

1 xv

e

តាមរបមនត udv uv vdu


20 00

1

(1 ) 1 1

x

x x x

xe xJ dx dx

e e e

1 1

20 0

1 1 1 1

1 11 (1 )

x

x x

edx dx

e ee e

1 1

2 20 0

1 1

1 (1 ) (1 )

x

x x

edx dx

e e e

1 1 1 1 1 1ln(1 ) ln 2

1 1 2 1 2 1I B e

e e e e

11 ln(1 ) ln 2

1e

e

ែចតនេះ 11 ln(1 ) ln 2

1J e

e

៣៩. ១. កាណេេនមៃ ,A B នងC តែើមបឲយចាត េះករគប { 2,0,2}x

តគបាន 2

4

2( 2) 2( 2)( 4)

A B C

x x xx x

។

២. តោយតករបើអាងតេករាលតោយដផនក គណនា4

2 23

8 ln

( 4)

x xI dx

x



១. កាណេេនមៃ ,A B នងC

តគមាន 2

4

2( 2) 2( 2)( 4)

A B C

x x xx x

2 ( 2)( 2) ( 2) ( 2)

2 ( 2)( 2)

A x x Bx x Cx x

x x x

2 2 2

2

2 ( 4) ( 2 ) ( 2 )

2 ( 4)

A x B x x C x x

x x

2

2

(2 ) ( 2 2 ) 8

2 ( 4)

A B C x B C x A

x x

ឬ 2

2 2

8 (2 ) ( 2 2 ) 8

2 ( 4) 2 ( 4)

A B C x B C x A

x x x x

តគទាញបាន 2 0 1 1

2 2 0 2 1

8 8 0 1

A B C A A

B C B C B

A B C C

ែចតនេះ 1 , 1 , 1A B C

គណនា4

2 23

8 ln

( 4)

x xI dx

x


x

2 2

8

( 4)

xdv dx

x

តនាេះ

2

4

4v

x



2 2 2 23 33

8 ln 4ln 4

( 4) 4 ( 4)

x x xI dx dx

x x x x

4

3

4ln 4 4ln3 1 1 1

16 4 9 4 2( 2) 2( 2)dx

x x x

4

3

4ln 4 4ln3 1 1ln | | ln | 2 | ln | 2 |

12 5 2 2x x x

ln 4 4ln3 1 1 1 1ln 4 ln6 ln 2 ln3 ln5 ln1

3 5 2 2 2 2


ln 4 4ln3 1 1 1ln 4 ln3 ln6 ln5 ln 2

3 5 2 2 2

10ln 4 24ln3 30ln 4 30ln3 15ln6 15ln5 15ln 2

30

40ln 4 54ln3 15ln6 15ln5 15ln 2

30

80ln 2 54ln3 15ln 2 15ln3 15ln5 15ln 2

30

50ln 2 69ln3 15ln5

30

ែចតនេះ 50ln 2 69ln3 15ln5

30I

៤០. អនគមន f កាណេតលើ [ 1,1] តោយ22 3

( )2

x xf x

x

។

១. តផទៀងផទទ េថាចាត េះករគប [ 1,1]x , 2( ) 2 1

2f x x

x


េនមៃននអាងតេករាល1

1

( )I f x dx ។

២. គណនាអាងតេករាល1

1

(4 3)ln( 2)J x x dx ។

ដណ ោះសរាយ ១. តផទៀងផទទ េថាចាត េះករគប [ 1,1]x , 2

( ) 2 12

f x xx

តគមាន 22 (2 1)( 2) 2 2 3 2 2

2 12 2 2

x x x xx

x x x

22 3( )

2

x xf x

x

ចាត េះករគប [ 1,1]x

ែចតនេះ 2( ) 2 1

2f x x

x

ចាត េះករគប [ 1,1]x ។

ទាញរកេនមៃននអាងតេករាល1

1

( )I f x dx

1 1 12

11 1

2( ) 2 1 2ln | 2 |

2I f x dx x dx x x x

x


(1 1 2ln3) (1 1 2ln1) 2ln3 2 ែចតនេះ 2ln3 2I


1

(4 3)ln( 2)J x x dx


2du dx

x

(4 3)dv x dx តនាេះ 22 3v x x តាមរបមនត udv uv vdu

តគបាន 1 1

2

11

(4 3)ln( 2) (2 3 )ln | 2 |J x x dx x x x

21

1

2 3(2 3)ln3 (2 3)ln1

2

x xdx I

x

5ln3 (2ln3 2) 2 3ln3 ែចតនេះ 2 3ln3J

៤១. តគឲយអាងតេករាល/ 2

0

cos

1 2sin

xI dx

x

នង / 2

0

sin 2

1 2sin

xJ dx

x

។

គណនា I នង I J ។ ទាញរកេនមៃ J ។ ដណ ោះសរាយ

គណនា I នង I J

តគមាន / 2 / 2

0 0

cos 1 (1 2sin ) '

1 2sin 2 1 2sin

x xI dx dx

x x

/ 2

0

1 1 1 1ln |1 2sin | ln3 ln1 ln3

2 2 2 2x

/ 2 / 2

0 0

cos sin 2

1 2sin 1 2sin

x xI J dx dx

x x

/ 2 / 2

0 0

cos 2sin cos cos (1 2sin )

1 2sin 1 2sin

x x x x xdx dx

x x

/ 2 / 2

00

cos sin 1 0 1xdx x


ែចតនេះ 1ln3 , 1

2I I J

ទាញរកេនមៃ J

តគមាន 11 1 1 ln3

2I J J I

ែចតនេះ 11 ln3

2J

៤២. តគឲយ/ 2 / 2

4 4

0 0

cos , sinI xdx J xdx

នង / 2

2 2

0

2sin cosK x xdx

។

១. គណនា ,I J I J K នង K ។ ២. ទាញរកេនមៃ I នង J ។ ដណ ោះសរាយ

១. គណនា ,I J I J K នង K / 2 / 2

4 4

0 0

cos sinI J xdx xdx

/ 2 / 24 4 2 2 2 2

0 0

(cos sin ) (cos sin )(cos sin )x x dx x x x x dx

/ 2/ 2 / 22 2

0 0 0

1(cos sin ) cos2 sin 2

2x x dx xdx x

1 1(sin sin0) (0 0) 0

2 2

ែចតនេះ 0I J / 2 / 2 / 2

4 4 2 2

0 0 0

cos sin 2sin cosI J K xdx xdx x xdx

/ 24 4 2 2

0

(cos sin 2sin cos )x x x x dx

/ 2 / 2 / 22 2 2

00 0

(cos sin )2

x x dx dx x



I J K

/ 2 / 22 2 2 2

0 0

12sin cos 4sin cos

2K x xdx x xdx

/ 2 / 2 / 22

0 0 0

1 1 1 cos4 1sin 2 (1 cos4 )

2 2 2 4

xxdx dx x dx

/ 2

0

1 1 1 1 1 1sin 4 sin 2 0 sin0

4 4 4 2 4 4 4x x

1 1sin 2 0

4 2 4 8 8


K

២. ទាញរកេនមៃ I នង J

តគមាន

0 (1)

(2)2

(3)8

I J

I J K

K

តាម (1) : 0I J I J

យក ,8

I J K

ជានសកនង (2)

តគបាន 8 2

I I

3 32

2 8 8 16I I

នាាឲយ 3

16J I


16I J


៤៣. តគឲយអនគមន2

sin 2( )

(2 sin )

xf x

x

។

១. កាណេេនមៃ A នង B តែើមបឲយ2

cos cos( )

2 sin(2 sin )

A x B xf x

xx

។


/ 2

( )I f x dx ។

ដណ ោះសរាយ ១. កាណេេនមៃ A នង B

តគមាន2

cos cos( )

2 sin(2 sin )

A x B xf x

xx

2 2

cos cos (2 sin ) ( 2 )cos sin cos

(2 sin ) (2 sin )

A x B x x A B x B x x

x x

2

1( 2 )cos sin 2

2

(2 sin )

A B x B x

x

តោយ 2

sin 2( )

(2 sin )

xf x

x


41

212

A BA

BB

ែចតនេះ 4 , 2A B


/ 2

( )I f x dx

0 0

2/ 2 / 2

4cos 2cos( )

2 sin(2 sin )

x xI f x dx dx

xx

0

/ 2

42ln | 2 sin |

2 sinx

x

4 4( 2ln | 2 0 |) ( 2ln | 2 1|)2 0 2 1

2 2ln2 4 2 2ln2


ែចតនេះ 2 2ln 2I

៤៤. តគឲយ2

2

3 1( ) , 1

( 1)

x xx x

x

។ រកេនមៃ , ,a b c តែើមបឲយ

2

( )1 ( 1)

b cx a

x x

រចគណនា

1

0

( )I x dx ។

ដណ ោះសរាយ រកេនមៃ , ,a b c

តគមាន 2

2 2

( 1) ( 1)( )

1 ( 1) ( 1)

b c a x b x cx a

x x x

2 2

2 2

( 2 1) ( 1) (2 ) ( )

( 1) ( 1)

a x x b x c ax a b x a b c

x x

តោយតេេថា 2

2

3 1( )

( 1)

x xx

x

តគបានៈ

1 1

2 3 1

1 1

a a

a b b

a b c c

ែចតនេះ 1 , 1 , 1a b c

គណនា1

0

( )I x dx

តគបាន 1 1

20 0

1 1( ) 1

1 ( 1)I x dx dx

x x

1

0

1 1 1ln | 1| 1 ln 2 0 ln1

1 2 1x x

x

1 11 ln 2 1 ln 2

2 2

ែចតនេះ 1ln 2

2I


៤៥. ចរគណនាតែរតវខាងតករាមៈ

1). 300

3

(4 1)xd

t dtdx

2). 2 15

2

(3 7)xd

w dwdx

3). 0| |

x

dw dw

dx 4). ''( )h t តបើ 16

0

( ) 1t

h t x dx

5). '( )g x តបើ 17 2 40

1

( ) (8 5 13)x

g x t t dt

6). ''( )g t តបើ 0

2 2

0

( ) 1 1t

t

g t x dx w dw

7). '( )f x តបើ 0

2 21

( )1 1

x

x

dt dtf x

t t

ដណ ោះសរាយ គណនាតែរតវខាងតករាមៈ

1). 300 300

3

(4 1) (4 1)xd

t dt xdx

2). 2 15 2 15

2

(3 7) (3 7)xd

w dw xdx

3). 0

0

| | | | | |x

x

d dw dw w dw x

dx dx

4). គណនា ''( )h t តបើ 16

0

( ) 1t

h t x dx

16 16

0

'( ) 1 1td

h t x dx tdt

16 15 15

16

16 16 16

(1 ) ' 16 8''( ) ( 1 )

2 1 2 1 1

d t t th t t

dt t t t

5). គណនា '( )g x តបើ 17 2 40

1

( ) (8 5 13)x

g x t t dt

17 2 40 17 2 40

1

'( ) (8 5 13) (8 5 13)xd

g x t t dt x xdx


6). គណនា ''( )g t តបើ 0

2 2

0

( ) 1 1t

t

g t x dx w dw

0

2 2

0

'( ) 1 1t

t

d dg t x dx w dw

dt dt

2 2

0 0

1 1t td d

x dx w dwdt dt

2 21 1 0t t នាាឲយ ''( ) 0g t

7). គណនា '( )f x តបើ 0

2 21

( )1 1

x

x

dt dtf x

t t

តគមាន 0

2 2 2 21 0 1

( )1 1 1 1

x x x

x

dt dt dt dtf x

t t t t

តគបាន 2 2 2 2

0 1

1 1'( ) 0

1 1 1 1

x xd dt dtf x

dx t t x x

ែចតនេះ '( ) 0f x ។

៤៦. ចរគណនា dF

dxននអនគមន៖

1). 2

0

1( )

xF x dt

t 2).

22

1

( ) cos( )x

F x t dt

3).

2

1

( )1 1

x dtF x

t

4).

0

sin

( )2x

dtF x

t

5). 1

1/

( )x

dtF x

t 6).

0

2cos

( )1x

dtF x

t

7). 10

2( ) sinx

F x t dt 8). 2 2

21

( )1

x tF x dt

t

9). 3

20

1( )

1

xF x dt

t

10). ln

0

( ) sinx

F x tdt

ដណ ោះសរាយ គណនា dF

dxននអនគមន៖


1). 2

0

1( )

xF x dt

t

តគបាន 2

2

2 20

1 1 2 2( ) '

xdF d xdt x

dx dx t xx x

ែចតនេះ 2dF

dx x

2). 2

2

1

( ) cos( )x

F x t dt

តគបាន 2

2 2 2

1

cos( ) cos(2 ) (2 ) ' 2cos4xdF d

t dt x x xdx dx

ែចតនេះ 22cos4dF

xdx

3).

2

1

( )1 1

x dtF x

t

តគបាន 2

2

2 21

1 2( ) '

1 1 1 1 1 1

xdF d dt xx

dx dx t x x


2

1 1

dF x

dx x

4). 0

sin

( )2x

dtF x

t

តគបាន 0 sin

sin 02 2

x

x

dF d dt d dt

dx dx t dx t

1 cos(sin ) '

2 sin 2 sin

xx

x x

ែចតនេះ cos

2 sin

dF x

dx x

5). 1

1/

( )x

dtF x

t

តគបាន '1 1/

21/ 1

1 1 1

1/

x

x

dF d dt d dt x

dx dx t dx t x x xx


ែចតនេះ 1dF

dx x

6). 0 cos

2 2cos 0

( )1 1

x

x

dt dtF x

t t

តគបាន cos

2 2 20

1 sin 1(cos ) '

sin1 1 cos sin

xdF d dt xx

dx dx xt x x


sin

dF

dx x

7). 10

2 2

10

( ) sin sinx

x

F x t dt t dt

តគបាន 2 2

10

1sin sin( ) ( ) ' sin

2

xdF dt dt x x x

dx dx x

ែចតនេះ 1sin

2

dFx

dx x

8). 2 2

21

( )1

x tF x dt

t

តគបាន 2 2 2 2 4 5

2

2 2 2 4 41

( ) 2 2( ) '

1 1 ( ) 1 1

xdF d t x x x xdt x

dx dx t x x x


4

2

1

dF x

dx x

9). 3

20

1( )

1

xF x dt

t

តគបាន

3 23

2 3 2 60

1 1 3( ) '

1 1 ( ) 1

xdF d xdt x

dx dx t x x


6

3

1

dF x

dx x

10). ln

0

( ) sinx

F x tdt


តគបាន ln

0

1sin sin(ln ) (ln ) ' sin(ln )

xdF dtdt x x x

dx dx x

ែចតនេះ 1sin(ln )

dFx

dx x

៤៧. បងហា ញថាតបើu នង v ជាអនគមនមានឌតផរ ាងដសយលនន x នង f ជាអនគមនជាប

តនាេះតគបាន ( ) ( ) ( )v

u

d dv duf t dt f v f u

dx dx dx

។


បងហា ញថា ( ) ( ) ( )v

u


dx dx dx

តគបាន ( ) ( ) ( )v a v

u u a

d df t dt f t dt f t dt

dx dx

ដែល a

( ) ( ) ( ) ( )u v v u

a a a a

d d d df t dt f t dt f t dt f t dt

dx dx dx dx

( ) ( )dv du

f v f udx dx

ែចតនេះ បញជា កថា ( ) ( ) ( )v

u


dx dx dx

។

៤៨. ចរគណនាតែរតវខាងតករាមៈ

1). 2

33 1 5

x

x

d t tdt

dx t

2).

255

4 3

cos( 1)t t

t

dw dw

dt

3).

2x

x

d dt

dx t

4). 1

1

1x

x

d tdt

dx t

5). 1/3

2 3

3/ 21

x

x

d dt

dx t

6).

2

2

x x

x

d dt

dx t

ដណ ោះសរាយ គណនាតែរតវខាងតករាម៖


1). 2

33 1 5

x

x

d t tdt

dx t

2 22

2 3 3

(3 1) 3 1( ) ' (3 1) '

( ) 5 (3 1) 5

x x x xx x

x x

2

6 3

2 ( | |) 3[(3 1) 3 1]

5 (3 1) 5

x x x x x

x x


3 6 33 1

2 ( | |) 3[(3 1) 3 1]

5 5 (3 1) 5

x

x

d t t x x x x xdt

dx t x x

2).

255

4 3

cos( 1)t t

t

dw dw

dt

2 5 2 5cos[(5 ) 1] (5 )' cos[(4 3) 1] (4 3)'t t t t t t 2 5 5(10 1)cos[(5 ) 1] 4cos[(4 3) 1]t t t t


5 2 5 5

4 3

cos( 1) (10 1)cos[(5 ) 1] 4cos[(4 3) 1]t t

t

dw dw t t t t

dt

3).

2x

x

d dt

dx t

2

2 2

1 1 2 1 2 1 1( ) ' ( ) '

xx x

x x x x xx x


1x

x

d dt

dx t x

4). 1

1

1x

x

d tdt

dx t

(1 ) 1 (1 ) 1(1 ) ' (1 ) '

(1 ) (1 )

x xx x

x x

2 2 2

2 2

(1 ) (1 ) 2

1 1 (1 )(1 ) 1 1

x x x x x x x x x x x

x x x x x x



21

1 2

1

x

x

d t xdt

dx t x

5). 1/3

2 3

3/ 21

x

x

d dt

dx t

1/3

3/ 2 1/3 3/ 2

1 1(2 3 ) ' ( ) '

1 (2 3 ) 1 ( )x x

x x

1/ 233 2

3 1 1

11 (2 3 ) 3 xx x

33 2

3 1

1 (2 3 ) 3 (1 )x x x

ែចតនេះ 1/3

2 3

3/ 2 33 2

3 1

1 1 (2 3 ) 3 (1 )

x

x

d dt

dx t x x x

6).

2

2

x x

x

d dt

dx t

2

2

1 1( ) ' ( ) '

22

x x xxx x

4 42 2

2 1 1 1 2 1 1

2 2 2 (2 )2 2

x x

x x x xx x x x


42

2 1 1

2 2 (2 )2

x x

x

d dt x

dx t x xx x

៤៩. គណនាអាងតេករាលខាងតករាមៈ

1). 1

201

dx

x

2). 1/ 2

20 1

dx

x

3). 1

20 4

dx

x

4). 5

20 25

dx

x

5).

4

2416

dx

x

6).

3/ 2

20 9 4

dx

x



1). 1 1

020

arctan arctan1 arctan0 04 41

dxx

x

2). 1/ 2 1/ 2 2 / 2

0 020

arcsin arcsin

1

dxx x

x

2

arcsin arcsin0 02 4 4

3). 1 1

2 20 042 1

2

dx dx

x x

តាង 1

2 2

xu du dx ឬ 2dx du


2u


តគបាន 1 1/ 2 1/ 2

2 2 20 0 0

1 2

2 1 12 1

2

dx du du

u ux

1/ 2

0arcsin arcsin(1/ 2) arcsin0 0

6 6u


20 64

dx

x

4). 5 5

2 20 0

1

25251

5

dx dx

x x

តាង 1

5 5

xu du dx ឬ 5dx du



2 2 20 0 0

1 1 5 1

25 25 51 11

5

dx du du

u ux


1

0

1 1 1 1arctan arctan1 arctan0

5 5 5 5 4 20u


20 2025

dx

x

5). 4 4

2 24 4

1

16161

4

dx dx

x x

តាង 1

4 4

xu du dx ឬ 4dx du



2 2 24 1 1 1

1 1 4 1 1arctan

16 16 4 41 11

4

dx du duu

u ux

1 1 1 1 2arctan1 arctan( 1)

4 4 4 4 4 4 16 8


24 816

dx

x

6). 3/ 2 3/ 2

2 20 0

1

99 4 21

3

dx dx

x x

តាង 2 2

3 3

xu du dx ឬ 3

2dx du

តបើ 3

2x តនាេះ 1u


តគបាន 13/ 2 1

2 20 0 0

31 1 12 arctan9 9 612

13

dudx

uux


1 1(arctan1 arctan0) ( 0)

6 6 4 24

ែចតនេះ 3/ 2

20 249 4

dx

x

៥០. ចរករាយបញជា កថា៖

1). 2 2

1arcsin , ( )

xdx C C

aa x

2). 2 2

1 1arctan , ( )

xdx C C

a aa x

ដណ ោះសរាយ ករាយបញជា កថាៈ

1). 2 2

1arcsin , ( )

xdx C C

aa x


1 1 1

1

dx dxaa x x

a

តាង xu

a តនាេះ 1

du dxa

ឬ dx adu

តគបាន 2 2 2 2

1 1 1 1

11

adudx dx

a aa x ux

a

2arcsin arcsin , ( )

1

du xu C C C

au


1arcsin , ( )

xdx C C

aa x

2). 2 2

1 1arctan , ( )

xdx C C

a aa x

តគមាន 2 2 2 2

1 1 1

1

dx dxa x a x

a


តាង xu

a តនាេះ 1

du dxa

ឬ dx adu

តគបាន 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1

11

adudx dx

a x a a ux

a

2

1 1 1arctan arctan , ( )

1

du xu C C C

a a a au


1 1arctan , ( )

xdx C C

a aa x

៥១. គណនាអាងតេករាលខាងតករាមៈ

1). 5

22 9 ( 2)

dx

x

2).

2

23 4 ( 3)

dx

x

3). ln3

2ln 2 1

x

x

edx

e

4). 1/ 2

20

1

3 4

dx

x

5). 41

xdx

x

6). 2 4 13

dx

x x


1). 5

22 9 ( 2)

dx

x

តាង 2u x du dx តបើ 5x តនាេះ 3u តបើ 2x តនាេះ 0u


2 2 2 22 0 09 ( 2) 9 3

dx du du

x u u

3

0

1 1 1 1arctan arctan1 arctan0

3 3 3 3 3 4 12

u


22 129 ( 2)

dx

x


2). 2

23 4 ( 3)

dx

x

តាង 3u x du dx តបើ 2x តនាេះ 1u តបើ 3x តនាេះ 0u


2 2 2 23 0 04 ( 3) 4 2

dx du du

x u u

1

0

1arcsin arcsin arcsin0 0

2 2 6 6

u


23 64 ( 3)

dx

x

3). ln3 ln3

2 2ln 2 ln 21 1 ( )

x x

x x

e edx dx

e e

តាង x xu e du e dx ឬ xe dx du

តបើ ln3x តនាេះ 1ln3 ln3 1

3u e e

តបើ ln 2x តនាេះ 1ln 2 ln 2 1

2u e e

តគបាន ln3 ln3 1/3

2 2 2ln 2 ln 2 1/ 21 1 ( ) 1

x x

x x

e e dudx dx

e e u

1/3

1/ 2

1 1 1arccos arccos arccos arccos

3 2 3 3u

ែចតនេះ ln3

2ln 2

1arccos

3 31

x

x

edx

e

4). 1/ 2 1/ 2

2 2 20 0

1 1

3 4 ( 3) (2 )

dx dx

x x

តាង 2 2u x du dx ឬ 1

2dx du


តបើ 1

2x តនាេះ 1u


តគបាន 1/ 2 1

2 2 2 20 0

1 1

2( 3) (2 ) ( 3)

dudx

x u

1

0

1 1 1 1arcsin arcsin arcsin 0

2 2 23 3

u

1 3arcsin

2 3

ែចតនេះ 1/ 2

20

1 1 3arcsin

2 33 4

dx

x

5). 4 2 21 1 ( )

x xdx dx

x x

តាង 2 2u x du xdx ឬ 2

duxdx

តគបាន 4 2 2 2

1

21 1 ( ) 1

x x dudx dx

x x u

21 1arcsin arcsin( ) , ( )

2 2u C x C C


4

1arcsin( ) , ( )

21

xdx x C C

x

6). 2 2 2 24 13 9 ( 4 4) 3 ( 2)

dx dx dx

x x x x x

តាង 2u x du dx

តគបាន 2 2 2 2 24 13 3 ( 2) 3

dx dx du

x x x u

1 1 2arctan arctan , ( )

3 3 3 3

u xC C C


1 2arctan , ( )

3 34 13

dx xC C

x x


៥២. គណនាអាងតេករាលខាងតករាមៈ

1). 2( 1) 4

xdx

x

2).

2

3

2 3 4

dx

x x

3). 2 1sinx xdx

4). 2 1tanx xdx


1). 2 2 2( 1) 4 2 1 4 2 5

x x xdx dx dx

x x x x x

2 2

1 1

2 5 2 5

xdx dx

x x x x

គណនា 2

2

2 2

1 1 ( 2 5) ' 1ln( 2 5)

2 22 5 2 5

x x xdx dx x x

x x x x

គណនា 2 2 2 2

1 1 1

2 5 4 ( 1) 2 ( 1)dx dx dx

x x x x

តាង 1u x តនាេះ du dx

តគបាន 2 2 2 2

1 1 1 1 1arctan arctan

2 2 2 22 ( 1) 2

u xdx

x u

នាាឲយ 2

2

1 1 1ln( 2 5) arctan

2 2 2( 1) 4

x xdx x x C

x


2

1 1 1ln( 2 5) arctan

2 2 2( 1) 4

x xdx x x C

x

2). 2 2

3 3

9 92 3 4 2 ( 3 4 )16 16

dx dx

x x x x

2 2 2

3 3

3 341 ( 2 ) ( 41) ( 2 )

4 4

dx dx

x x

តាង 32

4u x តនាេះ 2du dx ឬ 1

2dx du



3 3

23 ( 41)( 41) ( 2 )4

dudx

ux

32

3 3 4arcsin arcsin , ( )2 241 41

xu

C C C


32

3 3 4arcsin , ( )2 412 3 4

x

dx C C

x x

3). 2 1sinx xdx

តាង 1sinu x តនាេះ 2

1

1

du dx

x

2dv x dx តនាេះ 31

3v x


តគបាន 2 1 3 1 3

2

1 1 1sin sin

3 3 1

x xdx x x x dx

x

3 1 2

2

1 1sin

3 3 1

xx x x dx

x

(1)

គណនា 2

21

xx dx

x

តាង 21u x តនាេះ 1 2du xdx

2

12 2

(1 ) '

1 2 1

x xdv dx dx

x x

តនាេះ 21 1v x

តគបាន 2 2 2 2

21 2 1

1

xx dx x x x x dx

x

2 2 2 21 (1 )' 1x x x x dx 2 2 2 32

1 (1 )3

x x x ជានសកនង (1)


តគបាន 2 1 3 1 2 2 2 31 1 2sin sin 1 (1 )

3 3 3x xdx x x x x x C

3 1 2 2 2 31 1 2sin 1 (1 ) , ( )

3 3 9x x x x x C C

ែចតនេះ 2 1 3 1 2 2

2 3

1 1sin sin 1

3 3

2(1 ) , ( )

9

x xdx x x x x

x C C

4). 2 1tanx xdx

តាង 1

2

1tan

1u x du dx

x

នង 2 31

3dv x dx v x


តគបាន 3

2 1 3 1

2

1 1tan tan

3 3 1

xx xdx x x dx

x

( )

គណនា 3

2

2 2

2 1

21 1

x xdx x dx

x x

តាង 21

2u x du xdx នង 2

2

2ln(1 )

1

xdv dx v x

x

តគបាន 3

2

2 2

2 1

21 1

x xdx x dx

x x

2 2 21ln(1 ) ln(1 )

2x x x x dx ជានសកនង ( )

តគបាន 2 1 3 1 2 2 21 1 1tan tan ln(1 ) ln(1 )

3 3 2x xdx x x x x x x dx

3 1 2 2 21 1 1tan ln(1 ) ln(1 )

3 6 3x x x x x x dx

( )

គណនា 2ln(1 )x x dx

តាង 21 2u x du xdx ឬ 1

2xdx du

តគបាន 2 1 1ln(1 ) ln ln

2 2x x dx u du udu

2 2 21 1 1( ln ) (1 )ln(1 ) (1 )

2 2 2u u u x x x ជានសកនង ( )


តគបាន 2 1 3 1 2 21 1tan tan ln(1 )

3 6x xdx x x x x

2 2 21 1 1(1 )ln(1 ) (1 )

3 2 2x x x C

3 1 2 2

2 2 2

1 1tan ln(1 )

3 6

1 1(1 )ln(1 ) (1 )

6 6

x x x x

x x x C

3 1 2 2 2 21 1 1 1 1tan ln(1 ) (1 )

3 6 6 6 6x x x x x x C

3 1 2 21 1 1tan ln(1 ) (1 ) , ( )

3 6 6x x x x C C

ែចតនេះ 2 1 3 1 2 21 1 1tan tan ln(1 ) (1 ) , ( )

3 6 6x xdx x x x x C C

៥៣. គណនាអាងតេករាលខាងតករាមៈ 1). coshaxdx 2). sinhaxdx

3). 2sinh coshax axdx 4). 2sinh coshax axdx

5). sinh

cosh

axdx

ax 6).

cosh

sinh

axdx

ax


1). 1cosh sinh , ( )axdx ax C C

a

2). 1

sinh cosh , ( )axdx ax C Ca

3). 2sinh coshax axdx

តាង sinhu ax តនាេះ coshdu a axdx ឬ 1cosh axdx du

a

តគបាន 2 2 2 31 1 1sinh cosh

3ax axdx u du u du u C

a a a

3 31 1(sinh ) sinh , ( )

3 3ax C ax C C

a a


ែចតនេះ 2 31sinh cosh sinh , ( )

3ax axdx ax C C

a

4). 2sinh coshax axdx

តាង coshu ax តនាេះ sinhdu a axdx ឬ 1sinh axdx du

a

តគបាន 2 2 2 31 1 1sinh cosh

3ax axdx u du u du u C

a a a

3 3 31 1 1(cosh ) cosh , ( )

3 3 3u C ax C ax C C

a a a

ែចតនេះ 2 31sinh cosh cosh , ( )

3ax axdx ax C C

a

5). sinh 1 (cosh ) ' 1

ln | cosh | , ( )cosh cosh

ax axdx dx ax C C

ax a ax a

ែចតនេះ sinh 1

ln | cosh | , ( )cosh

axdx ax C C

ax a

6). cosh 1 (sinh ) ' 1

ln | sinh | , ( )sinh sinh

ax axdx dx ax C C

ax a ax a

ែចតនេះ cosh 1

ln | sinh | , ( )sinh

axdx ax C C

ax a

៥៤. គណនាអាងតេករាលខាងតករាមៈ

1). 2

sinh

cosh

axdx

ax 2). coshx xdx

3). sinhx axdx 4). 2sinh xdx

5). 2cosh xdx 6).

2 sinhx xdx

7). 2 sinhx xdx 8). coshxe xdx


1). 2

sinh

cosh

axdx

ax

តាង coshu ax តនាេះ sinhdu a axdx ឬ 1sinh axdx du

a



sinh 1 1 1 1 1 1

cosh

axdx du du C

a a a uax u u

1 1 1, ( )

cosh coshC C C

a ax a ax

ដចតនេះ 2

sinh 1, ( )

coshcosh

axdx C C

a axax

2). coshx xdx

តាង u x du dx នង cosh sinhdv xdx v x តាមរបមនដ udv uv vdu តគបាន cosh sinh sinh sinh coshx xdx x x xdx x x x C ដចតនេះ cosh sinh cosh , ( )x xdx x x x C C 3). sinhx axdx

តាង u x du dx នង 1sinh coshdv axdx v ax

a


តគបាន 1 1sinh cosh coshx axdx x ax axdx

a a

2

1 1cosh sinh , ( )x ax ax C C

a a


1 1sinh cosh sinh , ( )x axdx x ax ax C C

a a

4). 2sinh xdx

តគមាន 2 2cosh sinh 1x x (1) 2 2cosh sinh cosh2x x x (2) យក (2)ដក (1) តគបាន 22sinh 1 cosh 2x x

នាឲយ 2 1sinh ( 1 cosh 2 )

2x x

នាឲយ 2 1sinh ( 1 cosh 2 )

2xdx x dx

1 1 1( 1 cosh 2 ) ( sinh 2 ) , ( )

2 2 2x dx x x C C


ដចតនេះ 2 1 1sinh ( sinh 2 ) , ( )

2 2xdx x x C C

5). 2cosh xdx

តគមាន 2 2cosh sinh 1x x (1) 2 2cosh sinh cosh2x x x (2) យក (2)បក (1) តគបាន 22cosh 1 cosh2x x

នាឲយ 2 1cosh (1 cosh 2 )

2x x

តគបាន 2 1 1cosh (1 cosh 2 ) (1 cosh 2 )

2 2xdx x dx x dx

1 1 1 1( sinh 2 ) sinh 2 , ( )

2 2 2 4x x C x x C C

ដចតនេះ 2 1 1cosh sinh 2 , ( )

2 4xdx x x C C

6). 2 sinhx xdx

តាង 2u x តនេះ 2du xdx sinhdv xdx តនេះ coshv x តាមរបមនដ udv uv vdu តគបាន 2 2sinh cosh 2 coshx xdx x x x xdx គណន 2 coshx xdx តាង 1 2u x តនេះ 1 2du dx 1 coshdv xdx តនេះ 1 sinhv x តគបាន 2 cosh 2 sinh 2sinhx xdx x x xdx 2 sinh 2coshx x x នាឲយ 2 2sinh cosh 2 coshx xdx x x x xdx

2 cosh (2 sinh 2cosh )x x x x x C 2 cosh 2 sinh 2coshx x x x x C 2( 2)cosh 2 sinh , ( )x x x x C C

ដចតនេះ 2 2sinh ( 2)cosh 2 sinh , ( )x xdx x x x x C C 7). 2 sinhx xdx


តាង 2u x តនេះ 2du dx sinhdv xdx តនេះ coshv x តាមរបមនដ udv uv vdu តគបាន 2 sinh 2 cosh 2coshx xdx x x xdx

2 cosh 2sinh , ( )x x x C C ដចតនេះ 2 sinh 2 cosh 2sinh , ( )x xdx x x x C C

8). 1

cosh ( )2

x x x xe xdx e e e dx

2 2 21 1 1 1 1(1 ) ( ) , ( )

2 2 2 2 4

x x xe dx x e C x e C C

ដចតនេះ 21 1cosh , ( )

2 4

x xe xdx x e C C

៥៥. គណនផផៃករកឡាផផនកបលងផដលខណឌ តោយផខែតាងនងបនៃ េផដលឲយខាងតករាមៈ 1). ផខែតាង 2 2y x នងបនៃ េ 2y 2). អកែអបសស នងផខែតាង 22y x x

3). អកែអរតោតន នងផខែតាង 2 3x y y 4). ផខែតាង 2y x នងបនៃ េ 4x

5). ផខែតាង 22y x x នងបនៃ េ 3y

6). ផខែតាង 2y x នងបនៃ េ y x

7). ផខែតាង 2y x នង 2 4y x x

8). ផខែតាង cosy x នងបនៃ េ 1y ចាត េះ x

ដណ ោះសរាយ គណនផផៃករកឡាផផនកបលងផដលខណឌ តោយផខែតាងនងបនៃ េៈ 1). ផខែតាង 2 2y x នងបនៃ េ 2y សមារអបសស 2( 2) 2 0x ឬ 2 4 0 2x x

x 2 2 2 4x 0 0


តគបានផផៃករកឡា 22

2 2

2 2

( 4) ( 4)S x dx x dx

23

2

1 8 8 8 84 8 8 8 8

3 3 3 3x x

16 16 48 3216

3 3 3

ដចតនេះ 32( )

3S ÉktaépÞ

2). អកែអបសស នងផខែតាង 22y x x សមារអបសស 22 0 (2 ) 0 0 , 2x x x x x x

x 0 2 22x x

តគបានផផៃករកឡា

222 2 3

0 0

1(2 )

3S x x dx x x

8 12 8 44 (0 0)

3 3 3


3S ÉktaépÞ

3). អកែអរតោតន នងផខែតាង 2 3x y y សមារអរតោតន 2 3 20 (1 ) 0 0 , 1y y y y y y

y 0 1 2y

1 y

2 3y y


3 412 3

0 0

( )3 4

y yS y y dy

1 1 4 3 1(0 0)

3 4 12 12

0 0

0

0

0 0



12S ÉktaépÞ

4). ផខែតាង 2y x នងបនៃ េ 4x សមារអរតោតន 2 24 0 4 2 , 2y y y y

y 2 2 2 4y


2 2

2 2

( 4) ( 4)S y dx y dx

23

2

1 8 8 8 84 8 8 8 8

3 3 3 3y y

16 16 48 3216

3 3 3


3S ÉktaépÞ

5). ផខែតាង 22y x x នងបនៃ េ 3y សមារអបសស 22 3x x ឬ 2 2 3 0 1 , 3x x x x

x 1 3 2 2 3x x


332 2

1 1

( 2 3) 33

xS x x dx x x

27 1 27 19 9 1 3 18 4

3 3 3 3

28 28 42 1414

3 3 3


3S ÉktaépÞ

6). ផខែតាង 2y x នងបនៃ េ y x សមារអបសស 2 2 0 ( 1) 0 0 , 1x x x x x x x x

0 0

0 0


x 0 1 2x x

តគបានផផៃករកឡា 1 0

2 2

0 1

( ) ( )S x x dx x x dx

03 2

1

1 1 1 1 3 2 1(0 0)

3 2 3 2 2 3 6 6

x x


6S ÉktaépÞ

7). ផខែតាង 2y x នង 2 4y x x សមារអបសស 2 2 24 2 4 0 2 ( 2) 0x x x x x x x នាឲយ 0 , 2x x

x 0 2 22 4x x

តគបានផផៃករកឡា 2 0

2 2

0 2

(2 4 ) (2 4 )S x x dx x x dx

03

2

2

2 2 8 16 24 16 82 (0 0) 2 4 8

3 3 3 3 3

xx


3S ÉktaépÞ

8). ផខែតាង cosy x នងបនៃ េ 1y ចាត េះ x សមារអបសស cos 1 cos 1 0x x តនេះ x តោយ cos 1 0 ,x x

តគបានផផៃករកឡា (cos 1) sinS x dx x x

(sin ) [sin( ) ( )] 2 ដចតនេះ 2 ( )S ÉktaépÞ

0 0

0 0


៥៦. គណនផផៃករកឡាផផនកបលងកនងាករដងទមយផដលកាណេតោយអកែអរតោតន នង ផខែតាង sin , cosy x y x ។ ដណ ោះសរាយ

គណនផផៃករកឡា

សមារអបសស sin cos 0x x តគបាន 4

x

កនងាករដងទមយ sin cos 0x x ចាត េះ [0 , ]4

x

តគបានផផៃករកឡា / 4 / 4

00

(sin cos ) cos sinS x x dx x x

2 2cos sin ( cos0 sin0) 1 0

4 4 2 2

2 1 1 2 ដចតនេះ (1 2)( )S ÉktaépÞ

៥៧. រកផផៃករកឡាផផនកបលងកនងាករដងទមយផដលកាណេតោយ 4 , 0 , 0y x x y ។ ដណ ោះសរាយ

គណនផផៃករកឡា សមារអបសស 4 0 4 0 4x x x


3

0 0

24 (4 )

3S x dx x

3 3 3 32 2 2 2 16(4 4) (4 0) 0 4 2

3 3 3 3 3


3S ÉktaépÞ


៥៨. រកមាឌសលេផដលបានពារវលផនផផៃករកឡាផដលកាណេតោយបនៃ េ នងផខែ តាងជាវញអកែអបសសៈ ក. 2 , 0 , 0x y x y ខ. sin , 0 , 0y x y x គ. 2 , 0y x x y ឃ. 23 , 0y x x y ង. 3 1 , 2 , 0y x x y ច. 2 , 9y x y ឆ. 3,y x y x ជ. 2 , 2y x y x ឈ. , 2 , 4y x y x x ញ. 2 , 2y x y x ដណ ោះសរាយ

គណនមាឌផនសលេ ក. 2 , 0 , 0x y x y

តាមរបមនដ 2[ ( )]b

a

V f x dx

តបើ 0 , 0 2 2y x x តនេះ 0 , 2a b តគមាន 2 2x y y x តគយក ( ) 2f x x

តគបាន 2 2

2 2 2

0 0

[ ( )] (2 ) (4 4 )b

a

V f x dx x dx x x dx

23

2

0

8 84 2 (8 8 )

3 3 3

xx x


3V

ÉktamaD

ខ. sin , 0 , 0y x y x


a

V f x dx


តគបាន 2

0 0 0

1 cos2 1sin (1 cos2 )

2 2

xV xdx dx x dx

22

0

1 1 1 1 1sin 2 sin 2

2 2 2 2 2 2x x


( )2

V

ÉktamaD

គ. 2 , 0y x x y សមារអបសស 2 0 (1 ) 0 0 , 1x x x x x x


a

V f x dx

តគបាន 1 1

2 2 2 3 4

0 0

( ) ( 2 )V x x dx x x x dx

13 4 5

0

1 1 1 (10 15 6)

3 2 5 3 2 5 30 30

x x x

ដចតនេះ ( )30

V

ÉktamaD

ឃ. 23 , 0y x x y សមារអបសស 23 0 (3 ) 0 0 , 3x x x x x x


a

V f x dx

តគបាន 0 0

2 2 2 3 4

3 3

( 3 ) (9 6 )V x x dx x x x dx

04 5

3

3

3 243 2433 0 81

2 5 2 5

x xx

810 1215 486 818.1

10 10

ដចតនេះ 8.1 ( )V ÉktamaD ង. 3 1 , 2 , 0y x x y


សមារអបសស 3 1 0 1x x


a

V f x dx

តគបាន 2 2

3 2 6 3

1 1

( 1) ( 2 1)V x dx x x dx

27 4

1

128 16 1 12 1

7 2 7 2 7 2

x xx

128 1 16 1 129 152 1 3

7 7 2 2 7 2

258 105 42 405

14 14


14V

ÉktamaD

ច. 2 , 9y x y សមារអបសស 2 9 3 , 3x x x

តាមរបមនដ 2 2[ ( )] [ ( )]b b

a a

V f x dx g x dx

យក 23, 3 , ( ) 9 , ( )a b f x g x x

3 32 2

1 33

[ ( )] 9 81 (243 243) 486b

a

V f x dx dx x

353 3

2 2 2 42

3 3 3

[ ( )] ( )5

b

a

xV g x dx x dx x dx

243 243 486

5 5 5

តគបាន 1 2486 2430 486 1944

4865 5 5

V V V


5V

ÉktamaD

ឆ. 3,y x y x


សមារអបសស 3 6 5( 1) 0 0 , 1x x x x x x x x

តាមរបមនដ 2 2[ ( )] [ ( )]b b

a a

V f x dx g x dx

យក 30, 1 , ( ) , ( )a b f x x g x x 1

21 12 2

10 0 0

[ ( )] ( )2 2

b

a

xV f x dx x dx xdx

171 1

2 3 2 62

0 0 0

[ ( )] ( )7 7

b

a

xV g x dx x dx x dx

តគបាន 1 27 2 5

2 7 14 14V V V


14V

ÉktamaD

ជ. 2 , 2y x y x

សមារអបសស 2 22 2 0 1 , 2x x x x x x

តាមរបមនដ 2 2[ ( )] [ ( )]b b

a a

V f x dx g x dx

យក 21, 2 , ( ) 2 , ( )a b f x x g x x 2 2

2 2 21

1 1

[ ( )] ( 2) ( 4 4)b

a


23

2

1

8 12 4 8 8 2 4

3 3 3

xx x

7 (7 54) 6118

3 3 3

252 2

2 2 2 42

1 1 1

[ ( )] ( )5

b

a

xV g x dx x dx x dx

32 1 33

5 5 5


តគបាន 1 261 33 305 99 206

3 5 15 15V V V


15V

ÉktamaD

ឈ. , 2 , 4y x y x x សមារអបសស 2 0x x x

តាមរបមនដ 2 2[ ( )] [ ( )]b b

a a

V f x dx g x dx

យក 0, 4 , ( ) 2 , ( )a b f x x g x x 4

34 42 2 2

10 0 0

4[ ( )] (2 ) (4 )

3

b

a

xV f x dx x dx x dx

256

3

434

2 21

0 0

64[ ( )] ( )

3 3

b

a

xV g x dx x dx

តគបាន 1 2256 64 192

643 3 3

V V V

ដចតនេះ 64 ( )V ÉktamaD ញ. 2 , 2y x y x សមារអបសស 2 22 2 0 2 , 1x x x x x x

តាមរបមនដ 2 2[ ( )] [ ( )]b b

a a

V f x dx g x dx

យក 22, 1 , ( ) 2 , ( )a b f x x g x x

1 12 2 2

12 2

[ ( )] (2 ) (4 4 )b

a


13

2

2

1 84 2 4 2 8 8

3 3 3

xx x

(18 3) 21 1

51 12 2 2 4

22 2 2

[ ( )] ( ) ( )5

b

a

xV g x dx x dx x dx


1 32 33

5 5 5

តគបាន 1 233 105 33 72

215 5 5

V V V


5V

ÉktamaD

៥៩. រកមាឌសលេផដលបានពារវលផនផផៃករកឡាផដលកាណេតោយបនៃ េ នងផខែ តាងជាវញអកែអរតោតនៈ ក. , 0 , 1y x y x ខ. 3 , 0 , 0x y y x គ. , 4 , 0y x x y ឃ. 3 , 2 , 0y x x y ង. , 1 , 6y x y x y ច. 2 , 2x y x y

ឆ. , 0 , 22

xy x y

ជ. 4 , 0 , 0x y x y

ដណ ោះសរាយ គណនមាឌផនសលេ ក. , 0 , 1y x y x

តាមរបមនដ 2 2[ ( )] [ ( )]d d

c c

V F y dy G y dy

សមារអរតោតនៈ 0 , 1y y នាឲយ 0 , 1c d យក ( ) 1 , ( )F y G y y តគបាន

1 12 2

1 00

[ ( )] (1)d

c

V F y dy dy y

131

2 22

0 0

[ ( )] ( )3 3

d

c

yV G y dy y dy


តគបាន 2

3 3V


3V

ÉktamaD

ខ. 3 , 0 , 0x y y x

តាមរបមនដ 2[ ( )]d

c

V F y dy

សមារអរតោតន 0 3 3y y តនេះ 0 , 3c d តគបាន 3 3x y x y យក ( ) 3F y y

តគបាន 3

2 2

0

[ ( )] (3 )d

c

V F y dy y dy

333

2 2

0 0

(9 6 ) 9 3 (27 27 9) 93

yy y dy y y

ដចតនេះ 9 ( )V ÉktamaD គ. , 4 , 0y x x y

តាមរបមនដ 2 2[ ( )] [ ( )]d d

c c

V F y dy G y dy

ចាត េះ 4x តនេះ 4 2y នាឲយ 0 , 2c d តគមាន 2y x x y យក 2( ) 4 , ( )F y G y y តគបានៈ

2 2 22 2

1 00 0

[ ( )] 4 16 16 32d

c

V F y dy dy dy y

252 2

2 2 2 42

0 0 0

32[ ( )] ( )

5 5

d

c

yV G y dy y dy y dy

តគបាន 1 232 1 4 32 128

32 32 (1 )5 5 5 5

V V V


5V

ÉktamaD

ឃ. 3 , 2 , 0y x x y


តាមរបមនដ 2 2[ ( )] [ ( )]d d

c c

V F y dy G y dy

សមារអរតោតន 32 8y y តនេះ 0 , 8c d តគមាន 3 3y x x y យក 3( ) 2 , ( )F y G y y

8 82 2

1 00

[ ( )] 2 4 32d

c

V F y dy dy y

88 82 2 2/3 5/33

20 0 0

3[ ( )] ( )

5

d

c

V G y dy y dy y dy y

3 5 53 3 968 2

5 5 5

តគបាន 1 296 160 96 64

325 5 5

V V V


5V

ÉktamaD

ង. , 1 , 6y x y x y

តាមរបមនដ 2 2[ ( )] [ ( )]d d

c c

V F y dy G y dy

សមារអរតោតន 6 2 6 3y y y y តនេះ 1 , 3c d តគមាន 6 6x y x y យក ( ) 6 , ( )F y y G y y

3 32 2 2

11 1

[ ( )] (6 ) (36 12 )d

c

V F y dy y dy y y dy

32 3

1

1 136 6 (108 54 9) (36 6 )

3 3y y y

91 (189 91) 98(63 )

3 3 3

333

2 22

1 1

27 1 26[ ( )] ( )

3 3 3 3

d

c

yV G y dy y dy

តគបាន 1 298 26 72

243 3 3

V V V

ដចតនេះ 24 ( )V ÉktamaD


ច. 2 , 2x y x y

តាមរបមនដ 2 2[ ( )] [ ( )]d d

c c

V F y dy G y dy

សមារអរតោតន 2 22 2 0 1 , 2y y y y y y នាឲយ 2 , 1c d តគយក 2( ) , ( ) 2G y y F y y

1 12 2 2

12 2

[ ( )] (2 ) (4 4 )d

c

V F y dy y dy y y dy

13

2

2

1 84 2 (4 2 ) ( 8 8 )

3 3 3

yy y

1 82 16 (18 3) 21

3 3

151 1

2 2 2 42

2 2 2

[ ( )] ( )5

d

c

yV G y dy y dy y dy

1 32 1 32 33

5 5 5 5 5

តគបាន 1 233 105 33 72

215 5 5

V V V


5V

ÉktamaD

ឆ. , 0 , 22

xy x y

តបើ 0 0x y តនេះ 0 , 2c d


c

V F y dy

តគមាន 22

xy x y យក ( ) 2F y y

តគបាន 2 2

2 2 2

0 0

[ ( )] (2 ) (4 )d

c

V F y dy y dy y dy


23

0

4 4 8 32

3 3 3y


3V

ÉktamaD

ជ. 4 , 0 , 0x y x y តបើ 0 4 0 4 0 4x y y y តនេះ 0 , 4c d


c

V F y dy

តគយក ( ) 4F y y តគបាន 4

2 2

0

[ ( )] ( 4 )d

c

V F y dy y dy

424

0 0

(4 ) 4 (16 8) 82

yy dy y

ដចតនេះ 8 ( )V ÉktamaD ៦០. រកេផមលមធយម my ផនអនគមន ( )y f x ចាត េះ x តលើផដនកាណេផដលឲយ រចគស ករាបផន ( )y f x នងគសចេតាណផកងផដលមានកមពស :my

ក. ( ) sin , 02

f x x x

ខ. ( ) sin , 0 2f x x x

គ. 2( ) sin , 02

f x x x

ឃ. 2( ) sin , 2f x x x ង. ( ) 2 1 , 4 12f x x x

ច. 1 1( ) cos2 , 0

2 2f x x x

ដណ ោះសរាយ គណនេផមលមធយម my នង គសចេតាណផកងផដលមានកមពស my

ក. ( ) sin , 02

f x x x


តាមរបមនដ 1( )

b

ma

y f x dxb a

តគបាន / 2 / 2

00

1 2 2 2sin cos (0 1)

02

my xdx x

ដចតនេះ 2my

គសចេតាណផកងផដលមានកមពស my

ខ. ( ) sin , 0 2f x x x


b

ma

y f x dxb a

តគបាន 2 2

00

1 1 1 1sin cos (1 1)

2 0 2 2my xdx x

ដចតនេះ 1my


my

2

0

2

siny x

x

y

2x

y

( ) sinf x x


គ. 2( ) sin , 02

f x x x


b

ma

y f x dxb a

តគបាន / 2 / 2

2

0 0

1 2 1sin (1 cos2 )

20

2

my xdx x dx

/ 2

0

2 1 1 1 1sin 2 0)

2 2 2 2x x


2my


ឃ. 2( ) sin , 2f x x x


b

ma

y f x dxb a

តគបាន 2 2

21 1 1sin (1 cos2 )

2 2my xdx x dx

21 1 1 1 1 1

sin 2 [(2 0) ( 0)]2 2 2 2 2

x x


2my


x

y

my

2( ) sinf x x

2


ង. ( ) 2 1 , 4 12f x x x


b

ma

y f x dxb a

តគបាន 1212

3

4 4

1 1 12 1 (2 1)

12 4 8 3my x dx x

3 31 1 98 49(5 3 ) (125 27)

24 24 24 12


12my


ច. 1 1

( ) cos2 , 02 2

f x x x


b

ma

y f x dxb a

y

x

2( ) sinf x x

my

2

y

x

( ) 2 1f x x

my


តគបាន 0 0

1 1 1 1 1 1cos2 sin 2

0 2 2 2 4my x dx x x

1 10

2 2


2my


៦១. គណនករបផវងធនផនផខែតាងតាងអនគមនខាងតករាមៈ

ក. 2 31( 2)

3y x ព 0x តៅ 3x

ខ. 3y x ព (0,0) តៅ (4,8) គ. 2 39 4x y ព (0,0) តៅ (2 3,3)

ឃ. 3 1

3 4

xy

x ព 1x តៅ 3x

ង. 4

2

1

4 8

yx

y ព 1y តៅ 2y

ដណ ោះសរាយ គណនករបផវងធនផនផខែតាង

ក. 2 31( 2)

3y x ព 0x តៅ 3x

តាមរបមនដ 21 [ '( )]b

a

L f x dx

y

xmy

1 1( ) cos2

2 2f x x


តគមាន 3

2 3 2 21 1

( ) ( 2) ( 2)3 3

y f x x x 1

2 2 2 221 3 1

'( ) ( 2) '( 2) (2 ) 2 23 2 2

f x x x x x x x

តគបាន 3 3

2 2 2 2

0 0

1 ( 2) 1 ( 2)L x x dx x x dx

3 3 34 2 2 2 2

0 0 0

1 2 ( 1) ( 1)x x dx x dx x dx

33

0

273 9 3 12

3 3

xx

ដចតនេះ 12L

ខ. 3y x ព (0,0) តៅ (4,8)


a

L f x dx

តគមាន 3 1

3 2 23 3

( ) '( )2 2

y f x x x f x x x

តគបាន 4

2 34 4

0 00

3 9 2 4 91 1 1

2 4 3 9 4L x dx x dx x

43

3 3

0

8 9 8 81 (1 9) (1 0)

27 4 27 27x

38 810 1 10 10 1

27 27


10 10 127

L

គ. 2 39 4x y ព (0,0) តៅ (2 3,3)

តាមរបមនដ 21 [ '( )]d

c

L f y dy


យក 2 3 2 30 , 3 , 9 4 9[ ( )] 4c d x y f y y

នាឲយ 3

34 2 2 3( ) '( )

9 3 3 2

yf y y f y y y


2 3

0 0 0

21 ( ) 1 (1 )

3L y dy y dy y

3 3 32 2 2 14(1 3) (1 0) (2 1) (8 1)

3 3 3 3


3L

ឃ. 3 1

3 4

xy

x ព 1x តៅ 3x


a

L f x dx

តគមាន3

2

2

1 1( ) '( )

3 4 4

xy f x f x x

x x

នាឲយ 2 2 2 4

2 4

1 1 11 [ '( )] 1 ( ) 1 2

44 16f x x x

x x

24 2

4 2

1 1 12

4 16 4x x

x x

នាឲយ 2

2 2 2

2 2

1 11 [ '( )]

4 4f x x x

x x

តគបាន 3 3

2 2

21 1

11 [ '( )]

4L f x dx x dx

x

33

1

1 27 1 1 1 27 1 1 1

3 4 3 4 3 3 4 3 3 12 4

x

x

26 2 26 1 52 1 53

3 12 3 6 6 6


6L


ង. 4

2

1

4 8

yx

y ព 1y តៅ 2y

តាមរបមនដ 21 [ '( )]d

c

L f y dy

យក 1 , 2c d នង4

3

2 3

1 1( ) '( )

4 8 4

yf y f y y

y y

2

2 3 6 3

3 3 6

1 1 11 [ '( )] 1 1 2

4 4 16f y y y y

y y y

2

6 6 3

6 6 3

1 1 1 1 11

2 216 16 4y y y

y y y

2

2 3 3

3 3

1 11 [ '( )]

4 4f y y y

y y

តគបាន 2 2

2 3

31 1

11 [ '( )]

4L f y dy y dy

y

24

21

1 16 1 1 1 16 1 1 4

4 4 32 4 8 4 4 32 328

y

y

15 3 120 3 123

4 32 32 32


32L

៦២. គណនអាងតេករាលមនកាណេខាងតករាមៈ

1/. (2 3)

( 1)( 4)

x dx

x x

2/.

23 4 2

5

x xdx

x

3/. 3 2 1

( 4)

x x xdx

x x

4/.

2(2 1)

xdx

x

5/. 3

1

( 1)dx

x

6/.

22 5

( 3)( 2)

x xdx

x x


ដណ ោះសរាយ គណនអាងតេករាលខាងតករាមៈ

1/. (2 3)

( 1)( 4)

x dx

x x

តគមាន 2 3 ( 4) ( 1)

( 1)( 4) 1 4 ( 1)( 4)

x A B A x B x

x x x x x x

( ) (4 )

( 1)( 4)

A B x A B

x x

តគទាញបានៈ

1

2 5

4 3 11

5

AA B

A BB

នាឲយ (2 3) 1/5 11/5

( 1)( 4) 1 4 1 4

x dx A Bdx dx

x x x x x x

1 11ln | 1| ln | 4 | , ( )

5 5x x C C

ដចតនេះ (2 3) 1 11ln | 1| ln | 4 | , ( )

( 1)( 4) 5 5

x dxx x C C

x x

2/.

23 4 2 573 11

5 5

x xdx x dx

x x

2311 57ln | 5 | , ( )

2x x x C C


23 4 2 311 57ln | 5 | , ( )

5 2

x xdx x x x C C

x

3/. 3 2 3 2

2

1 1 13 13

( 4) ( 4)4

x x x x x x xdx dx x dx

x x x xx x

តគមាន 13 1 ( 4) ( ) 4

( 4) 4 ( 4) ( 4)

x A B A x Bx A B x A

x x x x x x x x


13 4

4 1 51

4

AA B

AB


តគបាន 3 2 1 13 1

3( 4) ( 4)

x x x xdx x dx

x x x x

1/ 4 51/ 43 3

4 4

A Bx dx x dx

x x x x

21 1 513 ln | | ln | 4 | , ( )

2 4 4x x x x C C

ដចតនេះ 3 2

21 1 1 513 ln | | ln | 4 | , ( )

( 4) 2 4 4

x x xdx x x x x C C

x x

4/. 2(2 1)

xdx

x

តគមាន 2 2 2 2

(2 1) 2 ( )

2 1(2 1) (2 1) (2 1) (2 1)

x A B A x B Ax A B

xx x x x

នាឲយ 1

2 1 2

0 1

2

AA

A BB


1/ 2 1/ 2

2 1 2 1(2 1) (2 1) (2 1)

x A Bdx dx dx

x xx x x

1 1 1 1 1ln | 2 1| ln | 2 1|

2 2 2(2 1) 2 4(2 1)x C x C

x x


1 1ln | 2 1| , ( )

2 4(2 1)(2 1)

xdx x C C

xx

5/. 3 2

1, ( )

( 1) 2( 1)

dxdx C C

x x


1, ( )

( 1) 2( 1)

dxdx C C

x x

6/.

22 5

( 3)( 2)

x xdx

x x


តគមាន 22 5

( 3)( 2) 3 2

x x n pm

x x x x

( 3)( 2) ( 2) ( 3)

( 3)( 2)

m x x n x p x

x x

2( 6) ( 2) ( 3)

( 3)( 2)

m x x n x p x

x x

2 ( ) ( 6 2 3 )

( 3)( 2)

mx m n p x m n p

x x


22 2

161 3

56 2 3 5 2 3 7

1

5

mm m

m n p n p n

m n p n p

p


( 3)( 2) 3 2

x x n pdx m dx

x x x x

16/5 1/5 16 12 2 ln | 3 | ln | 2 |

3 2 5 5dx x x x C

x x

ដចតនេះ 22 5 16 1

2 ln | 3 | ln | 2 | ,( )( 3)( 2) 5 5

x xdx x x x C C

x x

៦៣. គណនអាងតេករាលមនកាណេខាងតករាមៈ

1/. 3

1dx

x x

2/.

3

3 2

1xdx

x x

3/. ( 1)( 3)( 5)

dx

x x x

4/.

2

2

2 3

xdx

x x

5/. 7

( 2)( 5)dx

x x

6/.

4 2

3 6

2 1

xdx

x x

ដណ ោះសរាយ គណនអាងតេករាលខាងតករាមៈ

1/. 3

1dx

x x


3 2

1 1 1

( 1)( 1) 1 1( 1)

m n p

x x x x x xx x x x

( 1)( 1) ( 1) ( 1)

( 1)( 1)

m x x nx x px x

x x x

2 2 2

2

( 1) ( ) ( )

( 1)

m x n x x p x x

x x

2

3

( ) ( )m n p x n p x m

x x


10 1

10 1

21 0

1

2

mm n p m

n p n p n

m n p

p

តគបាន 3

1

1 1

m n pdx dx

x x xx x

1 1/ 2 1/ 2 1 1ln | | ln | 1| ln | 1|

1 1 2 2dx x x x C

x x x

1

ln | 1| ln | 1| ln | |2

x x x C

1ln | ( 1)( 1) | ln | | , ( )

2x x x C C


1 1ln | ( 1)( 1) | ln | | , ( )

2dx x x x C C

x x

2/.

3 2 2

3 2 2 2

1 ( 1)( 1) 1

( 1)

x x x x x xdx dx dx

x x x x x

2

1 1 11 ln | | , ( )dx x x C C

x xx


3 2

1 1ln | | , ( )

xdx x x C C

xx x


3/. ( 1)( 3)( 5)

dx

x x x

តគមាន 1

( 1)( 3)( 5) 1 3 5

m n p

x x x x x x

( 3)( 5) ( 1)( 5) ( 1)( 3)

( 1)( 3)( 5)

m x x n x x p x x

x x x

2 2 2( 8 15) ( 6 5) ( 4 3)

( 1)( 3)( 5)

m x x n x x p x x

x x x

2( ) (8 6 4 ) (15 5 3 )

( 1)( 3)( 5)

m n p x m n p x m n p

x x x

តគទាញបាន 0 0 (1)

8 6 4 0 4 3 2 0 (2)

15 5 3 1 15 5 3 1 (3)

m n p m n p

m n p m n p

m n p m n p

យក (2)ដក 4(1) តគបាន 2 0 2 0n p n p (4) យក (3)ដក15(1) តគបាន 10 12 1 10 12 1n p n p (5) តាម (4) នង (5) តគបានៈ

2 0 10 20 0

10 12 1 10 12 1

n p n p

n p n p

1

4

1

8

n

p

តាម 1 1 1(1) : 0

4 8 8m n p m n p

ចាត េះ 1 1 1, ,

8 4 8m n p

តគបានៈ ( 1)( 3)( 5) 1 3 5

dx m n pdx

x x x x x x

1/8 1/ 4 1/8

1 3 5dx

x x x

1 1 1ln | 1| ln | 3 | ln | 5 | , ( )

8 4 8x x x C C

1 1ln | ( 1)( 5) | ln | 3 | , ( )

8 4x x x C C



ln | ( 1)( 5) | ln | 3 | , ( )( 1)( 3)( 5) 8 4

dxx x x C C

x x x

4/. 2

2

2 3

xdx

x x

តគមាន 2

2 2

( 1)( 3) 1 32 3

x x A B

x x x xx x

2

( 3) ( 1) ( ) ( 3 )

( 1)( 3) 2 3

A x B x A B x A B

x x x x


1 4

3 2 5

4

AA B

A BB

តគបាន 2

2 1/ 4 5/ 4

1 3 1 32 3

x A Bdx dx dx

x x x xx x

1 5ln | 1| ln | 3 | , ( )

4 4x x C C


2 1 5ln | 1| ln | 3 | , ( )

4 42 3

xdx x x C C

x x

5/. 7

( 2)( 5)dx

x x

តគមាន 7 ( 5) ( 2)

( 2)( 5) 2 5 ( 2)( 5)

A B A x B x

x x x x x x

( ) (5 2 )

( 2)( 5)

A B x A B

x x


5 2 7

A B

A B

1

1

A

B


( 2)( 5) 2 5 2 5

A Bdx dx dx

x x x x x x

ln | 2 | ln | 5 | , ( )x x C C

ដចតនេះ 7ln | 2 | ln | 5 | , ( )

( 2)( 5)dx x x C C

x x


6/. 4 2 2 2 2 2

3 6 3 6 3 6

2 1 ( 1) ( 1) ( 1)

x x xdx dx dx

x x x x x

តគមាន 2 2 2 2

3 6

1 1( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

x a b c d

x xx x x x

2 2 2 2

2 2

( 1)( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1)

( 1) ( 1)

a x x b x c x x d x

x x

2 2 2 2

2 2

( 1)( 1) ( 2 1) ( 1)( 1) ( 2 1)

( 1) ( 1)

a x x b x x c x x d x x

x x

3 2 2 3 2 2

2 2

( 1) ( 2 1) ( 1) ( 2 1)

( 1) ( 1)

a x x x b x x c x x x d x x

x x

3 2

2 2

( ) ( ) ( 2 2 ) ( )

( 1) ( 1)

a c x a b c d x a b c d x a b c d

x x


0 (1)

0 (2)

2 2 3 (3)

6 (4)

a c

a b c d

a b c d

a b c d

បកអងគនងអងគតគបាន 94 9

4b b

បកសមារ (2) នង (4) តគបាន 2 2 6 3b d b d 9 9 3

3 34 4 4

d d

បកសមារ (1) នង (2) តគបាន 2 02

b da b d a

9 3

12 34 4

2 4 2 2a

តាមសមារ 3(1) : 0

2a c c a

តគបាន 3 9 3 3, , ,

2 4 2 4a b c d

នាឲយ4 2 2 2

3 6 3 6

2 1 ( 1) ( 1)

x xdx dx

x x x x


2 21 1( 1) ( 1)

a b c ddx

x xx x

2 2

3/ 2 9/ 4 3/ 2 3/ 4

1 1( 1) ( 1)dx

x xx x

3 9 3 3ln | 1| ln | 1| ,( )

2 4( 1) 2 4( 1)x x C C

x x


3 6 3 9ln | 1|

2 4( 1)2 1

3 3ln | 1| ,( )

2 4( 1)

xdx x

xx x

x C Cx

៦៤. គណនអាងតេករាលមនកាណេខាងតករាមៈ

1/. 5

2( 2)

xdx

x

2/.

2

2

2 3

( 1)

xdx

x x

3/. 2

2

1

( 1)

xdx

x x

4/.

3

1

( 1)dx

x

5/. 3 2 6

xdx

x x x

6/.

2

2 1

7 12

xdx

x x

ដណ ោះសរាយ គណនអាងតេករាលៈ 1/.

5 5

2 2( 2) 4 4

x xdx dx

x x x

3 2

2

80 128( 4 12 32 )

4 4

xx x x dx

x x

តគមាន 2 2 2 2

80 128 ( 2) ( 2 )

24 4 ( 2) 4 4 4 4

x A B A x B Ax A B

xx x x x x x x


2 128 32

A A

A B B

តគបាន 3 2

2

80 128( 4 12 32 )

4 4

xx x x dx

x x


3 2

2

80 32( 4 12 32 )

2 ( 2)x x x dx

x x

4 324 32

6 32 80ln | 2 | , ( )4 3 2

x xx x x C C

x

ដចតនេះ 5 4 3

2

2

4 326 32 80ln | 2 | , ( )

4 3 2( 2)

x x xdx x x x C C

xx

2/.

2

2

2 3

( 1)

xdx

x x

តោយ2 2

2 2 2

2 3 ( 1) ( 1)

1( 1) ( 1)

x A B C Ax x B x Cx

x xx x x x x

2 2 2

2 2

( ) ( 1) ( ) ( )

( 1) ( 1)

A x x B x Cx A C x A B x B

x x x x

នាឲយ 2 3

0 3

3 5

A C A

A B B

B C

តគបាន 2

2 2 2

2 3 3 3 5

1 1( 1)

x A B Cdx dx dx

x x x xx x x x

33ln | | 5ln | 1| , ( )x x C C

x


2

2 3 33ln | | 5ln | 1| , ( )

( 1)

xdx x x C C

xx x

3/. 2 2

2

1 1

( 1)( 1)( 1)

x xdx dx

x x xx x

តោយ 2 1 ( 1)( 1) ( 1) ( 1)

( 1)( 1) 1 1 ( 1)( 1)

x A B C A x x Bx x Cx x

x x x x x x x x x

2 2 2 2( 1) ( ) ( ) ( ) ( )

( 1)( 1) ( 1)( 1)

A x B x x C x x A B C x B C x A

x x x x x x



0 1

1 1

A B C A

B C B

A C

តគបាន 2 2

2

1 1

( 1)( 1)( 1)

x xdx dx

x x xx x

1 1 1

1 1 1 1

A B Cdx dx

x x x x x x

ln | | ln | 1| ln | 1|x x x C ln | ( 1)( 1) | ln , ( )x x x C C


2

1ln | ( 1)( 1) | ln , ( )

( 1)

xdx x x x C C

x x

4/. 3

1

( 1)dx

x

តាង 1u x du dx

តគបាន 3 3 2 2

1 1 1 1

( 1) 2 2( 1)dx du C C

x u u x


1 1, ( )

( 1) 2( 1)dx C C

x x

5/. 3 2 2

1

( 3)( 2)6 ( 6)

x xdx dx dx

x xx x x x x x

1/5 1/5 1 1ln | 3 | ln | 2 |

3 2 5 5dx x x C

x x

1 3ln | | , ( )

5 2

xC C

x


1 3ln | | , ( )

5 26

x xdx C C

xx x x

6/. 2

2 1

7 12

xdx

x x

តោយ 2

2 1 2 1

( 3)( 4) 3 47 12

x x A B

x x x xx x


2

( 4) ( 3) ( ) ( 4 3 )

( 3)( 4) 7 12

A x B x A B x A B

x x x x


4 3 1 9

A B A

A B B

តគបាន 2

2 1 7 9

3 47 12

xdx dx

x xx x

ln | 3| 9ln | 4 | , ( )x x C C


2 1ln | 3 | 9ln | 4 | , ( )

7 12

xdx x x C C

x x

៦៥. គណនអាងតេករាលខាងតករាមៈ

1/. ln 2

20 3 2

x

x x

e dx

e e

2/. / 2

2/3

sin

cos cos 2

xdx

x x

ដណ ោះសរាយ គណនអាងតេករាលៈ

1/. ln 2 ln 2

2 20 03 2 ( ) 3 2

x x

x x x x

e dx e dx

e e e e

តាង x xt e dt e dx តបើ 00 1x t e នង តបើ ln2ln2 2x t e

តគបាន ln 2 ln 2 2

2 2 20 0 13 2 ( ) 3 2 3 2

x x

x x x x

e dx e dx dt

e e e e t t

2 2 2

11 1

1 1 1ln | 1| ln | 2 |

( 1)( 2) 1 2dt dt t t

t t t t

(ln3 ln4) (ln2 ln3) ln3 2ln2 ln2 ln3 9

2ln3 3ln 2 ln9 ln8 ln8

ដចតនេះ ln 2

20

9ln

83 2

x

x x

e dx

e e


2/. / 2

2/3

sin

cos cos 2

xdx

x x

តាង cos sint x dt xdx

តបើ 1

cos3 3 2

x t

នង តបើ cos 02 2

x t

តគបាន / 2 0 1/ 2

2 2/3 1/ 2 0

sin 1

( 1)( 2)cos cos 2 2

xdx dtdt

t tx x t t

តោយ 1 ( 2) ( 1)

( 1)( 2) 1 2 ( 1)( 2)

A B A t B t

t t t t t t

( ) (2 )

( 1)( 2)

A B t A B

t t


1

0 3

2 1 1

3

AA B

A BB

នាឲយ 1/ 2 1/ 2

0 0

1 1/3 1/3

( 1)( 2) 1 2dt dt

t t t t

1/ 2

0

1 1 1 1 1 5 1ln | 1| ln | 2 | ln ln 0 ln 2

3 3 3 2 3 2 3t t

1 1 5 1 1 5 1 2ln 2 ln ln 2 ln ln

3 3 2 3 3 2 3 5

ដចតនេះ / 2

2/3

sin 1 2ln

3 5cos cos 2

xdx

x x

Documents

ថ្នាក់ទី ១២ · 2017. 5. 26. · អាំងតេរា M | Tនកតៀតៀងៈ ៊ូច ៊ុ B E 1 អាំងតេក្រា M Integration _____